ICF2-gaba-AD1-2013-2 v1.5.1

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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas 
2o Semestre de 2013 AD1 de ICF2 e de ICF2Q 
 
Profa. Maria Antonieta T. de Almeida/Revisão Prof. Angelo Gomes 
 
1
GABARITO DA AD1 DE 2013-2 
 
Questão 1( 3 pontos) 
Um sistema é formado pelas cargas elétricas q1 = q > 0 e q2=25q (ver figura 1) . As coordenadas 
dos pontos onde estão as cargas elétricas são: x1=0, y1=0 e x2=6a, y2=-4a.As coordenadas do 
ponto P são xP = 3a, yP = 0. 
Considere a conhecidos k,q e a. A constante k é igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Desenhe na figura-1os campos elétricos criados pelas cargas elétricas q1 e q2 no ponto P. 
2) Calcule os campos elétricos criados pelas cargas elétricas q1 e q2 ponto P. Escreva esses 
campos elétricos em termos dos vetores unitários 
)
i e ˆj. 
A distância entre a carga 1 e o ponto P é 3a. Logo, o módulo do campo elétrico é
r
E1 igual a 
r
E1 = E1 =
k q1
3a( )2 =
kq
9a2
.
 
Para encontrar as componentes do vetor campo elétrico 
r
E1 na direção do eixo OX é 
necessário projetá-lo na direção do eixo OX utilizando duas perpendiculares ao eixo OX que 
passam pelo início e pelo final do campo elétrico. A figura a seguir mostra que o vetor 
k = 1
4piεo
.
Figura-1-a 
r
E1
r
E2
r
d2
r
d1
r
E1
r
E2
r
E
r
E
θ
θ
q2=25q 
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projetado 
r
E1x é igual ao vetor 
r
E1. Logo a componente do vetor 
r
E1 na direção do eixo OX é 
igual a E1x = E1 =
kq
3a( )2 =
kq
9a2
.
 
 
 
 
 
Para encontrar as componentes do vetor campo elétrico 
r
E1 na direção do eixo OY é 
necessário projetá-lo na direção do eixo OY utilizando duas perpendiculares ao eixo OY que 
passam pelo início e pelo final do campo elétrico. A figura a seguir mostra que o vetor 
projetado 
r
E1y é nulo. Logo a componente do vetor 
r
E1 na direção do eixo OY é nula. E1y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo o campo elétrico 1 é dado por: 
r
E1 = E1x ˆi + E1y ˆj = E1x ˆi =
qk
9a2
ˆi .
 
 
A distância entre a carga elétrica q2e o ponto P é igual 
r
d2 = 3a( )2 + 4a( )2 = 9a2 +16a2 = 5a. Logo o módulo do campo elétrico é 2Er igual a 
( ) .5 22
2
22
a
kq
a
qk
EE ===
r
 
 
Para encontrar as componentes do vetor campo elétrico 
r
E2 na direção do eixo OX é 
necessário projetá-lo na direção do eixo OX utilizando duas perpendiculares ao eixo OX que 
O X 
r
E1x =
r
E1
O 
Y 
r
E1y =
r
0
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passam pelo início e pelo final do campo elétrico. A figura a seguir mostra que o módulo vetor 
projetado xE2
r
é igual 
r
E2 x = E2 cos(θ )
E2 =
kq
a2
cos(θ ) = 3a
5a
=
3
5









⇒
r
E2 y =
kq
a2
.
3
5
=
3kq
5a2
. 
Como o vetor projetado xE2
r
tem o sentido contrário do vetor unitário ˆi a componente do vetor 
2E
r
 na direção do eixo OX é negativa e igual a .
5
3
22 a
kqE x −=
 
 
 
 
 
