Cálculo Avançado - Função de Heaviside

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Cálculo Avançado A - Funções Especiais 
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APÊNDICE - FUNÇÕES ESPECIAIS: 
1. A FUNÇÃO DE HEAVISIDE 
A função de Heaviside, também chamada de função Degrau Unitário, a qual denotaremos por 
H(x) ou U(x), é definida como: 
( )
î
í
ì
³
<
=
0xse,1
0xse,0
xH . (1.1) 
Esta função é apresentada na figura 1.1a e deve ser pensada fisicamente como a idealização 
da função contínua )x(H e , representada na figura 1.1b, considerando 0®e . 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 1.1: A função de Heaviside e a função )x(H e . 
 
De acordo com a definição de H(x), obtemos a translação desta função, ou seja: 
( )
î
í
ì
³
<
=-
cxse,1
cxse,0
cxH (1.2) 
Além disto, dada uma função f(x) qualquer, podemos construir a seguinte função: 
( ) ( ) ( ) ( )î
í
ì
³
<
=-=
cxse,xf
cxse,0
xfcxHxg , (1.3) 
ou seja, translações da função de Heaviside podem ser usadas para “ligar” uma função f(x) qualquer. 
Na verdade, elas também podem ser usadas para “ligar” e “desligar” uma função e, também, para 
“desliga- la”. Para tanto, consideremos as seguintes operações com translações da função de Heaviside: 
a) Dados x0 e x1 reais, com 10 xx < , construímos: 
e- e 
1 
)x(H e 
x 
1 
H(x) 
x 
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2 
( ) ( )
ï
î
ï
í
ì
³
<£
<
=---
1
10
0
10
xxse0
xxxse1
xxse0
xxHxxH , (1.4) 
a qual, multiplicada em outra função f(x), liga esta no ponto x0 e desliga-a em x1 (vide Fig. 1.2b). 
b) Dado um valor real x1, podemos definir: 
( )
î
í
ì
³
<
=--
1
1
1 xxse,0
xxse,1
xxH1 , (1.5) 
a qual, multiplicada em outra função f(x), desliga-a no ponto x1 (vide Fig. 1.2a). 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 1.2: Combinações lineares de translações da função de Heaviside. 
 
A Derivada de H(x): 
Segundo os conceitos fundamentais do cálculo diferencial, a derivada ( )xH ¢ seria nula para 
todo 0x ¹ e não seria definida na origem. No entanto, a física precisa de uma melhor explicação de 
qual a variação em x = 0 da função H(x). Para tanto, pensando H(x) como sendo o limite, quando 
0®e , das funções contínuas )x(H e , dadas pela figura 1.1b, obtemos que: 
ïî
ï
í
ì
e>e-<
e<<e-
e=¢e
xouxse,0
xse,
1
)x(H (1.6) 
e 
( ) 1dxxH =¢ò
¥+
¥- e
. (1.7) 
Então, tomando-se o limite 0®e , a derivada ( )xH ¢ assumirá um valor tão grande em x = 0, tal que: 
( ) 1dxxH =¢ò
¥+
¥-
. (1.8) 
1 
)xx(H)xx(H 10 --- 
x 
1 
0x 1x x 
1 - H(x - x1) 
x1 
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3 
Veremos que esta propriedade é uma característica da função delta que será introduzida a seguir. 
2. O DELTA DE DIRAC 
Na física, freqüentemente encontramos o conceito de um pulso de duração infinitamente 
curta. Por exemplo, um corpo em repouso posto em movimento por meio de um “golpe” instantâneo, 
adquire um momento igual a impulsão do choque, ou seja, 
( )ò
t+
== 0
0
t
t
dttFv.mI , (2.1) 
em que F(t) é a força e t é a duração da ação desta força. A designação “golpe” significa que t é tão 
pequeno que a mudança no momento ocorre instantaneamente. Mas, como tal mudança no momento é 
de um valor finito, observa-se que F(t) deve ter sido infinita durante o “golpe” e nula nos outros 
instantes. Este tipo de formulação não é correta com os conceitos comuns de uma função matemática, 
isto é, F(t) não é uma função, mas, apesar disto, é tratada formalmente como sendo uma função, 
permitindo o estabelecimento de várias propriedades, sendo que, pelo uso destas, obtém-se resultados 
corretos. Em verdade, talvez esta definição não seja nem mesmo fisicamente rigorosa. Na realidade, o 
gráfico da força deveria ser o de uma função fortemente concentrada, com uma amplitude muito 
grande em comparação ao período de sua aplicação, de forma que a área sob esta curva seja igual a um 
dado valor I. Na maior parte dos casos, não se conhece a forma exata desta função super-concentrada 
F(t), porém o que é significante é a intensidade de impulsão dada pela integral (2.1) e o instante no 
qual ocorreu o impulso, ou seja, t = 0t . Estas funções fortemente concentradas são freqüentemente 
encontradas na física. Por exemplo, nos circuitos elétricos, correntes fortemente concentradas de 
duração muito curta ocorrem em processos nos quais se fecha ou abre um circuito. A fim de facilitar 
operações da física matemática, Paul Dirac propôs a introdução da função delta ( )xd , que é definida 
informalmente por: 
( )
î
í
ì
=¥
¹
=d
0xse,
0xse,0
x (2.2) 
e o gráfico desta função é mostrado na Figura 2.1 abaixo. 
