Relatório Pêndulo Simples

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Universidade Federal de Goiás 
 Instituto de Física 
 Laboratório de Física 
 
 
 
 
 
 PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
Alunos: Lucas Rocha 
 Gabriel Arrates 
 Murillo Hannum 
 
 
Curso: Engenharia Civil Turma: “A” 
Professora: Rosane Castro 
 
 
 Goiânia, 30/10/2014 
Introdução 
 
O experimento realizado em sala de aula no dia 16 de outubro de 2014 teve como 
motivação a medição da aceleração da gravidade local. Para isso, montamos um 
sistema de pêndulo simples (movimento oscilatório harmônico), ou seja, numa 
extremidade de um fio fino e extenso, em que consideramos sua massa desprezível, 
foi amarrado um peso, cuja massa adotamos concentrada em seu centro de massa, e 
à outra foi amarrada a um suporte. Após a montagem do sistema, fizemos o peso 
da extremidade oscilar numa angulação pequena de 10 graus e foi cronometrado 
dez vezes o tempo de dez peíodos sucessivos. Calculou-se a média dos períodos 
encontrados (T=2,45 s) e seu respectivo desvio-padrão (σ=0,02 s), com esses 
resultados por meio de fómulas e cáculos matemáticos conseguimos estimar o 
valor da aceleração da gravidade local (9,8 ± 0,1 m/s²). O que dentro da incerteza 
estatística compreende o valor de 9,782 ± 0,001 m/s², mais aceito atualmente e 
encontrado em laboratórios com equipamentos e procedimentos com maior 
precisão, tornando o valor encontrado em sala de aula satisfatório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria 
 
Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que 
permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora 
causada pela gravidade. 
Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como 
um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços 
tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, 
duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem 
maior utilização é o Pêndulo Simples. 
Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma 
de suas extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma: 
 
 
Quando a massa é afastada da posição de repouso e solta, o pêndulo realiza 
oscilações. Ao ser desconsiderada a resistência do ar, as únicas forças que atuam 
sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. 
 
 
 
 
 
Desta forma: 
 
 
Como mostra a Figura 2, as forças que atuam no pêndulo são seu peso 
e a tração no fio. Considerando um sistema de referência onde um dos eixos 
seja tangente a trajetória circular percorrida pela massa m, e o outro tenha a direção 
do fio, ou seja, do raio do círculo, veremos que a resultante das forças radiais 
origina a força centrípeta necessária para manter “m” na trajetória circular. A 
componente tangencial do peso, igual a m.g.sen constitui a força restauradora que 
atua em “m” e que faz o corpo tender a voltar à posição de equilíbrio. Logo a força 
restauradora será: 
 
No entanto, o ângulo θ expresso em radianos, por definição é dado pelo quociente 
do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o 
raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por L, assim θ = x/L. 
Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve 
um MHS, já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No 
entanto, para ângulos pequenos, o valor do seno do ângulo é aproximadamente 
igual a este ângulo. 
 
Então, ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação pode-se 
escrever a equação (1) como: 
 
ou seja, a aceleração é proporcional ao deslocamento. 
O MHS é um movimento periódico. Sendo f a frequência e T o período, temos: 
 
onde a grandeza denomina-se pulsação. A aceleração no MHS é dada por: 
 
Logo, substituindo (4) em (5) tem-se: 
 
Comparando a equação (3) com a equação (6) podemos escrever: 
 
Logo, observa-se que o período do pêndulo simples independe de sua massa e a 
aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação: 
 
Com essa relação matemática entre o período de oscilação T e a gravidade g 
podemos estimar o valor da aceleração da gravidade local por meio das medições 
de períodos de oscilação de um pêndulo simples, como descrito a seguir. 
 
 
Metodologia Experimental 
 
Durante o experimento foi utilizado um fio, de massa desprezivel, preso em um 
suporte metálico em uma de suas extremidades e uma massa “m”, concentrada no 
seu centro de massa, presa na outra extremidade. Um cronômetro digital, com 
precisão de duas casas decimais, utilizado para a medida do periodo do pêndulo. 
Uma trena para a medida do comprimento do fio e por fim um transferidor para 
medir o afastamento angular da posição de repouso. 
 
1 - Comprimento do fio (L): 
Primeiramente, com a trena, foi obtido o comprimento do fio: 
 L = (1,50 + 0,0005)m 
O erro de + 0,0005 m na medição foi resultado da imprecisão do próprio 
instrumento utilizado. 
 
