Calculo 2 - Apostila Beto

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Ca´lculo II
Beto Rober Bautista Saavedra
Juazeiro, 02/03/2009
1
.
0. Me´todos de Integrac¸a˜o
.
• Me´todo das Frac¸o˜es Parciais.
• Me´todo da Substituic¸a˜o Trigonome´trica.
Me´todo das Frac¸o˜es Parciais.
Esta te´cnica nos ensina como integrar func¸~oes racionais pro´prias . Ela e´ baseada
na ide´a de decompor uma func¸~ao racional em uma soma de func¸~oes racionais
mais simples, que possam ser integrados pelos me´todos ja estudados, como
descreveremos a seguir :
• Seja a func¸~ao racional pro´pria f(x)
g(x)
. Isto e´, o grau do polino^mio com coeficientes
reais f(x) e´ menor que o grau do polino^mio com coeficientes reais g(x).
• Escrevemos g(x) como um produto de fatores reais lineares e fatores reais quadra´ticos.Na
teoria geral da A´lgebra, isto sempre e´ possivel. Na pra´tica, pode ser difı´cil
encontrar esses fatores.
• Seja px−q um fator linear de g(x). Suponha que (px−q)m seja a maior pote^ncia
de px− q que divide g(x). Ent~ao , atribua a esse fator a soma de m frac¸~oes
parciais:
A1
px− q +
A2
(px− q)2 + · · ·+
A2
(px− q)m .
Fac¸a isso para cada fator linear distinto de g(x).
• Seja px2 + qx+ r um fator quadra´tico de g(x). Suponha que (px2 + qx+ r)n seja a
maior pote^ncia desse fator que divide g(x). Ent~ao atribua a esse fator a soma
de n frac¸~oes parciais:
B1x + C1
(px2 + qx + r)
+
B2x + C2
(px2 + qx + r)2
+ · · ·+ Bnx + Cn
(px2 + qx + r)n
Fac¸a isso para cada fator quadra´tico distinto de g(x) que n~ao pode ser decomposto
como produto de fatores lineares com coeficientes reais.
2
• Iguale a frac¸~ao original f(x)
g(x)
a` soma de todas essas frac¸~oes parciais.E, multiplique
a ambos os lados da equ¨ac¸~ao por g(x). Logo, organize os termos, de um lado da
equ¨ac¸~ao resultante, em pote^ncias decrescentes de x.
• Iguale os coeficientes das pote^ncias correspondentes de x e resolva o sistema
de equac¸~oes obtido desse modo para encontrar os coeficientes indeterminados.
Assim, nosso problema de integrar frac¸~oes parciais pro´prias se reduz principalmente
a encontrar os coeficientes Ai, Bj , Ck, que a priori sabemos existem.
3
.
0.1 Exerc´ıcios.
• Decomponha os quocientes dos exercı´cios 1-8 em frac¸~oes parciais.
1.
5x− 13
(x− 3)(x− 2) 2.
5x− 7
x2 − 3x + 2 3.
x + 4
(x + 1)2
4.
2x + 2
x2 − 2x + 1 5.
z + 1
z2(z − 1)
6.
z
z3 − z2 − 6z 7.
t2 + 8
t2 − 5t + 6 8.
t4 + 9
t4 + 9t2
• Ca´lcule as integrais dos exercı´cios 9-27
9.
∫
dx
1− x2 10.
∫
dx
x2 + 2x
11.
∫
dt
t3 + t2 − 2t 12.
∫ 1
1
2
y + 4
y2 + y
dy
13.
∫ 1
0
x3dx
x2 + 2x + 1
14.
∫ 0
−1
x3dx
x2 − 2x + 1 15.
∫
dt
(t2 − 1)2 16.
∫
x2dx
(x− 1)(x2 + 2x + 1)
17.
∫ 1
0
dx
(x + 1)(x2 + 1)
18.
∫ √3
1
3t2 + t + 4
t3 + t
dt 19.
∫
8x2 + 8x + 2
(4x2 + 1)2
dx 20.
∫
s4 + 81
s(s2 + 9)
21.
∫
2x3 − 2x2 + 1
x2 − x dx 22.
∫
9t3 − 3t + 1
t3 − t2 dt 23.
∫
x4
x2 − 1dx 24.
∫
s4 + s2 − 1
s3 + s
25.
∫
etdt
e2t + 3et + 2
26.
∫
senθdθ
cos2θ + 3cosθ − 2 27.
∫
(x + 1)2arctg(3x) + 9x3 + x
(9x2 + 1)(x + 1)2
dx
.
28.
∫
(x− 1)4
x2 + 1
29.
∫
x2(x− 1)4
x2 + 1
30.
∫
x4(x− 1)4
x2 + 1
.
• A aproximac¸~ao 227 ≈ pi e´ razoa´vel ? Descubra isso expressando ( 227 − pi) como
porcentagem de pi. Ver o exercı´cio 30.
4
Me´todo da Substituic¸a˜o Trigonome´trica.
Na tabela a seguir listamos substituic¸o˜es trigonome´tricas que sa˜o posivelmente eficazes, para as
expresso˜es radicais que envolvem
√
a2 − x2, √a2 + x2, √x2 − a2, por causa de certas identidades
trigonome´tricas. Em cada caso a restric¸a˜o de θ e´ imposta para assegurar que a func¸a˜o que define
a substituic¸a˜o seja um a um.
.
Tabela de Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
.
Express~ao Substituic¸~ao Identidade
√
a2 − x2 x = a.sen θ, −pi2 ≤ θ ≤ pi2 1− sen2 θ = cosθ
√
a2 + x2 x = a.tgθ, −pi2 ≤ θ ≤ pi2 1 + tg2 θ = sec2θ
√
x2 − a2 x = a.sec θ, 0 ≤ θ ≤ pi2 ou pi ≤ θ < 3pi2 1 + tg2 θ = sec2 θ
5
.
0.2 Exerc´ıcios
1. Calcule a primitiva de
∫ √
9− x2
x2
dx
2. Encontre a a´rea limitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
3. Calcule a primitiva de
a)
∫
1
x2
√
x2 − 9dx b)
∫
x3
√
9− x2dx c)
∫ 2√3
0
x3√
16− x2 dx d)
∫
x
(x2 + 4)
5
2
dx
e)
∫ √
1− 4x2dx f)
∫
x
√
25 + x2dx g)
∫ 3
0
x
√
9− x2dx h)
∫
x2
√
4x− x2dx
i)
∫
et
√
e2t − 9dt j)
∫ √
e2t − 9dt
4. A substituic¸a˜o z = tg( z2 ) reduz o problema de integrar uma expressa˜o racional de
sen(x) e cos(x) ao problema de integrar uma func¸a˜o racional de z :
(a) Provar que tg(x2 ) =
sen(x)
1+cos(x) , cos(x) =
1−z2
1+z2 , sen(x) =
2z
1+z2 e dx =
2dz
1+z2 .
(b) Calcular
∫
dx
1+sen(x)+cos(x)
(c) Calcular
∫ 2pi
3
pi
2
cos(θ)dθ
sen(θ)cos(θ)+sen(θ)
(c) Calcular
∫
sec(x)dx
(d) Calcular
∫
cosec(θ)dθ.
.
6
.
1. Integrais Impro´prias
• Limites Infinitos de Integrac¸a˜o .
• A Integral
∫ ∞
1
1
xp
dx.
• Integrandos com Descontinuidades Infinitas.
• Testes para Convergeˆncia e Divergeˆncia.
Na definic¸a˜o da integral definida
∫ b
a
f(x)dx trabalhamos com uma func¸a˜o cont´ınua f definida num
intervalo limitado [a, b]. Neste cap´ıtulo estendemos o conceito de integral definida para o caso onde o
intervalo e´ infinito e tambe´m para o caso onde f tem um nu´mero finito de descontinuidades.
Limites Infinitos de Integrac¸a˜o .
.
1.1 Definic¸a˜o . Integrais Impro´prias com Limites de Integrac¸a˜o Infi-
nitos
Integrais com limites infinitos de integrac¸a˜o sa˜o Integrais Impro´prias.
1. Se f(x) e´ cont´ınua em [a,+∞), enta˜o∫ +∞
a
f(x)dx = lim
t→+∞
∫ t
a
f(x)dx.
2. Se f(x) e´ cont´ınua em (−∞, b], enta˜o∫ b
−∞
f(x)dx = lim
t→−∞
∫ b
t
f(x)dx.
3. Se f(x) e´ cont´ınua em (−∞,+∞), , enta˜o definimos∫ +∞
−∞
f(x)dx =
∫ a
−∞
f(x)dx +
∫ +∞
a
f(x)dx
onde a e´ qualquer nu´mero real.
.
7
z Nas partes 1 e 2, se o limite for finito, a integral impro´pria converge e o limite e´ o valor da integral
impro´pria. Se o limite na˜o existe, a integral impro´pria diverge. Na parte 3, a integral do lado
esquerdo da equac¸a˜o converge se as duas integrais do lado direito tambe´m sa˜o convergentes; se
na˜o , a integral diverge.
z Qualquer uma das integrais impro´prias anteriores pode ser interpretado como uma a´rea, desde que
f seja uma func¸a˜o positiva.
A Integral
∫
+∞
1
1
xp
dx.
A func¸a˜o y = 1
x
e´ a fronteira entre as integrais convergentes e divergentes impro´prias com
integrandos da forma y = 1
xp
. O seguinte teorema explica.
.
1.2 Teorema. A integral
∫ +∞
1
1
xp
dx =


1
p− 1 , se p > 1 ;
+∞, se p ≤ 1 .
8
Integrandos com Descontinuidades Infinitas.
Outro tipo de integral impro´pria aparece quando o integrando tem uma ass´ıntota vertical
- Descontinuidade Infinita - em um limite da integrac¸a˜o ou em algum ponto entre os limites da
integrac¸a˜o .
.
1.3 Definic¸a˜o . Integrais Impro´prias com Descontinuidades Infinitas
1. Se f(x) e´ cont´ınua em (a, b], e tem uma ass´ıntota vertical em x = a, enta˜o∫ b
a
f(x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx.
2. Se f(x) e´ cont´ınua em [a, b), e tem uma ass´ıntota vertical em x = b, enta˜o∫ b
a
f(x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx.
3. Se f e´ cont´ınua em [a, b]− {c}, onde a < c < b, e tem ass´ıntota em x = c, enta˜o∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx +
∫ b
c
f(x)dx
.
z Nas partes 1 e 2, se o limite for finito, a integral impro´pria converge e o limite e´ o valor da integral
impro´pria. Se o limite na˜o existe, a integral impro´pria diverge. Na parte 3, a integral do lado
esquerdo da equac¸a˜o converge se as duas integraisdo lado direito tambe´m sa˜o convergentes; se
na˜o , a integral diverge.
.
1.4 Exerc´ıcio.
Encontre os valores de p para os quais a integral abaixo converge e calcule a integral para
esses valores de p.
. ∫ 1
0
xpln(x)dx
Testes para Convergeˆncia e Divergeˆncia.
Algumas vezes e´ impos´ıvel encontrar o valor exato de uma integral impro´pria, mas ainda assim e´
importante saber se ela e´ convergente ou divergente. Se a integral diverge, acabou a historia. Se ela
9
converge, podemos enta˜o utilizar me´todos nume´ricos para ter seu valor aproximado. Os principais testes
para convergeˆncia ou divergeˆncia sa˜o o Teste de Comparac¸a˜o e o Teste de Comparac¸a˜o no Limite.
