ICF1-gaba-AP2-2012-1

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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas-1 
1o Semestre de 2012 AP2 de ICF1 
Coordenadoras: Ana Maria Senra Breitschaft 
Erica R. Polycarpo Macedo 
1 
Figura-1 
Figura-1 
 Instituto de Física 
 UFRJ 
 
 Gabarito da Segunda Avaliação Presencial de Introdução às Ciências Físicas I 
Primeiro Semestre de 2012 
Questão 1 (3,5 pontos) 
 
Na Prática 1 do Módulo 3, fizemos um experimento para verificar se 
o modelo que afirma que as forças são vetores é compatível com os 
resultados experimentais. Inicialmente aplicamos as forças 1F

 e 2F

 
ao ponto O de uma cordinha. Essas forças foram aplicadas com dois 
dinamômetros. Um terceiro dinamômetro aplicou sobre o ponto O da 
cordinha uma força 
!
F
3
 que equilibrou as forças 1F

 e 2F

 (veja 
figura 1). Mediu-se, então, as forças 1F

, 2F

 e 3F

 diretamente com 
os dinamômetros e com o transferidor, 
 
 
 
a) Os resultados das medidas de 3F

 com as suas incertezas estão na tabela 1. Complete 
a tabela 1. 
 
Tabela 1 
θ3 (graus) δ θ3(radianos) 3F [N] 3Fδ [N] xF3 [N] yF3 [N] xF3δ [N] yF3δ [N] 
90o 0,03 1,06 0,02 0,00 -1,06 0,03 0,02 
 
 
 
b) A força resultante 
! 
! 
R é a força que produz o mesmo efeito das forças 1F

 e 2F

 quando 
elas são aplicadas ao mesmo tempo no ponto O da cordinha. Relacione a força 
! 
! 
R com 
a força 
! 
! 
F 3 . 
3FR

−= 
 
c) A partir da relação do item anterior (b), complete a Tabela 2. 
Tabela 2 
xR [N] yR [N] xRδ [N] yRδ [N] 
0,00 1,06 0,03 0,02 
 
!Rx = !F3x = 0,03N e !Ry = !F3y = 0,02N 
 
 
 
d) Os resultados das medidas diretas das forças 
! 
! 
F 1 e 
! 
! 
F 2 com suas incertezas estão nas 
tabelas 3 e 4. Complete as tabelas 3 e 4. 
 
F1x = !F1 cos(!1) = !0,9266...N " !0,93N 
0,2 (perde 0,05 para cada erro de algarismo significativo) 
0,2 
0,4 (perde 0,05 para cada erro de algarismo significativo) 
!
F3
!3
!2!1
!
F2
!
F1
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2 
F1y = F1 sen(!1) = 0,5350...N ! 0,54N 
 
F2x = !F2 cos(!2 ) = 0,9179...N " 0,92N 
F2x = F2y sen(!2 ) = 0,5300...N ! 0,53N 
Tabela 3 
θ1 (graus) δ θ1 (radianos) 1F [N] 1Fδ [N] xF1 [N] yF1 [N] xF1δ [N] yF1δ [N] 
30o 0,03 1,07 0,02 -0,93 0,54 0,02 0,03 
 
 
 
Tabela 4 
θ2 (graus) δθ2 radianos) 2F [N] 2Fδ [N] xF2 [N] yF2 [N] xF2δ [N] yF2δ [N] 
30o 0,03 1,06 0,02 0,92 0,53 0,02 0,03 
 
 
 
e) Utilize os valores das tabelas 3 e 4 e o modelo que afirma que as forças são vetores 
para obter a força resultante 
! 
! 
R =
! 
F 1 +
! 
F 2, e complete a tabela 5. Lembre-se que a 
incerteza na medida indireta de uma função dada pela soma de duas outras medidas 
x e y ( f = x+ y ) é igual a ! f = (!x)2 + !y( )2( ) , onde !x e !y são as incertezas de 
x e y . 
 
