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Aula 05 Raciocínio Lógico p/ Senado Federal - Analista Legislativo - Processo Legislativo Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� AULA 05: GEOMETRIA SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 01 2. Resolução de questões 44 3. Lista das questões apresentadas na aula 98 4. Gabarito 117 Olá! Seja bem vindo à nossa quinta aula. Hoje vamos trabalhar a “Geometria Básica”, mais um tópico exigido no último edital. Sem demora, vamos começar. Uma boa aula pra todos nós! 1. TEORIA 1.1 Ângulos: Ângulo é a medida de uma abertura delimitada por duas semi-retas. Veja na figura abaixo o ângulo A, que é a abertura delimitada pelas duas semi-retas desenhadas: O ponto desenhado acima no encontro entre as duas semi-retas é denominado Vértice do ângulo. Um ângulo é medido de acordo com a sua abertura. Dizemos que uma abertura completa (isto é, uma volta completa), como a vista na figura abaixo, mede 360 graus (360º): 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� Assim, aberturas inferiores a uma volta completa medirão valores entre 0 e 360 graus. Veja um exemplo: O ângulo da figura acima mede 30 graus, que equivale a 1/12 de 360 graus. Portanto, a soma de 12 ângulos iguais a este equivale a uma volta completa (360º). É importante você conhecer alguns ângulos muito comuns. Como 360o representam uma volta completa, 180o representam meia-volta, como você pode ver abaixo: ���� Por sua vez, 90o representa metade de meia-volta, isto é, ¼ de volta. Este ângulo é conhecido como ângulo reto, e tem uma representação bem característica: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� Além do ângulo reto (90o), os ângulos podem ser classificados em: - Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90o. Ex.: 30o, 45o, 60o. - Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90o. Ex.: 100o, 120o, 140o. * os ângulos de 0 e 180o são denominados de ângulos rasos. Outra classificação de ângulos que você precisa conhecer é: - Ângulos congruentes: 2 ângulos são congruentes se possuem a mesma medida - Ângulos complementares: 2 ângulos são complementares se a sua soma é 90o - Ângulos suplementares: 2 ângulos são suplementares se a sua soma é 180o Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada Bissetriz: Quando duas retas se cruzam, formam-se ângulos interessantes, que você também deve conhecer: Note, na figura acima, que o vértice dos ângulos A, B, C e D é o mesmo (simbolizado pelo ponto). Os ângulos A e C são denominados ângulos opostos pelo 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� vértice, e tem o mesmo valor. Da mesma forma, os ângulos B e D tem o mesmo valor, pois também são opostos pelo vértice: A = C B = D A soma dos ângulos A e B é de 180o (ou seja, são suplementares), assim como a soma dos ângulos B e C, C e D, e D e A. Da mesma forma, quando uma reta transversal (simbolizada por “r” na figura abaixo) cruza duas retas paralelas (“x” e “y”), formam-se ângulos interessantes: Note que os ângulos A e C são iguais (pois são opostos pelo vértice), assim como B = D, E = G e F = H. Observe ainda que A + B = 180o (isto é, são suplementares). O mesmo ocorre com B+C, C+D, E+F etc. Os ângulos A e E possuem a mesma medida, sendo chamados de ângulos correspondentes. Veja que o mesmo ocorre entre C e G, B e F, D e H. Os ângulos A e H somam 180o (são suplementares), sendo chamados de ângulos colaterais externos (estão do mesmo lado da reta r, e externamente às retas x e y). O mesmo ocorre entre B e G. D+E = 180o também, assim como C+F. Estes são chamados de ângulos colaterais internos (estão do mesmo lado da reta r, e internamente às retas x e y). E+F e D+C também são suplementares (somam 180o), sendo chamados de ângulos alternos internos (estão em lados alternados da reta r, e internamente às retas x e y). 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� Por fim, A+B e G+H somam também 180o e são chamados ângulos alternos externos. Uma outra unidade de medida de ângulos é chamada de “radianos”. Dizemos que 180o correspondem a pi (“pi”) radianos. Com esta informação em mãos, conseguimos converter qualquer outro ângulo de graus para radianos, ou vice- versa, utilizando uma regra de três simples. Exemplificando, vamos converter 30o para radianos: 180o ---------------------------------------- pi radianos 30o---------------------------------------- X radianos Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 180 30 30 3 180 18 radianos 6 X X X pi pi pi pi × = × × × = = = Da mesma forma, você verá que 360 2 radianoso pi= . 