Unidade 03 - Tração e Compressão Exercícios de sala

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Unidade 03 
Tração e Compressão 
Exercícios 
Prof. Marco Antonio Wolff 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Resistência dos Materiais 
Engenharia Mecânica 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Diagrama de corpo livre: 
O poste de alumínio mostrado na figura é reforçado com um 
núcleo de latão. Supondo que o conjunto suporte uma carga 
resultante axial de compressão P=9 kip, aplicada em uma tampa 
rígida, determinar a tensão normal média no alumínio e no latão. 
Eal=10000ksi e Elatão=15000ksi. 
1 pé=12 pol 
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Engenharia Mecânica 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Fazendo o somatório de forças na direção y tem-se: 
 𝐹𝑦 = 0 ∴ +𝐹𝑎𝑙 + 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 − 9 = 0 ∴ 𝐹𝑎𝑙 + 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 = 9 [kip] Eq. (1) 
Os cilindros se movimentam juntos sob a ação da força, sofrendo o mesmo 
alongamento, logo: 
𝛿𝑎𝑙 = 𝛿𝑙𝑎𝑡ã𝑜 
Das relações entre tensões e deformações tem-se: 
𝛿 =
𝑃 × 𝐿
𝐴 × 𝐸
 
Eq. (2) 
Substituindo a equação (3) na equação (2) tem-se: 
Eq. (3) 
𝐹𝑎𝑙 × 𝐿𝑎𝑙
𝐴𝑎𝑙 × 𝐸𝑎𝑙
=
𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 × 𝐿𝑙𝑎𝑡ã𝑜
𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 × 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜
∴
𝐹𝑎𝑙 × (1,5 × 12)
𝜋 × (22 − 12) × 15000
=
𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 × (1,5 × 12)
𝜋 × (12) × 10000
∴ 𝐹𝑎𝑙 = 2𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 Eq. (4) 
[pol] 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Substituindo a equação (4) na equação (1) tem-se: 
2𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 + 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 = 9 ∴ 3𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 = 9 ∴ 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 = 3 𝑘𝑖𝑝 
Voltando à equação (4) tem-se: 
𝐹𝑎𝑙 = 2𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 ∴ 𝐹𝑎𝑙 = 2 × 3 ∴ 𝐹𝑎𝑙 = 6 𝑘𝑖𝑝 
Compressão 
Compressão 
As tensões no alumínio e no latão são: 
𝜎𝑎𝑙 =
𝐹𝑎𝑙
𝐴𝑎𝑙
=
−6
𝜋 × (22 − 12)
= −0,63 𝑘𝑠𝑖 
𝜎𝑙𝑎𝑡ã𝑜 =
𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜
𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜
=
−3
𝜋 × (12)
= −0,95 𝑘𝑠𝑖 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Diagrama de corpo livre: 
A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos 
(engastes) quando a temperatura é de 25°C. Determinar as 
tensões e as deformações atuantes nos segmentos AC e CB da 
barra para a temperatura de -50°C. Eaço=200GPa e α=12x10-6°C-1. 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Fazendo o somatório de forças na direção x tem-se: 
 𝐹𝑥 = 0 ∴ −𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 0 ∴ 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 
Como não existem forças externas atuando sobre a barra, a força em A é 
igual, porém oposta, à força em B. Logo: 
𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 = 𝐹 
Como a barra não pode se deslocar livremente devido aos apoios, o 
encurtamento provocado pela diminuição na temperatura é contrabalançado 
pela força nos apoios. Logo: 
𝛿𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝛿𝑇 + 𝛿𝑃 = 0 
𝛿𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝛿𝑇 + 𝛿𝑃 = 𝛼 × ∆𝑇 × 𝐿 +
𝐹𝐴𝐶 × 𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐴𝐶 × 𝐸𝐴𝐶
+
𝐹𝐶𝐵 × 𝐿𝐶𝐵
𝐴𝐶𝐵 × 𝐸𝐶𝐵
= 0 
Assim, tem-se: 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Resolvendo a equação tem-se: 
𝛼 × 𝑇𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑇𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 × 𝐿 +
𝐹𝐴𝐶 × 𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐴𝐶 × 𝐸𝐴𝐶
+
𝐹𝐶𝐵 × 𝐿𝐶𝐵
𝐴𝐶𝐵 × 𝐸𝐶𝐵
= 0 
12 × 10−6 × −50 − 25 × 600 +
𝐹 × 300
400 × 200000
+
𝐹 × 300
800 × 200000
= 0 ∴ 𝐹 = 96000 𝑁 
As tensões nos segmentos da barra são dadas por: 
𝜎𝐴𝐶 =
𝐹𝐴𝐶
𝐴𝐴𝐶
=
96000
400
= 240 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝐶𝐵 =
𝐹𝐶𝐵
𝐴𝐶𝐵
=
96000
800
= 120 𝑀𝑃𝑎 
Tração 
A deformação total nos segmentos AC e CB da barra é dada por: 
𝜀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜀𝑇 + 𝜀𝑃 𝜀𝐴𝐶 = 𝜀𝑇_𝐴𝐶 + 𝜀𝑃_𝐴𝐶 𝜀𝐶𝐵 = 𝜀𝑇_𝐶𝐵 + 𝜀𝑃_𝐶𝐵 e portanto Eq. (1) 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Portanto, para os segmentos AC e CB, a deformação ocorrida em função da 
restrição nos apoios é dada por: 
𝜀𝑃_𝐴𝐶 =
𝜎𝐴𝐶
𝐸𝐴𝐶
 𝜀𝑃_𝐶𝐵 =
𝜎𝐶𝐵
𝐸𝐶𝐵
 e Eq. (2) 
A deformação na barra, ocorrida em função da variação de temperatura, é 
dada por: 
𝜀𝑇 = 𝛼 × ∆𝑇 
Portanto, para os segmentos AC e CB, a deformação ocorrida em função da 
variação de temperatura, é dada por: 
Das relações entre tensões e deformações no diagrama tensão vs. deformação 
tem-se: 
𝜎 = 𝐸 × 𝜀 ∴ 𝜀 =
𝜎
𝐸
 
