Apostila Calculo 3

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Notas de aula - Cálculo III 
Integral Tripla 
Coordenadas Cilindras e Esféricas 
Integral de linha 
Teorema de Green 
Prof. Ticiano A. Bastos. 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Integração Tripla 
 

S
dvzyxf ),,(
 
 

S
zyxf ),,(
dzdydx
 
 
dzdxdy
 
 
Se f(x,y,z) = 1 

S
dvV
 
Cálculo é análogo a integração dupla. 
 
Exemplo: 
 
Calcula as integral. 
 
   





2
0
2
0 0
cos)1

xz
dydxdz
z
y 
= 
  








2
0
2
0 0

dxdz
z
y
zsen
xz
 
= 
   
2
0
2
0
0

dxdzzsenzsenx
 
= 
 
2
0
2
0

zsenxdxdz
 
= 
  
2
0
2
0cos

xz
 
= 

0
0
zdz
 
= 2
0
2
2



z 
= 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
... 
dy
z
du
z
y
u
1


 
 
 
3 
  
2
1
ln
0
2
)2
y
y
x
zdzdxdyye
 
 
 
 
dyy
yy
dyy
y
y
y
dyy
y
y
y
dyyx
yx
dxdyyyx
dxdyyye
dxdyey
dzdxdyey
y
y
y
y
y
y
x
y
y
xz
y
y
x
z




 
 
 
  















































2
1
2
35
2
1
2
3
3
5
2
1
2
3
3
5
2
1
2
2
1
2
1
ln
2
1
ln
0
2
1
ln
0
2
3
2
22
22
2
2
2
2
2
2
 
 
24
47
24
89264144128
3
1
8
3
12
1
3
8
8
48
12
64
38
3
12
2
1
346








yyy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xe x ln 
x
x
ex
e
e
x
x





?
ln?ln
ln?lnln
ln?ln
?
ln
ln
 
 
 
 
4 
Usando Integração tripla para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies. 
 











6
3
4
)1
2
z
z
y
xy
 













1
0
2
1
3
)2
z
y
y
x
xz
 













xz
z
yx
y
x
3
1
0
2
1
)3
 











xy
xy
z
yxz
2
0)4
2
 











4
0
4
)5
2
y
xy
z
yz
 











2
6
4
3
)6
2
2
z
yz
xy
xy
 
 
Coordenadas Cilíndricas 
 
 Sistema de coordenadas tridimensional onde os pontos são dados por 
 .,, z
 
 Nesse sistema 
 ,
 compõem o sistema polar e z é um eixo perpendicular ao plano polar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Dada a equação em coord. cartesiana, passar para coord. cilíndrica 
22
222
5
5)
z
zyxa



 
3
3
3
3)
arctg
tg
x
y
xyb






 
3

 
 
 
 
2) Dada a equação em coordenada cilíndrica passar para coord. cartesiana. 
 2
2
1
) 2senza 
 
 cos2
2
1 2 senz 
 
 cossenz 
 
yxz 
 
 
623cos)  zsenb  
623  zyx
 eq. de um plano. 
 
x 
y 
z 

 

 
P(x,y,z) coordenada cartesiana 
 zP ,,
 coordenada cilíndrica 








zz
seny
x

 cos
 
22 yx
x
y
arctg



 
 
 
5 
3) Dadas as superfícies 
922  yx
 e 
,yz 
 esboçar o sólido. No 1º octante, armar a integral que dê o volume 
em coordenadas cartesianas e calcular o volume em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
4) Idem ao 3 para 
422  yx
 e 
xz 
 no 1º octante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
5) Seja o sólido no 1º octante limitado por 
1z
 e 
.5 22 yxz 
 Pede-se: 
a) Esboçar o sólido. 
b) Armar a integral que dê o volume em coordenadas cartesianas. 
c) Calcular o volume em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
6) Idem ao 5. 
1z
 e 
225 yxz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
7) Dadas as integrais em coordenadas cilíndricas, esboçar o sólido e calcular em coordenadas cilíndricas. 
   


