Aula 5 - FUNÇÃO QUADRÁTICA - OK

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1 
 
 
 
 
 Função Quadrática 
 
Introdução 
 
Chamaremos de função quadrática toda função cuja equação é dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b 
e c são números reais com a  0. A representação gráfica da função quadrática é uma curva chamada 
parábola. 
 
 
 a < 0 
 
a4

 
 
 
 a > 0 
 
a2
b

 
 
 
 
 
Pontos notáveis para construção do gráfico de uma parábola 
 Vamos agora determinar alguns pontos que são importantes para a construção do gráfico de uma 
parábola. 
 
a) ponto onde a parábola intercepta o eixo y 
 Como no eixo y temos x = 0, substituindo na equação da parábola encontramos y = c. 
 
b) pontos onde a parábola intercepta o eixo x 
 Como no eixo x temos y = 0, teremos ax2 + bx + c = 0  x = 
a2
b 
 onde  = b2 – 4ac. 
 Resolvendo a equação do 2° grau encontraremos as raízes da função: x1 e x2 
 
c) vértice da parábola : 
 xv = 
a2
b
 e yv = 
a4

 ou então temos: xv = 
2
xx 21 
 e yv = f(xv) 
 
Exemplo 1. Utilizando os pontos notáveis, esboce o gráfico das funções abaixo e determine seu 
conjunto imagem. 
a) f(x) = x2 - 2x - 8 
b) g(x) = - x2 + 4x 
c) h(x) = x2 - 6x + 9 
d) i(x) = - x2 + 2x - 2 
x2 x1 
c 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 2 
 
 
Exemplo 2. Obter a lei da função representada no gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações da função quadrática 
 
Problema 1. Um terreno retangular cuja largura mede x metros tem 100 m de perímetro. 
a) Obtenha a expressão da área S em função da largura x e esboce o seu gráfico. 
b) Sabendo que na região onde o terreno se encontra o metro quadrado vale R$120,00 e que esse 
terreno foi avaliado em R$ 72.000,00, determine a largura e o comprimento dele. 
 
 
Problema 2. Em uma indústria de sucos, um equipamento de pressurização (que produz aumentos de 
pressão) permanece em funcionamento ininterruptamente das 8 horas às 18 horas. A temperatura do 
óleo lubrificante do motor desse pressurizador, em graus Celsius, varia conforme a função f(x) = -2x2 + 
56x - 302. 
a) Esboce o gráfico dessa função. 
b) Qual o intervalo de variação da temperatura do óleo lubrificante durante o período de funcionamento? 
 
 
Problema 3. Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, ela atinge a 
altura h (em metros) dada por h(t) = 40t - 5t2. A altura máxima atingida pela pedra e o instante t em que 
isso ocorre são, respectivamente: 
a) 80m e 3s 
b) 60m e 3s 
c) 60m e 4s 
d) 80m e 4s 
e) 100m e 4s 
 
 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 3 
 
 
 
 
Problema 4. Uma peça será recortada de uma chapa de madeira retangular de 2,80m por 2,40m. O 
formato da peça deverá ser o de um quadrado de lado x metros, unido com um trapézio isósceles, 
conforme a figura abaixo. Determine x, em metros, para que a área removida seja máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5. Uma das grandes vantagens da produção em série (muitas unidades produzidas de modo 
automático) é o fato de que o custo por unidade geralmente é decrescente, desde que não sejam 
necessários investimentos extras, pois, nesse caso ele volta a crescer. O dono de uma empresa notou 
que o custo em reais para produzir cada unidade de certo produto, era dado pela função C(n) = n2 - 
100n + 2.510, com n > O. 
a) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo por unidade seja mínimo? 
b) Nas condições do item anterior, calcule o custo mínimo. 
 
Problema 6. O quadrado abaixo representa o piso da entrada de um edifício cuja área mede 144 m2. 
O arquiteto decidiu que a região em verde seja revestida com mármore, que custa R$150,00 o metro 
quadrado, e o restante do piso com granito, ao preço de R$120,00 o metro quadrado. Calcule o valor 
de x para o qual o custo é máximo e determine esse custo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 4 
 
 
Problema 7. Observe atentamente as figuras de uma pá e calcule a e b, admitindo que os valores 
numéricos no plano cartesiano estão em centímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 8. A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m 
e altura central OC = 5,6m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é 
tangente ao solo, e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. 
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua 
extremidade P em determinado ponto do arco parabólico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy. 
 
 
 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 5 
 
 
 
 
 GABARITO 
 
Aplicações da função quadrática 
Problema 1. 
a) S(x) = - x2 + 50x 
 
 
 
 
 
 
 
b) 20 m de largura e 30 m de comprimento, ou 30 m 
de largura e 20 m de comprimento. 
 
Problema 2. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 18º C a 90º C 
 
Problema 3. 
Resposta: D 
 
Problema 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 6 
 
 
 
Problema 5. 
 a) 50 unidades 
 b) 10 reais 
 
Problema 6. 
x = 4 e R$ 20.160,00 
 
Problema 7. 
Observe que o ponto T é (3,5; a) e S é (0; b). 
Como T e S pertencem ao gráfico de y = - x2 + 20, temos: 
a = - (3,5)2 + 20 → a = 7,75 
b = - (0)2 + 20 → b = 20 
Resposta: a = 7,75 e b = 20 
 
Problema 8. 
Com base na foto, concluímos que a lei que descreve o arco parabólico é 
y = ax2 + 5,6. 
Como AB = 8 m e os pontos A e B são simétricos em relação ao vértice, 
o ponto (4, 0) pertence a parábola. 
Assim, 0 = a . 42 + 5,6 => a = - 0,35; 
A distância de P a Oy é dada por 
- 0,35x2 + 5,6 = 2,45 => x = 3, 
ou seja, 3 metros. 
Resposta: 3 metros.