Teoria de Schrodinger

Prévia do material em texto

H. O. Frota
Hidembergue Ordozgoith da Frota
Departamento de Física
Instituto de Ciências Exatas
Universidade Federal do Amazonas
TEORIA DE SCHRÖDINGER
H. O. Frota
Se a matéria é onda, esta 
deve ter uma equação.
A Equação de Schrödinger
Schödinger
Nobel de 1933
H. O. Frota
Schrödinger emprega as idéias de de Broglie:
Cada partícula possui uma onda a ela associada, cujo 
comprimento de onda e freqüência são dados por
h
E
f
p
h
Onde h é a constante de 
Planck e p e E são o momento 
e a energia total da partícula.
Em sua teoria não relativística, 
Schrödinger tomou E como
V
m
p
E
2
2
Onde m é a massa de repouso 
e V é a energia potencial
H. O. Frota
Deve-se garantir que a velocidade de grupo g da 
função de onda de uma partícula livre seja igual à 
velocidade v dessa partícula.
dk
df
g
h
p
k
V
m
p
hh
E
f
1
2
1 2
Tomemos: v
m
p
dk
df
h
dk
dp
m
p
hdp
df
dk
dp
dp
df
dk
df
 ,
1
 
vg
H. O. Frota
Condições que a equação de 
Schrödinger (x,t) deve satisfazer:
1) Deve ser consistente com as equações:
V
m
p
E
h
E
f
p
h
2
 , ,
2
3) Para V(x,t) = V0
constante, o momento da 
partícula deve ser 
constante, uma vez que
0
),(
0
dx
V
dx
txV
F
F
dt
dp2) Deve ser linear em (x,t) : se 1(x,t) e 2(x,t) são 
soluções da equação de Schrödinger, então
),(),(),(
2211
txatxatx
Assegura a existência 
de interferência
H. O. Frota
Portanto, se o momento e a energia potencial são 
constante, a energia total também é constante e
k=p/h e f = E/h são constantes
É necessário que a equação de Schrödinger tenha 
solução de ondas progressivas oscilatórias com número 
de onda e freqüência constantes.
h
E
f
p
h
 ,Vamos escrever 
Em função de fK 2 k,2
O que leva a:  E ,Kp
lenilson
Nota
Frequência angular da onda
lenilson
Nota
h cotado= h/2 pi
H. O. Frota
Kp Assim, de V
m
p
E
2
2
, 


),(
2
2
2
txVK
m
Portanto, a equação de 
Schrödinger deve ser 
consistente com essa 
equação.
),(),(),(
2211
txatxatx
exige que cada termo da equação deve conter (x,t) ou 
derivadas de (x,t), como
 
),(
,
),(
ou ,
),(
,
),(
2
2
2
2
t
tx
t
tx
x
tx
x
tx

A condição
, temosEe
lenilson
Nota
numero de ondas
lenilson
Nota
frequêncianull
lenilson
Nota
potencial. particular livre o potencial deve constante, não necessariamente ser igual a 0 apenas.
lenilson
Nota
colocamos a energia total em função dos paramentos da onda
lenilson
Nota
a solução é a combinação linear das equação ()
lenilson
Realce
lenilson
Nota
derivada da primeira é linear e a derivada da segunda também é linear
lenilson
Nota
deve aparecer termos desse tipo, para que ocorrar solução linear
lenilson
Nota
H. O. Frota
),(),(),(
2211
txatxatx
Uma vez que
),(),( 
),(),(
),(
2211
2211
tx
x
atx
x
a
txatxa
xx
tx
),(),( 
),(),(
),(
2211
2211
tx
x
atx
x
a
txatxa
xx
tx
n
n
n
n
n
n
n
n
O mesmo 
valendo para 
as derivadas 
em t
Vale também para
H. O. Frota
)(sin )cos(),( tKxtKxtx
L
Para partículas livres vamos buscar uma 
solução da forma
em que é uma constante a ser determinada.
)cos()(sen
),(
)(sen - )cos(
),(
 )cos()(sen
),(
22
2
2
tKxtKx
t
tx
tKxKtKxK
x
tx
tKxKtKxK
x
tx
L
L
L
Consideremos as derivadas:
lenilson
Nota
supor que a onda tenha este comportamento. para não ficar com dois paramentos utilizar-se o Gama.
lenilson
Nota
derivada da 2°
lenilson
Nota
fazendo a derivada em relação ao t. derivida temporal.
lenilson
Nota
derivada da 1°
H. O. Frota
Para a partícula livre a equação de Schrödinger deve ser 
consistente com