.
1.5 Teorema. Teste de Comparac¸a˜o
a. Sejam f e g cont´ınuas em [a,+∞) com 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x ≥ a. Enta˜o
1.
∫ +∞
a
f(x)dx converge se
∫ +∞
a
g(x)dx converge
2.
∫ +∞
a
g(x)dx diverge se
∫ +∞
a
f(x)dx diverge
b. Sejam f e g cont´ınuas em (−∞, b] com 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x ≤ b. Enta˜o
1.
∫ b
−∞
f(x)dx converge se
∫ b
−∞
g(x)dx converge
2.
∫ b
−∞
g(x)dx diverge se
∫ b
−∞
f(x)dx diverge
c. Sejam f e g cont´ınuas em (a, b] que teˆm ass´ıntota em x = a tal que 0 ≤ f(x) ≤
g(x) para qualquer a < x ≤ b. Enta˜o
1.
∫ b
a
f(x)dx converge se
∫ b
a
g(x)dx converge
2.
∫ b
a
g(x)dx diverge se
∫ b
a
f(x)dx diverge
d. Sejam f e g cont´ınuas em [a, b) que teˆm ass´ıntota em x = b tal que 0 ≤ f(x) ≤
g(x) para qualquer a ≤ x < b. Enta˜o
1.
∫ b
a
f(x)dx converge se
∫ b
a
g(x)dx converge
2.
∫ b
a
g(x)dx diverge se
∫ b
a
f(x)dx diverge
.
10
.
1.6 Teorema. Teste de Comparac¸a˜o no Limite
a. Se as func¸o˜es positivas f e g sa˜o cont´ınuas em [a,+∞) e se
lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= L, 0 < L < ∞,
enta˜o ∫ +∞
a
f(x)dx e
∫ +∞
a
g(x)dx
sa˜o ambas convergentes ou ambas divergentes.
b. Se as func¸o˜es positivas f e g sa˜o cont´ınuas em (−∞, b] e se
lim
x→−∞
f(x)
g(x)
= L, 0 < L < ∞,
enta˜o ∫ b
−∞
f(x)dx e
∫ b
−∞
g(x)dx
sa˜o ambas convergentes ou ambas divergentes.
c. Se as func¸o˜es positivas f e g sa˜o cont´ınuas em (a, b] e se
lim
x→a+
f(x)
g(x)
= L, 0 < L < ∞,
enta˜o ∫ b
a
f(x)dx e
∫ b
a
g(x)dx
sa˜o ambas convergentes ou ambas divergentes.
d. Se as func¸o˜es positivas f e g sa˜o cont´ınuas em [a, b) e se
lim
x→b−
f(x)
g(x)
= L, 0 < L < ∞,
enta˜o ∫ b
a
f(x)dx e
∫ b
a
g(x)dx
sa˜o ambas convergentes ou ambas divergentes.
.
11
.
1.7 Exerc´ıcios.
1. Explique porque cada uma das seguintes integrais e´ impro´pria.
a)
∫ +∞
1
x4e−x
4
dx b)
∫ pi
2
0
sec(x)dx c)
∫ 2
0
x
x2 − 5x + 6
2. Quais das seguintes integrais e´ impro´pria ? Porque ?
a)
∫ 2
1
1
2x− 1dx b)
∫ 1
0
1
2x− 1dx c)
∫ +∞
−∞
sen(x)
1 + x2
dx
3. Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Avalie aquelas que sa˜o conver-
gentes.
a)
∫ +∞
1
1
(3x + 1)2
dx b)
∫ 0
−∞
1
2x− 5dx c)
∫ +∞
−∞
x3dx
d)
∫ +∞
0
e−xdx e)
∫ −1
−∞
e−2tdx f)
∫ +∞
−∞
x2e−x
3
dx
4. Esboce a regia˜o e encontre sua a´rea ( se a a´rea e´ finita).
a. R = {(x, y)/x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex}
b. R = {(x, y)/x ≥ −2, 0 ≤ y ≤ ex2}
c. R = {(x, y)/x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1√
x+1
}
5. Use o teorema da Comparac¸a˜o para determinar se a integral e´ convergente ou divergente.
a.
∫ ∞
1
cos2(x)
1 + x2
b.
∫ +∞
t
1√
x3 + 1
c.
∫ ∞
1
dx
x + e2x
d.
∫ +∞
1
√
1 +
√
x√
x
e.
∫ 1
0
e−x√
x
f.
∫ pi
2
0
dx
xsen(x)
6. A integral ∫ ∞
0
1√
x(1 + x)
e´ impro´pria por duas razo˜es: o intervalo [0,+∞) e´ infinito, e o integrando tem des-
continuidade em 0. Avalie-a expressando-a como a seguir∫ ∞
0
1√
x(1 + x)
=
∫ 1
0
1√
x(1 + x)
+
∫ +∞
1
1√
x(1 + x)
.
12
.
2 Aplicac¸o˜es da Integral Definida
.
• Ca´lculo Volumes por Fatiamento.
• Ca´lculo do Volumes de Solidos de Revoluc¸a˜o .
• Me´todo da Casca Cil´ındrica.
• Comprimento de Curvas Planas
• Areas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o .
.
Figura 2A
Ca´lculo de Volumes por Fatiamento.
Seja o so´lido S como o da figura 2A. A secc¸a˜o transversal do so´lido em cada ponto x no
intervalo [a, b] e´ uma regia˜o R(x) de a´rea A(x). Se A for uma func¸a˜o cont´ınua de x, poderemos
usa´-la para definir e calcular o volume do so´lido como uma integral, da maneira a seguir.
13
.
2.1 Definic¸a˜o . Volume de um so´lido
O volume de um so´lido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja a´rea da secc¸a˜o
transversal por x e´ uma func¸a˜o integra´vel de a a b de A,
V =
∫ b
a
A(x)dx
Para aplicarmos essa fo´rmula, procedemos da maneira a seguir.
.
2.2 Como Calcular o Volume pelo Me´todo do Fatiamento
Passo 1. Esboce o so´lido e uma secc¸a˜o tranversal t´ıpica.
Passo 2. Encontre uma fo´rmula para A(x).
Passo 3. Encontre os limites de integrac¸a˜o .
Passo 4. Integre A(x) para determinar o volume.
.
2.3 Exerc´ıcios.
1. Uma piraˆmide com 3 m. de altura tem uma base quadrada com 3 m. de lado. A
secc¸a˜o tansversal da piraˆmide, perpendicular a` altura x m abaixo do ve´rtice, e´ um
quadrado com x m. de lado. Determine o volume da piraˆmide.
2. Uma cunha foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um
deles e´ perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um
aˆngulo de 450 no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.
.
14
Ca´lculo de Volumes de Solidos de Revoluc¸a˜o .
.
2.4 Teorema. Um So´lido de Revoluc¸a˜o ( Rotac¸a˜o em torno do Eixo X )
Seja S o so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o entre a curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, e o eixo X em
torno do eixo X. O volume de S e´ dado pela fo´rmula
V =
∫ b
a
pi[f(x)]2dx
.
2.5 Teorema. Um So´lido de Revoluc¸a˜o ( Rotac¸a˜o em torno da reta y = c )
Seja S o so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o entre a curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, e o eixo
y = c em torno do eixo y = c. O volume de S e´ dado pela fo´rmula
V =
∫ b
a
pi[f(x)− c]2dx
.
2.6 Teorema. Um So´lido de Revoluc¸a˜o ( Rotac¸a˜o em torno do Eixo Y )
Seja S o so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o da curva x = f(y), a ≤ y ≤ b, e o eixo Y em
torno do eixo Y. O volume de S e´ dado pela fo´rmula
V =
∫ b
a
pi[f(y)]2dy
.
2.7 Teorema. Um So´lido de Revoluc¸a˜o ( Rotac¸a˜o em torno do Eixo x = c )
Seja S o so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o entre a curva x = f(y), a ≤ y ≤ b, e o eixo
x = c em torno do eixo x = c. O volume de S e´ dado pela fo´rmula
V =
∫ b
a
pi[f(y)− c]2dy
15
.
2.8 Exerc´ıcios.
1. Determine o volume do so´lido com a rotac¸a˜o , em torno da reta y = 1, da regia˜o definida
por y =
√
x e pelas retas y = 1 e x = 4.
2. Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o , em torno da reta x = 3, da regia˜o
compreendida entre a para´bola x = y2 + 1 e a reta x = 3.
.
Me´todo da Casca Cil´ındrica.
Ha´ uma outra maneira de determinar o volume dos so´lidos de revoluc¸a˜o , que pode ser u´til
quando o eixo de revoluc¸a˜o e´ perpendicular ao eixo que conte´m o intervalo natural de integrac¸a˜o .
Esta maneira e´ o Me´todo das Cascas Cil´ındricas que nos mune da seguintes fo´rmulas.
.
2.9 Teorema. Um So´lido de Revoluc¸a˜o ( Rotac¸a˜o em torno do Eixo x = c )
Seja S o so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o entre a curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, e o eixo X em
torno do eixo x = c. O volume de S e´ dado pela fo´rmula
V =
∫ b
a
2pi(x− c)[f(x)]dx
.
2.10 Teorema. Um So´lido de Revoluc¸a˜o ( Rotac¸a˜o em torno do Eixo
y = c )
Seja S o so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o entre a curva x = f(y), a ≤ x ≤ b,e o eixo X em
torno do eixo y = c. O volume de S e´ dado pela fo´rmula
V =
∫ b
a
2pi(y − c)[f(y)]dy
16
.
2.11 Exerc´ıcios.
1. Provar o teorema 2.9.
2. Provar o teorema 2.10.
3. A regia˜o compreendida pelo eixo x e pela para´bola y = f(x) = 3x − x2 gira em torno da
reta x = −1 para gerar o formato de um so´lido S.
a. Tente deteminar o volume de S sem usar uma fo´rmula da casca cil´ındrica.
b. Deteminar o volume de S usando o teorema 2.9.
4. Um frasco cil´ındrico de raio r e altura L e´ parcialmente cheio com um l´ıquido de volume
V. Se o frasco e´ girado ao redor do seu eixo de simetria com uma velocidade angular ω, constante,
enta˜o o frasco induzira´ um movimento rotacional do liquido ao redor do mesmo eixo. Eventu-
almente, o l´ıquido se tornara´ co´ncava para cima, como indicado na figura 2.B, porque a forc¸a
centr´ıfuga nas part´ıculas do l´ıquido aumenta com a distaˆncia do eixo do frasco. Pode-se mostrar
que a superf´ıcie do l´ıquido e´ um parabolo´ide de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o da para´bola
y = h +
ω.x2
2g
ao redor do eixo y, onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. Determine h como uma func¸a˜o
de ω.
L
Figura 2B
17
.
2.11.1 Mais Exerc´ıcios.
1. Uma tigela tem um formato que pode ser gerado pela revoluc¸a˜o, em torno do eixo y, do
gra´fico de y = x
2
2 entre y = 0 e y = 5.
(a) Determine o volume da tigela.
(b) Se enchermos a tigela com a´gua a uma taxa constante de 3 unidades cu´bicas por segundo,
a que taxa o n´ıvel de a´gua na tigela aumentara´ quando a a´gua estiver com 4 unidades
de profundidade.
