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Incerteza numa medida experimental COMPLEMENTO 3 C E D E R J163 Incerteza numa medida experimental 7RGD�YH]�TXH�XP�H[SHULPHQWDGRU�UHDOL]D�XPD�PHGLGD��R�UHVXOWDGR�TXH�HOH�REWpP�QmR� é apenas um número. Essa medida possui unidades, e possui também o que chamamos de incerteza da medida, ou erro da medida. 8PD�PHGLGD�H[SHULPHQWDO�GHWHUPLQD�GD�PHOKRU�PDQHLUD�SRVVtYHO�XP�YDORU�GD� JUDQGH]D�ItVLFD�²�FXMR�YDORU�H[DWR�p�VHPSUH�GHVFRQKHFLGR��$�H[SUHVVmR�TXH�p�IRUQHFLGD� para o resultado da medida deve indicar esse fato, e isso é feito através da determinação da incerteza experimental. A incerteza em uma medida representa, entre outras, a impossibilidade de FRQVWUXomR�GH�LQVWUXPHQWRV�DEVROXWDPHQWH�SUHFLVRV�²�XPD�UpJXD�TXH�OHLD�ELOLRQpVLPRV�GH� centésimos de milímetro, ou menores – e de existência de observadores absolutamente H[DWRV��4XDQGR�WHPRV�XPD�UpJXD�HP�QRVVD�PmR��R�TXH�SRGHPRV�DÀUPDU�p�TXH�H[LVWH� XPD�UHJLmR��XPD�IDL[D�GH�YDORUHV dentre os quais o nosso resultado está. 8P�H[HPSOR�HVWi�DSUHVHQWDGR�QD�´ UpJXDµ�PRVWUDGD�QD�)LJXUD�&�����$�UpJXD�HVWi� GLYLGLGD�HP�XQLGDGHV��H�R�REMHWR�HVWi�PRVWUDGR��,PDJLQHPRV��LQLFLDOPHQWH��TXH�R�QRVVR� PpWRGR�GH�PHGLGD�VHMD�DEVROXWDPHQWH�FRUUHWR��,VVR�VLJQLÀFD�TXH�²�QHVWH�FDVR�²�QmR� QRV�HQJDQDPRV�QD�GHÀQLomR�GR�TXH�p�R�]HUR�GD�PHGLGD��H�TXH�DV�XQLGDGHV�IRUQHFLGDV� pelo fabricante são precisas. 4XDO�p��HP�XQLGDGHV�GD�UpJXD��R�FRPSULPHQWR�GHVWH�REMHWR" 3RGHPRV�DÀUPDU�´FRP�FHUWH]Dµ�TXH�R�YDORU�PHGLGR�HVWi�HQWUH���H���XQLGDGHV�� 0DLV�SURYDYHOPHQWH��HQWUH�����H���XQLGDGHV��,VVR�VLJQLÀFD�TXH�QmR�SRGHPRV�HVFUHYHU� ´R� UHVXOWDGR�YDOH� ����XQLGDGHVµ�²� LVVR� DEVROXWDPHQWH�QmR� HVWDULD� FRUUHWR��0DV�SR- GHPRV�GL]HU�´R�UHVXOWDGR�HVWi�HQWUH�����H����µ��H�H[SUHVVi�OR�FRPR�´��������µ��2X� WDOYH]�DOJR�FRPR�´��������µ��VH�WLYHUPRV�PXLWD�FRQÀDQoD�HP�QyV�PHVPRV�H�QD�UpJXD� apresentada. Assim, qualquer medida experimental representa uma IDL[D�GH�YDORUHV. Essa faixa é sempre expressa por um YDORU�FHQWUDO e por uma ODUJXUD�HP�WRUQR�GHVVD�IDL[D��H�XP� JUDX�GH�FRQÀDELOLGDGH da medida está naquela faixa. A existência dessa faixa não é um ´HUURµ��e�DOJR�LQWUtQVHFR�D�TXDOTXHU�SURFHVVR�GH�PHGLGD��H�GHFRUUH�GDV�OLPLWDo}HV�GR� equipamento utilizado, do método de medida escolhido e da habilidade e capacidade do experimentador. Figura C3.1 Incerteza numa medida experimental C E D E R J 164 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1CIÊNCIAS FÍSICAS 1 Podemos fazer uma estimativa simples para essa incerteza ou erro experimental no