2
0
4
0
6
0
2
1
22
2
)
x
dzdydxyxa
a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
b) 
  


5
0
25
0
6
0
22
2x
yx
dzdydx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Coordenadas Esféricas 
 
 Os pontos M do espaço são dados pelas variáveis 
eR ,, 
 onde: 
:R
 distância da origem ao ponto M. 
:e
 ângulo entre R e eixo z. 
:
 ângulo entre projeção de R sobre o plano xy e eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Transformar as equações para coord. esféricas. 
 
9) 222  zyxa
 
392  RR
 
 
x 
y 

 
e
 
R
 
 eRM ,,
 

 
z 

 
0R
 
 20 
 
 e0
 
R
z
e cos
 
eRz cos
 
R
esen


 
eRsen
 
eRsen
x

cos
 
coseRsenx  
eRsen
sen
y


 
esenRseny 
 
Equações que transformam esférica para cartesiana. 
222 Rz  
 
2222 Ryxz 
 x
y
arctg
 R
z
e cos
 
222
cos
zyx
z
e


 
Equações que transformam de cartesiana para esférica. 
 
 
12 
 222) yxzb 
 
22cos eR
 


cos
2 2
R
 
eR sec2 2
 
eesenRR sec2 22
 
 
2) Transformar as equações para coord. cartesiana. 
2) Ra
 
2222  zyx
 
4222  zyx
 
 
Transformação de uma integral para coord. esférica 
 
    ?,,,,
'
 
SS
eRfdvzyxf 
 
deddRJdv 
 
 
 
Rsenee
esenRRsenesenesen
eRRsenesene
e
zz
R
z
e
yy
R
y
e
xx
R
x
eR
zyx
J































cos
coscos
coscoscoscos
,,
,,
 
 
 
 
 
 
 
Integrais 
 
   dzdydxzyxf
S
,,
 coord. cartesiana 
    dddzzf
S
,,
 coord. cilíndrica 
   deddRseneReRf
S
 2,,
coord. esférica 
 
 
 
 
 
... 
deddRseneRdv
seneRJ
2
2


 
eRz
Rseneseny
Rsenex
cos
cos





 
 
 
13 
Volume 
 

S
dzdydxV
 coord. cartesiana 

S
dddzV 
 coord. cilíndrica 

S
dedRdseneRV 2
 coord. esférica 
 
Coord. cilíndrica Coord. esférica 





dddzdv
yx
tg
x
y
seny
x





222
cos
 
 
Exercícios 
 
1) Dado 
  
 3
0
9
0
9
0
2 22x yx
dzdydxxz
 pede-se: 
a) Esboçar o sólido. 
b) Armar a integral em coord. cilíndrica. 
c) Calcular a integral em coord. esférica. 
 
2) Calcular o volume do sólido no 1º octante onde: 









0
0
1 22
xexy
z
yxz
 
 
3) Calcular o volume do sólido onde 









0
0
1 22
yexy
z
yxz
 
 
4) Calcular o volume no 1º octante onde: 














0
3
0
0
1 22
y
xy
y
z
yxz
 
 
dedRdseneRdv
Rzyx
Rsene
eRz
senRseney
Rsenex




2
2222
cos
cos






 
 
 
14 
Nos problemas 5 a 6, esboce o sólido S, e calcule cada integral tripla. 
 
5) 
  ,23 dxdydzyx
S
 
 onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 0 
e lateralmente pelo cilindro com geratrizes paralelas ao eixo z, sobre a região quadrada 
;11:  xR
 
.31  y
 
 
6) 

S
dxdydzxy ,3
 onde S é o sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e o plano 
.6 zyx
 
 
Nos problemas 7 a 10, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral. 
 
7) 
 
S
dxdydzyx ,22
 onde S é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano 
z = 4 e pelo cilindro 
.2522  yx
 
 
8) 
  
S
dxdydzyx ,
2/322
 onde S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide de revolução 
,4 22 yxz 
 inferiormente pelo plano xy, lateralmente pelo cilindro 
.422  yx
 
 
9) 
,
22 S yx
dxdydz
 onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 1 e 
lateralmente pelo cilindro 
.1622  yx
 
 
10) 

S
dxdydzx ,2
 onde S: 
422  yx
 e 
.50  z
 
 
Operadores Diferenciais. 
 