1.2 Medidas de comprimento, área e volume. Unidades de medida: distância, massa e tempo Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física que é usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da mesma grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da grandeza física “comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento de outros corpos. Para cada grandeza física, o Sistema Internacional de Unidades define uma unidade padrão de medida. Para efetuar os cálculos de comprimentos, áreas e volumes que faremos ao longo desta aula, você precisa conhecer: - qual a unidade padrão de medida daquela grandeza no Sistema Internacional de Unidades; - quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de medida; - como converter uma medida de um múltiplo para outro. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� 1.2.1 Medidas de comprimento A unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela letra m. Um metro é dividido em 10 decímetros, que por sua vez é dividido em 10 centímetros, que por sua vez é dividido em 10 milímetros. Assim, podemos dizer que 1 metro é dividido em 100centímetros (10x10), ou em 1000milímetros. Por outro lado, podemos dizer que 1 decímetro é igual a 1 10 metro (0,1 metro), 1 centímetro é igual a 1 100 metro (0,01 metro), e 1 milímetro é equivalente a 0,001 metro. Por sua vez, 10 metros equivalem a 1 decâmetro. 10 decâmetros equivalem a 1 hectômetro, e 10 hectômetros equivalem a 1 quilômetro. Veja isso na tabela abaixo: Milímetro (mm) Centímetro (cm) Decímetro (dm) Metro (m) Decâmetro (dam) Hectômetro (hm) Quilômetro (km) 1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km Portanto, se tivermos o valor de um comprimento em qualquer dessas unidades, vejamos como obtê-lo em outra unidade. Pela tabela acima, repare que para “andar” para a direita, basta dividir o número por 10 (por ex.: 10dm/10 = 1m). E, para “andar”para a esquerda, basta multiplicar por 10 (por ex.: 0,001km x 10 = 0,01hm). Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros na unidade hectômetros. Veja que precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm, m, dam e chegando em hm). Portanto, precisamos dividir por 10 quatro vezes em sequência: 15cm / 10 = 1,5dm 1,5dm / 10 = 0,15m 0,15m / 10 = 0,015dam 0,015dam / 10 = 0,0015hm Portanto, 15 centímetros equivalem a míseros 0,0015 hectômetros. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros em centímetros, 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 10 quatro vezes seguidas, obtendo a quantia de 150000cm. 1.2.2 Medidas de área A unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo símbolo 2m . Veja a tabela de conversão do metro quadrado em seus múltiplos e submúltiplos: Milímetro quadrado (mm2) Centímetro quadrado (cm2) Decímetro quadrado (dm2) Metro quadrado (m2) Decâmetro quadrado (dam2) Hectômetro quadrado (hm2) Quilômetro quadrado (km2) 1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2 Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 100, para garantir que obtenhamos a conversão correta. Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros quadrados na unidade hectômetros quadrados. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm2, m2, dam2 e chegando em hm2). Portanto, precisamos dividir por 100 quatro vezes em sequência: 15cm2 / 100 = 0,15dm2 0,15 dm2 / 100 = 0,0015m2 0,0015m2 / 100 = 0,000015dam2 0,000015dam2 / 100 = 0,00000015hm2 Portanto, 15 centímetros quadrados equivalem a apenas 0,00000015 hectômetros quadrados. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros quadrados em centímetros quadrados, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 100 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 8 zeros (4 x 2), obtendo a quantia de 1500000000cm2. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� 1.2.3 Medidas de volume Já a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo símbolo 3m . Veja a tabela de conversão do metro cúbico em seus múltiplos e submúltiplos: Milímetro cúbico (mm3) Centímetro cúbico (cm3) Decímetro cúbico (dm3) Metro cúbico (m3) Decâmetro cúbico (dam3) Hectômetro cúbico (hm3) Quilômetro cúbico (km3) 1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3 Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000, para obter a conversão correta. Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros cúbicos na unidade hectômetros cúbicos. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm3, m3, dam3 e chegando em hm3). Portanto, precisamos dividir por 1000 quatro vezes em sequência: 15cm3 / 1000 = 0,015dm3 0,015dm3 / 1000 = 0,000015m3 0,000015m3 / 1000 = 0,000000015dam3 0,000000015dam3 / 1000 = 0,000000000015hm3 Portanto, 15 centímetros cúbicos equivalem a apenas 0,000000000015 hectômetros cúbicos. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros cúbicos em centímetros cúbicos, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia de 15.000.000.000.000cm3 (quinze trilhões de centímetros cúbicos). Para finalizar o estudo de unidades de volume, é importante você conhecer outra unidade muito utilizada: o litro. Sabendo que 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro cúbico), você consegue descobrir outros valores facilmente. Veja que, como 1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 litros = 1m3. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� ������������������������������������������� 1.2.4 Medidas de massa A unidade padrão de medida de massa é o grama (e não o quilograma!), representado pelo símbolo g. Veja a tabela de conversão do grama em seus múltiplos e submúltiplos: Miligrama (mg) Centigrama (cg) Decigrama (dg) Grama (g) Decagrama (dag) Hectograma (hg) Quilograma (kg) 1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg Assim como no caso das medidas de comprimento, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 10, para obter a conversão correta. Sabendo disso, observe que 15 centigramas corresponderão a 0,0015 hectogramas (basta dividir por 10 quatro vezes seguidas). Da mesma forma, 15 hectogramas corresponderão a 150.000 centigramas (multiplique por 10 quatro vezes seguidas, ou coloque 4 zeros após o 15). Você já deve ter ouvido falar na tonelada métrica, ou simplesmente tonelada (ton). Uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas. Portanto, para obter o valor de 1 tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por 10 três vezes seguidas (de kg para hg, de hg para dag, e de dag para g), chegando a 1.000.000 gramas. 1.2.5 Medidas de tempo A unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo símbolo s. Aqui não trabalharemos da mesma forma que as demais unidades de medida, pois normalmente não contamos o tempo em múltiplos de 10. De qualquer forma, é importante você conhecer o milissegundo (ms). 1 segundo corresponde a 1000ms. As principais unidades de tempo que utilizamos, além do segundo, são o minuto, a hora e o dia. Veja-os na tabela abaixo 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Milissegundo (ms) Segundo (s) Minuto (min) Hora (hr) Dia 1.000ms 1s 1 min = 60s 1 hr = 60 min 1 dia = 24 hr Note que 1 hora equivale a 3600 segundos (60 x 60). E 1 dia corresponde a 1440 minutos (24 x 60). Para exercitar-nos, vamos escrever 2 horas na unidade segundos. Para isso, podemos utilizar algumas regras de três: 1 hora ------------------------------- 60 minutos 2 horas ----------------------------- X minutos 1 2 60 120minutos X X × = × = Continuando, temos: 1 minuto ---------------------- 60 segundos 120 minutos------------------ Y segundos 1 120 60 7200segundos Y Y × = × = 1.3 Geometria plana A geometria plana é aquela que trabalha figuras em duas dimensões, isto é, em um plano. Veremos alguns conceitos básicos e, a seguir, as principais figuras geométricas planas que podem cair em sua prova. Chamamos de Polígono qualquer figura geométrica fechada formada por uma série de segmentos de reta. Veja abaixo um exemplo de polígono: Note que uma figura como esta abaixo, apesar de formada por uma série de segmentos de reta, não é um polígono, pois não é fechada: 40718706056 ����������� ������ �������� �������������������������������������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Um polígono qualquer possui os seguintes elementos: - lados: são os segmentos de reta que formam o polígono (a figura abaixo, um pentágono, possui 5 segmentos de reta, isto é, 5 lados). - vértices: são os pontos de junção de dois segmentos de reta consecutivos. Estão marcados com letras maiúsculas na figura abaixo. - diagonais: são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos, isto é, não devemos considerar que os lados do polígono são também diagonais. Na figura abaixo, estão pontilhados: Além disso, ainda temos: - ângulos internos: são os ângulos formados nos vértices, entre dois lados consecutivos, na região interna ao polígono. Veja-os no triângulo abaixo: - ângulos externos: são os ângulos formados nos vértices, entre um lado e o prolongamento do outro lado, na região externa ao polígono. Veja um exemplo de ângulo externo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� É bom você saber que: - o número de lados de um polígono é sempre igual ao número de vértices. Veja que o triângulo possui 3 lados e 3 vértices, bem como o pentágono possui 5 lados e 5 vértices (o mesmo acontecendo com aquele polígono de 5 lados que fizemos no início deste tópico). - se um polígono