 
Tabela 5 
xR [N] yR [N] xRδ [N] yRδ [N] 
-0,01 1,07 0,03 0,04 
 
 
 
Rx = F1x +F2 x = (!0,93+ 0,92)N = !0,01N
Ry = F1y +F2 y = (0, 54+ 0,53)N =1,07N
!Rx = !F1x( )
2
+ !F2 x( )
2
= 0,02( )2 + 0,02( )2 = 0,028…N " 0,03N
!Ry = !F1y( )
2
+ !F2 y( )
2
= 0,03( )2 + 0,03( )2 = 0,042…N " 0,04N
 
 
f) Represente na forma de um intervalo I1 dos números reais a faixa de valores associada 
à componente Rx da força resultante calculada como na tabela 2. Represente na forma 
de um intervalo I2 dos números reais a faixa de valores associada à componente Rx da 
força resultante calculada como na tabela 5. 
 
0,2 (perde 0,05 para cada erro de algarismo significativo) 
0,2 (perde 0,05 para cada erro de algarismo significativo) 
0,8 (perde 0,05 para cada erro de algarismo significativo) 
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3 
0,1 
0,2 
0,1 
0,2 
I1 = [!0,03, 0, 03]N; I2 = [!0,04, 0, 02]N; 
 
g) Qual a interseção entre os intervalos I1 e I2? 
I1! I2 = ["0,03, 0, 02]N 
 
h) Represente na semirreta a seguir os intervalos I1 e I2 . 
 
 
 
 
 
 
i) Represente na forma de um intervalo I3 dos números reais a faixa de valores associada 
à componente Ry da força resultante calculada como na tabela 2. Represente na forma 
de um intervalo I4 dos números reais a faixa de valores associada à componente Ry da 
força resultante calculada como na tabela 5. 
 
I3 = [1, 04, 1, 08]N; I4 = [1, 03, 1,11]N; 
 
j) Qual a interseção entre os intervalos I3 e I4? 
 
I3! I4 = [1, 04, 1, 08]N 
 
k) Represente na semirreta a seguir os intervalos I3 e I4. 
 
 
 
 
 
l) Os resultados experimentais são compatíveis com o modelo que afirma que as forças 
são vetores? Justifique sua resposta. 
Como existem interseções entre as faixas de valores das componentes xR e yR
obtidas com as fórmulas do modelo e aquelas obtida com a medida da força 3F

 , 
as fórmulas do modelo são compatíveis com os resultados experimentais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,2 
0,2 
0,5 (só ganha os pontos se falar das faixas de valores e da comparação do modelo 
com as medida da força ) 
N 
 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 ! 
I
3
N 
 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 ! 
I
1
! 
I
2
! 
I
4
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0,8 (0,1 para cada força e cada reação) 
0,4 (0,2 para simbólica vetorial e 
 0,1 para cada componente) 
Questão 2 (4,0 pontos) 
 
A figura 2 mostra um menino que puxa uma caixa 
utilizando uma corda. A massa da caixa é igual a 
m = 20kg e a massa da corda é desprezível. A força 
!
T aplicada pela corda sobre a caixa forma um 
ângulo de ! = 40° com a horizontal. Os coeficientes 
de atrito estático e cinético entre a caixa e a 
superfície plana valem µe = 0,35 e µc = 0,25 , 
respectivamente. A caixa não gira e nem descola da 
superfície. Despreze as forças que o ar exerce 
sobre a caixa. Considere a Terra como um 
referencial inercial e a aceleração da gravidade g =10m/s2. 
 As direções x e y estão representadas na figura 2 por seus unitários iˆ e jˆ , respectivamente 
 
a) Desenhe a caixa separada do seu exterior e coloque todas as forças não desprezíveis 
que atuam sobre ela. Onde estão aplicadas as reações a essas forças? 
 
Estão em contato com a caixa a superfície horizontal, a homem e o ar. Como o 
problemamanda desprezar a resistência do ar, só a superfície horizontal e a corda 
podem exercer forças de contato sobre a caixa. A superfície horizontal, deformada 
pela ação da superfície da caixa, empurra a caixa para cima com a força normal 
!
N
. Como existe atrito entre a superfície da caixa e a superfície horizontal, a força de 
atrito 
! 
! 
f a que atua na caixa tenta evitar o deslocamento relativo entre as 
superfícies. A corda exerce a força 
!
T . A única força gravitacional não desprezível 
que atua na caixa é o seu peso 
!
P . A reação às forças normal e de atrito são !
!
N e 
 
! 
"
! 
f a e estão aplicadas no plano horizontal. A reação à força 
!
T é a força !
!
T e está 
aplicada na corda. A reação á força peso é !
!
P e está aplicada no centro da Terra. 
 