0
2
2
2
VK
m
Como em 2 L(x,t)/ x
2 apareceu o termo em K2 e em 
L(x,t)/ t apareceu o termo em , vamos tentar como 
solução a equação
t
tx
V
x
tx
L
L
L
),(),(
02
2
onde e são constantes a serem determinadas.
lenilson
Nota
Energia total= energia cinetica + energia potencial
lenilson
Nota
os paramentos da onda (K e w)
lenilson
Nota
termos em função da derivada de 2° em x e 1° em t.
lenilson
Nota
derivada da 2° em x
lenilson
Nota
derivada da 1° em t.
lenilson
Nota
esta é a própria função.
H. O. Frota
Substituindo 2 L(x,t)/ x
2 e L(x,t)/ t na equação 
abaixo
t
tx
V
x
tx
L
L
L
),(),(
02
2
temos
)cos()(sen )(sen 
 )cos()(sen - )cos(
0
0
22
tKxtKxtKxV
tKxVtKxKtKxK
0)(sen - 
 )cos(
0
2
0
2
tKxVK
tKxVK
Rearranjando
lenilson
Nota
que é (cosseno), foi colocado em evidencia.nulle tudo que é (seno) colocado em evidencia.nulltudo igual a 0. a única maneira ser igual é quando A e B forem zero.
lenilson
Nota
duas funções linearmente independentes, a combinação linear delas é igual a zero quando seus coeficiente forem iguais a zero.
H. O. Frota
Para que a equação
0)(sen - 
 )cos(
0
2
0
2
tKxVK
tKxVK
valha para quaisquer valores de x e t, é necessário que os 
coeficientes de cos(Kx- t) e sen(Kx- t) sejam nulos:
0-
0
0
2
0
2
VK
VK
Os valores de , e devem satisfazer a equação acima e 
a equação


0
2
2
2
VK
m
lenilson
Nota
duas funções linearmente independentes, a combinação linear delas é igual a zero quando seus coeficiente forem iguais a zero.
H. O. Frota
t
tx
iV
x
tx
m
L
L
L
),(),(
2
02
22


Resolvendo as equações anteriores para , e 
encontramos:
i
i
m
1
2
2


Tomando-se = +i e = +iħ , temos
Postulando que essa equação também valha para V(x,t), 
encontramos
lenilson
Nota
considerando uma particular livre, ela não livre quando ela varia com a posição.nullDesse de que substitua pelo potência da particular, para o caso da equação.
lenilson
Nota
esta é a equação para a onda de boglie
H. O. Frota
t
tx
itxV
x
tx
m
),(
),(
),(
2 2
22


A equação de Schrödinger
Para a partícula livre
)( 
)(sin )cos(),(
tKxie
tKxitKxtx
As soluções das equações de Schrödinger são funções complexas.
lenilson
Nota
este caso é para o caso da partícula.
lenilson
Nota
esta equação é linear. não importar a quantidade, vai ser sempre igual a isso, pois a soma é uma solução.nullnullEsta equação é valida para qualquer átomo. pois o que muda é apenas o potencial para cada átomo. o potencial do elétrons o núcleo.nullnullpara um metal, caso o ouro, átomos distribuindo em uma rede, no caso, o núcleo existe átomos interragindo com ele, núcleo com núcleo elétrons com elétrons, e assim por diante, assim, esta equação servi para qualquer material.
lenilson
Nota
(x,t)
lenilson
Nota
quem é esta função da particular?nullqual o sentido físico para esta função?nullnullinterpretação de Compenhague
lenilson
Nota
utilizando-se a técnica matricial e a equação da onda, possui o mesmo resultado. ambos as equações são equivalentes, assunto de mecânica quântica.
H. O. Frota
Max Born
(1926)
Interpretação da função 
de onda de Schrödinger
Postulado de Max Born
A probabilidade P(x)dx de uma partícula ser 
encontrada no intervalo entre x e x+dx é
dxtxtxdxtxP ),(),(),(
Onde *(x,t) é o complexo conjugado de (x,t).
),(),(),(
),(),(),(
txiItxRtx
txiItxRtx
H. O. Frota
)(
)(
),(
),(
tKxi
tKxi
etx
etx
Podemos também escrever
Que pode ser demonstrado das relações