 
Para encontrar as componentes do vetor campo elétrico 
r
E2 na direção do eixo OY é 
necessário projetá-lo na direção do eixo OY utilizando duas perpendiculares ao eixo OY que 
passam pelo início e pelo final do campo elétrico. A figura a seguir mostra que o módulo vetor 
projetado 
r
E2 y é igual 
.
5
4
5
4
.
5
4
5
4)cos(
)(
22222
22
a
kq
a
kqE
a
a
a
kqE
senEE
y
y
==⇒









==
=
=
r
r
θ
θ
 
Como o vetor projetado yE2
r
tem o sentido contrário do vetor unitário ˆj a componente do vetor 
2E
r
 na direção do eixo OY é positiva e igual a .
5
4
22 a
kqE y =
 
 
 
 
 
 
Y 
r
E2 y
O X 
xE2
r
θ
2E
r
O X 
r
E2 x
θ
r
E2
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2o Semestre de 2013 
 
 
3) Desenhe na figura -1 o campo elétrico resultante que atua no ponto P.
4) Calcule o campo elétrico resultante
vetores unitários 
)
i e 
O campo resultante é a soma de todos os campo elétricos.
r
E =
r
E1 +
r
E2 .
 
 Logo as componentes do campo resultante são dadas por:
5
4
9
1
21
21
a
kqEEE
a
kqEEE
yyy
xxx
=+=
=+=
O campo elétrico resultante é dado por:
45
22
ˆˆ jEiEE yx
−
=+=
r
5) Calcule a força resultante que atua em uma 
Desenhe essa força na figura 1
A força resultante é dada por:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura
+
r
E
r
F
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ˆ
5
3
ˆˆ
2222 ia
kqjEiEE yx +−=+=
r
1 o campo elétrico resultante que atua no ponto P.
Calcule o campo elétrico resultanteno ponto P . Escreva esse campo em termos dos 
e ˆj . 
resultante é a soma de todos os campo elétricos. 
Logo as componentes do campo resultante são dadas por:
.
45
22
5
3
2
222
a
kq
a
kq
a
kq
a
kq −
=−
 
O campo elétrico resultante é dado por: 
.
ˆ
5
4
ˆ
45
22
22 ja
kqi
a
kq
+
 
Calcule a força resultante que atua em uma carga elétrica Q=q colocada no ponto P. 
Desenhe essa força na figura 1-b. 
A força resultante é dada por: .ˆ
5
4
ˆ
45
22
2
2
2
2
j
a
kqi
a
kqEqF +−==
→→
 
Figura-1-b 
+
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 AD1 de ICF2 e de ICF2Q 
/Revisão Prof. Angelo Gomes 4
.
ˆ
5
4
2 ja
kq
+
 
1 o campo elétrico resultante que atua no ponto P. 
. Escreva esse campo em termos dos 
carga elétrica Q=q colocada no ponto P. 
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Questão 2 ( 2 pontos) 
 
Existe um procedimento experimental que permite visualizar de forma qualitativa o campo elétrico 
produzido por terminais condutores carregados . O método utiliza uma cuba de acrílico com óleode rícino, sementes de grama,terminais condutores e uma fonte que fornece tensão alta (da 
ordem de 6000V). Quando os terminais são ligados à fonte, eles adquirem cargas elétricas com 
módulos iguais e sinais contrários criando um campo elétrico. Esse campo elétrico modifica as 
posições das sementes formando linhas.Essas linhas são parecidas com as linhas do campo 
elétrico. Por isso, você pode retirar das linhas formadas pelas sementes de grama informações 
qualitativas sobre o campo elétrico produzido pelos terminais. 
 