2. Pediram-lhe que projetasse um peso de metal para prumo com peso aproximado de 190 g,
e voceˆ decide dar-lhe o formato de um so´lido de revoluc¸a˜o gerado pelo gra´fico da func¸a˜o
y = x12
√
36− x2, em torno do eixo X, Determine o volume do peso. Se voceˆ especificar um
metal com densidade 8, 5gr/cm3, de cuanto sera´ o peso ?
3. A regia˜o entre a curva y = arcsec(x) e o eixo X, de x=1 ate´ x = 2, e´ girada em torno do
eixo Y gerando um so´lido. Determine o volume do so´lido.
4. Determine o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o , em torno do eixo y, da regia˜o delimitada
pelos gra´ficos de y = e−x
2
, y = 1, e x = 1.
.........................
18
Comprimento de Curvas Planas.
.
2.12 Teorema. Fo´rmula do Comprimento de um Arco de uma Curva Lisa
Se f : [a, b] → R for uma func¸a˜o com derivada cont´ınua, enta˜o o comprimento da curva y =
f(x), de a a b, e´ o nu´mero
L =
∫ b
a
√
1 + (f ’(x))2dx (I)
.
.
2.13 Teorema. Fo´rmula Parame´trica para o Comprimento de um Arco
Se uma curva C for descrita por equac¸o˜es parame´tricas x = f(t), y = g(t), α ≤ t ≤ β, onde
f ’ e g’ sa˜o cont´ınuas e na˜o simultaneamente nulas em [α, β], e se C for percorrida exatamente
uma vez, quando t vai de α a β, enta˜o o comprimento de C sera´
L =
∫ β
α
√
[f ’(t)]2 + [g’(t)]2dt (II)
.
z Se houver duas parametrizac¸o˜es diferentes para uma curva, cujo comprimento desejamos deter-
minar, importa qual delas vamos usar ? A resposta (do ca´lculo avanzado) e´ na˜o , desde que a
parametrizac¸a˜o escolhida se adapte a`s condic¸o˜es que precedem a equac¸a˜o (II).
19
.
2.14 Exerc´ıcios.
1. Seja a curva y = (x2 )
2
3 de x = 0 a x = 2.
a. Verificar que na˜o pode determinar o comprimento da curva usando a fo´rmula do teorema
2.12 se y esta´ em func¸a˜o de x.
b. Tentar determinar o comprimento da curva usando a fo´rmula do teorema 2.12 se x esta´
em func¸a˜o de y.
2. Determine o comprimento da curva
x = cos(t), y = t + sen(t), 0 ≤ t ≤ pi.
3. Determine o comprimento da curva
y =
∫ x
0
√
cos(2t)dt
de x = 0 ate´ x = pi4 .
4. Calcular o comprimento da curva y = sen(x)− xcos(x), 0 ≤ x ≤ pi.
5. Calcular o comprimento da curva x =
∫ y
0
√
sec2(t)− 1dt, −pi3 ≤ y ≤ pi4 .
20
A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o .
.
2.15 Teorema. Seja C uma curva da equac¸a˜o y = f(x), onde f e f
′
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas
em [a, b] e f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]. A a´rea da superf´ıcie de revoluc¸a˜o S, gerada pela rotac¸a˜o da
curva C ao redor do eixo dos x, e´ dada pela fo´rmula
A = 2pi
∫ b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx
.
2.16 Exerc´ıcios.
1. Calcular a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o do arco de curva dado, em torno do eixo
indicado.
a. y = x2, 0 ≤ x ≤ 2; eixo dos x.
b. x =
√
y, 1 ≤ y ≤ 4; eixo dos y.
c. y =
√
4− x2, 0 ≤ x ≤ 1; eixo dos x.
d. y =
√
16− x2, −3 ≤ x ≤ 3; eixo dos x.
2. Calcular a a´rea da superf´ıcie obtida pela revoluc¸a˜o do arco da para´bola y2 = 8x, 1 ≤ x ≤
12, ao redor do eixo dos x.
3. Mostre que a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da circunfereˆncia
x2 + y2 = r2 ao redor da reta y = r e´ dada por 4pi2r2.
21
.
3 Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
• Func¸o˜es de Duas Varia´veis.
• Tipos de Regio˜es no Plano.
• Gra´ficos e Curvas de Nı´vel de Func¸o˜es de Duas Varia´veis.
• Curvas de Contorno.
• Func¸o˜es de Treˆs ou Mais Varia´veis.
• Superf´ıcies de Nı´vel de Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis.
.
Func¸o˜es de Duas Varia´veis.
.
3.1 Definic¸o˜es . Seja o subconjunto D ⊂ R2.
1. Uma Func¸a˜o Real f : D → R de duas varia´veis em D e´ uma regra que associa um
u´nico nu´mero real w = f(x, y) a cada par ordenado (x, y) ∈ D.
2. O conjunto D e´ o dom´ınio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por f e´ a
sua imagem.
3. As varia´veis independentes x e y sa˜o as varia´veis de entrada da func¸a˜o , e a varia´vel
dependente w e´ a varia´vel de sa´ıda da func¸a˜o .
.
22
.
3.2 Exemplos.
1. Func¸a˜o Distaˆncia da Origem a um Ponto no Plano
A distaˆncia de um ponto (x, y) a` origem e´ dada pela func¸a˜o
dist(x, y) =
√
x2 + y2.
O valor de dist no ponto (3, 4) e´ dist(3, 4) =
√
32 + 42 =
√
25 = 5.
2. Func¸a˜o Volume de um Cilindro Circular Reto
A func¸a˜o V = pi.r2.h calcula o volume de um cilindro circular reto a partir do seu
raio e altura.
.
Tipos de Regio˜es no Plano .
.
3.3 Definic¸o˜es .
1. Um ponto (x0, y0) em uma regia˜o (conjunto) R no plano xy e´ um ponto interior de R
se e´ o centro de um disco que esta inteiramente em R ( Ver figura 1 ).
2. Um ponto (x0, y0) em uma regia˜o (conjunto) R no plano xy e´ um ponto fronteira de
R se todo disco centrado em (x0, y0) conte´m ao mesmo tempo pontos que esta˜o em R e do
lado de fora de R. O ponto de fronteira propriamente dito na˜o precisa pertenecer a R ( ver
figura 2 ).
.
23
R
X Y0( )0 ,
Figura 1: Ponto Interior
R
X Y0( )0 ,
Figura 2: Ponto de Fronteira
.
3.4 Definic¸o˜es .
1. O interior de uma regia˜o R no plano e´ o conjunto formado por todos os pontos
interiores da regia˜o . Denotamos este conjunto por
◦
R .
2. A fronteira de uma regia˜o no plano e´ o conjunto formado por todos os pontos de
fronteira da regia˜o .Denotamos este conjunto por Fr[R].
3. Uma regia˜o R no plano e´ aberta se R =
◦
R .
4. Uma regia˜o R no plano e´ fechada se R ⊇ Fr[R].
5. Uma regia˜o R no plano e´ limitada se esta´ dentro de um disco de raio fixo. Caso
contrario e´ na˜o limitada.
.
24
.
3.5 Exercicios.
1. Seja a regia˜o no plano R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.
• A regia˜o R e´ aberta ?
• Encontrar a fronteira de R
• A regia˜o R e´ limitada ?
2. Seja a regia˜o no plano R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
• A regia˜o R e´ aberta ?
• Encontrar a fronteira de R
• A regia˜o R e´ limitada ?
3. Descreva o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) =
√
y − x2. Este domı´nio e´ limitado ?
4. Dar exemplos de regio˜es que na˜o sa˜o abertas nem fechadas ?
.
Gra´ficos e Curvas de Nı´vel de Func¸o˜es de Duas Varia´veis.
Uma maneira-padra˜o de visualizar os valores de uma func¸a˜o f(x, y) e´ identificar e desenhar
curvas no domı´nionas quais f tem um valor constante. Logo, usando estas informac¸o˜es , esboc¸ar
a superf´ıcie z = f(x, y) no espac¸o.
.
3.6 Definic¸o˜es .
1. O conjunto de pontos no plano onde uma func¸a˜o f(x, y) tem um valor constante f(x, y) =
c e´ chamado de Curva de N´ıvel de f.
2. O conjunto de todos os pontos (x, y, f(x, y)) no espac¸o, para (x, y) no domı´nio de f, e´
chamado de Gra´fico de f.
3. O gra´fico de f tambe´m e´ chamado de Superf´ıcie z = f(x, y).
.
25
.
3.7 Exerc´ıcios.
1. Seja a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o . Usando
as curvas de n´ıvel, esboc¸e o gra´fico.
2. Seja a func¸a˜o f(x, y) = 4 + x2 + y2. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o .
Usando as curvas de n´ıvel, esboc¸e o gra´fico.
3. Seja a func¸a˜o f(x, y) = 100 − x2 − y2. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o .
Usando as curvas de n´ıvel, esboc¸e o gra´fico.
4. Seja a func¸a˜o f(x, y) = x2− y2. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o . Usando
as curvas de n´ıvel, esboc¸e o gra´fico.
5. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f(x, y) = x. Esboc¸e o gra´fico.
6. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f(x, y) = y. Esboc¸e o gra´fico.
7. Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f(x, y) = 5. Esboc¸e o gra´fico.
.
Curvas de Contorno. A curva no espac¸o na qual o plano z = c corta uma superf´ıcie
z = f(x, y) consiste em todos os pontos (x, y, f(x, y) = c). Ela e´ chamada de Curva de Contorno
f(x, y) = c para distingui-la da curva de n´ıvel f(x, y) = c no domı´nio de f.
Contudo, nem todo mundo faz essa distinc¸a˜o , e voceˆ pode preferir chamar ambos os tipos de
curvas por um u´nico nome e se basear no contexto para especificar qual tem em mente.
26
Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis.
.
3.8 Definic¸o˜es . Seja o subconjunto D ⊂ R3 = R× R× R.
1. Uma Func¸a˜o Real f : D → R de Treˆs varia´veis em D e´ uma regra que associa um
u´nico nu´mero real w = f(x, y, z) a cada terna ordenada (x, y, z) ∈ D.
2. O conjunto D e´ o dom´ınio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por f e´ a
sua imagem.
3. As varia´veis independentes x, y e z sa˜o as varia´veis de entrada da func¸a˜o , e a varia´vel
dependente w e´ a varia´vel de sa´ıda da func¸a˜o .
.
.
3.9 Exerc´ıcios. Encontrar o Domı´nio e a Imagem das seguintes func¸o˜es :
1. dist(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2. Esta func¸a˜o fornece a distaˆncia da origem ao ponto
(x, y, z) no espac¸o em coordenadas Cartesianas.
2. w =
1
x2 + y2 + z2
.
3. w = x.y.ln(z + 1).
4. f(x, y, z) = z4x2−y2 .
5. f(x, y, z) = xylnz + 3tg z2
.
Superf´ıcies de Nı´vel de Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis .
.
3.10 Definic¸a˜o . O conjunto de pontos (x, y, z) no espac¸o onde uma func¸a˜o de treˆs
varia´veis independentes tem um valor constantes f(x, y, z) = c e´ chamado de Superf´ıcie de
N´ıvel de f.
.
27
.
3.11 Observac¸a˜o . Os gra´ficos de func¸o˜es de treˆs varia´veis consistem em pontos
(x, y, z, f(x, y, z)) em um espac¸o quadridimensional na˜o podemos graficar-los de maneira
eficaz. Mas, podemos ver como a func¸a˜o se comporta analisando suas superf´ıcies de n´ıvel
tridimensionais.