1. Função escalar ou campo escalar: é uma função 
,: RDf 
 onde 
.3RD 
 
  yzxyzyxf ,,
 
 
2. Função vetorial ou campo vetorial: é uma função que associa a cada ponto de D um vetor do conjunto V. 
Ex: 
kxzjyzixyzv 22 
 
 
3. Operador Del: o operador é um símbolo que, anteposto a uma função indica as transformações que tal função 
deve sofrer. 
 
4. Operador Del ou operador nabla é o vetor simbólico 
,k
z
j
y
i
x 








 usado nas definições. 
Escalares ou vetoriais como gradiente, divergente e rotacional. 
 
 
15 
4.1. Gradiente de função escalar (resultado vetorial) 
 Chamamos gradiente de função escalar 
 zyxf ,,
 a função vetorial: 
k
z
f
j
y
f
i
x
f
f










 
Exemplos: 
1) Dada a função 
  .,, xzezyxf xy 
 Calcular 
f
 
     
    kxjxeizyef
kxze
z
jxze
y
ixze
x
f
xyxy
xyxyxy










 
 
2) Calcular o gradiente da função 
  zyxzyxf  222,,
 no ponto 
 .3,1,2 
 
     
  kji
kjyixf
z
kzyx
y
jzyx
x
izyx
f











283,1,2
24
222 222222
 
 
OBS: se 
0),,( zyxf
 é a equação de uma superfície S, o vetor gradiente de f é perpendicular à superfície no 
ponto considerado. 
fN 
 (vetor normal à superfície), 
f
f
n


 


 (vetor normal unitário). 
Exemplo: 
Dado 
,2xy 
 determinar um vetor unitário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02  xy
 ou 
02  yx
 
ffn 
 
14
2
2 


x
jix
n
 
14
2
2 


x
jix
n
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
z 
 
 
16 
4.2. Divergente de uma função vetorial 
 Chamamos de divergente de uma função vetorial de 
kzyxfjzyxfizyxf

),,(),,(),,(V 321 
 a função 
escalar 
 kzyxfjzyxfizyxfk
z
j
y
i
x

),,(),,(),,(V 321 














 
 
z
f
y
f
x
f








 321V
 . 
 
Exemplo 1: Calcular o divergente da função 
kzxjyzizxyV 322 
 
kzxjyzizxyV 322 
 
222 3 zxzzyV 
 
 
Exemplo 2: Calcular 
r
 sendo 
kzjyixr 
 
3111  r
 
 
Interpretação Física. 
 
 Se 
kzyxfjzyxfizyxf

),,(),,(),,(V 321 
 é um campo vetorial que indica as velocidades das 
partículas de um fluido em movimento, o divergente de 
V
 , indica a quantidade de fluido que diverge de um ponto, 
por unidade de volume na unidade de tempo. 
 Se 
0V 
 , no ponto A, dizemos que o fluido converge ou escoa, no ponto A, e A é chamado de Sumidouro. 
 Se 
0V 
 , no ponto A, dizemos que o fluido diverge, no ponto A, e A é chamado de Fonte. 
 Se 
E
 é um campo elétrico, 
E


 indica o número de linhas de força que entra ou sai de uma região por 
unidade de tempo. (Densidade de linhas de força que entram ou saem). 
 Se 
0E 
 , E é chamado Solenoidal o que indica não haver nem fonte nem sumidouro. 
 Se 
0E 
 , 
E
 é campo divergente (no interior da superfície existem excesso de cargas positivas). 
Se 
0E 
 , 
E
 é campo convergente (no interior da superfície existem excesso de cargas negativas). 
 