possui n vértices (ou lados), então o número de diagonais é dado pela fórmula abaixo: ( 3) 2 n nD × −= Exemplificando, veja que o triângulo (n = 3) não tem nenhuma diagonal, e o pentágono (n = 5) possui 5 diagonais. - a soma do ângulo interno e do ângulo externo de um mesmo vértice é igual a 180º - a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é: ( 2) 180oS n= − × Usando a fórmula acima, você pode ver que no triângulo (n = 3) a soma dos ângulos internos é 180º, e nos quadriláteros (polígonos de 4 lados) esta soma é 360º. Os polígonos podem ser classificados em côncavos ou convexos. Abaixo temos, da esquerda para a direita, um polígono convexo e outro côncavo, ambos com 5 lados: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Veja que o polígono convexo possui todos os ângulos internos inferiores a 180º. Já o polígono côncavo possui pelo menos um ângulo interno maior que 180º (marquei-o na figura). Em outras palavras, o polígono côncavo possui uma ponta “para dentro”, o que não ocorre nos polígonos convexos. Chamamos de polígono regular aquele que possui todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais (isto é, congruentes). O polígono abaixo é chamado de Hexágono regular. Ele possui 6 lados iguais e 6 ângulos internos também iguais: Em um polígono regular como este, é fácil calcular o valor de um ângulo interno. Basta lembrar que a soma dos ângulos internos é ( 2) 180oS n= − × . Como neste caso n = 6, então S = 720º. Como temos 6 ângulos internos iguais, basta dividir 720º por 6 e veremos que cada ângulo interno mede 120º. Além disso, é fácil calcular o valor de cada ângulo externo. Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo é 180º, então cada ângulo externo deve medir 60º. Finalizando essa parte introdutória, é válido você conhecer os nomes dos principais polígonos, bem como o número de lados de cada um deles: Nº de lados Nome Nº de lados Nome 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono ... ... 8 Octógono 20 Icoságono Agora vamos conhecer as principais figuras geométricas que podem cair em sua prova. Veremos também como calcular a área das mesmas. A área de uma figura nada mais é que o espaço na superfície por ela ocupado. Quanto ao perímetro, basta você saber o conceito: trata-se da soma dos comprimentos dos lados da figura. Faremos uma ressalva quando estivermos trabalhando com as circunferências. a) Retângulo: chamamos de paralelogramo qualquer quadrilátero (polígono de 4 lados) que possua os lados opostos paralelos*. O retângulo é um paralelogramo especial, onde, além dos lados opostos serem paralelos, todos os ângulos internos são iguais a 90º, isto é, são ângulos retos (de onde vem o nome retângulo). Chamamos o lado maior de base, e o lado menor de altura. Veja-o abaixo: *Obs.: você está lembrado que dois segmentos de reta são paralelos quando nunca se cruzam, isto é, seguem lado a lado “até o infinito”? A área do retângulo é dada pela multiplicação de sua base (b) pela sua altura (h), conforme a fórmula abaixo: A = b x h Num retângulo com 10 centímetros de lado e 3 centímetros de altura, a área será: 210 3 30A cm cm cm= × = 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Note que, assim como multiplicamos o número 10 pelo 3, multiplicamos a unidade de comprimento “cm” pela unidade de comprimento “cm”, chegando à 2cm (centímetros quadrados), que neste caso é a unidade de área. Se a base e altura estiverem em unidades de comprimento diferentes, será preciso colocá-las na mesma unidade de medida antes de efetuar o cálculo da área. b) Quadrado: trata-se de um retângulo onde a base e a altura tem o mesmo comprimento, isto é, todos os lados do quadrado tem o mesmo comprimento, que chamaremos de L. Veja: A área também será dada pela multiplicação da base pela altura (b x h). Como ambas medem L, teremos L x L, ou seja: 2A L= c) Trapézio: trata-se de outro polígono com 4 lados, sendo 2 deles paralelos entre si, e chamados de base maior (B) e base menor (b). Identifique-os na figura abaixo: Para calcular a área de um trapézio, é preciso saber também a sua altura (h), que é a distância entre a base menor e a base maior. Veja-a pontilhada na figura abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Conhecendo b, B e h, podemos calcular a área do trapézio através da fórmula abaixo: ( ) 2 b B h A + × = Vamos calcular a área do trapézio deste trapézio (m representa a unidade de comprimento metro): Veja que b = 3m, B = 4m e h = 2m. Utilizando a fórmula, temos: ( ) 23 4 2 14 7 2 2 A m + × = = = d) Losango: Trata-se de um polígono com 4 lados de mesmo comprimento. Veja abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� O