 
 
b) Escreva a Segunda Lei de Newton na notação vetorial e na notação em componentes 
(não confunda as componentes de uma força que são números com os vetores 
projetados) para a caixa. 
 
 
!
!
T
corda 
 !
!
P Terra 
!
T!N
!
fa
!
P
 
!
!
N
!
!
fa
Figura 2 
QUESTÕES DAS OFICINAS DE VETORES 
Estas questões só podem ser entregues pelos alunos que fizerem as duas 
oficinas de forças . Elas substituem a questão 3 da AD2. Com elas a AD2 
valerá 13 pontos. Elas não precisam ser entregues com a AD1. O prazo de 
entrega delas será divulgado pelo tutor que ministrará as oficinas. 
 
Questão 1 ( 2 pontos) 
1) A maior dificuldade que os alunos têm ao resolver problemas da Mecânica da Partícula é 
na projeção de vetores. Entre estas dificuldades estão: 
a) O desconhecimento de geometria relativa à congruência de ângulos e à geometria dos 
triângulos (ver Complemento 0 do encarte do Módulo 1). Uma conseqüência deste fato é 
a incapacidade do aluno em encontrar corretamente os valores dos ângulos. 
b) O desconhecimento das definições de seno e co-seno (ver Complemento 0 do encarte do 
Módulo 1). Uma conseqüência deste desconhecimento é a incapacidade dos alunos de 
encontrar o módulo dos vetores projetados corretamente. 
c) O desconhecimento da convenção de sinais que deve ser utilizada no cálculo das 
componentes dos vetores (Aula 2-Módulo2). A componente de um vetor é o número que 
se deve multiplicar o vetor unitário na direção do vetor projetado para se obter o vetor 
projetado. 
Para verificar se você tem estas dificuldades , você deverá calcular as componentes OX e 
OY das forças representadas a seguir. Os módulos das forças em todas as figuras são 
iguais a 10N. Cada uma das forças deverá ser projetada nos eixos indicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 (4 pontos) 
A figura a seguir mostra um menino puxando uma caixa. A massa da caixa é m. A massa da 
corda é desprezível. Despreze as forças que ar faz sobre a caixa. Considere a Terra como 
referencial inercial. A caixa permanece sobre o piso. Considere conhecidos o módulo T da 
força que a corda exerce sobre a caixa, o ângulo ! que a corda faz com a horizontal, os 
coeficientes atrito estático µ
e
 e cinético µ
c
entre a caixa e o piso e o módulo g da aceleração 
da gravidade. 
a) Inicialmente o menino puxa a caixa e ela permanece em repouso. Calcule neste caso os 
módulos da força normal e a força de atrito. 
b) Quando a caixa desliza sobre o piso, calcule o módulo da aceleração da caixa e o módulo 
da força normal. Expresse todas as forças que atuam sobre a caixa e a aceleração da caixa 
vetores unitários iˆ e jˆ representados na figura-2. em termos dos 
 
 
o
30o60
o
30
o
60
o
60
o
60
X
X
XX
YY
Y Y
O O
O O
iˆiˆ
iˆ iˆ
jˆ jˆ
jˆ jˆ
1
F
!
1
F
!
2
F
!
Figura 1-a Figura 1-b 
Figura 1-c Figura 1-d 
iˆ
Figura 2 jˆ
!
!
N +
!
P+
!
T +
!
fa =m
!a
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0,4 (0,1 para cada componente das 
 forças Normal e de atrito escritos 
 dessa maneira) 
0,5 (0,1 para cada componente) 
0,4 (0,2 para as componente das forças 
 Normal e de atrito determinadas 
 corretamente) 
0,7 
0,8 (0,1 para cada componente) 
Nx +Px +Tx + fax =m ax 
Ny +Py +Ty + fay =m ay 
 
c) Considere, inicialmente, que a caixa, mesmo sendo puxada, permanece em repouso. 
Sabendo que o módulo da força 
!
T exercida pela corda na caixa é igual a 70N, escreva 
as componentes nas direções x e y da força de atrito e da força normal. 
Nesse caso a força de atrito é estática. Temos que 
Nx = 0N; Ny = N; fax = ! fa ; fay = 0N;
Px = 0N; Py = !mg= !200N;
Tx = T cos(40°) " 53,6N; Ty = T sen(40°) " 45,0N ;
 