4.3 Rotacional de uma função vetorial 
 
 Chamamos rotacional de uma função vetorial 
kzyxfjzyxfizyxf

),,(),,(),,(V 321 
 a função vetorial 
321
Vx
fff
zyx
kji









 
 
 
 
 
 
 
 
17 
Exemplo 1: Dado 
.2 kxyzjyziyxV 
 Calcular 
V
 
 
xyzyzyx
zyx
kji
2
Vx









 


































y
yx
x
yz
k
z
yx
x
xyz
j
z
yz
y
xyz
i
22
Vx
 
     kxjyziyxz 200Vx 
 
 
Exemplo 2: Se 
,22 kyzixyV 
 calcular o 
V
 no ponto 
 2,3,1P
 
22 0
Vx
yzxy
zyx
kji










 


































y
xy
x
k
z
xy
x
yz
j
zy
yz
iV
2222 00
 
     xykjizV 202 
 
kiV 64 
 
 
Exercícios. 
 
1) Determinar um vetor normal unitário à superfície dada no ponto indicado. 
)0,0,0(
43) 22
P
yxza 
 
)1,1,1(01) 22
P
zyxb 
 
 
2) Se f(x,y,z) = xy + yz + xz, calcular 
f
 no 
).2,1,1(P
 
 
3) Se 
      ,222 kxyzjxzyiyzxu 
 calcule 
.u
 
 
4) Se 
kxjxizu  22
 e 
zyxzyxf 222),,( 
 calcular: 
 fd
fc
ub
ua




)
)
)
)
 
 
5) Calcular 
,V
 no ponto 
)3,2,1( P
 se 
  .322 423 kzjxyiyxV 
 
 
 
 
18 
6) Determinar o valor de m para que 
 kzmzjmyzimxE 42 2
 seja solenoidal. 
 
7) Calcular 
 V
 sendo 
.2 kzjsenxzieV xy 
 
 
A Integral de linha. 
 
 Seja C uma curva contínua do R
3
 de modo que em cada um de seus pontos esteja definido um vetor 
      .,,,,,, 321 kzyxfjzyxfizyxfF 
 
 Dividimos o arco AB da curva C em "n" arcos 
ii PP 1
 
 Em 
iP
 temos o vetor 
iF
 e para cada arco 
ii PP 1
 
fica definido um vetor 
.1 iii rPP 
 
 Formamos os "n" produtos escalares 
ii rF 
 e 
efetuamos a soma 



n
i
iin rFS
1
 
 
 
 Chamamos integral de linha de 
F
 ao longo da curva C de A até B, o limite: 
 


n
i
B
Ac
ii
n
rdFrF
1
lim
 
se existir e for finito. 
 
Expressão cartesiana de 
 
B
Ac
rdF
 
 Temos 
      ,,,,,,, 321 kzyxfjzyxfizyxfF 
 
kdzjdyidxr 
 e 
kdzjdyidxrd 
. Assim, 
dzfdyfdxfrdF 321 
 e 
  
B
Ac
B
Ac
dzfdyfdxfrdF 321
 
 
Interpretação 
 
 Se 
 zyxF ,,
 é uma força que desloca uma partícula ao longo de C, a integral de linha 
 c rdF
 é o trabalho 
realizado por 
.F
 
 
Exercícios 
 
1) Sendo 
jxyixF 22 
 e C a parábola 
2xy 
 calcular 
 c rdF
 de A(1,1) até B(2,4). 
 
2) Sendo 
    kzjzyiyxF 
 e C a reta definida pelos pontos A(1,-1,1) e B(0,2,-1), calcular 
 c rdF
 de 
A até B. 
 
 
 
 
19 
3) Calcular 
 c rdF
 onde 
jxyiF 
 e C é a curva definida por 
.
21,2:
11,:
2
2
1






xsexyC
xsexyC 
 
4) Sendo 
jxyixF 
 e c o contorno da região R limitada pelas curvas 
.31,2  yxeyxy
 Calcular 
 c rdF
 
 
Teorema de Green (pode trabalhar apenas no R
2
 e caminho fechado) 
 
 O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C e 
uma integral dupla na região R do plano limitada por C. Por convenção, a orientação positiva de uma curva simples 
fechada C se refere a percorrer C no sentido anti-horário uma única vez. 
Teorema: Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-horário, e R a região 
fechada delimitada por C. Se 
 jyxfiyxfyxF ),(),(),( 21
 é um campo vetorial contínuo com derivadas 
parciais de 1ª ordem contínuas em um domínio D que contém R, então: 
 
dxdy
y
f
x
f
dA
y
f
x
f
F
RRC
 























1212rd .
 