quadrado é um caso particular de losango, onde todos os ângulos internos são iguais a 90º. Para calcular a área de um losango, precisamos conhecer as suas duas diagonais: maior (D) e menor (d). Veja-as na figura a seguir: Assim, a área do losango é dada pela fórmula abaixo: 2 D dA ×= e) Paralelogramo: como já disse acima, o paralelogramoé um quadrilátero com os lados opostos paralelos entre si. Esses lados opostos possuem o mesmo tamanho. Veja um exemplo: A área do paralelogramo também é dada pela multiplicação da base pela altura: A = b x h Repare que a altura não é igual ao lado menor (ela só será igual no retângulo, que é um caso especial de paralelogramo). Ela é o tamanho do segmento que une os dois lados opostos (b), sendo perpendicular* a eles. *Obs.: aqui vale a pena lembrar que dois segmentos de reta são perpendiculares quando se cruzam formando ângulos de 90º. f) Triângulo: Trata-se de uma figura geométrica com 3 lados. Veja-a abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Para calcular a área do triângulo, é preciso conhecer a sua altura (h): O lado “b”, em relação ao qual a altura foi dada, é chamado de base. Assim, calcula-se a área do triângulo utilizando a seguinte fórmula: 2 b hA ×= Temos mais algumas considerações a fazer em relação ao triângulo. Primeiramente, lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o: Assim, A + B + C = 180o. Existem os seguintes tipos de triângulos: - Triângulo eqüilátero: é o triângulo que tem todos os lados iguais. Consequentemente, ele terá todos os ângulos internos iguais: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Como A + A + A = 180º, então A = 60º. Isto é, o triângulo equilátero possui três ângulos internos iguais a 60 graus. Outra particularidade do triângulo equilátero é que temos a seguinte fórmula para calcular a sua altura: 3 2 ah = , onde “a” é a medida do lado Veja onde se localiza a altura h na figura abaixo: Ainda, saiba que existe uma outra fórmula para calcular a área do triângulo equilátero usando apenas o valor da medida dos lados (a): 2 3 4 aA = - Triângulo isósceles: é o triângulo que tem dois lados iguais. Consequentemente, os 2 ângulos internos da base são iguais (simbolizados na figura pela letra A): 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� - Triângulo escaleno: é o triângulo que possui os três lados com medidas diferentes, tendo também os três ângulos internos distintos entre si: Você precisa conhecer um tipo particular de triângulo, que é aquele que possui um ângulo de 90º, isto é, um ângulo reto. Este é o triângulo retângulo. Veja-o no desenho abaixo: O ângulo marcado com um ponto é o ângulo reto (90º). Oposto a ele temos o lado “c” do triângulo, que chamaremos de hipotenusa. Já os lados “a” e “b”, que são 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos. O Teorema de Pitágoras nos dá uma relação entre a hipotenusa e os catetos, dizendo que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: 2 2 2a b c+ = Para finalizar, vejamos o que é conhecido como “semelhança de triângulos”. Triângulos semelhantes são aqueles que possuem os mesmos ângulos internos (A, B e C). Podem ser de qualquer tipo: retângulos ou não; equiláteros, isósceles ou escalenos. Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus lados são proporcionais. Veja os dois triângulos abaixo: Esses triângulos são semelhantes se os ângulos internos forem iguais, isto é, se A = D, B = E e C = F. Se isso ocorrer, podemos montar proporções entre os lados correspondentes dos dois triângulos. Veja: a b c d e f = = O lado “a” do primeiro triângulo pode também ser chamado de BC , pois os ângulos B e C estão nas extremidades do lado “a”. Da mesma forma, o lado “d” do segundo triângulo pode ser chamado de EF . Portanto, a proporção acima também pode ser escrita na forma abaixo: BC AC AB EF DF DE = = Antes de passar para a próxima figura geométrica, vamos conhecer algumas relações métricas presentes no triângulo retângulo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Observe no triângulo acima que h é a altura do triângulo ABC, e que o lado a foi dividido em duas partes (m e n) pela altura h. Neste triângulo, acima, você deve saber as seguintes fórmulas, que podem auxiliar na resolução de algum exercício: 2 2 2 h m n b m a c n a b c a h = × = × = × × = × Não vou demonstrar essas fórmulas aqui para não estender a aula demasiadamente. Entretanto, todas essas fórmulas podem ser obtidas através da comparação de 2 triângulos semelhantes: ACH e ABH. Para finalizar o estudo de triângulos, é bom voce saber a condição de existência de um triângulo. Se um triângulo tem lados de comprimento A, B e C, o comprimento