2 - Período de oscilação do pêndulo (T): 
Para a obtenção do período, o fio do pêndulo foi deslocado de sua posição de 
equilíbrio, com a ajuda do transferidor, por um ângulo de 10° (1/18π rad) e depois 
a massa foi abandonada, provocando a oscilação do pêndulo. Mediu-se o tempo 
referente a 10 oscilações (10T) e repetiu esse procedimento 10 vezes afim de 
diminuir a possibilidade de erro sistemático no resultado. 
 Ao medir o ângulo de 10° teve-se cuidado de olhar para o transferidor 
perpendicularmente, com o objetivo de evitar a paralaxe (erro de medição 
ocasionado pela mudança aparente da posição de um objeto observado, causada 
por uma mudança da posição do observador). E ao colocar o pêndulo em oscilação 
também houve um cuidado especial para que a massa não girasse em torno do seu 
centro de massa, o que deixaria o fio enrolado e, consequentemente, acarretaria 
maiores erros aos resultados. 
 
3 - Gravidade (g): 
 Por último, atravéz da equação (8), obtida acima, e dos dados já conhecidos, 
como o período e o comprimento do fio, foi possível realizar as operações 
matemáticas para a obtenção do valor da aceleração da gravidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resultados e análise de dados 
 
Tabela 1: Tempo de 10 oscilações sucessivas nos 10 lançamentos cronometrados. 
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Lançamento 
24,56 24,47 24,44 24,47 24,85 24,62 24,56 24,22 24,71 24,32 Tempo (s) 
 Fonte: Dados experimentais. 
 
A média e seu respectivo desvio-padrão dos tempos medidos foram calculados 
pelas fómulas: 
 
Os valores obtidos para a média e desvio-padrão de 10 períodos consecutivos 
foram, respectivamente, tm=24,522 segundos e σt=0,1819 segundos. Para obter o 
valor médio e o desvio-padrão de um período apenas, bastou-se dividir o valor 
encontrado por dez. Os valores encontrados foram T=2,4522 segundos e 
σT=0,01819 segundos, que ao fazer as aproximações necessárias, T=(2,45 + 0,02) 
segundos. 
 
Ainda que com grandes limitações de aparelhagem e inexperiência, o experimento 
foirealizado com maior precisão possível de tal forma que a cada três 
lançamentos, os membros do grupo revesaram suas funções na tentativa de 
minimizar os erros. 
Dado o período médio e o comprimento do fio, pela fórmula (8) chegou-se a um 
valor de gmelhor aproximadamente igual a 9,8478 m/s². 
O erro da gravidade foi obtido a partir da fórmula de propagação de erros a seguir: 
 
Onde derivou-se parcialmente a fórmula (8) em relação a L (comprimento do fio) e 
a T (o período de oscilação) em L=1,50 m e T=2,45 s, chegando a um erro 
aproximadamente igual a δg = 0,1461 s. A partir do gmelhor e de δg, fazendo as 
aproximações necessárias, encontrou-se um para o valor para a gravidade 
aproximadamente igual a 9,8 + 0,1 m/s². O valor encontrado é aceitável e 
satisfatório, pois compreende o valor de referência (9,784 ± 0,001 m/s²), valor de 
maior precisão encontrado nessa região, obtido inclusive no próprio Instituto de 
Física (IF) da UFG, com experimentadores mais especializados, processos mais 
elaborados e equipamentos mais precisos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discussão e conclusão 
 
No procedimento, enquanto um membro fazia a leitura do tempo, outro realizava 
as anotações e o terceiro soltava o corpo do repouso. A cada três medições, os 
integrantes alternavam suas funções e todos realizaram todas as etapas do 
experimento. Junto disso, foi minimizado o erro sistemático causado pelo tempo de 
reação de cada um. 
Como premissas à realização do experimento, para considerá-lo simples, várias 
considerações tiveram de ser idealizadas por motivos didáticos, com intuito de 
facilitar os cálculos matemáticos. O corpo fixado ao fio, que neste caso foi adotado 
inextensível e de massa desprezível, foi considerado puntiforme, isto é, toda sua 
massa estava concentrada em seu centro de massa. 
Ainda consideramos que o seno do ângulo de deslocamento é aproximadamente 
igual ao valor do próprio ângulo. O que ao somatório de todas as aproximações e 
idealizações consideradas levaram a uma incerteza no resultado, que era esperada. 
No entanto o objetivo foi alcançado, o valor da aceleração da gravidade foi obtido 
apesar de toda as limitações técnicas e o valor encontrado, dentro da margem de 
erro, compreende o valor de referência. 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas 
 
 
Halliday, David; Resnick, Robert; Krane, kenneth S. . Física 2. 4°edição. Rio de 
Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996. 
SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; 
FREEDMAN, Roger A. Física II:Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo, 
SP: Pearson Addison Wesley, c2008-2009 vol 3. 
http://www1.univap.br/rspessoa/aulas/fisicaexp2012/topico08fisicaexp.pdf