Na verdade, ( )xd é definida como sendo nula, para todo 0x ¹ , e seu valor em zero é tão 
grande que: 
( )ò
¥+
¥-
=d 1dxx
. (2.3) 
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 Figura 2.1: A “função” delta de Dirac. 
 
Propriedades: 
a) ( ) ( )xx d=-d , ou seja ( )xd é uma “função” par. 
Esta propriedade é obtida diretamente da definição. 
b) ( ) ( ) ( )ò
¥+
¥-
=d 0fdxxxf . 
Esta propriedade é provada pelo teorema da média para int egrais, ou seja, 
( ) ( ) ( )òò
e+
e-
e+
e-
V=dV=d )(fdxx)(fdxxxf , (2.4) 
onde [ ]e+e-ÎV , e f(x) é uma função contínua. Aqui, a integral é considerada no intervalo [ ]e+e- , , 
pois ( )xd é nula fora deste. Também, f(V) pode ser substituída por f(0) sem erro apreciável. A 
propriedade acima é algumas vezes chamada de propriedade de filtragem da função delta, pois ( )xd 
seleciona o valor em zero de f(x). 
c) ( ) ( ) ( )ò
¥+
¥-
=-d afdxaxxf . 
Prova-se esta propriedade fazendo a mudança de variável axy -= na propriedade 2. Esta 
propriedade pode ser rescrita de uma forma mais usual, ou seja, 
( ) ( ) ( )ò =-d10
x
x
afdxaxxf , (2.5) 
desde que ]x,x[a 10Î . Isto é possível pois ( )xd é nula fora deste intervalo. 
Observações: 
1. No contexto do cálculo diferencial com o uso da função delta, podemos dizer que ( ) ( )x
dx
dH
x =d e 
( ) ( )cx
dx
dH
cx -=-d , onde H(x) é a função de Heaviside. 
)x(d 
x 
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2. Propriedades adicionais podem ser obtidas em “A função Delta”, de Haroldo Froes de Azambuja, 
tese apresentada no concurso de livre docência da UFRGS em 1964, ou no livro Eugene Butkov, 
Física Matemática, Editora Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1983. 
3. OUTRAS FUNÇÕES ESPECIAIS IMPORTANTES: 
2. A Função Gama: 
Uma das funções especiais mais importantes da física matemática é a função gama. Ela é 
ligada a vários problemas de física, engenharia e estatística matemática. O leitor encontrará a função 
Gama no cálculo das transformadas de Fourier e de Laplace de certas funções. Esta função é denotada 
e definida por: 
( ) ò
¥ -- >=G
0
1st 0spara,dttes . (3.1) 
Esta função está bem definida para s>0, pois: 
dttedttedtte 1s
1
t
0
1
0
1st1st -¥ -¥ ---- òò ò += (3.2) 
e ambas integrais do lado direito de (3.2) convergem. Para provar este fato, basta usar o Critério da 
Comparação de Integrais Impróprias, o qual afirma que: 
“Se ( ) ( ) 0xge0xf ³³ , para todo x > a, se as integrais próprias ( ) dxxfb
aò e dx)x(g
b
aò 
existem, para todo ab ³ , e se 
( )
( )
c
xg
xf
lim
x
=
¥®
, então: 
§ para 0c ¹ , ambas as integrais ( ) ( )dxxgedxxf
aa òò
¥¥
 convergem ou divergem. 
§ para 0c = , a convergência de ( )dxxg
aò
¥
 implica na convergência de ( )dxxf
aò
¥
.” 
Assim, como dtt
1
2ò
¥ - converge e 0
t
te
lim
2
1st
t
=
-
--
¥®
, obtemos a convergência da segunda 
integral imprópria, ò
¥ --
1
1st dtte . Para analisarmos a convergência da primeira integral, vamos fazer a 
mudança de variável 
u
1
t = ,com duudt 2--= . Assim: 
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6 
duuedtte 1s
1
0 1
u/11st --¥ ---ò ò= , (3.3) 
a qual converge, por comparação com a integral ò
¥ --
1
1s duu , convergente se 0s > . Logo a função 
( )sG está bem definida pela integral (3.1). 
Como conclusão, a função Gama tem como domínio o conjunto de todos os reais positivos, 
embora seja possível estender seu domínio a todo o conjunto real, com exceção dos inteiros negativos 
e do zero. Devemos ressaltar que esta extensão não é feita através da definição, pois a integral diverge, 
mas sim através da propriedade 1 abaixo. Esta extensão não será estudada neste material. 