FDVR�GH�PHGLGDV�TXH�VmR�IHLWDV�GLUHWDPHQWH���FRPR�SDUD�R��WDPDQKR�PHGLGR�FRP�D�UpJXD� citado acima. O nosso processo de medida é comparar o comprimento do objeto com XP�SDGUmR��IRUQHFLGR�SHOD�UpJXD��(�LVVR�VLJQLÀFD�GHWHUPLQDU�QD�UpJXD�RV�GRLV�H[WUHPRV� TXH�FRUUHVSRQGHP�DR�´LQtFLRµ�H�DR�´ÀQDOµ�GR�REMHWR�FXMR�FRPSULPHQWR�TXHUHPRV� PHGLU��2�FRPSULPHQWR�p�D�GLIHUHQoD�HQWUH�HVVDV�GXDV�GHWHUPLQDo}HV��RX�HQWmR�D�OHLWXUD� GLUHWD�QD�UpJXD�GR�´ÀQDOµ�VH�FRORFDPRV�R�]HUR�GD�UpJXD�QR�´LQtFLRµ��GH�QRVVR�REMHWR�� 4XDOTXHU�IDEULFDQWH�GH�XP�LQVWUXPHQWR�GH�PHGLGD�GLYLGH�VHX�LQVWUXPHQWR�GD�PHOKRU� PDQHLUD�TXH�SRGH��$VVLP��VH�HOH�QmR�ID]�VXEGLYLV}HV�DOpP�GR�PLOtPHWUR�QXPD�UpJXD�p� porque seu instrumento não pode fazer corretamente leituras inferiores ao milímetro. 3RUWDQWR��XPD�ERD�UHJUD�LQLFLDO�p�REVHUYDU�D�IDL[D�GHÀQLGD�SHOR�IDEULFDQWH��9HMDPRV�R� H[HPSOR�DVVRFLDGR�j�PHGLGD�GR�WDPDQKR�GD�EDUUD�GD�)LJXUD�&���� 8PD�OHLWXUD�UD]RiYHO�GD�UpJXD�SDUD�GHVFUHYHU�R�WDPDQKR�GD�EDUUD�GD�)LJXUD����� VHULD�XP�YDORU�HQWUH������H������FP��HVVD�UpJXD�ID]�OHLWXUDV�HP�FHQWtPHWURV���(VFUHYH- ríamos o tamanho do objeto então como WDPDQKR�GR�REMHWR� �������������FP Com essa expressão, estamos indicando que o nosso valor está dentro da IDL[D FRP�YDORU�FHQWUDO������FP�H�ODUJXUD������²�R��´HUUR�H[SHULPHQWDOµ� 2V� ItVLFRV� H[SHULPHQWDLV� FRQYHQFLRQDP�TXH�� VRE� DV� FRQGLo}HV�PDLV�XVXDLV�GH� UHDOL]DomR�GH�PHGLGDV��D�ODUJXUD�H[SUHVVD�XP�JUDX�GH�FRQÀDQoD�GH�FHUFD�GH�����²�LVWR� p��D�SUREDELOLGDGH�GH�TXH�R�UHVXOWDGR�ÀTXH�QD�IDL[D�FRQVLGHUDGD���HQWUH�R�YDORU�FHQWUDO� PDLV�D�ODUJXUD�H�R�YDORU�FHQWUDO�PHQRV�D�ODUJXUD���p�GH������(�WDPEpP�TXH�Ki�������GH� SUREDELOLGDGH�GH�R�UHVXOWDGR�VHPSUH�HVWDU�QD�IDL[D�GHÀQLGD�SRU�WUrV�YH]HV�D�ODUJXUD� Esse assunto será bastante explorado em disciplinas posteriores, e envolve FRQFHLWRV�HVWDWtVWLFRV��6XJHULPRV�D�OHLWXUD�GR�WH[WR�GH�9XROR1 citado como referência caso haja o desejo de aprofundamento no assunto. Figura C3.2 1 José Henrique Vuolo, )XQGDPHQWRV�GD�7HRULD�GH�(UURV. Incerteza numa medida experimental COMPLEMENTO 3 C E D E R J165 No caso de medidas indiretas, isto é, medidas que não são feitas diretamente a partir de uma leitura de um instrumento, como por exemplo o perímetro ou a área GR�REMHWR�DFLPD��WHPRV�XP�FRQMXQWR�GH�UHJUDV�SDUD�FDOFXODU�HVVDV�LQFHUWH]DV�²�R�TXH� chamamos de FiOFXOR�GD�SURSDJDomR�GRV�HUURV��9RFr�HVWXGDUi�HVVDV�UHJUDV�H�VXDV�MXVWLÀFDWLYDV� HP�FXUVRV�SRVWHULRUHV��DTXL�LQGLFDUHPRV�VHPSUH�FRPR�SURFHGHU�SDUD�ID]HU�XP�FiOFXOR�� pelo menos estimado, dessa incerteza, ou melhor, da IDL[D�GH�YDORUHV em