 
Exemplos 
 
1) Aplicar o teorema de Green no exercício anterior (nº 4) 
 
 

 
 
 
 
  














c
c
c
y
y
c
y
y
dyyyyrdF
dyyyyyrdF
dyyxrdF
dxdyyrdF
1
0
2
3
2
1
0
1
0
3
1
0
3
3
3
0
 
 
 c rdF 30
23
 
 
 
 
y
x
f
xyf




2
2 
01
1




y
f
xf
 
... 
 
 
20 
2) Se C é o contorno da região limitada pelas curvas 
3y xe 12  xy
, calcule 
)( 2dyxsenxdx
C
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verificar o Teorema de Green no plano para: 
dyxdxyxy
C
 
22 )(
 onde C é a curva fechada que contorna a 
região R limitada pelas curvas 
xy e 2  xy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
4) Calcular 

 rd .
C
F
 onde C é o contorno da região limitada pelas curvas 
4 e 1 2222  yxxy
, sendo y > 0 e 

 jxyiF . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule 
dyxydxx
C
 
4
, onde C é a região triangular construída pelos segmentos de reta de (0, 0) a (1, 0), de 
(1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
6) Calcule
   dyyxdxey
C
senx
  173
2
, onde C é o círculo 
922  yx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcule 
dyxydxy
C
  3
2
, onde C é a fronteira da região semianular D contida no semiplano superior entre os 
círculos 
122  yx
 e 
422  yx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
24 
Exercícios 
 
1) Calcule 
 
C
dyyxdxyx )( 2222
; C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). 
(2/3) 
2) Seja R a região limitada pelas três curvas, cujas equações polares são 
4

 
 , 2 e 
4
3
 
 e seja C uma 
linha delimitadora de R, tomada no sentido anti-horário (no 1º e 2º quadrantes), calcule 
 
C
dyxxydx 2
. 







 
3
2816
 
3) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha em cada exercício. Suponha que C é orientada no 
sentido anti-horário. 
 a) 
dyxdxy
C
2
2

, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). (-2) 
 b) 
dyysenxdxyx
C
)cos 
,onde C é o quadrado com vértices (0, 0); (
2

, 0); (
2

,
2

);(0, 
2

). (0) 
 c) 
 
C
xdyydx
, onde C é o círculo unitário no sentido anti-horário. (0) 
 d) 
 
C
xydyxydx 23
, onde C é o retângulo limitado por x = -2, x = 4, y = 1 e y = 2. (-36) 
 e) 
 
C
xdydxyx )( 22
, C é o círculo 
922  yx
. 
 972
 
 f) 
 
C
dyxyyydxx )( 22
, C é a fronteira da região compreendida por 
22 xe yxy 
. (0) 
 g) 
 
C
xdydxyx )( 2
 e C é o círculo 
422  yx
.  8 
 h) 
 
C
yx dyxedxye )()( 22
 e C é a fronteira da região entre 
xxy  y e 2
. 






 e
15
43
 
 i) 
 

C
dy
y
xy
dxy
1
)1ln(
 e C é o triângulo de vértices (0, 0); (2, 0) e (0, 4). (-4) 
 j) 
 
C
xdyyydxx 22(
, onde C é a fronteira da região no primeiro quadrante, compreendida entre os eixos 
ccoordenados e o círculo 
1622  yx
. (0) 
 
4) Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força 
 jyxiyxxyxF 2)(),(
 ao mover uma 
partícula da origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0, 1), e então de 
volta à origem ao longo do eixo y. 







12
1
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
26