Aula 8 - TRIGONOMETRIA

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 1 
 
 
 
 
 Trigonometria 
 
 
Os fundamentos da Trigonometria (originária do grego trigon = triângulo e 
metria = medida) foram estabelecidos há cerca de 3000 anos pelos 
babilônicos. Mas os principais responsáveis pelo desenvolvimento da 
trigonometria foram os matemáticos gregos. Consta-se que o astrônomo 
Hiparco de Nicéia (180 – 128 a.C.) foi o primeiro a aplicar a Trigonometria 
para calcular distâncias inacessíveis, sendo por isso considerado “o pai da 
Trigonometria”. 
 
Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
 As definições abaixo são fundamentadas em semelhança de triângulos. 
 Considere um triângulo ABC retângulo em A, então definimos: 
 
 C 
 hipotenusa 
 
 c 
 
 b 
 
 cateto oposto 
  
 
 A a B 
 
 
 cateto adjacente 
 
Origem das palavras cateto e hipotenusa 
Cateto: cathetós: (perpendicular). Hipotenusa: hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) 
 
Teorema de Pitágoras – A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: 
a2 + b2 = c2 
 
Definição 1. Seno do ângulo  (abreviação: sen) 
 
hipotenusa
aopostocateto
sen


 
 
Definição 2. Cosseno do ângulo  (abreviação: cos) 
 
hipotenusa
aadjacentecateto
cos


 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 2 
 
 
Definição 3. Tangente do ângulo  (abreviação: tg) 
 
 



aadjacentecateto
aopostocateto
tg
 
 
 
Exemplo – A figura mostra a frente de um galpão cujo telhado AB tem inclinação de 25° em relação ao 
solo. Calcule a distância AB, sabendo-se que a distância entre os pilares P1 e P2 é igual a 8m. Dados: 
sen 25° = 0,42; cos 25° = 0,91 e tg 0,25° = 0,46. 
 
 
 A 
 
 
 
 B 
 
 
 
 
 
 
 8 m 
 
 P1 P2 
 
 
Ângulos notáveis 
 Por causa da grande freqüência de utilização, a tabela a seguir deve ser memorizada. 
 
 30° 45° 60° 
seno 
 
2
2
 
2
3
 
cosseno 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
tangente 
3
3
 
1 
3
 
 
Exercícios 
1. Considerando as figuras abaixo determine o seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis. 
 
 
 
 a a a 
 
 
 
 
 a a 
2
1
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 3 
 
 
 
 
Você sabia... Que a Trigonometria teve seu início na antiguidade remota, quando se acreditava que os 
planetas descreviam órbitas circulares em redor da Terra, surgindo daí o interesse em relacionar o 
comprimento da corda de uma circunferência com o ângulo central por ela subtendido. Esta é a origem 
da palavra seno, que provém de uma tradução equivocada do árabe para o latim, quando se confundiu 
o termo jiba (corda) com o jaib (dobra, cavidade, sinus em latim). 
 
2. De um ponto A uma pessoa enxerga o topo de um obelisco, segundo um ângulo de 30°. Ao se 
aproximar 50 m do obelisco ele passa a ver o topo sob um ângulo de 60°. Qual é a altura desse 
obelisco? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 50 m 
 
 
 
 
3. Uma estação espacial que gira numa órbita estacionária afastada 600 km da superfície da Terra 
avista um OVNI (objeto voador não identificado) numa direção perpendicular à linha imaginária de 
distância à Terra. Sabendo-se que essa estação terrestre avista o mesmo OVNI sob um ângulo de 30° 
desta linha imaginária, pergunta-se a que distância o OVNI encontra-se da Terra? 
 
 
 
 600 km 
 
 
 30° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 4 
 
 
Ângulos complementares 
 Na figura abaixo observe que os ângulos  e  são complementares e vale: 
 
 sen = cos sen = cos tg = 
tg
1
 
 
 
 c 
 a  
  
 
 
 
Medidas de arcos 
 Nos próximos assuntos iremos nos preparar para ampliar os conceitos de seno, cosseno e 
tangente. A trigonometria passará a ocupar toda uma circunferência. 
 
O número  
 Sejam C e 2r, respectivamente, o perímetro (comprimento) e o diâmetro de uma circunferência. 
Desde muito tempo os antigos já sabiam que a razão 
r2
C
 é constante para qualquer circunferência. A 
busca de tal constante foi um desafio para muitos matemáticos até que o grego Arquimedes (287 a.C.) 
calculou essa razão. Para Arquimedes, 
r2
C
= 3,1415. Hoje sabemos que essa constante é na verdade 
um número irracional e indicamos essa constante pela letra grega . Assim temos: 
 
r2
C
=   C = 2r 
 
 r 
Exemplo. Qual é o comprimento de uma circunferência de raio r = 3 cm? 
 
 
Arco de circunferência 
 Sobre uma circunferência tomemos dois pontos distintos A e B, que separam os pontos 
restantes dessa circunferência em dois subconjuntos. As figuras constituídas pelos dois pontos, A e B, 
e cada um dos subconjuntos por eles determinados chamam-se arcos, e o segmento AB chama-se 
corda. 
 
 A 
 
 
 
 
 
 B 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 5 
 
 
 
 
 
Observação – Para medir um arco menor que uma semicircunferência, usaremos o ângulo central 
correspondente. A medida do arco será a medida do ângulo central. 
 
 
Unidades de medidas de arcos 
a) Grau 
 É o arco unitário que corresponde a 
360
1
 da circunferência. Símbolo: ( )° 
 Assim podemos dizer que a circunferência mede 360°. 
 
b) Radiano 
 É o arco unitário cujo comprimento (l) é igual ao raio da circunferência. Símbolo: ( ) rad. 
 Sendo l o comprimento do arco temos que m(AB) = 
r
l
 rad. 
 
Exemplo 1. Quantos radianos mede um arco de 6 cm de comprimento contido numa circunferência de 
raio 2 cm? 
 
Exemplo 2. Quantos radianos possui uma circunferência de raio r? 
 
 
Conversão de unidades 
 rad = 180° 
 
 
 
Exemplo 1. Quanto mede em radianos um arco de 200°? 
 
Exemplo 2. Quantos graus mede um arco de 
3
2
rad? 
 
Exemplo 3. Quantos graus mede um arco de 1 rad? 
 
 
Exercício 
Qual a medida em graus de um arco de comprimento 2 metros contido numa circunferência de raio 8 
m? 
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva 6 
 
 
Arcos trigonométricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 7 
 
 
 
 
Seno e cosseno de um arco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Roger Rodrigues da Silva8 
 
 
 
Relação fundamental da trigonometria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Principais relações da trigonometria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 9 
 
 
 
 
 
Gráfico das principais funções trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Vamos agora verificar o que ocorre com o gráfico das funções seno e cosseno quando 
fazemos algumas alterações. 
 
Exercício – Esboce no mesmo plano cartesiano o gráfico das seguintes funções: 
 
a) y = senx e y = 2 + senx 
b) y = senx e y = 2senx 
c) y = senx e y = sen2x 
d) y = 1 + 2sen(2x) 
e) y = senx e y = cosx 
f) y = - 2 + cosx 
Conclusão