Na Sala da Disciplina ICf2 existem vários vídeos relativos à aplicação desse método a terminais 
com formas diferentes. Assista ao vídeo denominado “Linhas de Campo elétrico-Carga elétrica 
pontual e anel carregado”. A seguir, assista ao vídeo denominado “Linhas e campo elétrico- Linhas 
carregadas” e retire desse vídeo as informações sobre o campo elétrico criado por terminais 
lineares carregados. 
Atenção: A informações solicitadas não devem ser retiradas das linhas de campo elétrico 
desenhadas nos livros. Elas devem ser retiradas das linhas formadas pelas semente de 
grama do vídeo. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
1
2
3
4
7
5
6
8
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Ao ligar a fonte observamos as sementes se alinharem nas regiões entre os terminais (1,2,3 
4 e 5). Nas proximidades dos centros dos terminais, essas linhas são perpendiculares aos 
terminais. Nas regiões próximas às bordas dos terminais (2,4,5 e 6) as linhas se encurvam. 
Logo podemos concluir que o campo elétrico nas regiões próximas aos centros dos 
terminais são perpendiculares aos terminais e que nas regiões próximas às bordas dos 
terminais são inclinados em relação aos terminais.Vemos que nas regiões fora dos terminais 
(7 e 8) não há alinhamento das sementes. Logo podemos concluir que o campo elétrico 
nestas regiões ou é nulo ou é desprezível. 
 
Questão 3 (3,0 pontos):Só ganham pontos na questão os alunos que fizeram experimento 1 
da Prática1. 
1. Qual é o objetivo do experimento 1? 
2. Descreva resumidamente o procedimento experimental do experimento 1. 
1. Construa uma tabela com os seus dados do experimento 1. 
Utilize o modelo da tabela desenhada a seguir: 
 
x[m] xδ [m] V [V] Vδ [V] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Denominamos a incerteza na posição xδ e a incerteza e de Vδ a incerteza no potencial elétrico 
2. Calcule a incerteza relativa da posição xx /δ e a incerteza relativa VV /δ do potencial . 
Qual delas é menor? 
3. Faça um gráfico em um papel milimetrado do potencial versus a posição. Não esqueça de 
colocar as barras de incerteza nos pontos. (Utilize o complemento do Módulo 1 denominado 
“Construção e um gráfico”. Ele foi disponibilizado na Aula 4 da Sala da disciplina). 
4. Ajuste os seus pontos experimentais por uma reta. A retadeve cortar o maior número de 
barras de incerteza. Retire do seu gráfico o coeficiente angular 
da reta. Que grandeza o coeficiente angular desta reta 
fornece? 
5. Utilize a reta do seu gráfico para estimar o potencial 
elétrico no ponto com x=2,5cm. 
6. Estime o campo elétrico entre os terminais lineares, nos 
pontos próximos à região central da cuba de acrílico utilizando 
a reta que você traçou. 
 
 
 
 
 
Figura-3 
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7. O método dos mínimos quadrados é um método numérico que ajusta uma reta aos pontos 
experimentais. De uma maneira simplificada, podemos dizer que este ajuste é realizado 
minimizando a soma dos quadrados das distâncias dos valores dos pontos experimentais à 
melhor reta. Na figura 4 foram representados os pontos experimentais ( 5511 yxyx ,,..,, ) e a melhor 
reta bxaxy +=)( . 
O método minimiza a seguinte expressão ( )( )∑=
−
=
N
1i
2
i
2
ii2
y
yxy
δ
χ )( , onde )( ixy é o valor da 
grandeza obtida utilizando-se a função que define a reta, iy é a medida experimental associada à 
medida ix , iyδ é a incerteza da medida experimental associada à medida iy e N é o número de 
medidas experimentais dagrandeza y. 
Ele fornece os coeficientes angular (a) e linear (b) da melhor reta. Também são fornecidos as 
incertezas do coeficiente angular aδ e do coeficiente linear bδ . Ele só fornece bons 
resultados quando umadas incertezas relativas é muito menor do que a outra. Na internet 
existem páginas que têm o método dos mínimos quadrados. Utilizeo método dos mínimos 
quadrados que está disponível na página da internet 
http://omnis.if.ufrj.br/~carlos/applets/reta/reta.html 
para obter o coeficiente angular da melhor reta com a sua incerteza.Não esqueça de colocar no 
eixo das ordenadasa grandeza com a menor incerteza. Em alguns destes programas os dados 
devem ser escritos com pontos e não com vírgulas (por exemplo: número 1,2 deve ser escrito 
como 1.2). 
Calcule o campo elétrico entre os terminais lineares, nos pontos próximos à região central da 
cuba de acrílico utilizando os resultados que o programa da internet forneceu. 
Compare os resultados obtidos em 6 e 7. Qual dos resultados você acha que é mais preciso? 
 