.
3.12 Exerc´ıcios.
1. Descreva as superf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o
(a) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.
(b) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2).
(c) f(x, y, z) = z − x2 − y2.
(d) f(x, y, z) = z2 + y2.
2. Encontre uma equac¸a˜o para a superficie de n´ıvel da func¸a˜o que passa pelo ponto dado.
(a) f(x, y, z) =
√
x− y − lnz, (3,−1, 1).
(b) f(x, y, z) =
∫ y
x
dθ√
1−θ2 +
∫ z√
2
dt
t
√
t2−1 , (0,
1
2 , 2).
(c) f(x, y, z) = ln(x2 + y + z2), (−1, 2, 1).
.
z As definic¸o˜es de interior, fronteira, aberto, fechado, limitado e ilimitado para regio˜es no espac¸o sa˜o
similares a`quelas para regio˜es no plano. A u´nica diferenc¸a e´ o uso de esferas so´lidas em vez de
discos.
z z Para o estudo de Func¸o˜es de Mais de Treˆs Varia´veis, precisamos me´todos matema´ticos mais
poderosos que os estudados em Ca´lculo II. Mas, as definic¸o˜es dadas aqui ate´ o momento sa˜o
similares : Dom´ınio , Imagem, interior, fronteira, etc.
28
.
4 Limites e Continuidade em Dimenso˜es Maiores
.
• Limite de uma Func¸a˜o de Duas Varia´veis.
• Continuidade de uma Fumc¸a˜o de Duas Varia´veis.
• Func¸o˜es de Mais de Duas Varia´veis.
• Valores Extremos de Func¸o˜es Cont´ınuas em Conjuntos Fechados e Limita-
dos.
.
Limite de uma Func¸a˜o de Duas Varia´veis.
.
4.1 Definic¸a˜o . Limite de uma Func¸a˜o de Duas Varia´veis Independentes
A func¸~ao f tem limite L quando (x, y) se aproxima de (x0, y0) se, dado qualquer nu´mero
positivo �, existe um nu´mero positivo δ tal que, para todo (x, y) no domı´nio de f,
0 <
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ | f(x, y)− L |< �.
Escrevemos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L.
.
z A definic¸a˜o de limite aplica-se tanto a pontos fronteiras como a pontos interiores do domı´nio de
f. A u´nica exigeˆncia e´ que o ponto (x, y) permanec¸a no domı´nio todo o tempo.
29
(x y )
(x,y)
Figura 3: Ilustrac¸a˜o Gra´fica da Definic¸a˜o de Limite
.
4.2 Teorema. Propriedades dos Limites de Func¸o˜es de Duas
Varia´veis As regras a seguir sa˜o verdadeiras se L,M e k sa˜o nu´meros reais e
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = M
1. Regra da Soma: lim(x,y)→(x0,y0)[f(x, y) + g(x, y)] = L + M
2. Regra da Diferenc¸a: lim(x,y)→(x0,y0)[f(x, y)− g(x, y)] = L−M
3. Regra do Produto: lim(x,y)→(x0,y0)[f(x, y) . g(x, y)] = L .M
4. Regra da Multiplic¸~ao por Constante:
lim
(x,y)→(x0,y0)
k.f(x, y) = k . L (para todo nu´mero k)
5. Regra do Quociente: lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)
=
L
M
se M 6= 0.
6. Regra da Pote^ncia: Se m e n 6= 0 forem inteiros, enta˜o
lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)]
m
n = L
m
n ,
desde que L
m
n seja um nu´mero real.
.
30
z Quando aplicamos este Teorema a polinoˆmios e func¸o˜es racionais, obtemos o resultado u´til de
que os limites dessas func¸o˜es quando (x, y) → (x0, y0) podem ser calculados determinando-
se a func¸o˜es em (x0, y0). A u´nica exigeˆncia e´ que as func¸o˜es racionais sejam definidas em
(x0, y0).
.
4.3 Exerc´ıcios. Encontre
1. lim(x,y)→(0,1)
x− xy + 3
x2y + 5xy − y3
2. lim(x,y)→(0,1)
√
x2 + y2
3. lim(x,y)→(0,1)
x2 − xy√
x−√y
4. lim(x,y)→( pi
2
,0)
cosy+1
y−senx
.
Continuidade de uma Func¸a˜o de Duas Varia´veis
.
4.4 Definic¸o˜es . Uma func¸a˜o f(x, y) e´ cont´ınua no ponto (x0, y0) se
1. f for definida em (x0, y0);
2. lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) existe;
3. lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0).
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua quando e´ cont´ınua em todos os pontos de seu domı´nio.
.
z Somas, diferenc¸as, produtos, multiplicac¸a˜o por constantes, quocientes e poteˆncias de func¸o˜es
cont´ınuas sa˜o cont´ınuas onde sa˜o definidas.
z Em especial, polinoˆmios e func¸o˜es racionais de duas varia´veis sa˜o cont´ınuas em todo ponto onde
sa˜o definidas.
z Se z = f(x, y) e´ uma func¸a˜o cont´ınua de x e y e w = g(z) e´ uma func¸a˜o cont´ınua de z, enta˜o
a composta w = g(f(x, y)) e´ cont´ınua. Deste modo,
ex−y, cos(
xy
x2 + 1
), ln(1 + x2y2)
sa˜o cont´ınuas em todo ponto (x, y).
31
(x y )
(x,y)
Figura 4: Ilustrac¸a˜o Gra´fica do Limite de uma func¸a˜o Composta
.
4.5 Teorema. Teste dos Dois Caminhos para a Na˜o -Existeˆncia de um
Limite Se f(x, y) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes quando (x, y) se
aproxima de (x0, y0), enta˜o lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) na˜o existe.
.
32
.
4.6 Exerc´ıcios.
1. Mostre que
f(x, y) =


2xy
x2 + y2
, (x, y) 6= 0;
0, (x, y) = 0 .
e´ cont´ınua em todo ponto exceto a origem.
2. Mostre que a func¸a˜o
f(x, y) =
2x2y
x4 + y2
na˜otem limite quando (x, y) se aproxima de (0, 0).
3. Em que pontos (x, y) no plano as func¸o˜es sa˜o cont´ınuas ?
(a) g(x, y) = sen( 1
xy
)
(b) g(x, y) = x+y2+cosx
4. Encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite na˜o existe.
(a) f(x, y) = x
3−xy2
x2+y2
(b) f(x, y) = arctg( |x|+|y|
x2+y2 )
(c) f(x, y) = 2x
x2+x+y2 .
.
Func¸o˜es de Mais de Duas Varia´veis
As definic¸~oes de limite e continuidade para func¸~oes de duas varia´veis e as conclus~oes
sobre limites e continuidade para somas, produtos, quocien- tes, pote^ncias e composic¸~oes
estendem-se a func¸~oes de tre^s varia´veis ou mais. Func¸~oes como
ln(x + y + z) e
ysen(z)
x− 1
s~ao contı´nuas nos seus domı´nios. Porque ?
Limites como
lim
p→(1,0,−1)
ex+z
z2 + cos(
√
xy)
=
1
2
,
onde P indica o ponto (x, y, z), podem ser encontrados por meio de substituic¸~ao direta.
33
Valores Extremos de Func¸o˜es Cont´ınuas em Conjuntos Fechados e Limita-
dos Sabemos que uma func¸~ao de uma varia´vel que e´ contı´nua em um intervalo fechado
e limitado [a, b] assume um valor ma´ximo absoluto e um valor mı´nimo absoluto pelo menos
uma vez em [a, b]. O mesmo vale para uma func¸~ao z = f(x, y) que e´ contı´nua em um conjunto
R fechado e limitado no plano ( como um segmento de reta, um disco ou um tria^ngulo
cheio ). A func¸~ao assume um valor ma´ximo aboluto em algum ponto em R e um valor
mı´nimo aboluto em algum ponto em R.
Teoremas similares a esses e outros teoremas desta sec¸~ao s~ao verdadeiros
para func¸~oes de tre^s ou mais varia´veis. Uma func¸~ao contı´nua w = f(x, y, z),
por exemplo, deve assumir valores ma´ximo e mı´nimo absolutos em qualquer
conjunto fechado e limitado ( esfera so´lida ou cubo, casca esfe´rica, so´lido
retangular ) no qual e´ definida.
Posteriormente, aprenderemos como encontrar esses valores
extremos !!
34
.
5 Derivadas Parciais
.
.
• Derivadas Parciais de uma Func¸a˜o de Duas Varia´veis
• Func¸o˜es de Mais de Duas Varia´veis
• Derivadas Parciais e Continuidade
• Diferenciabilidade
• Derivadas Parciais de Segunda Ordem
• Derivadas Parciais de Ordem Superior
Derivadas Parciais de uma Func¸a˜o de Duas Varia´veis
.
5.1 Definic¸o˜es . Derivadas Parciais em Relac¸a˜o a x e em Relac¸a˜o a y
• A derivada parcial de f(x, y) em relac¸a˜o x no ponto (xo, yo) e´
∂f
∂x
|(xo,yo) =
d
dx
f(x, yo)|x=xo = lim
h→0
f(xo + h, yo)− f(xo, yo)
h
• A derivada parcial de f(x, y) em relac¸a˜o y no ponto (xo, yo) e´
∂f
∂y
|(xo,yo) =
d
dx
f(xo, y)|y=yo = lim
h→0
f(xo, yo + h)− f(xo, yo)
h
♣ Ver as figuras ilustrativas a seguir:
35
Z=f(x,y)
Figura 5: Intersec¸a˜o do plano y = y0 com a superf´ıcie z = f(x, y), vista de cima do
primeiro quadrante no plano xy
36
Z
y
X
Xo
yo
(x0 ,y0)
(x0,y0 + k)
Reta Tangente
Curva z= f( )xo,y0
no plano x=x0
P(xo,yo, )f(x0,y0)
)
Eixo vertical
no plano x=x0
Z=f(x,y)
Figura 6: Intersec¸a˜o do plano x = x0 com a superf´ıcie z = f(x, y), vista de cima do primeiro
quadrante no plano xy
37
.
5.2 Observac¸o˜es .
1. O s´ımbolo ∂ ( chamado de del ) e´ apenas um outro tipo de d. E´ conveniente ter
essa maneira distinta de estender a notac¸a˜o diferencial de Leibniz para um contexto
de va´rias varia´veis.
2. O coeficiente angular da curva z = f(x, yo) no ponto P (xo, yo, f(xo, yo)) no plano
y = yo e´ o valor da derivada parcial de f em relac¸a˜o x em (xo, yo).
3. O coeficiente angular da curva z = f(xo, y) no ponto P (xo, yo, f(xo, yo)) no plano
x = xo e´ o valor da derivada parcial de f em relac¸a˜o x em (xo, yo).
4. A reta tangente L1 a` curva z = f(x, yo) em P no plano y = yo e´ a reta que passa
por P com o coeficiente angular ∂f
∂x
|(xo,yo).
5. A reta tangente L2 a` curva z = f(x, yo) em P no plano x = xo e´ a reta que passa
por P com o coeficiente angular ∂f
∂y
|(xo,yo).
