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Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Integração e Diferenciação Numérica Prof. Gilson de Souza Santos Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Introdução Dada uma função f(x), integrável no intervalo [a,b], definimos a integral como sendo: Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Introdução Dada uma função f(x), integrável no intervalo [a,b], definimos a integral como sendo: Onde F’(x)=f(x). Mas quando a forma analítica de F(x) for de difícil obtenção, ou quando conhecermos somente valores discretos de f(x) (como uma tabela de dados), precisamos recorrer a métodos numéricos para a sua resolução. Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Regra de simpson A Regra de Simpson baseia-se em fazer aproximações para f com polinômios quadráticos em vez de lineares. Fazemos aproximações no gráfico com arcos parabólicos em vez de segmentos de retas. Se esses pontos não forem colineares, existirá uma única parábola com eixo vertical e que passa por todos esses três pontos. Para ver isto, lembre-se de que a equação de qualquer parábola com eixo vertical tem a forma y=P(x), onde P(x) é um polinômio quadrático. Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Primeira regra de simpson Também conhecida como regra do 1/3 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 2º grau. A equação geral para a primeira regra de Simpson é: Onde os coeficientes ci são iguais a 1, para c0 e cn, 4 para os “i” ímpares e 2 para os “i” pares. Nota: O número de subintervalos “n” deve ser par. Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Exemplo Calcule a integral abaixo, utilizando m=4 intervalos. Como temos m=4 intervalos, utilizamos n=m+1=5 pontos. Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Exemplo De acordo com a primeira regra de Simpson: Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Segunda regra de simpson Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Segunda regra de simpson Também conhecida como regra dos 3/8 de Simpson, este método aproxima os pontos da tabela por equações do 3º grau. A equação geral para a segunda regra de Simpson é: Onde os ci são iguais a 1, para c0 e cn, 2 para os “i” múltiplos de 3 e 3 para os demais. Nota: O número de subintervalos “n” deve ser múltiplo de 3. Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Segunda regra de simpson Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Calcule a integral abaixo, utilizando m=6 intervalos. Colocamos os dados em forma de tabela, para facilitar a interpretação: Segunda regra de simpson Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Segunda regra de simpson Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 * Segunda regra de simpson De acordo com a segunda regra de Simpson: Cálculo Numérico Unidade 00 – Ementa e Objetivos da Disciplina Versão 00 Ferramentas para o Planejamento Melhoria e Controle da Qualidade * Cálculo Numérico * Referências BARROS, Ivan de Queiroz. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Edgard Blücher, 1972. CONTE, S. D. Elementos de análise numérica. São Paulo: Globo, 1977. DORN, William S. Cálculo numérico com estudos de casos em FORTRAN IV. São Paulo: Universidade de São Paulo, 1972. MIRSHAWKA, V. Cálculo numérico. São Paulo: Livraria Nobel S.A., 1983. ROQUE, W. L. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Atlas, 2000. Unidade 06 – Integração e Diferenciação Numérica Versão 00 Cálculo Numérico
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