𝜀𝑇_𝐴𝐶 = 𝛼 × ∆𝑇 𝜀𝑇_𝐶𝐵 = 𝛼 × ∆𝑇 e Eq. (3) 
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Exercícios 
Unidade 03: Tração e 
Compressão 
Substituindo as equações (2) e (3) na equação (1) tem-se: 
𝜀𝐴𝐶 = 𝜀𝑇_𝐴𝐶 + 𝜀𝐹_𝐴𝐶 ∴ 𝜀𝐴𝐶 = 𝛼 × ∆𝑇 +
𝜎𝐴𝐶
𝐸𝐴𝐶
∴ 𝜀𝐴𝐶 = 12 × 10
−6 × −50 − 25 +
240
200000
∴ 𝜀𝐴𝐶 = 0,0003 𝑚𝑚 
𝜀𝐶𝐵 = 𝜀𝑇_𝐶𝐵 + 𝜀𝐹_𝐶𝐵 ∴ 𝜀𝐶𝐵 = 𝛼 × ∆𝑇 +
𝜎𝐶𝐵
𝐸𝐶𝐵
∴ 𝜀𝐶𝐵 = 12 × 10
−6 × −50 − 25 +
120
200000
∴ 𝜀𝐴𝐶 = −0,0003 𝑚𝑚 
A deformação total da barra é nula, mas as deformações em seus segmentos 
não são nulas! 
O alongamento dos segmentos AC e CB da barra é dado por: 
𝜀𝐴𝐶 =
𝛿𝐴𝐶
𝐿𝐴𝐶
∴ 𝛿𝐴𝐶 = 𝜀𝐴𝐶 × 𝐿𝐴𝐶 ∴ 𝛿𝐴𝐶 = 0,0003 × 300 ∴ 𝛿𝐴𝐶 = 0,09 𝑚𝑚 
𝜀𝐶𝐵 =
𝛿𝐶𝐵
𝐿𝐶𝐵
∴ 𝛿𝐶𝐵 = 𝜀𝐶𝐵 × 𝐿𝐶𝐵 ∴ 𝛿𝐶𝐵 = −0,0003 × 300 ∴ 𝛿𝐴𝐶 = −0,09 𝑚𝑚 
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