6. A derivada parcial ∂f
∂x
em (xo, yo) fornece a taxa de variac¸a˜o de f em relac¸a˜o a
x quando y e´ mantido fixo no valor yo. Essa e´ taxa de variac¸a˜o de f na direc¸a˜o de
i = (1, 0) em (xo, yo).
7. A derivada parcial ∂f
∂y
em (xo, yo) fornece a taxa de variac¸a˜o de f em relac¸a˜o a
y quando x e´ mantido fixo no valor xo. Essa e´ taxa de variac¸a˜o de f na direc¸a˜o de
j = (0, 1) em (xo, yo).
8. Posteriormente, veremos em que condic¸o˜es as retas L1, L2 determinam um plano
tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no ponto P (xo, yo, f(xo, yo)).
.
38
.
5.3 Notac¸o˜es . A notac¸a˜o para uma derivada parcial depende do que queremos enfatizar:
∂f
∂x
(xo, yo), ou fx(xo, yo)
Derivada parcial de f em relac¸~ao a
x em (xo, yo) ou fx em (xo, yo). Conveni-
ente paa enfatizar o ponto (xo, yo).
∂f
∂y
(xo, yo), ou fy(xo, yo)
Derivada parcial de f em relac¸~ao a
y em (xo, yo) ou fy em (xo, yo). Conveni-
ente paa enfatizar o ponto (xo, yo).
∂z
∂y
∣∣∣∣
(xo,yo)
ou
∂z
∂x
∣∣∣∣
(xo,yo)
Derivada parcial de z em relac¸~ao
a x, ou em relac¸~ao a y, em
(xo, yo). Comum em cieˆncias e engenha-
ria quando se lida com as varia´veis e na˜o se
menciona a func¸a˜o explicitamente.
fx, fy,
∂f
∂x
,
∂f
∂y
, zx, zy,
∂z
∂x
,
∂z
∂y
Derivada parcial de f (ou z ) em
relac¸~ao a x (ou em relac¸~ao a y). Con-
veniente quando se considera a derivada par-
cial como uma func¸a˜o .
.
39
.
5.4 Exerc´ıcios.
1. Ilustrar por meio de um gra´fico as definic¸o˜es anteriores relacionadas a derivadas par-
ciais.
2. Encontre os valores de ∂f
∂x
e ∂f
∂y
no ponto (4,−5) se f(x, y) = x2 + 3xy + y − 1.
3. Encontre a func¸a˜o ∂f
∂y
se f(x, y) = ysen(xy).
4. Encontre
∂z
∂x
se a equac¸a˜o
yz − ln(z) = x + y
definir z como uma func¸a˜o de duas varia´veis independentes x e y e a derivada parcial
existir.
5. O plano x = 1 apresenta intersecc¸a˜o com o paraboloide z = x2+y2 em uma para´bola.
Encontre o coeficiente angular da tangente a` para´bola em (1, 2, 5).
.
Func¸o˜es de Mais de Duas Varia´veis
As definic¸~oes de derivadas parciais de func¸~oes de mais de duas varia´veis independentes
s~ao parecidas com as definic¸~oes para func¸~oes de duas varia´veis. Elas s~ao derivadas
comuns em relac¸~ao a uma varia´vel, tomadas enquanto as outras varia´veis independentes
s~ao mantidas constantes.
40
Figura 7: Triaˆngulo de lados a,b,c e aˆngulos A,B,C
Fonte de Calor
Figura 8: Triaˆngulo de lados a,b,c e aˆngulos A,B,C
41
.
5.5 Exerc´ıcios.
1. Ver a figura (7) . Encontre uma relac¸a˜o entre A, a, b, c. Calcular ∂A
∂a
e ∂A
∂b
.
2. Ver a figura (7) . Encontre uma relac¸a˜o entre A, a, b, B. Calcular ∂a
∂A
e ∂a
∂b
.
3. Uma Func¸a˜o de Treˆs Varia´veis. Se f(x, y, z) = −2xy2 + yz2 enta˜o calcular ∂f
∂z
,
usando a definic¸a˜o.
4. Resistores em Paralelo. Se resistores ele´tricos de R1, R2, R3 ohms sa˜o conectados
em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a
partir da equac¸a˜o
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
Encontre o valor de ∂R
∂R2
quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms.
5. A equac¸a˜o de Laplace Tridimensional
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0
e´ satisfeita pela distribuc¸a˜o de temperaturas no estado estacionario T = f(x, y, z). Ver
figura 8. Mostre que as seguintes func¸o˜es satisfazem a equac¸a˜o de Laplace.
(a) f(x, y, z) = 2z3 − 3(x2 + y2)z.
(b) f(x, y, z) = e3x+4ycos(5z).
.
42
Derivadas Parciais e Continuidade
Uma func¸~ao f(x, y) pode ter derivadas parciais em relac¸~ao a x e y em um ponto
sem ser contı´nua nesse ponto. Isso e´ diferente de uma func¸~ao de uma u´nica varia´vel,
onde a existe^ncia da derivada implica continui- dade. Contudo, se as derivadas
parciaisde f(x, y) existirem e forem contı´nuas em um disco centrado em
(xo, yo), ent~ao f sera´ contı´nua, como veremos depois.
.
5.6 Exerc´ıcio. Seja a func¸a˜o
f(x, y) =

 0, se xy 6= 0;1, se xy = 0.
a. Fazer um esboc¸o do gra´fico de f
b. Encontre o limite de f quando (x, y) se aproxima de (0, 0) ao longo da reta y = x.
c. Prove que f na˜o e´ cont´ınua na origem.
d. Mostre que ambas as derivadas parciais
∂f
∂x
e
∂f
∂y
existem na origem.
e. esboc¸ar os gra´ficos de
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
.
.
(♠) Exerc´ıcios Complementares. Antes de definir a Diferenciabilidade, o leitor
deve fornecer exemplos de func¸o˜es f : R2 −→ R de duas varia´veis cujos gra´ficos sa˜o planos.
Tais func¸o˜es sa˜o chamadas func¸o˜es lineares afim.
43
Diferenciabilidade
Agora veremos que a diferenciabilidade implica continuidade
.
5.7 Teorema. Teorema do Incremento para Func¸o˜es de Duas
Varia´veis
Suponha que as derivadas parciais de primeira ordem de f(x, y) sejam definidas em uma
regia˜o aberta R que contenha o ponto (xo, yo) e que fx e fy sejam cont´ınuas em
(xo, yo). Enta˜o a variac¸a˜o
4z = f(xo +4x, yo +4y)− f(xo, yo)
no valor de f que resulta do movimento de (xo, yo) para um outro ponto (xo +4x, yo +
4y) em R satisfaz uma equac¸a˜o da forma
4z = fx(xo, yo)4x + fy(xo, yo)4y + �14x + �24y,
na qual �1, �2 → 0 quando 4x,4y → 0.
.
.
5.8 Definic¸a˜o . Diferenciabilidade de uma Func¸a˜o de Duas Varia´veis
A func¸a˜o z = f(x, y) e´ diferencia´vel em (xo, yo) se fx(xo, yo) e fy(xo, yo) existem e
4z satisfaz uma equac¸a˜o da forma
4z = fx(xo, yo)4x + fy(xo, yo)4y + �14x + �24y,
na qual �1, �2 → 0 quando 4x,4y → 0. Dizemos que f e´ diferencia´vel se ela e´
diferencia´vel em todos os pontos de seu domı´nio.
.
44
.
5.9 Corola´rio.
Continuidade de Derivadas Parciais
Implica Diferenciabilidade
• Se as derivadas parciais fx e fy de uma func¸a˜o f(x, y) sa˜o cont´ınuas em (xo, yo), enta˜o f
e´ diferencia´vel em (xo, yo). Logo
• Se as derivadas parciais fx e fy de uma func¸a˜o f(x, y) sa˜o cont´ınuas ao longo de uma regia˜o
aberta R, enta˜o f e´ diferencia´vel em todos os pontos de R.
.
.
5.10 Teorema. Diferenciabilidade Implica Continuidade
Se uma func¸a˜o f(x, y) e´ diferencia´vel em (xo, yo) enta˜o ela e´ cont´ınua em (xo, yo).
.
.
5.11 Observac¸a˜o . Como podemos ver nos teoremas 5.9 e 5.10, uma func¸a˜o f(x, y) e´ cont´ınua
em (xo, yo) se fx e fy sa˜o cont´ınuas em (xo, yo). Lembre-se, como vimos anteriormente,
que n~ao e´ suficiente que existam derivadas parciais fx e fy em (xo, yo).
.
45
.
5.12 Exerc´ıcios.
1. Seja f(x, y) =


sen(x3+y4)
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Calcular ∂f
∂x
e ∂f
∂y
em (0, 0).
2. Utilize a definic¸a˜o para calcular ∂f
∂z
em (1,2,3) para f(x, y, z) = x2yz2.
3. Expresse vx em termos de u e y se as equac¸o˜es x = vlnu e y = ulnv definem u e v como
func¸o˜es das varia´veis independentes x e y e se existe vx.
4. Uma func¸a˜o f(x,y) com derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas numa regia˜o aberta
R deve ser cont´ınua em R? Justifique sua resposta
5. Seja f(x, y) =


xy2
x2+y4 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Mostre que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
6. Considere uma caixa retangular fechada, de altura y, com uma base quadrada de lado x. Se
x e´ medido com erro no ma´ximo 2 por cento e y e´ medido com erro ma´ximo 3 por cento,
utilize uma diferencial para calcular o erro porcentual correspondente no ca´lculo
(a) da superficie da a´rea da caixa
(b) do volume da caixa.
46
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando derivamos uma func¸a˜o f(x, y) duas vezes, produzimos suas derivadas de segunda
ordem. Essas derivadas sa˜o em geral denotadas por
∂2f
∂x2
del dois f del x dois ou fxx
∂2f
∂y2
del dois f del y dois ou fyy
∂2f
∂x∂y
del dois f del x del y ou fyx
∂2f
∂y∂x
del dois f del y del x ou fxy
As equac¸o˜es de definic¸a˜o sa˜o
∂2f
∂x2
= fxx =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
,
∂2f
∂x∂y
= fxy =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
,
e assim por diante. Observe a ordem na qual as derivadas sa˜o tomadas:
.
∂2f
∂x∂y
, Derive primeiro em relac¸a˜o a y, depois em relac¸a˜o a x.
.
5.12 Exerc´ıcio. Se f(x, y) = xcos(y) + y ex, encontre
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
,
∂2f
∂x∂y
, fx,
e verifique
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
.
47
.
5.13 Teorema. Teorema das Derivadas Mistas
Se f(x, y) e suas derivadas parciais fx, fy, fxy, fyx, forem definidas em uma regia˜o aberta
contendo um ponto (a, b) e todas forem cont´ınuas em (a, b) enta˜o
fx,y(a, b) = fy,x(a, b).
.
Derivadas Parciais de Ordem Superior
Apesar de lidarmos na maioria das vezes com derivadas parciais de primeira e
segunda ordens, porque elas aparecem com mais frequ¨e^ncia em aplicac¸~oes , n~ao existe
limite teo´rico pra o nu´mero de vezes que podemos diferenciar uma func¸~ao desde que as
derivadas envolvidas existam. Assim, obtemos derivadas parciais de terceira e quarta
ordens que denotamos por sı´mbolos como
∂3f
∂x∂y2
= fyyx,
∂4f
∂2x∂y2
= fyyxx,
e assim por diante. Como acontece com derivadas de segunda ordem, a ordem de diferenciac¸~ao
e´ irrelevante desde que as derivadas na ordem em quest~ao sejam contı´nuas.