!7
)(
!5
)(
!3
)(
)(sen
!6
)(
!4
)(
!2
)(
1)cos(
!4
)(
!3
)(
!2
)(
!1
)(
1
753
642
432
zzz
zz
zzz
z
iziziziz
eiz
)(sen )cos( zizeizÉ muito comum usar a relação
H. O. Frota
1 onde 
),(),(),(
),(),(),(
222222 iIRIiR
iIRiIR
txiItxRtx
txiItxRtx
Vamos calcular *(x,t) (x,t).
Portanto, *(x,t) (x,t) é sempre uma função real, 
coerente com o que se espera para densidade de 
probabilidade.
H. O. Frota
Justificativa para *(x,t) (x,t) 
ser a densidade de probabilidade
 
2
 
2
2
22
2
22
ii
t
iV
xm
t
iV
xm




Tomemos
e seu complexo 
conjugado
Multipliquemos a primeira por *(x,t) e segunda por (x,t)
 
2
 
2
2
22
2
22
t
iV
xm
t
iV
xm




Subtraímos a 
primeira 
pela segunda
H. O. Frota
tt
ixxm


2
2
2
22
2
Que se reduz a
t
i
xxm


2
2
2
22
2
t
i
xxxm


2
2
E em seguida fica
H. O. Frota
Ou ainda
0
2 xxxmit

Se identificarmos
xxmi
j
2

Temos
0
),(),(
x
txj
t
tx
Que é a equação da continuidade, análoga ao que ocorre no 
movimento dos líquidos, onde ρ seria a densidade do líquido e j
o fluxo de massa do líquido.
H. O. Frota
A equação de Schrödinger 
independente do tempo
t
tx
itxV
x
tx
m
),(
),(
),(
2 2
22


Vamos considerar que V(x,t) não depende do tempo, 
V(x,t) = V(x) e propor uma solução para (x,t) da forma
)()(),( txtx
)()()()()()()(
2 2
22
tx
t
itxxVtx
xm


Que substituímos na equação acima e obtemos
H. O. Frota
dt
td
xt
t
xtx
t
dx
xd
tx
x
ttx
x
)(
)()()()()(
)(
)()()()()(
2
2
2
2
2
2
dt
td
xitxxV
dx
xd
t
m
)(
)()()()(
)(
)(
2 2
22


E a equação de Schrödinger passa a ser escrita como
Dividindo ambos os membros por (x) (t), obtemos
H. O. Frota
dt
td
t
ixxV
dx
xd
mx
)(
)(
1
)()(
)(
2)(
1
2
22


Como x e t são variáveis independentes, ambos os membros 
devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de C.
C
dt
td
t
i
CxxV
dx
xd
mx
)(
)(
1
)()(
)(
2)(
1
2
22


H. O. Frota
C
dt
td
t
i
)(
)(
1

A solução para a equação
é
/)( iCtet
)(sen)cos()( /

 Cti
Ct
et iCt
h
CC
f
C
f
 2
 2


Como
h
E
f
Então EC
/)( iEtet
H. O. Frota
ExxV
dx
xd
mx
)()(
)(
2)(
1
2
22
)()()(
)(
2 2
22
xExxV
dx
xd
m
 Equação de 
Schrödinger 
independente 
do tempo
/)(),( iEtextx
(x) é denominada autofunção e E o autovalor da 
Equação de Schrödinger independente do tempo.
Portanto
H. O. Frota
1.a) (x) deve ser finita 1.b) d( (x))/dx deve ser finita
2.a) (x) deve ser contínua 2.b) d( (x))/dx deve ser contínua
Requisitos para (x)
Se os requisitos (1.a) e (1.b) não fossem satisfeitos, então
dx
xd
e
dx
txd
extx iEtiEt
)(),(
 e )(),( // 
também não satisfariam aqueles requisitos. 
x
tx
tx
x
tx
tx
mi
txj
txtxtxP
),(
),(
),(
),(
2
),(
),(),(),(

não seriam bem definidos, como é necessário.
Se assim fosse, a densidade de probabilidade P(x,t) e o fluxo 
de probabilidade j(x,t),
H. O. Frota
Para que o requisito (1.b) [d( (x))/dx deve ser finita] seja satisfeito, 
deve ser satisfeito o requisito (2.a) [ (x) deve ser contínua]
)()(
2)(
22
2
xExV
m
dx
xd