 
Nesse caso, tanto ax = 0 quanto 
! 
ay = 0. Então, do item b tiramos que 
 
 
d) Considere, agora, que, ainda com o módulo da força 
!
T igual a 70N, a caixa está se 
movendo com uma aceleração de intensidade a na direção horizontal. Escreva, para 
esta nova situação, as componentes nas direções x e y de todas as forças que agem 
sobre a caixa. 
Continuamos com 
Nx = 0N; Ny = N; fax = ! fa ; fay = 0N;
Px = 0N; Py = !mg= !200N;
Tx = T cos(40°) " 53,6N; Ty = T sen(40°) " 45,0N ;
 
Mas agora a força de atrito é cinética fa = µcN . Como 
! 
ay = 0, a equação que dá o 
valor de N = Ny não se altera 
 
 
 
 
e) Determine a intensidade da aceleração   a da caixa. 
Utilizando a equação do item b para a componente x e sabendo que 
! 
a
x
= a , temos 
que 
 
 
 
f) Escreva todas as forças que atuam sobre a caixa em termos dos vetores unitários iˆ e 
jˆ para o caso em que a caixa está se movendo. 
g) 
!
N = 155 jˆ( )N;
!
P = !200 jˆ( )N;
!
T = 53,6 iˆ + 45,0 jˆ( )N;
!
fa = ! 38,8 iˆ( )N 
 
 
 
 
 
Tx + fax = 0 ! fax = "Tx # "53,6N
Ny +Py +Ty = 0 ! Ny = "(Py +Ty ) =155N
Ny = N =155N
fax = !µcN = !0,25"155N=-38,8N
Tx + fax =max ! ax = a =
(Tx + fax )
m "
53,6#38,8
20 m/s
2 " 0, 74m/s2
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1,2 (0,3 para cada fase) 
0,5 
Questão 3 (2,5 pontos) 
a) Na tabela 6 estão listadas as latitudes (ϕ ) aproximadas das cidades do Rio de Janeiro e 
Berlim. A altura do Sol no Solstício de Inverno é dada por 
! 
hI = 90° " # " 23,5° e a 
altura do Sol no Solstício de Verão é dada por 
! 
hV = 90° " # + 23,5° . A insolação na 
superfície da Terra é dada por )(sen hII T= , onde TI é uma constante. 
Tabela 6 
Cidade 
Latitude 
ϕ [graus] 
Altura máxima do Sol 
no verão - vh [graus] 
Altura máxima do Sol 
no inverno - Ih [graus] 
IV II 
Rio de Janeiro -23,0° 90,5º 43,5º 1,45 
Berlim 52,5º 61,0º 14,0º 3,62 
 
 
i. Calcule Vh , Ih e a razão entre as insolações nos Solstícios de Verão e de 
Inverno
 
IV II para estas cidades e transfira para a tabela 6. 
ii. Considerando que as temperaturas destas cidades somente dependessem do 
calor recebido pelo Sol e utilizando as informações da tabela 6, conclua, 
justificando, em qual das duas cidades há mais diferenças nas variações das 
temperaturas médias no verão e no inverno. 
Da Tabela 6, vemos que arazão entre as insolações no verão e no inverno 
para a cidade do Rio de Janeiro e próximo de 1, o que significa que não há 
uma variação apreciável nas insolações durante o ano inteiro. Podemos 
concluir que não há grandes diferenças entre as estações na cidade do Rio 
de Janeiro. Já no caso de Berlim, a insolação no verão é quase 4 vezes 
maior no verão do que no inverno, o que significa que há uma grande 
diferença entre as estações em Berlim. 
 
b) Represente na figura 3 as posições da Lua em sua órbita nas suas fases cheia, quarta-
minguante, nova e quarto-crescente, deixando claro cada uma dessas fases. 
 
 
 
Figura 3 
Terra 
Órbita	
  da	
  Lua Raios	
  Solares 
Sentido	
  de	
  rotação 
Da	
  Lua	
  na	
  sua	
  
órbita
Lua	
  Cheia 
Lua	
  Quarto-­‐minguante 
Lua	
  Quarto-­‐crescente 
Lua	
  Nova 
0,8 (0,1 para cada h e 0,2 para cada razão)