48
.
5.14 Definic¸o˜es .
1. A Linearizac¸a˜o de uma func¸a˜o diferencia´vel f(x, y) no ponto (x0, y0) e´ a func¸a˜o
L(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
A aproximac¸a˜o f(x, y) ≈ L(x, y) e´ a aproximac¸a˜o linear padra˜o de f em (x0, y0)
2. A Linearizac¸a˜o de uma func¸a˜o diferencia´vel f(x, y, z) no ponto (x0, y0, z0, ) e´ a func¸a˜o
L(x, y, z) = f(x0, y0, z0, )+fx(x0, y0, z0, )(x−x0)+fy(x0, y0, z0, )(y−y0)+fz(x0, y0, z0, )(z−z0)
A aproximac¸a˜o f(x, y, z) ≈ L(x, y, z) e´ a aproximac¸a˜o linear padra˜o de f em (x0, y0, z0).
.
.
5.15 Teorema. (Erro na aproximac¸a˜o linear padra˜o)
1. Seja a func¸a˜o f que possui derivadas parciais, pelo menos, de segunda ordem sobre um
conjunto aberto contendo um retaˆngulo R centrado em (x0, y0). Se existe um nu´mero real
M superior aos valores de |fxx|, |fyy|e |fxy| em R, enta˜o o erro e´ estimado como segue
|f(x, y)− L(x, y)| ≤ 1
2
M(|x− x0|+ |y − y0|)2
Este erro denotaremos por E(x, y).
2. Seja a func¸a˜o f que possui derivadas parciais, pelo menos, de segunda ordem sobre um
conjunto aberto contendo um paralelep´ıpedo R centrado em (x0, y0, z0). Se existe um
nu´mero real M superior aos valores de |fxx|, |fyy|, |fzz, |fxy|, |fx,z| e |fyz em R, enta˜o o
erro e´ estimado como segue
|f(x, y, z)− L(x, y, z)| ≤ 1
2
M(|x− x0|+ |y − y0|+ |z − z0|)2
Este erro denotaremos por E(x, y, z).
.
49
.
5.16 Exercicios.
1. Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es dadas:
(a) f(x, y) = yex
2−y.
(b) w = xsen(x2y)
(c) V (x, y) = ln(x + y).
2. Encontre a linearizac¸a˜o L e um limitante superior para o erro |E| na aproximac¸a˜o f ≈ L.
(a) f(x, y) = x2y2 em P(1,1), no retaˆngulo R: |x− 1| ≤ 0, 1, |y − 1| ≤ 0, 1
(b) f(x, y, z) = xz−3yz +2 em P(1,1,2), no paralelep´ıpedo R: |x−1| ≤ 0, 01, |y−1| ≤
0, 01, |z − 2| ≤ 0, 02
.
50
.
6 A Regra da Cadeia
.
• Func¸o˜es Compostas em Dimenso˜es Maiores.
• Diferenciac¸a˜o Impl´ıcita Revista.
Func¸o˜es Compostas em Dimenso˜es Maiores.
Podemos formar func¸~oes compostas de va´rias varia´veis em domı´nios apropriados da mesma
maneira que criamos func¸~oes compostas de uma varia´vel. Aqui como usar a Regra da Cadeia
para encontrar derivadas parciais de
func¸~oes compostas de va´rias varia´veis.
.
6.1 Teorema.
Regra da Cadeia para Uma Varia´vel Independente e
Duas Varia´veis Intermedia´rias
Se w = f(x, y) for diferencia´vele x e y forem func¸o˜es diferencia´veis de t, enta˜o w sera´
uma func¸a˜o diferencia´vel de t e
dw
dt
=
∂f
∂x
∂x
∂t
+
∂f
∂y
∂y
∂t
.
.
6.2 Teorema.
Regra da Cadeia para Uma Varia´vel Independente e
Treˆs Varia´veis Intermedia´rias
Se w = f(x, y, z) for diferencia´vel e x, y e z forem func¸o˜es diferencia´veis de t, enta˜o w
sera´ uma func¸a˜o diferencia´vel de t e
dw
dt
=
∂f
∂x
∂x
∂t
+
∂f
∂y
∂y
∂t
+
∂f
∂z
∂z
∂t
.
51
.
6.3 Teorema.
Regra da Cadeia para Duas Varia´veis Independentes
e Duas Varia´veis Intermedia´rias
Se w = f(x, y) for diferencia´vel e x = g(r, s), e y = h(r, s) forem func¸o˜es diferencia´veis de
r, s enta˜o w tera´ derivadas parciais em relac¸a˜o a r e s, dadas pelas fo´rmulas
dw
dr
=
∂f
∂x
∂x
∂r
+
∂f
∂y
∂y
∂r
.
dw
ds
=
∂f
∂x
∂x
∂s
+
∂f
∂y
∂y
∂s
.
.
6.4 Teorema.
Regra da Cadeia para Duas Varia´veis Independentes
e Treˆs Varia´veis Intermedia´rias
Se w = f(x, y, z) for diferencia´vel e x = g(r, s), y = h(r, s) e z = k(r, s) forem func¸o˜es
diferencia´veis de r, s enta˜o w tera´ derivadas parciais em relac¸a˜o a r e s, dadas pelas
fo´rmulas
dw
dr
=
∂f
∂x
∂x
∂r
+
∂f
∂y
∂y
∂r
+
∂f
∂z
∂z
∂r
.
dw
ds
=
∂f
∂x
∂x
∂s
+
∂f
∂y
∂y
∂s
+
∂f
∂z
∂z
∂s
.
Vimos va´rias formas diferentes Regra da Cadeia, ma´s voce^ n~ao tem que memorizar todas
elas se as vir como casos especiais da mesma fo´rmula geral que apresentaremos a seguir
.
6.5 Teorema. Fo´rmula Geral da Regra da Cadeia
Suponha que w = f(x, y, z, . . . , v) seja uma func¸a˜o diferencia´vel das varia´veis
x, y, z, . . . , v (um conjunto finito de varia´veis ) e x, y, z, . . . , v forem func¸o˜es diferencia´veis
de p, q, . . . , t (outro conjunto finito). Enta˜o w sera´ uma func¸a˜o diferencia´vel das
varia´veis p, q, . . . , t e as derivadas parciais em relac¸a˜o a essas varia´veis sera˜o dadas dadas
pelas fo´rmulas
dw
dp
=
∂f
∂x
∂x
∂p
+
∂f
∂y
∂y
∂p
+
∂f
∂z
∂z
∂p
+ · · ·+ ∂f
∂v
∂v
∂p
.
As outras equac¸o˜es sa˜o obtidas trocando-se por q, r, . . . , t uma de cada vez.
.
52
z Uma maneira de lembrar dessa equac¸a˜o e´ pensar no lado direito como o produto escalar de dois
vetores componentes
(
∂w
∂x
,
∂w
∂y
, . . . ,
∂w
∂v
)
︸ ︷︷ ︸
Derivadas de w em relac¸a˜o a´s varia´veis intermediarias
e(
∂x
∂p
,
∂y
∂p
, . . . ,
∂v
∂p
)
︸ ︷︷ ︸
Derivadas de w em relac¸a˜o a´s varia´veis independentes seleccionadas
.
6.6 Exerc´ıcios.
1. Use a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relac¸a˜o a t ao longo
do caminho x = cos(t), y = sen(t). Qual e´ o valor da derivada em t = pi2 .
2. Grafique o caminho x = cos(t), y = sen(t), z = t. Encontre
dw
dt
se w = xy + z.
3. Expresse
∂w
∂r
e
∂w
∂s
se
w = x2 + y2, x = r − s, y = r + s.
.
Diferenciac¸a˜o Impl´ıcita Revista
A regra da Cadeia do Teorema .1 leva a uma fo´rmula que simplifica muito a diferenciac¸a˜o
impl´ıcita.
.
6.7 Teorema. Uma Fo´rmula de Diferenciac¸a˜o Impl´ıcita
Suponha que F (x, y) seja diferencia´vel e que a equac¸a˜o F (x, y) = 0 defina y como
uma func¸a˜o diferencia´vel de x. Enta˜o em qualquer ponto onde Fy 6= 0,
dy
dx
= −Fx
Fy
.
53
.
6.8 Exerc´ıcios.
1. Provar o teorema 6.7
2. Encontrar
dy
dx
se y2 + x2 − sen(xy) = 0
3. A pressa˜o P (em quilopascal-Kpa), o volume (em litros) e a temperatura T (em
Kelvins) de um mol de um gas esta˜o relacionados por meio da fo´rmula PV = 8, 31T
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o da pressa˜o quando a temperatura e´ de 300K e esta
aumentando com a taxa de variac¸a˜o de 0,1 K�s e o volume e´ de 100 L e esta
aumenta´ndo a taxa de 0,2 L�s.
(b) No outro caso, a pressa˜o e´ aumentada a` taxa de 0,05 Kpa�s, e a temperatura e´
aumentada a` taxa de 0,15 K�s. Encontrar a taxa de variac¸a˜o do volume quando
a pressa˜o e´ 20Kpa e a temperatura e´ 320K.
4. Se z = f(x− y), mostre que ∂z
∂x
+ ∂z
∂x
= 0.
5. Se z = f(x + at) + g(x− at), mostre que
∂2z
∂t2
= a2
∂2z
∂x2
6. Se u = f(x, y), onde x = escos(t) e y = essen(t), mostre que
(
∂u
∂x
)2
+
(
∂u
∂y
)2
= e−2s
[(
∂u
∂s
)2
+
(
∂u
∂t
)2]
7. Uma func¸a˜o f e´ dita homogeˆnea de grau nse satisfaz a equac¸a˜o f(tx, ty) =
tf(x, y) para todo valor de t, onde n e´ um inteiro positivo e f tem segunda de-
rivada parcial continua.
(a) Verifique que f(x, y) = x2y + 2xy2 + 5y3 e´ homogeˆnea de grau 3.
(b) Provar que se f e´ homogeˆnea de grau n, enta˜o x ∂f
∂x
+ y ∂f
∂y
= nf(x, y)
(c) Provar que se f e´ homogeˆnea de grau n, mostre que
x2
∂2f
∂x2
+ 2xy
∂2f
∂x∂y
+ y2
∂2f
∂y2
= n(n− 1)f(x, y)
.
54
.
7 Derivadas Direcionais, Vetor Gradiente e Plano
Tangente
.
• Derivadas Direcionais no Plano.
• Interpretac¸a˜o da Derivada Direcional.
• Propriedades da Derivada Direcional.
• Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nı´vel.
• Propriedades Alge´bricas do Vetor Gradiente.
• Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis.
• Planos Tangentes e Retas Normais.
Derivadas Direcionais no Plano.
Denotamos os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1). Assim qualquer vetor a = (a1, a2)
pode ser escrito como
a = a1i + a2j
Um vetor u = (u1, u2) de comprimento 1 e´ chamado de vetor unita´rio ou versor,
isto e´ √
u21 + u
2
2 = 1
A seguir, daremos a definic¸a˜o de Derivada Direcional.
.
7.1 Definic¸a˜o . Derivada Direcional
A derivada de f em Po(xo, yo) na direc¸a˜o do vetor unita´rio (versor)
u = u1i + u2j e´ o nu´mero(
df
ds
)
u,Po
= lim
s→0
f(xo + su1, yo + su2)− f(xo, yo)
s
,
desde que o limite exista.