que temos uma FRQÀDQoD���GH�����²�SRGHPRV�SRU�HQTXDQWR�´DUUHGRQGDU�SDUD�FLPDµ��SHQVDQGR��HP� ������GH�HQFRQWUDU�R�QRVVR�UHVXOWDGR� A questão da incerteza na medida nos remete a um outro assunto, meio espinhoso – DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��7UDGX]LQGR��DR�GHWHUPLQDU�XPD�YHORFLGDGH�D�SDUWLU�GD� medida da distância percorrida e do tempo decorrido, GLVWkQFLD�SHUFRUULGD� ����������P WHPSR�GHFRUULGR� ����������V obtemos YHORFLGDGH� ��������������� 2QGH�SDUDU"��2QGH�DSUR[LPDU"��'HYHPRV�HVFUHYHU�����RX������RX�������RX���"��6H� QmR�VDEHPRV�ID]HU�D�FKDPDGD�´ SURSDJDomR�GR�HUURµ��HVVD�SHUJXQWD�p�GH�GLItFLO�UHVSRVWD�� 6H�D�SURSDJDomR�IRU�HVWLPDGD��H�WRPDUPRV�D�LQFHUWH]D�FRP�XP�~QLFR�DOJDULVPR��REWHPRV� para a velocidade YHORFLGDGH� ������������������������P�V Ou seja, se aceitamos a idéia de faixa de valores, é claro que o resultado que melhor expressa a velocidade é YHORFLGDGH� ����������P�V 6y� ID]� VHQWLGR� HQWmR� H[SUHVVDU� D� YHORFLGDGH� FRP�GRLV� DOJDULVPRV� ²� Vy� GRLV� DOJDULVPRV�´ WrP�VLJQLÀFDGRµ��LVWR�p��VmR�VLJQLÀFDWLYRV��$�LQFOXVmR�GH�RXWURV�DOJDULVPRV� SHUGH�R�VHQWLGR��SRLV�R�VHJXQGR�²�R���²�Mi�p�LQFHUWR��R�UHVXOWDGR�HVWi�QD�IDL[D�HQWUH����� H������7DPEpP�D�PHGLGD�GD�GLVWkQFLD�Vy�WHP�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��D�IDL[D�GH� YDORUHV�p�HQWUH�����H�����P��H�D�PHGLGD�GR�WHPSR�GHFRUULGR�FRUUHVSRQGH�j�IDL[D�HQWUH����� H�����V��$V�GXDV�PHGLGDV�RULJLQDLV�SRVVXHP�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�²�UD]RDYHOPHQWH� R�UHVXOWDGR�GD�GLYLVmR�GDV�GXDV�WDPEpP�Vy�Gi�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV� Assim, passamos a entender que todas as vezes que dizemos que um resultado ´YDOH����µ�R�TXH�TXHUHPRV�GL]HU�p�TXH�R�~OWLPR�DOJDULVPR�´p�GXYLGRVRµ��LVWR�p��WHPRV� XPD�IDL[D�GH�YDORUHV�HVWLPDGD�HQWUH�����H������SRGHULD�DWp�VHU�PDLRU���(�Dt�GL]HPRV�TXH� QRVVR�UHVXOWDGR�SRVVXL�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��VH�HVFUHYrVVHPRV�������D�IDL[D� FRUUHVSRQGHULD�D������H������²�H�LVVR�p�FRPSOHWDPHQWH�GLIHUHQWH� Incerteza numa medida experimental C E D E R J 166 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1CIÊNCIAS FÍSICAS 1 6H�UHÁHWLUPRV�SRU�XP�LQVWDQWH�VREUH�HVVHV�FRQFHLWRV��YHPRV�TXH�HOHV�WrP�PDLV� OyJLFD�GR�TXH�SDUHFH��$�LGpLD�SULQFLSDO� p�TXH�DR� UHDOL]DUPRV�XPD�PHGLGD� H[SHULPHQWDO�QmR� GHWHUPLQDPRV�XP�YDORU�H[DWR��H�VLP�XPD�IDL[D�GH�YDORUHV��FRP�FRQYHQo}HV�D�UHVSHLWR�GR�VLJ- QLÀFDGR�GH�FDGD�XP�GRV�HOHPHQWRV�TXH�FRPS}HP�HVVD�IDL[D���3RUWDQWR��TXDOTXHU�TXH� VHMD�D�IRUPD�TXH�HVFROKHPRV�SDUD�H[SUHVVDU�HVVH�YDORU��D�IRUPD�UHSUHVHQWD�HVVD�IDL[D��6H� HVFROKHUPRV�D�QRWDomR�PDLV�XVDGD�������������HVWDPRV��LQIRUPDQGR�GH�PDQHLUD�FODUD�H� LQHTXtYRFD�R�TXH�TXHUHPRV��6H�HVFROKHUPRV�Vy�IRUQHFHU�R�YDORU�����D�LQIRUPDomR�HVWi� um