Propriedades: 
1) ( ) ( )ss1s G=+G , se s > 0. 
Prova: Se s > 0, temos que: 
( ) [ ] ( ) )s(sss0belimdttestedtte1s
0
sb
b
1st
0
st
0
st G=G++-=+-==+G òò
¥ -
¥®
--+¥-¥ - . 
2) ( ) 11 =G . 
Prova: ( ) [ ] 1e1limdtelimdtte1 bb
0 b
t
0 b
11t =-===G -
¥®
-¥
¥®
-- òò . 
3) Se n é um inteiro positivo, então ( ) !n1n =+G 
Prova: A demonstração é feita por Indução Matemática. Se ( ) ( ) !.111111,1n ==G=+G= 
Agora, vamos supor que para kn = vale a afirmação ( ) !k1k =+G . Assim, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )!1k!k1k1k1k1)1k( +=+=+G+=++G , 
o que demonstra a propriedade. 
Por este motivo, a função gama pode ser vista, informalmente, como uma generalização da 
função fatorial. E de fato, esta foi a razão histórica para a introdução da função gama. 
4) p=G )2/1( . 
A demonstração desta propriedade será omitida por sua razoável complexidade, mas o leitor 
mais interessado poderá encontrá- la nos exercícios 29 e 30, págs. 28-30, do livro de M. R. Spiegel, 
Transformadas de Laplace, Ed. McGraw-Hill Ltda., Rio de Janeiro, 1973. 
Exemplo 1: Usando a função gama, calcule o valor da integral imprópria ò
¥ -
0
x dxe
2
. 
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Solução: Fazendo uma mudança de variável do tipo 2xz = , obtemos que: 
¥<<== - z0edzz
2
1
dx,zx 2/12/1 , 
ou seja, 
p=÷
ø
ö
ç
è
æG=== òòò
¥ --¥ --¥ -
2
1
2
1
2
1
dzze
2
1
dzz
2
1
edxe
0
1)2/1(z
0
2/1z
0
x2 . 
Exemplo 2: Sabendo que ( ) a=G 6.1 , calcule ( )6.2G , ( )6.3G e ( )6.0G . 
Solução: Usando a propriedade 1, obtemos que: 
( ) ( ) a=G=+G=G 6.1)6.1(6.116.16.2 , 
( ) ( ) a=a=G=+G=G 16.4)6.1(6.2)6.2(6.216.26.3 
e 
3
5
6.0
)6.1(
)6.0()6.0(6.0)6.1(
a
=
G
=GÞG=G . 
2. A Função de Bessel: 
As funções de Bessel de ordem n, denotadas por ( ),tJn onde n é um número real qualquer, 
são definidas por: 
( )
( )å
¥
=
+
+
++G
-
=
0k
k2n
k2nk
n
1kn!k2
t)1(
tJ (3.4) 
e são soluções da equação diferencial ordinária de segunda ordem de Bessel, dada por: 
( ) ( ) ( ) ( ) 0tYnttYttYt 222 =-+¢+¢¢ . (3.5) 
As propriedades mais importantes que estas funções apresentam são: 
a) Se n é um número inteiro positivo, então: ( ) ( ) ( ).tJ1tJ nnn -=- 
b) ( ) ( ) ( ) 1nse,tJtJ
t
n2
tJ 1nn1n ³-= -+ . 
c) ( ){ } ( ) 1nse,tJttJt
dt
d
1n
n
n
n ³= - . 
A função geradora das funções de Bessel, para n inteiro, é dada por: 
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8 
( )å
¥
-¥= ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é -
=
n
2
n
n u2
)1u(t
exputJ . (3.6) 
3. As funções Erro e Erro Complementar: 
A função Erro é definida como: 
( ) ò -p=
t
0
u ude
2
terf
2
 (3.7) 
e a função Erro Complementar é definida como: 
( ) ( ) ò
¥ -
p
=-=
t
u due
2
terf1terfc
2
. (3.8) 
4.As funções Seno, Coseno e Exponencial Integrais: 
A função Seno Integral é definida e denotada por: 
( ) du
u
usen
tSi
t
0ò= . (3.9) 
A função Coseno Integral é definida e denotada por: 
( ) ò
¥
=
t
du
u
ucos
tCi . (3.10) 
A função Exponencial Integral é definida e denotada por: 
( ) ò
¥ -
=
t
u
du
u
e
tEi . (3.11) 
Observação: Normalmente, estas funções aparecem na resolução de problemas de física e 
Engenharia. Elas são funções tabeladas, da mesma forma que o seno trigonométrico, por exemplo, e 
muitas máquinas de calcular já as apresentam no próprio teclado. Maiores informações sobre as 
funções acima, podem ser encontradas em M. Abramowitz & I. Stegun, Handbook of Mathematical 
Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York, 1972.