Da equação de Schrödinger independente do tempo
Se V(x,t), E e (x) são finitos, então d 2 (x)/dx2 é 
finito (requisito (2.b)).
H. O. Frota
Propriedades matemáticas das funções 
de onda e das funções próprias
1) Para um potencial V(x) independente do tempo, a solução 
da equação de Schrödinger existe apenas para certos 
valores de energia

n
EEE , ,
21
chamados autovalores
Para cada autovalor, existe uma função de onda
 ,3,2,1 )(),( / nxetx
n
tiE
n
n
 )( ,)( ,)(
21
xxx
n
, que correspondem, respectivamente,
às autofunções
H. O. Frota
também é solução dessa equação.
2) Como a equação de Schrödinger é linear, uma 
combinação linear de 
 ),( ,),( ,),(
21
txtxtx
n
Por exemplo: sejam 1(x,t) e 2(x,t) soluções da 
equação de Schrödinger,
0
2
0
2
2
22
2
22
1
12
1
22
dt
d
iV
dx
d
m
dt
d
iV
dx
d
m




),(),(),(
2211
txatxatx
Então
também é solução dessa equação.
H. O. Frota
),(),(
),(),(
),(),(
2
2
2211
2211
22112
22
2
22
txatxa
dt
d
i
txatxaV
txatxa
dx
d
m
dt
d
iV
dx
d
m




Demonstração:
H. O. Frota
dt
txd
itxV
dx
txd
m
a
dt
d
iV
dx
d
m
),(
),(
),(
2
2
1
12
1
22
1
2
22




dt
txd
itxV
dx
txd
m
a
),(
),(
),(
2
2
22
2
22
2


= 0
H. O. Frota
Pelo mesmo procedimento podemos mostrar que a função
),(),(
1
txatx
n
n
n
onde an são constantes a serem determinadas, também é 
solução da equação de Schrödinger.
3) Densidade de probabilidade *(x,t) (x,t)
)(),(
)(),(
/
1
/
1
xeatx
xeatx
tiE
n
tiE
n
n
n









 /
11
)()(),(),(
tEEi
n
n
n
nexxaatxtx
H. O. Frota
4) Caso da partícula cuja função de onda associada é uma 
autofunção n (x), correspondente ao autovalor En. 
)()()()(),(),(
//
xxxxeetxtx
nnnn
tiEtiE
nn
nn 
Nesse caso, a densidade de probabilidade não depende do tempo. 
Dizemos que a partícula se encontra em um estado estacionário, 
ou autoestado, do potencial V(x).
5) A interpretação probabilista exige que (x,t) seja 
normalizada, isto é,
1),(),( txtx
H. O. Frota
6) Para o caso de uma partícula cuja função de onda é uma 
autofunção,
)()(),(),( xxtxtx
nn
1)()( xx
nn
O que requer que
Axx
nn
)()( ,,Quando para uma autofunção a integral 
Redefinimos uma nova função )(
1
)( , x
A
x
nn
1)()(
1
)(
1
)(
1
)()(
,,
,,
A
A
dxxx
A
dxx
A
x
A
dxxx
nn
nnnn
H. O. Frota
nxx
n
 ,0)()(
7) As autofunções de um potencial V(x) são ortogonais, isto é,
Demonstração. Consideremos duas autofunções l(x,t) e n(x,t)
que são soluções da equação de Schrödinger independente do 
tempo:
)()()(
)(
2
)()()(
)(
2
2
22
2
22
xExxV
dx
xd
m
xExxV
dx
xd
m
nnn
n



H. O. Frota
)()()(
)(
2
)()()(
)(
2
**
2
*22
2
22
xExxV
dx
xd
m
xExxV
dx
xd
m
nnn
n



Multipliquemos a primeira equação
por *l(x,t) e a segunda por n(x,t)
)()()()()(
)(
)(
2
)()()()()(
)(
)(
2
**
2
*22
**
2
2
*
2
xxExxxV
dx
xd
x
m
xxExxxV
dx
xd
x
m
nnn
nnn
n





H. O. Frota
)()()()()()(
)(
)(
)(
)(
2
***
2
*2
2
2
*
2
xxEExxVxxV
dx
xd
x
dx
xd
x
m
nnnn
n
n




Subtraímos uma da outra:
Integrando em relação a x:
2
*2
2
2
**
2
2
dx
d
dx
d
dxEE
m
n
n
nn


dx
d
dx
d
dx
d
dxEE
m
n
n
nn
*
**
2
2 

H. O. Frota
dx
d
dx
d
dx
d
dxEE
m
n
n
nn
*
**
2
2 

Integrando o lado direito
dx
d
dx
d
dxEE
m
n
n
nn
*
**
2
2 

No limite de x , = 0. Então
0
0
2
*
*
2
dx
dxEE
m
n
nn


CQD
H. O. Frota
8) As autofunções são ortonormais
)()( xx
n
n
n


 0
 1
9) Relação entre as constantes an para que a função de onda
),(),(
1
txatx
n
n
n
seja normalizada.
1
/
1
)()( 
)()(),(),(
n
tEEi
nn
nn
n
nn
nexxaa
xxaatxtx