pouco mais escondida, mas ainda está lá. Arredondamento de dados 2�Q~PHUR�GH�DOJDULVPRV�TXH�GHYHP�DSDUHFHU�HP�XP�UHVXOWDGR�H[SHULPHQWDO�depende da incerteza neste resultado. Precisamos saber, então, como devemos escrever a incerteza de uma medida. 1mR�Ki�XPD�UHJUD�PXLWR�EHP�GHÀQLGD�SDUD�R�Q~PHUR�GH�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWL- YRV�TXH�GHYHP�VHU�LQGLFDGRV�QD�LQFHUWH]D�GH�XP�UHVXOWDGR�H[SHULPHQWDO��*HUDOPHQWH� VmR�XVDGRV�XP�RX�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��1R�FDVR�GD�LQFHUWH]D�FRPHoDU�SHORV� DOJDULVPRV���RX����D�LQFHUWH]D�GHYH�WHU�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV��QRV�RXWURV�FDVRV� D�LQFHUWH]D�SRGH�VHU�GDGD�SRU�XP�RX�GRLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�� Por uma questão de simplicidade vamos utilizar sempre a incerteza com XP��DOJDULVPR�VLJQLÀFDWLYR��9HMD�RV�H[HPSORV�D�VHJXLU�� Valores da incerteza obtidos na máquina de calcular Valores da incerteza aproximados FRP���DOJDULVPR�VLJQLÀFDWLYR ������� ���� ������� ���� ������ ���� ����� ���� ������ ��� 1,25 1 Incerteza numa medida experimental COMPLEMENTO 3 C E D E R J167 2V�YDORUHV�GDV�LQFHUWH]DV�DSUR[LPDGRV�IRUDP�REWLGRV�XWLOL]DQGR�VH�DV�VHJXLQWHV� UHJUDV�GH�DUUHGRQGDPHQWR�� �6H�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�DR�VLJQLÀFDWLYR�IRU�PDLRU�GR�TXH���R�VLJQLÀFDWLYR�DX- menta de 1. �6H�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�DR�VLJQLÀFDWLYR� IRU�PHQRU�GR�TXH���R�VLJQLÀFDWLYR�p� PDQWLGR�]HUR�YRFr�DXPHQWD�R�VLJQLÀFDWLYR�GH���� �6RPHQWH�QR�FDVR�HP�TXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�IRU���RX���VHJXLGRV�GH�]HUR�p�TXH� VH�ID]�XPD�UHJUD�HVWDWtVWLFD��6H�R�VLJQLÀFDWLYR�IRU�SDU�HOH�p�PDQWLGR�H�VH�IRU�tPSDU�HOH� aumenta de 1 . 9HMD�RV�H[HPSORV�GH�DUUHGRQGDPHQWRV�GH�RXWURV�YDORUHV�XVDQGR�DV�UHJUDV�DFLPD� PDV�XWLOL]DQGR�PDLV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV� ���4��DUUHGRQGDQGR�R���Gi�����SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH�D�HOH�p���TXH�p�PHQRU� do que 5. ����8��DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�FHQWpVLPR�Gi������SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH� p���TXH�p�PDLRU�GR�TXH��� ���6����DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�GpFLPR�Gi�����SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH� a ele é 4 que é menor