Notas de aula PRIMITIVAS E INTEGRAL DE RIEMANN

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PRIMITIVAS E INTEGRAL DE RIEMANN 
Primitivas 
Uma primitiva para uma função f=f(x) é uma outra função F=F(x) cuja derivada coincide com f, isto é, F'(x)=f(x). Pode ser que 
existam várias primitivas para uma mesma função f. 
Exemplos: Algumas primitivas para f(x)=x², são: 
F(x)=x³/3 
G(x)=x³/3 + 1 
H(x)=x³/3 + k , pois as derivadas destas funções são iguais a f(x)=x². 
A constante k da última primitiva é tão geral, que na verdade poderia assumir qualquer valor numérico. Assim, uma primitiva geral 
para f(x)=x², teria a forma: 
F(x) = x³/3 + C 
em que o número C é uma constante arbitrária e x em Dom(f). 
 
Integral indefinida 
Definimos a integral indefinida de uma função real f, como uma primitiva de f, isto é: 
 dx = F(x) + k 
para todo x em Dom(f), sendo que o símbolo de integral é o mesmo já usado antes que teve origem como uma variação da letra 
grega sigma comumente usada para somas. 
Exemplo: A integral indefinida funciona como uma espécie de inversa para a derivada. Se f(x)=x², então: 
 dx = 
 
 
+ k 
 
 
Algumas regras das integrais indefinidas 
Como a derivada de f(x)=xn+1/(n+1) é igual a g(x)=xn, segue que: 
 dx = 
 
 
 
É fundamental que n seja diferente de -1, pois a derivada da função logarítmica f(x)=ln(x) é a função g(x)=1/x, assim: 
 
 
 
 dx = + k 
Como a derivada da função exponencial f(x) = ex é a própria f(x) = ex, então: 
∫ dx = ex + k 
Propriedades da Integral Indefinida 
 
 
Uma aplicação da integral indefinida 
Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 
10.000 pessoas na cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos? Como: 
P’(x) = 117 + 200x 
então: 
 
assim, podemos obter o valor de k pois P(0)=10.000. Realmente: 
10000 = P(0) = 117×0 + 100×0² + C 
logo 
P(x) = 117x + 100x² + 10000 
e daqui há 5 anos, a população da cidade será: 
P(5)=117×5 + 100×5² + 10000 = 13085 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
1o. Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função integrável num intervalo [a,b] e F uma primitiva de f, então, 
 
 
 
 
 
 
dx = F(b) - F(a). 
 
 
Uma Aplicação da integral definida 
Um certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 117+200x pessoas por ano. Qual será o 
aumento populacional da cidade nos próximos 10 anos? 
Solução: Seja P=P(x) a população daqui a x anos, então: 
P'(x) = 117 + 200 x 
Uma primitiva para P'(x) é G(x)=117x+100x², logo o aumento populacional nos próximos 10 anos será dado por 
P(10) - P(0) = 
10 
 
0 
(117+200x)dx = G(10) - G(0) = 11170 
 
 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
Integração por substituição 
Este tipo de integral funciona como a regra da cadeia para integrais de funções. Para obter a integral da forma: 
 
substituímos u = u(x) na integral acima e calculamos a integral 
 
 
 
Exemplos: Para cada integral substituímos a variável indicada. 
1. u=x²+3x. 
 dx = =u²/2+k=(x²+3x)²/2+k 
2. u=x²+1. 
 
 
 
dx = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ln (x²+1) + k 
3. u=x+1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integração por partes 
Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto: 
 dx = dx 
 
ou o equivalente a 
 
 = 
 
 
Exemplo 1 
 Calcule 
 
Solução. Para aplicar a integração por partes, precisamos escrever a integral na forma 
 
Uma maneira de fazer isso é colocar 
 
para que, 
 
Deste modo,a partir de(2) 
 
 
Exemplo 2. 
Para calcular x. ln(x) dx, tomamos dv = x e u=ln(x). Assim, uma primitiva para dv é a função v=x²/2 e du=1/x e com a fórmula de 
integração por partes, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
logo 
 
 
 
 
A constante só foi colocada no final para não atrapalhar os cálculos intermediários. 
 
LISTA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS 
Funções Racionais 
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Logaritmos 
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 
Funções Exponenciais 
 
 Caso particular: 
 
Funções Trigonométricas 
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