H. O. Frota
1
/
1
)()( 
)()(),(),(
n
n
tEEi
n
n
nnnn
dxxxeaa
dxxxaadxtxtx
n





Integrando ambos os membros em x
1),(),(
1n
nn
aadxtxtx
1
1n
nn
aa
H. O. Frota
10) Conhecida a função de onda geral (x,t) para um 
tempo particular (t = 0), pode-se determiná-la para 
qualquer tempo t.
)()0,(
1
xax
n
n
n
Multiplicando ambos os membros por l
*(x,t) 
e integrando
1
)()()0,()(
n
nn
dxxxadxxx 
dxxxa )0,()(
1
/
)(])0,()([),(
n
n
tiE
n
xedxxxtx n



n
n
 se 1
 se 0
H. O. Frota
A teoria clássica de ondas transversais 
em uma corda tensionada
T
T
x x+dx
d
(x
,t
)
x0
Considerações:
sen = tan = 
cos = 1
Comprimento do 
elemento da corda = dx
Tensão na corda = 
constante = T
0cos)cos( TTTdTR
x
TdTdTTdTR
y
)(sen)(sen
H. O. Frota
dx
x
tx
x
dx
x
d
x
tx ),(
 
),(
tan
Assim,
dx
x
tx
TTdR
y 2
2 ),(
Da segunda lei de Newton,
dx
t
tx
adxadmR
yyy 2
2 ),(
 
Igualando as duas equações acima,
2
2
2
2 ),(),(
t
tx
Tx
tx
Equação clássica da 
onda na corda
H. O. Frota
2
2
2
2 ),(),(
t
tx
Tx
tx Equação clássica da 
onda na corda
t
tx
itxV
x
tx
m
),(
),(
),(
2 2
22

 Equação de 
Schrödinger
a
0
a
x
(x
,t
)
-a/2 a/2Solução da equação da corda para 
uma corda de comprimento a sob 
uma tensão T, fixa em ambas as 
extremidades.
taxtx qualquer para ,2/ para 0),(
H. O. Frota
Usando o método da separação das variáveis, escrevemos
)()(),( txtx
)()()()(
),(),(
2
2
2
2
2
2
2
2
tx
tT
tx
x
t
tx
Tx
tx
Equação clássica da 
onda na corda
)()()()(
2
2
2
2
t
t
x
T
x
x
t
Dividindo ambos os membros por (x) (t), obtemos
H. O. Frota2
2
2
2 )(
)(
1)(
)(
1
t
t
tTx
x
x
2
2
2
2
2 )(
)(
1)(
)(
1
K
t
t
tTx
x
x
0)(
)(
0)(
)(
2
2
2
2
2
2
t
T
K
t
t
xK
x
x
Temos as duas equações diferenciais de segunda ordem
H. O. Frota
0)(
)( 2
2
2
xK
x
x
A equação é idêntica à equação
de Schrödinger para V(x,t) = 0. Sua solução geral é da forma
)cos()sen()( KxBKxAx
onde A e B são constantes a serem determinadas.
Para determinar as constantes A e B, usamos as condições 
de contorno:
)qualquer (para
0)2/(
0)()2/(
0),2/(
t
a
ta
ta
a
0
a
x
(x
,t
)
-a/2 a/2
H. O. Frota
e
)cos()sen()( KxBKxAx
Como
0)2/( a
0)2/cos()2/sen(
0)2/cos()2/sen( 
KaBKaA
KaBKaA
Podemos escrever
H. O. Frota
0)2/cos()2/sen(
 
0)2/cos()2/sen( 
KaBKaA
KaBKaA
0)2/cos()2/sen(
 
0)2/cos()2/sen( 
KaBKaA
KaBKaA
0)
2
Bcos(
Ka
0)
2
sen(
Ka
A
ou


6,4,2 com 
22
0)
2
sen( 0;B
5,3,1 com 
22
0)
2
cos( 0;A
n
nKaKa
n
nKaKa
H. O. Frota


