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Aula 7 - LOGARITMOS

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1 
 
 
 
 
 Logaritmos 
 
Logaritmos 
A partir do Renascimento, houve enormes avanços na Astronomia, na 
Engenharia, na Química, na Física, na Medicina e outras atividades científicas. 
Nas áreas que envolvem estudos quantitativos, sentia-se cada vez mais a falta 
de recursos para enfrentar os cálculos. Em 1614, após pelo menos, 20 anos 
de trabalho, o matemático escocês John Napier publicou um método eficiente 
que facilitava muito a tarefa de calcular: os chamados logaritmos. 
 
 
Observe o seguinte exemplo: qual o produto de 32 por 128? 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 
 
 32 x 128 = 4096 
 
 
 
 5 + 7 = 12 
 Assim os logaritmos facilitavam os cálculos: transformando multiplicações em adições e 
divisões em subtrações. Observe ainda que a tabela anterior é uma tabela de expoentes (logaritmos) 
para potências na base 2, por exemplo: o expoente (logaritmo) de 32 na base 2 é igual a 5. Em 
matemática escrevemos: log232 = 5 pois 25 = 32. 
 
Definição. Seja a > 0, b > 0 e b  1, então o logaritmo de a na base b é definido por: 
 
logba = x  bx = a 
 
 
Exemplos – Calcule os seguintes logaritmos: 
a) log525 b) log10(0,1) c) log93 d) log55 e) log131 
 
Exercícios – Utilizando a definição, calcule os seguintes logaritmos: 
a) log264 b) log4(0,25) c) log1/2
8
 d) log10(0,01) e) 
)144(log
32
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 2 
 
 
 
Observação – Um dos logaritmos que possui mais aplicações é o logaritmo de base 10 que é chamado 
logaritmo decimal. Esses logaritmos são muito comuns em cálculos de juros e em estudos de 
concentrações de soluções químicas. Para esse tipo de logaritmo utilizaremos a seguinte notação: 
log10a = loga 
 
Propriedades imediatas 
P1. logbb = 1 P2. logb1 = 0 P3. 
ab
alogb 
 
 
Exercícios – Utilizando as propriedades imediatas efetue os cálculos abaixo: 
a) log10 b) log131 c) 5log22 d) 5log3 22  e) 5log24 
 
Propriedades operacionais 
 Sendo b um número positivo e diferente de 1, e sendo a e c números positivos, temos as 
seguintes propriedades: 
P4. logb(a.c) = logba + logbc Exemplo: log2(8.4) = log28 + log24 
 
P5. 
clogalog)
c
a
(log bbb 
 Exemplo: 
4log8log)
4
8
(log 222 
 
 
P6. logban = n.logba Exemplo: log243 = 3.log24 
 
Exercícios 
1. Sendo loga = r, logb = s e logc = t, obtenha em função 
)
c
ba
log(
23 em função de r, s e t. 
2. Sendo log2  0,30 e log3  0,48 calcule valores aproximados para: 
 a) log6 b) log72 c) log(1,5) d) log
2
 e) log5 
 
Mudança de base 
 Sendo b e c números positivos e diferentes de 1 e a um número positivo, temos: 
 
blog
alog
alog
c
c
b 
 
Exercícios 
 
1. Sendo log2a = x, calcule log8a em função de x. 
2. Sendo log2 = 0,30 e log3 = 0,48 calcule log23 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 3 
 
 
 
 
Uma aplicação de exponencial e logaritmos 
 Suponhamos que uma represa de área igual a 128 km2 tenha sido infestada por uma vegetação 
aquática. Suponhamos também que, por ocasião de um estudo sobre o problema, a área tomada pela 
vegetação fosse de 8 km2 e que esse estudo tivesse concluído que a taxa de aumento da área 
cumulativamente infestada era de 50% ao ano. Nessas condições: 
a) Qual seria a área infestada n anos depois do estudo, caso não fosse tomada nenhuma 
providência? 
b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? 
(Use os valores aproximados log2 = 0,30 e log3 = 0,48) 
 
 
 
O logaritmo natural 
 Existe um logaritmo de grande utilidade para o Cálculo, é o logaritmo cuja base é o famoso 
número e = 2,7182..., chamado número de Euler. Esse logaritmo é chamado logaritmo natural ou 
logaritmo neperiano e será representado por lna, ou seja, lna = logea. 
 
Exemplos: a) ln1 = 0 b) lne = 1 c) ln2 = 0,693... 
 
Função logarítmica 
 Chamaremos de função logarítmica toda função cuja equação é dada por f(x) = logbx. 
 
Exemplos – Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = log2(x) b) f(x) = log1/2(x) 
 
Observações 
 D(f) = { x  R / x > 0} e Im(f) = R 
 Se b > 1 então f é crescente. 
 Se 0 < b < 1 então f é decrescente. 
 f : 
*R
 R, f(x) = logbx é bijetora, logo possui inversa. 
 
 
Equações logarítmicas 
 A resolução de equações que envolvem logaritmos é fundamentada na seguinte propriedade: 
 
 logbx = logby  x = y onde 0 < b  1, x > 0 e y > 0 
 
 Exercícios – Resolva as seguintes equações logarítmicas: 
a) log2(x – 1) = 3 b)log(2x – 8) = log(x + 2) c)log5x + log5(x – 2) = log53 
d) 2logx = log4 + log(x + 3)

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