do que 5. ���6����DUUHGRQGDQGR�R����GD�FDVD�GR�GpFLPR�Gi�����SRUTXH�R�Q~PHUR�VHJXLQWH� DR�VLJQLÀFDWLYR�p���VHJXLGR�GH�RXWURV�Q~PHURV�GLIHUHQWHV�GH�]HUR� ���6����DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�GpFLPR�Gi�����SRUTXH�WHPRV������DSyV�R� Q~PHUR����H���p�SDU� ���7����DUUHGRQGDGR�R���GD�FDVD�GRV�GpFLPRV�Gi�����SRUTXH�WHPRV�����DSyV�R� Q~PHUR���H���p�LPSDU� ����7��DUUHGRQGDQGR���GD�FDVD�GR�FHQWpVLPR�Gi������SRUTXH�WHPRV�DSHQDV��� DSyV�R���H����p�tPSDU� ����2��DUUHGRQGDQGR�R���GD�FDVD�GR�FHQWpVLPR�Gi������SRUTXH�WHPRV�DSHQDV��� após o 2 e 2 é par. Incerteza numa medida experimental C E D E R J 168 INTRODUÇÃO ÀS CIÊNCIAS FÍSICAS 1CIÊNCIAS FÍSICAS 1 9DPRV�XWLOL]DU�R�H[SHULPHQWR���GR�0yGXOR���SDUD�H[HPSOLÀFDU como os dados de um experimento devem ser arredondados em ICF1. 7DEHOD�� D�>FP@ GD�>FP@ E�>FP@ GE�>FP@ G�>FP@ GG�>FP@ ���� ��� ���� ��� ���� ���� 3DUD�HVFUHYHU�R�YDORU�GH�XPD�JUDQGH]D�FRP�R�Q~PHUR�GH�DOJDULVPRV�VLJQLÀFD- WLYRV�FRUUHWRV�p�QHFHVViULR�FRQKHFHU�R�YDORU�GD�VXD�LQFHUWH]D�H�DUUHGRQGDU�D�JUDQGH]D� na mesma casa em que foi arredondada a incerteza. Observe que o arredondamento GDV�PHGLGDV�GLUHWDV�UHSUHVHQWDGDV�QD�7DEHOD���IRUDP�UHDOL]DGRV�QDV�PHVPDV�FDVDV�GH�� suas incertezas. 3RU�H[HPSOR��R�DUUHGRQGDPHQWR�QD�LQFHUWH]D�ƤE�HVWi�QD�FDVD�GH� décimo do centímetro e arredondamento no valor de b também está na casa GR�GpFLPR�GR�FHQWtPHWUR��2�DUUHGRQGDPHQWR�QD�LQFHUWH]D��ƤG�HVWi�QD�FDVD�GR� centésimo do centímetro e o arredondamento na incerteza em d está na casa GR�FHQWpVLPR�GR�FHQWtPHWUR�� Por isto, para se escrever o valor de L no experimento 1 é necessário calcular a incerteza em L�H�DUUHGRQGD�OD�FRP�DSHQDV���DOJDULVPR�VLJQLÀFDWLYR��$�VHJXLU�GHYH�VH� arredondar o valor de L�GH�DFRUGR�FRP�R�DUUHGRQGDPHQWR�GH�VXD�LQFHUWH]D��1D�7DEHOD� ��IRUDP�FRORFDGRV�DOJXQV�YDORUHV�REWLGRV�QR�H[SHULPHQWR���FRP�D�FDOFXODGRUD��1D� 7DEHOD���RV�YDORUHV�GH�L e da incerteza em L (GL��IRUDP�DUUHGRQGDGRV�� 7DEHOD�� /�>FP@ L PDQ �>FP@ Lmin�>FP@ G/�>FP@ ��������� ������������ �������« ����������� 7DEHOD�� /�>FP@ G/�>FP@ ��� ��� Incerteza numa medida experimental COMPLEMENTO 3 C E D E R J169 2EVHUYH�TXH�QD�DSUR[LPDomR�RV�DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�GD�LQFHUWH]D�HP�/�H�GH� G/�VmR�GLIHUHQWHV��HP�/�WHPRV���DOJDULVPRV�VLJQLÀFDWLYRV�H�HP�G/�WHPRV���DOJDULVPR� VLJQLÀFDWLYR��0DV�RV�GRLV�YDORUHV�VmR�HVFULWRV�VRPHQWH�DWp�R�GpFLPR�GH�FHQWtPHWUR� Referência José Henrique Vuolo, )XQGDPHQWRV�GD�7HRULD�GH�(UURV��(GLWRUD�(GJDUG�%OFKHU�/WGD�
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