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Aula_06_Integração_Regra de Simpson(2)

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Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
 Integração e Diferenciação Numérica
Prof. Gilson de Souza Santos
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Introdução
Dada uma função f(x), integrável no intervalo [a,b], definimos a integral como sendo:
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Introdução
Dada uma função f(x), integrável no intervalo [a,b], definimos a integral como sendo:
Onde F’(x)=f(x).
Mas quando a forma analítica de F(x) for de difícil obtenção, ou quando conhecermos somente valores discretos de f(x) (como uma tabela de dados), precisamos recorrer a métodos numéricos para a sua resolução.
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
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 Regra de simpson
A Regra de Simpson baseia-se em fazer aproximações para f com polinômios quadráticos em vez de lineares. Fazemos aproximações no gráfico com arcos parabólicos em vez de segmentos de retas.
Se esses pontos não forem colineares, existirá uma única parábola com eixo vertical e que passa por todos esses três pontos. Para ver isto, lembre-se de que a equação de qualquer parábola com eixo vertical tem a forma y=P(x), onde P(x) é um polinômio quadrático.
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
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 Primeira regra de simpson
Também conhecida como regra do 1/3 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 2º grau. A equação geral para a primeira regra de Simpson é:
Onde os coeficientes ci são iguais a 1, para c0 e cn, 4 para os “i” ímpares e 2 para os “i” pares. 
Nota: O número de subintervalos “n” deve ser par.
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Exemplo
Calcule a integral abaixo, utilizando m=4 intervalos.
Como temos m=4 intervalos, utilizamos n=m+1=5 pontos. 
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
 Exemplo
De acordo com a primeira regra de Simpson:
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
*
Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
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 Segunda regra de simpson
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
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 Segunda regra de simpson
Também conhecida como regra dos 3/8 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 3º grau. A equação geral para a segunda regra de Simpson é:
Onde os ci são iguais a 1, para c0 e cn, 2 para os “i” múltiplos de 3 e 3 para os demais.
Nota: O número de subintervalos “n” deve ser múltiplo de 3.
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
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 Segunda regra de simpson
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
 *
Calcule a integral abaixo, utilizando m=6 intervalos.
Colocamos os dados em forma de tabela, para facilitar a interpretação:
 Segunda regra de simpson
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
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Versão 00 
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 Segunda regra de simpson
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
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 Segunda regra de simpson
De acordo com a segunda regra de Simpson:
Cálculo Numérico
Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 
Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade
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Cálculo Numérico
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 Referências
BARROS, Ivan de Queiroz. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Edgard Blücher, 1972.
CONTE, S. D. Elementos de análise numérica. São Paulo: Globo, 1977.
DORN, William S. Cálculo numérico com estudos de casos em FORTRAN IV. São Paulo: Universidade de São Paulo, 1972.
MIRSHAWKA, V. Cálculo numérico. São Paulo: Livraria Nobel S.A., 1983.
ROQUE, W. L. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Atlas, 2000.
Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica 
Versão 00 
Cálculo Numérico

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