do lado maior deve ser inferior à soma dos lados menores. Ex.: se alguém nos perguntasse se existe um triângulo com lados 5cm, 10cm e 22cm, diríamos que não, pois 22cm é maior que 5cm + 15cm. g) Círculo: em um círculo (ou circunferência), todos os pontos se encontram à mesma distância do centro. Essa distância é chamada de raio, e na figura abaixo está simbolizada pela letra r: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� A área de uma circunferência é dada pela fórmula abaixo: 2A rpi= × Nesta fórmula, a letra pi (“pi”) representa um número irracional que é, aproximadamente, igual a 3,14. Exemplificando, vamos calcular a área de um círculo com 10 centímetros de raio: 2 2 2 (10 ) 100 A r A cm A cm pi pi pi = × = × = × Substituindo pi por 3,14, temos: 2 2 3,14 100 314 A cm A cm = × = Já o perímetro de uma circunferência, isto é, o comprimento da circunferência, é dado por: 2P rpi= × × Portanto, vamos calcular o perímetro daquela circunferência com 10cm de raio: 2 2 (3,14) (10 ) 6,28 10 62,8 P r P cm P cm P cm pi= × × = × × = × = O diâmetro (D) de uma circunferência é um segmento de reta que liga um lado ao outro da circunferência, passando pelo centro. Veja que o diâmetro mede o dobro do raio: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� As fórmulas da área e do comprimento da circunferência podem ser escritas em função do diâmetro, ao invés do raio. Como r = D/2, temos: 2 4 DA pi= × P Dpi= × Imagine dois pontos quaisquer de uma circunferência, como A e B da figura abaixo. Veja que liguei-os ao centro da circunferência através dos segmentos de reta pontilhados, formando um ângulo entre estes segmentos: Repare que delimitamos uma certa região do círculo, compreendida entre as linhas pontilhadas. Uma região como esta é chamada de setor circular. Veja quedestaquei o ângulo ACB (que simbolizei com a letra minúscula “a”). Ele é o ângulo central deste setor circular. Com base neste ângulo, conseguimos determinar a área do setor circular e o comprimento do segmento de círculo compreendido entre os pontos A e B. Para isso, vamos dizer que o raio deste círculo é “r”. Sabemos que o ângulo central de uma volta completa no círculo é 360º. E também sabemos a área desta volta completa, que é a própria área do círculo( 2rpi × ). A proporção abaixo nos permite calcular a área do setor circular, em função do ângulo central “a”: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� 360º -------------------- 2rpi × a ------------------------- Área do setor circular Portanto: 2Área do setor circular 360o a rpi= × Assim, se temos um setor circular com ângulo central igual a 180º, a área deste setor será: 2 2180Área do setor circular 360 2 o o r r pi pi= × = Isto é, a área do setor circular com ângulo central igual a 180º é exatamente a metade da área do círculo inteiro. De forma análoga, sabemos que o comprimento da circunferência inteira é 2 rpi . Portanto, o comprimento do segmento circular entre os pontos A e B, cujo ângulo central é “a”, é obtido pela proporção abaixo: 360º -------------------- 2 rpi a ------------------------- Comprimento do setor circular Logo, Comprimento do setor circular 2 360o a rpi= × Portanto, se a = 90º, então o comprimento do setor circular será igual a 2 rpi , que é exatamente um quarto do comprimento total da circunferência. Sobre circunferências, saiba ainda que denominamos Corda o segmento de reta qualquer ligando dois pontos da circunferência. O segmento AB da figura abaixo é um exemplo de corda: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� h) Posições relativas entre figuras planas: ���� Reta secante e tangente: Quando temos uma reta e um círculo, pode ser que esta reta passe pelo círculo dividindo-o em duas partes, e definindo uma corda. Trata-se de uma reta secante. Podemos ainda ter uma reta que passa por um círculo tocando-o em um único ponto. Neste caso, temos uma reta tangente ao círculo. Veja uma reta secante e outra tangente no desenho abaixo: Note que a reta tangente forma ângulos de 90º com o raio R da circunferência no ponto de encontro: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� ���� Circunferências concêntricas: Dizemos que duas circunferências são concêntricas quando compartilham o mesmo ponto central. Veja isso na figura abaixo: ���� Figuras inscritas e circunscritas: � Observe a figura abaixo: Note que este é o maior quadrado que podemos ter dentro deste círculo, afinal ele toca as bordas do círculo. Neste caso, dizemos que o quadrado está inscrito no círculo. Também podemos dizer que o círculo está circunscrito ao 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� quadrado, uma vez que este é o menor