.
55
z A derivada direcional e´ denotada tambe´m por
(Duf)Po , A derivada de f em Po de u
Interpretac¸a˜o da Derivada Direcional
Suponha que a func¸a˜o f(x, y) seja definida em uma regia˜o R no plano XY, que Po(xo, yo)
seja um ponto em R e que u = u1i + u2j seja um versor. Enta˜o as equac¸o˜es
x = xo + su1, y = yo + su2
parametrizam a reta que passa por Po paralelamente a u ( Ver figura .1)
DireçãodoAumento
des
u = u I + u j
P ( x , y )
Reta??x=?x??+?su??,??y?= + suy
A reta que passa por Po paralelamente a u
A equac¸~ao z = f(x, y) representa uma superf´ıcie S no espac¸o. Se zo = f(xo, yo),
enta˜o o ponto P = (xo, yo, zo) estara´ em S.
O plano vertical que passa por Po(xo, yo) e e´ paralelo a u apresenta intersecc¸a˜o com
S em uma curva C ( Figura .2 ).
Ent~ao , como observamos gra´ficamente, a Derivada de f em Po(xo, yo) na direc¸~ao
u,
(
df
ds
)
u,Po
, e´
56
.
A Taxa de Variac¸a˜o de f na direc¸a˜o de u e o Coeficiente
Angular da Tangente a curva C em P.
Superfície
Reta?Tangente
Curva
Figura .2: A Reta Tangente a curva C
.
7.2 Exerc´ıcio.
Usando a definic¸a˜o , encontre a derivada de
. f(x, y) = x2 + xy
em Po(1, 2) na direc¸a˜o do versor u =
1√
2
i + 1√
2
j
57
Propriedades da Derivada Direcional
.
7.3 Definic¸a˜o . Vetor Gradiente ou Gradiente
O vetor gradiente ( gradiente) de f(x, y) no ponto Po(xo, yo) e´ o vetor
∇f = ∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j
obtido por meio do ca´lculo das derivadas parciais de f em P0.
.
7.4 Notac¸a˜o .
A notac¸a˜o ∇f e´ lida tanto como grad f quanto como gradiente de f . O s´ımbolo
∇ isolado e´ lido como nabla. Uma outra notac¸a˜o para o gradiente e´ grad f, lida da maneira
como esta´ escrita.
Agora vejamos sua relac¸a˜o com as Derivadas Direcionais.
.
7.5 Teorema. A Derivada Direcional e´ um Produto Escalar
Se f(x, y) for diferencia´vel em Po(xo, yo), enta˜o(
df
ds
)
u,Po
= ∇f(P0).u,Ou seja, a derivada direccional e´ o produto escalar do gradiente de f em Po e u.
.
7.6 Exerc´ıcios.
1. Demonstrar o Teorema 7.5
2. Encontre a derivada de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto (2, 0) na direc¸a˜o de
v = 3i− 4j.
58
.
7.7 Teorema Propriedades da Derivada Direcional Duf = ∇f.u =
|∇f |cosθ
1. A func¸a˜o f aumenta mais rapidamente quando cos(θ) = 1 ou quando u e´ o versor
de ∇f. Isto e´, a cada ponto P no seu domı´nio, f cresce mais rapidamente na
direc¸a˜o e no sentido do vetor gradiente ∇f em P. A derivada nessa direc¸a˜o e´
Duf = |∇f |cos(0) = |∇f |.
2. De maneira similar, f decresce mais rapidamente na direc¸a˜o e no sentido de −∇f. A
derivada nessa direc¸a˜o e´
Duf = |∇f |cos(pi) = −|∇f |.
3. Qualquer direc¸a˜o u ortogonal ao gradiente e´ uma direc¸a˜o de variac¸a˜o zero em
f porque θ = pi2 e
Duf = |∇f |cos(pi
2
) = 0.
.
7.8 Exerc´ıcio. Encontre as direc¸o˜es nas quais f(x, y) = ( x
2
2 ) + (
y2
2 ).
a. Cresce mais rapidamente no ponto (1, 1);
b. Decresce mais rapidamente no ponto (1, 1);
c. Quais sa˜o as direc¸o˜es de variac¸a˜o zero de f em (1, 1).
59
Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nı´vel
.
7.9 Teorema.
Em todo ponto (xo, yo) no domı´nio de f(x, y), o gradiente de f e´ normal ( ou
perpendicular ) a` curva de n´ıvel por (xo, yo), isto e´, perpendicular a reta tangente a` curva
de n´ıvel que passa pelo ponto (xo, yo) (Ver Figura .3).
Reta?Tangente
Figura .3: O gradiente de uma func¸a˜o diferencia´vel de duas varia´veis em um ponto e´ sempre
normal a´ curva de n´ıvel da func¸a˜o naquele ponto.
.
7.10 Exerc´ıcios.
1. Provar o Teorema 7.9
2. Encontre uma equac¸a˜o para a tangente da elipse
x2
4
+ y2 = 2
no ponto (−2, 1).
60
.
7.11 Teorema Propriedades Alge´bricas do Vetor Gradiente.
1. Multiplicac¸~ao por Constante: ∇(kf) = k∇f para qualquer nu´mero k.
2. Regra da Soma: ∇(f + g) = ∇f +∇g
3. Regra da Diferenc¸a: ∇(f − g) = ∇f −∇g
4. Regra do Produto: ∇(fg) = f∇g + g∇f
5. Regra do Quociente: ∇
(
f
g
)
=
g∇f − f∇g
g2
61
.
7.12 Exerc´ıcios
a. Provar o Teorema 7.11
b. Sejam as func¸o˜es
f(x, y) = x− y g(x, y) = 3y,
calcular
1. ∇(2f)
2. ∇(f + g)
3. ∇(f − g)
4. ∇(fg)
5. ∇
(
f
g
)
c. Estimar quanto o valor de
f(x, y) = xey
variara´ se o ponto P (x, y) se mover 0, 1 unidades de Po(2, 0) em direc¸a˜o a P1(4, 1).
d. Duas equac¸o˜es x = eucos(v) e y = eusen(v) definem u e v como func¸o˜es de y e y, isto e´,
u = U(x, y) e v = V (x, y) . Encontrar fo´rmulas expl´ıcitas para U(x, y) e V (x, y), va´lidas para
x > 0. Provar que os gradientes ∇U(x, y) e ∇V (x, y) sa˜o perpendiculares no ponto (x,y).
e. Se r1 e r2 sa˜o as distaˆncias do ponto (x, y) da elipse aos focos dela, provar que
T.∇(r1 + r2) = 0,
onde T e´ o vetor unita´rio tangente a` elipse. Concluir um fato geome´trico.
62
Func¸o˜es de Treˆs Varia´veis
Neste caso, daremos as seguintes notac¸~oes :
i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0)); k = (0, 0, 1)
Obtemos fo´rmulas para func¸~ao de tre^s varia´veis adicionando os termos em
z a´s fo´rmulas para func¸~ao de duas varia´veis. Para uma func¸~ao diferencia´vel
f(x, y, z) e um versor u = u1i + u2j + u3k no espac¸o, temos
∇f = ∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j +
∂f
∂z
k
e
Du = ∇f.u = ∂f
∂x
u1 +
∂f
∂y
u2 +
∂f
∂z
u3
A derivada direcional pode ser escrita novamente na forma
Duf = ∇f.u = |∇f ||u|cos(θ) = |∇f |cos(θ),
Assim as propriedades relacionadas anteriormente para func¸o˜es de duas varia´veis con-
tinuam valendo. Em qualquer ponto dado, f aumenta mais rapidamente na direc¸~ao
de ∇f e decresce mais rapidamente na direc¸~ao de −∇f. Em qualquer direc¸~ao ortogonal
a ∇f, a derivada e´ zero.
.
7.13 Exerc´ıcio.
a. Encontre a derivada de f(x, y, z) = x3−xy2−z em Po(1, 1, 0) na direc¸a˜o de v = 2i−3j+6k.
b. Em que direc¸o˜es f varia mais rapidamente em Po e quais sa˜o as taxas de varic¸a˜o nessas
direc¸o˜es ?
.
63
Planos Tangentes e Retas Normais Da mesma maneira para os gradientes
de duas varia´veis, em todo ponto Po no domı´nio de f(x, y, z) o gradiente
∇f e´ normal a` superfı´cie de nı´vel em Po. Essa observac¸~ao nos leva
a`s definic¸~oes a seguir.
.
7.14 Definic¸o˜es Plano Tangente e Reta Normal
O Plano Tangente no ponto Po(xo, yo, zo) na superf´ıcie de n´ıvel f(x, y, z) = c e´ o plano
que passa por Po e e´ normal a ∇f |Po .
A reta normal a` suprf´ıcie em Po e´ a reta que passa por Po e e´ paralela a ∇f |Po .
.
.
7.15 Exerc´ıcio
Encontre o plano tangente e a reta normal a` superf´ıcie
f(x, y, z) = x2 + y2 + z − 9 = 0
no ponto Po(1, 2, 4).
.
z Observamos que a equac¸~ao z = f(x, y) e´ equivalente a f(x, y) − z =
0. A superfı´cie z = f(x, y) e´, portanto, de nı´vel zero da func¸~ao
F (x, y, z) = f(x, y)− z.
Desta observac¸a˜o temos o seguinte teorema:
.
7.16 Teorema Plano Tangente a uma Superf´ıcie z = f(x, y) em
(xo, yo, f(xo, yo))
O plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no ponto Po(xo, yo, zo) = (xo, yo, f(xo, yo)) e´
fx(xo, yo)(x− xo) + fy(xo, yo)(y − yo)− (z − zo) = 0
.
64
.
7.17 Exerc´ıcios
a. Provar o teorema 7.16
b. Encontre o plano tangente a` superf´ıcie z = xcos(y)− yex em (0, 0, 0).
c. Se ∇f(x, y, z) e´ sempre paralelo ao vetor (x, y, z), provar que f(0, 0, a) = f(0, 0,−a).
d. Seja f(x, y) =
√|xy|.
1. Verificar que ∂f
∂x
(0, 0) = ∂f
∂y
(0, 0) = 0.
2. A Superf´ıcie z = f(x, y) tem plano tangente na origem ?
e. Computar o vetor V (x, y, z) normal a` superf´ıcie
z =
√
x2 + y2 + (x2 + y2)
3
2
em qualquer ponto (x, y, z) 6= (0, 0, 0). Computar o cos(θ), onde θ e´ o aˆngulo do vetor
V (x, y, z) e o vetor
−→
k = (0, 0, 1). Ale´m disso, calcular
lim
(x,y,z)→(0,0,0)
cos(θ)
.
65
.
8 Valores Extremos e Pontos de Sela
.
• Ma´ximo Local e Mı´nimo Local
• Ma´ximos e Mı´nimo Absolutos em Regio˜es Fechadas e Limitadas
• Limitac¸o˜es do Teste da Derivada de Primeira Ordem.
.
Ma´ximo Local e Mı´nimo Local
.
8.1 Definic¸o˜es . Ma´ximo Local e Mı´nimo Local
Seja f(x, y) definida em uma regia˜o R que conte´m o ponto (a, b). Enta˜o
1. f(a, b) e´ um valor ma´ximo local de f se f(a, b) ≥ f(x, y) para todos os pontos do
domı´nio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b).
