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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1 Logaritmos Logaritmos A partir do Renascimento, houve enormes avanços na Astronomia, na Engenharia, na Química, na Física, na Medicina e outras atividades científicas. Nas áreas que envolvem estudos quantitativos, sentia-se cada vez mais a falta de recursos para enfrentar os cálculos. Em 1614, após pelo menos, 20 anos de trabalho, o matemático escocês John Napier publicou um método eficiente que facilitava muito a tarefa de calcular: os chamados logaritmos. Observe o seguinte exemplo: qual o produto de 32 por 128? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 32 x 128 = 4096 5 + 7 = 12 Assim os logaritmos facilitavam os cálculos: transformando multiplicações em adições e divisões em subtrações. Observe ainda que a tabela anterior é uma tabela de expoentes (logaritmos) para potências na base 2, por exemplo: o expoente (logaritmo) de 32 na base 2 é igual a 5. Em matemática escrevemos: log232 = 5 pois 25 = 32. Definição. Seja a > 0, b > 0 e b 1, então o logaritmo de a na base b é definido por: logba = x bx = a Exemplos – Calcule os seguintes logaritmos: a) log525 b) log10(0,1) c) log93 d) log55 e) log131 Exercícios – Utilizando a definição, calcule os seguintes logaritmos: a) log264 b) log4(0,25) c) log1/2 8 d) log10(0,01) e) )144(log 32 Prof. Roger Rodrigues da Silva 2 Observação – Um dos logaritmos que possui mais aplicações é o logaritmo de base 10 que é chamado logaritmo decimal. Esses logaritmos são muito comuns em cálculos de juros e em estudos de concentrações de soluções químicas. Para esse tipo de logaritmo utilizaremos a seguinte notação: log10a = loga Propriedades imediatas P1. logbb = 1 P2. logb1 = 0 P3. ab alogb Exercícios – Utilizando as propriedades imediatas efetue os cálculos abaixo: a) log10 b) log131 c) 5log22 d) 5log3 22 e) 5log24 Propriedades operacionais Sendo b um número positivo e diferente de 1, e sendo a e c números positivos, temos as seguintes propriedades: P4. logb(a.c) = logba + logbc Exemplo: log2(8.4) = log28 + log24 P5. clogalog) c a (log bbb Exemplo: 4log8log) 4 8 (log 222 P6. logban = n.logba Exemplo: log243 = 3.log24 Exercícios 1. Sendo loga = r, logb = s e logc = t, obtenha em função ) c ba log( 23 em função de r, s e t. 2. Sendo log2 0,30 e log3 0,48 calcule valores aproximados para: a) log6 b) log72 c) log(1,5) d) log 2 e) log5 Mudança de base Sendo b e c números positivos e diferentes de 1 e a um número positivo, temos: blog alog alog c c b Exercícios 1. Sendo log2a = x, calcule log8a em função de x. 2. Sendo log2 = 0,30 e log3 = 0,48 calcule log23 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 3 Uma aplicação de exponencial e logaritmos Suponhamos que uma represa de área igual a 128 km2 tenha sido infestada por uma vegetação aquática. Suponhamos também que, por ocasião de um estudo sobre o problema, a área tomada pela vegetação fosse de 8 km2 e que esse estudo tivesse concluído que a taxa de aumento da área cumulativamente infestada era de 50% ao ano. Nessas condições: a) Qual seria a área infestada n anos depois do estudo, caso não fosse tomada nenhuma providência? b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? (Use os valores aproximados log2 = 0,30 e log3 = 0,48) O logaritmo natural Existe um logaritmo de grande utilidade para o Cálculo, é o logaritmo cuja base é o famoso número e = 2,7182..., chamado número de Euler. Esse logaritmo é chamado logaritmo natural ou logaritmo neperiano e será representado por lna, ou seja, lna = logea. Exemplos: a) ln1 = 0 b) lne = 1 c) ln2 = 0,693... Função logarítmica Chamaremos de função logarítmica toda função cuja equação é dada por f(x) = logbx. Exemplos – Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = log2(x) b) f(x) = log1/2(x) Observações D(f) = { x R / x > 0} e Im(f) = R Se b > 1 então f é crescente. Se 0 < b < 1 então f é decrescente. f : *R R, f(x) = logbx é bijetora, logo possui inversa. Equações logarítmicas A resolução de equações que envolvem logaritmos é fundamentada na seguinte propriedade: logbx = logby x = y onde 0 < b 1, x > 0 e y > 0 Exercícios – Resolva as seguintes equações logarítmicas: a) log2(x – 1) = 3 b)log(2x – 8) = log(x + 2) c)log5x + log5(x – 2) = log53 d) 2logx = log4 + log(x + 3)
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