6,4,2 sen)(
5,3,1 cos)(
n
a
xn
Ax
n
a
xn
Bx
n
n
-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5x
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x,
t) n=3
n=1
n=2
H. O. Frota
0)(
)( 2
2
2
t
T
K
t
t
Consideremos agora a equação
Analogamente à solução para (x), temos
t
T
tt
T
Kcos
T
Ksen )(
Escolhendo adequadamente a origem do 
tempo podemos fazer = 0, ficando
t
T
t
T
Kcos)(
H. O. Frota
)()2cos(),( xtatx
nnnn
T
a
nTK
n
a
xn
x
n
a
xn
x
n
n
n
22
6,4,2 sen)(
5,3,1 cos)(


Onde
A função da onda na corda fica
E a forma geral é
1
)()2cos(),(
n
nnn
xtatx
H. O. Frota
Valores esperados e 
operadores diferenciais
dxtxtxdxtxP ),(),(),(
A probabilidade de encontrar a 
pertícula enrtre a posição x e (x + dx) é
O valor esperado da coordenada x da partícula é
dxtxxtxx
dxtxxPx
),(),(
),(
H. O. Frota
dxtxxftxxf
dxtxxtxx
),()(),()(
),(),(2
Pode-se fazer o mesmo procedimento para calcular 
o valor esperado de qualquer função f (x) de x.
O valor esperado do momento p é escrito como
dxtxptxp ),(),(
Pelo princípio da incerteza não podemos determinar 
precisamente no mesmo tempo os valores de p e de x.
Então devemos buscar uma saída para tratar a 
integral acima.
H. O. Frota
)(),( tKxietx
Vamos tomar o caso da função de onda de uma 
partícula livre
e a derivemos em relação a x:
),(
),( )( txiKiKe
x
tx tKxi
Como /pK ),(
),(
tx
p
i
x
tx

, Então
Ou podemos escrever
),(),( tx
x
itxp 
x
ip 
H. O. Frota
Vamos encontrar uma relação semelhante entre a 
energia E e o operador iħ / t. Tomemos novamente 
a função de onda da partícula livre,
e a derivemos em relação a t:
),(
),( )( txiei
t
tx tKxi
Como /E , Escrevemos ),(
),(
tx
E
i
t
tx

Ou ainda
),(),( tx
t
itxE 
t
iE 
H. O. Frota
Embora essas relações tenham sido obtidas para 
partículas livres, elas são de natureza geral. Vamos 
mostrar como segue.
Consideremos a energia total E
EtxV
m
p
),(
2
2
Vamos substituir e 
x
ip 
t
iE 
t
itxV
x
i
m
 ),(
2
1
2
t
itxV
xm


),(
2 2
22
Que é uma equação 
de operadores 
H. O. Frota
t
itxV
xm


),(
2 2
22
Vamos aplicar a equação de operadores
à equação
),(),( txtx
t
tx
itxtxV
x
tx
m
),(
),(),(
),(
2 2
22


Obtemos
que é a equação de Schrödinger.
Portanto, postular as relações
equivale a postular a equação de Schrödinger.
x
ip 
t
iE e
H. O. Frota
x
ip 
Portanto, voltando ao cálculo do valor esperado de p,
usando a relação
dxtxtxp ),( ),(
x
i
dxtxptxp ),(),(
na equação
dx
x
tx
txip
),(
),(
Clássico: escalar
Quântico: operador
H. O. Frota
Realizando o mesmo procedimento para o 
valor esperado da energia E
t
iE 
dxtxEtxE ),(),(
dxtx
t
itxE ),(),( 
dx
t
tx
txiE
),(
),(
Clássico: escalar
Quântico: operador
H. O. Frota
dx
t
tx
txiE
),(
),(
Agora vamos calcular o valor esperado da energia 
total E de uma partícula que tenha uma função de 
onda da forma
)(),(),(
/
11
xeatxatx
n
tiE
n
nn
n
n
n

dxxe
iE
axeaiE
n
tiE
n
n
n
tiE
nn )()(
/
1
/
1




 

1
/
1
)()(
n
n
tEEi
nn
dxxxeaaEE n 






n
n
 se 1
 se 0
H. O. Frota
1
/
1
)()(
n
n
tEEi
nn
dxxxeaaEE n 




/
1
tEEi
n
n
nn
nneaaEE
n
n
nn
aaEE
1


n
n
 se 1
 se 0