2. f(a, b) e´ um valor mı´nimo local de f se f(a, b) ≤ f(x, y) para todos os pontos do
domı´nio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b).
.
8.2 Definic¸o˜es . Ponto Cr´ıtico e Ponto Sela
1. Um ponto interior do domı´nio de uma func¸a˜o f(x, y) onde tanto fx como fy sejam zero
ou onde fx ou fy ou ambas na˜o existam e´ um ponto cr´ıtico de f.
2. Uma func¸a˜o diferencia´vel f(x, y) tem um ponto de sela em ponto cr´ıtico (a, b) se em todo
disco aberto centrado em (a, b) existem pontos do domı´nio (x, y) onde f(x, y) > f(a, b) e
pontos do domı´nio (x, y) onde f(x, y) < f(a, b). O ponto correspondente (a, b, f(a, b)) na
superf´ıcie z = f(x, y) e´ chamado de ponto de sela da superf´ıcie
66
.
8.3 Teorema. Teste da Derivada de Primeira Ordem para Valores Ex-
tremos Locais
Se f(x, y) tiver um valor de ma´ximo ou mı´nimo local em um ponto interior (a, b) do seu
domı´nio e se as derivadas parciais de primeira ordem existirem la´, enta˜o fx(a, b) = 0 e fy(a, b) =
0.
z O Teorema 8.3 diz que os u´nicos lugares onde uma func¸~ao f(x, y) pode ter um valor
extremo s~ao
1. Pontos interiores onde fx = fy = 0;
2. Pontos interiores onde fx ou fy ou ambas n~ao existam;
3. Pontos de fronteira do domı´nio da func¸~ao .
.
8.4 Exerc´ıcios.
1. Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = x2 + y2.
2. Encontre os valores extremos locais ( se existirem ) de f(x, y) = y2 − x2.
.
z O fato de que fx = fy = 0 em um ponto interior (a, b) da regi~ao R n~ao garanteque f tenha um valor extremo local la´. Se f e suas derivadas de primeira
e segunda ordem forem contı´nuas em R, contudo, podemos aprender mais a partir
do teorema a seguir.
67
.
8.5 Teorema. Teste da Derivada de Segunda Ordem para Valores Ex-
tremos Locais
Suponha que f(x, y) e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem sejam cont´ınuas em
um disco centrado em (a, b) e que fx(a, b) = fy(a, b) = 0. Enta˜o
i. f tem um ma´ximo local em (a, b) se fxx < 0 e fxxfyy − f2xy > 0 em (a, b).
ii. f tem um mı´nimo local em (a, b) se fxx > 0 e fxxfyy − f2xy > 0 em (a, b).
iii. f tem um ponto de sela em (a, b) se fxxfyy − f2xy < 0 em (a, b).
iv. O Teste e´ inconclusivo em (a, b) se fxxfyy − f2xy = 0 em (a, b).
Nesse caso, devemos encontrar uma outra maneira de determinar o comportamento de f
em (a, b).
.
.
8.6 Exerc´ıcios.
1. Encontre os valores extremos locais da func¸a˜o
f(x, y) = xy − x2 − y2 − 2x− 2y + 4
2. Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = xy.
.
68
Ma´ximos e Mı´nimos Absolutos em Regio˜es Fechadas e Limitadas
Organizamos a procura por extremos absolutos de uma func¸~ao contı´nua f(x, y)
em uma regi~ao fechada e limitada R em tre^s passos.
Passo 1: Relacione os pontos interiores de R onde f possa ter ma´ximo e mı´nimo locais
e calcule f nesses pontos. Esses sa˜o os pontos nos quais fx = fy = 0 ou onde uma ou
ambas as derivadas parciais fx e fy deixam de existir (pontos cr´ıticos de f ).
Passo 2: Relacione os pontos da fronteira de R onde f tem ma´ximos e mı´nimos locais
e calcule f nesses pontos.
Passo 3: Procure na Relac¸~ao pelos valores ma´ximo e mı´nimo de f. Estes sera˜o os valores
ma´ximos e mı´nimos absolutos ( ou globais ) de f em R.
.
.
8.7 Exerc´ıcios.
1. Encontre o ma´ximo e o mı´nimo global de
f(x, y) = 2 + 2x + 2y − x2 − y2
na regia˜o triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas x = 0, y = 0, y = 9− x.
2. Uma empresa de entrega aceita apenas caixas retangulares cuja soma dos per´ımetros das
sec¸o˜es transversas na˜o ultrapassem 108 pol. Encontre as dimenso˜es de uma caixa aceita´vel
de maior volume poss´ıvel.
.
69
Limitac¸o˜es do Teste da Derivada Primeira. A pesar do Teorema 8.3, insistimos
na importaˆncia de lembrar de suas limitac¸o˜es . Ele na˜o se aplica a pontos de fronteira no domı´nio
de uma func¸a˜o , onde e´ poss´ıvel que a func¸a˜o tenha valores extremos com derivadas diferentes de
zero. Tambe´m na˜o se aplica a pontos onde fx ou fy na˜o existem.
.
Lembrar: Os valores extremos de f(x, y) podem ocorrer apenas em
i. pontos de fronteira do domı´nio de f ;
ii. pontos cr´ıticos ( pontos interiores onde fx = fy = 0 ou pontos onde fx ou fy na˜o
existem ).
70
.
9 Multiplicadores de Lagrange
.
Introduc¸a˜o . Nesta sec¸a˜o apresentaremos o me´todo de Lagrange para maximizar ou
minimizar uma func¸a˜o gene´rica diferencia´vel f(x, y, z) ( ou f(x, y) ) sujeita a uma
restric¸a˜o (ou condic¸a˜o ) da forma g(x, y, z) = k (ou g(x, y) = k ).
Em termos geome´tricos, o me´todo maximiza ou minimiza uma func¸a˜o gene´rica f sobre a
superficie de n´ıvel dada por g(x, y, z) = k ( ou sobre a curva de n´ıvel dada por g(x, y) = k ).
A seguir, explicaremos a base geome´trica do me´todo de Lagrange para func¸o˜es
de treˆs varia´veis. Suponha que uma func¸a˜o diferencia´vel f tenha um valor extremo no
ponto P (xo, yo, zo) sobre a superf´ıcie de n´ıvel S e seja C a curva com equac¸a˜o vetorial
−→r (t) = (x(t), y(t), z(t)) que esta incluida em S e passe pelo ponto P. Se to e´ o valor
do paraˆmetro correspondente ao ponto P, enta˜o −→r (to) = (xo, yo, zo). A func¸a˜o composta
h(t) = f(x(t), y(t), z(t)) fornece os valores de f sobre C. Como f tem um valor extremo
em (xo, yo, zo), segue que h tem um valor extremo em to, e portanto h
′
(to) = 0. Usando
a Regra da Cadeia podemos escrever
0 = h
′
(to) = ∇f(xo, yo, zo).−→r
′
(to)
Isso mostra que o vetor gradiente ∇f(xo, yo, zo) e´ ortogonal ao vetor tangente −→r ′(to) de
toda curva C que passa pelo ponto P (xo, yo, zo). Isto e´, o vetor gradiente ∇f(xo, yo, zo) e´
ortogonal ao plano tangente de S no ponto P. Por outro lado, sabemos que ∇g(xo, yo, zo)
e´ ortogonal ao vetor tangente −→r ′(to) de toda curva C que passa pelo ponto P (xo, yo, zo).
Isto e´, o vetor gradiente ∇g(xo, yo, zo) e´ ortogonal ao plano tangente de S no ponto P.
Isso significa que os vetores ∇g(xo, yo, zo) e ∇f(xo, yo, zo) sa˜o paralelos. Portanto, se
∇g(xo, yo, zo) 6= 0, existe um nu´mero λ tal que
∇f(xo, yo, zo) = λ∇g(xo, yo, zo) (1)
71
.
Exerc´ıcios Complementa´rios.
1. Dar exemplos de uma func¸a˜o real de duas varia´veis e de treˆs varia´veis.
2. Dar um exemplos de equac¸o˜es de uma curva no plano e no espac¸o.
3. Explicar o que e´ uma curva de n´ıvel e o que e´ uma superf´ıcie de n´ıvel.
4. Determine o valor ma´ximo da func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 na elipse x
2
4 +
y2
9 = 1.
5. Explicar a base geome´trica do me´todo de Lagrange para func¸o˜es reais de duas varia´veis.
.
O nu´mero λ na equac¸a˜o (1) e´ chamado o multiplicador de Lagrange. O procedimento
baseado na equac¸a˜o (1) e´ o seguinte
.
Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange. Para determinar os valores ma´ximo
e mı´nimo de f(x, y, z) sujeita a` restric¸a˜o g(x, y, z) = k ( supondo que esses valores extremos
existam e ∇g(x, y, z) 6= 0 em toda a restric¸a˜o g(x, y, z) = k ):
(a) Determine todos os valores de x, y, z e λ tal que
 ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z)g(x, y, z) = k.
(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior desses
valores sera´ o valor ma´ximo de f, e o menor sera´ o valor mı´nimo de f.
72
.
Lembrete.
• Teorema do Valor Extremo para Func¸o˜es de Duas Varia´veis. Se f for
cont´ınua em um conjunto fechado e limitado B, enta˜o f atinge um valor ma´ximo
absoluto f(x1, y1) e um valor mı´nimo absoluto f(x2, y2) para alguns pontos (x1, y1) e
(x2, y2), respetivamente, em B.
• Para determinar um ma´ximo ou um mı´nimo absoluto de uma func¸a˜o cont´ınua f em
um disco fechado D :
1. Determine os valores de f nos pontos cr´ıticos de f no interior de D.
2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D.
3. O maior dos valores dos passos 1 e 2 e´ o valor ma´ximo absoluto; o menor desses
valores e´ o valor mı´nimo absoluto.
.
9.1 Exerc´ıcios.
1. Uma caixa retangular sem tampa e´ feita de 12m2 de papela˜o . Determine o volume
ma´ximo dessa caixa.
2. Determine os valores extremos da func¸a˜o f(x, y) = x2 + 2y2 no circulo x2 + y2 = 1.
3. Determine os valores extremos de f(x, y) = x2 + 2y2 no disco x2 + y2 ≤ 1.
4. Encontre os pontos sobre a superf´ıcie z2 − xy = 4 mais pro´ximos da origem.
73
.
Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange com duas restric¸o˜es . Para
determinar os valores ma´ximo e mı´nimo de f(x, y, z) sujeita a duas restric¸o˜es g(x, y, z) = k
e h(x, y, z) = c ( supondo que esses valores extremos existam e os vetores gradientes
−→
0 6= ∇h, −→0 6= ∇g sa˜o na˜o paralelos, em toda a intersec¸a˜o das restric¸o˜es .):
(a) Determine todos os valores de x, y, z e λ, µ tal que

∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)
g(x, y, z) = k
h(x, y, z) = c
(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior desses
valores sera´ o valor ma´ximo de f, e o menor sera´ o valor mı´nimo de f.
9.2 Exerc´ıcios.
1. Explicar de forma precisa a base geome´trica do me´todo de Lagrange para func¸o˜es de
treˆs varia´veis com duas restric¸o˜es .
2. Determine o valor ma´ximo da func¸a˜o f(x, y, z) = x+2y +3z na curva da intersecc¸a˜o
do plano x− y + z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 1.