 
Questão 4: (2 pontos) 
 
A extremidade de um fio de alumínio cujo diâmetro é de 2,0 mm é soldado à 
extremidade de um fio de cobre com o mesmo diâmetro. Um corrente elétrica de 
2,0 A passa pelo fio composto. A corrente elétrica convencional I que atravessa 
os fios foi desenhada na figura 4.As resistividades do alumínio e do cobre são 
respectivamente iguais a O módulo da 
carga do elétron é 1,6.10−19C .O número de transportadores de corrente elétrica da 
alumínio é igual a e do cobre é igual a 
Forneça todas as respostas com apenas um algarismo 
significativo. 
 
a) Qual é o módulo do vetor densidade de corrente elétrica em cada fio? 
O módulo do vetor densidade de corrente elétrica em cada fio é 
 ρAl = 2, 75.10−8Ω.m e ρCu =1, 69.10−8Ω.m.
6, 0 ×1028(elétrons livres)/m3
8, 5×1028(elétrons livres)/m3.
jr
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8
j = I
A
=
I
pir2
=
I
pi
d
2






2 =
4I
pid 2
. 
Como as correntes que atravessam os fios e os diâmetros do fio são iguais 
temos que: 
jAl = jCu =
4. 2A( )
pi . 2.10−3m( )2 ≅ 0,6.10
6 A / m2 . 
 
b) Desenhe os vetores densidade de corrente elétrica nos fios de cobre e de 
alumínio e desenhe na Figura 4. 
Como os vetores densidade de corrente elétrica no fio têm o sentido da 
corrente elétrica convencional eles foram desenhados figura 4 com o 
sentido da corrente elétrica convencional. 
c) Desenhe na Figura 4 o sentido da corrente elétrica dos elétrons. 
d) Calcule as velocidades de deslocamento dos elétrons de condução 
(elétrons livres) nosfios de cobre e alumínio. Desenhe estes vetores na 
Figura 4. 
A relação entre o vetor densidade de corrente elétrica e o vetor velocidade 
de deslocamento das cargas elétricas positivas da corrente elétrica 
convencional é dada por: 
rj = ne rvd ⇒
r
vd+ =
rj
ne
⇒ vd+ =
j
ne
. 
Logo o módulo da velocidade de deslocamento dos elétrons de condução é 
dado por: 
vd− = vd+ =
j
ne
. 
 
Por isso, os módulos das velocidades de deslocamento dos elétrons de 
condução no cobre e do alumínio são diferentes. 
vd−Al =
j
nAl e
=
0,6.106 A / m2( )
6.1028elétrons / m3( ). 1,6.10−19C( ) ≅ 7.10
−5 m / s
vd−Cu =
j
nCu e
=
0,6.106 A / m2( )
8.5.1028 elétrons / m3( ). 1,6.10−19C( ) ≅ 5.10
−5 m
 
 
 
e) Calcule o vetor campo elétrico no fio de cobre e no fio de alumínio. 
O campo elétrico no interior de um fio é dado por: 
r
E = ρ
rj. 
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Como a resistividade do cobre e do alumínio são diferentes os campo 
elétricos nos fios de cobre e alumínio também são diferentes.( )( )
( )( ) ./01,0/10.6,0.10.69,1
./02,0/10.6,0.10.75,2
268
268
mVmAmjE
mVmAmjE
CuCu
AlAl
≅Ω==
≅Ω==
−
−
ρ
ρ
 
 
f) Desenhe estes vetores na Figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
rjAl
rjCu
I
e
I
v
−dAl v−dCu
r
EAl
r
ECu