círculo capaz de envolver completamente o quadrado. Assim, dizemos que um polígono está inscrito em outro quando encontra-se completamente na região interna deste outro polígono, com os seus vértices tocando no polígono que o circunscreve. Quando temos polígonos inscritos/circunscritos, é fácil encontrar alguma relação entre as dimensões dos dois. Repare que neste caso, o diâmetro do círculo é exatamente igual à diagonal do quadrado: Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é igual a D, podemos calcular o valor do lado L do quadrado. A diagonal do quadrado forma, junto de outros dois lados, um triângulo retângulo: Neste triângulo retângulo (marcado em vermelho), podemos usar o teorema de Pitágoras para dizer que: D2 = L2 + L2 2D L= Podemos dizer que 2 é, aproximadamente, igual a 1,41. Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é D = 14,1cm, então o lado do quadrado será igual a 14,1 / 1,41 = 10cm. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� 1.4 Geometria espacial A geometria espacial estuda as figuras geométricas em três dimensões (altura, largura e profundidade). Em especial, você deve conhecer os poliedros, que são aquelas figuras espaciais formadas por várias faces, cada uma delas sendo um polígono como os que estudamos acima. Vamos passar rapidamente pelas principais figuras espaciais, destacando seus principais elementos constitutivos, além de áreas e volumes que podem ser pedidos em sua prova. a) Paralelepípedo: no desenho abaixo temos um paralelepípedo de altura H, largura L e comprimento C: Repare que o paralelepípedo é uma figura espacial que possui todos os ângulos entre os segmentos de retas que o formam iguais a 90º. Estes segmentos de retas são denominados arestas. Aqui temos 12 arestas ao todo. Essas arestas se unem em “cantos” que denominamos de vértices. Esta figura acima possui exatamente 8 vértices. Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida entre quatro arestas, formando um plano. Repare que este paralelepípedo possui, ao todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler, que diz que, para qualquer poliedro convexo: Vértices + Faces = Arestas + 2 Neste paralelepípedo, temos: 8 + 6 = 12 + 2 Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma figura tridimensional como esta. O volume de um paralelepípedo, e de várias outras figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a área da base (Ab) e a altura (H): 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Volume = Ab x H A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. Neste caso, tanto a face superior quanto a face inferior poderiam ser consideradas “bases”. Repare que esta base é um retângulo com dimensões C e L. Portanto, a área da base é simplesmente a área do retângulo: Ab = C x L Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação das suas três dimensões: V = C x L x H No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões devem estar na mesma unidade de comprimento. Isto é, se temos C = 1m, L = 10cm e H = 0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m para depois efetuar a multiplicação. O resultado terá a unidade m3 (metro cúbico). Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície deste paralelepípedo. Ela nada mais é que a soma das áreas das faces. Todas as faces são retangulares, entretanto as duas faces das extremidades possuem área igual a L x H, outras duas faces possuem área igual a C x H, e outras duas possuem área igual a C x L. Se um exercício pedisse “qual a áreade papel de presente que precisamos para embrulhar uma caixa de sapatos com dimensões C, H e L”, bastaria calcular esta área superficial. b) Cubo: o cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as arestas tem a mesma medida. Isto é, C = L = H. Veja o cubo abaixo, cujas arestas medem A: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim como o paralelepípedo. O seu volume também é dado pela multiplicação da área da base pela altura, de modo que teremos: Volume = Ab x H = (A x A) x A = A3 c) Cilindro: veja na figura abaixo um cilindro: Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma altura H. Portanto, a área da base do cilindro é: 2Ab Rpi= O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base pela altura: V Ab H= × A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que deve ser contada duas vezes, afinal temos esta área em cima e em baixo do cilindro) e a área lateral. Repare que se “desenrolarmos” a área lateral e “abrimos” todo o cilindro, temos o seguinte: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o comprimento da circunferência da base, isto é, 2C Rpi= . Assim, a área lateral do cilindro é: 2lateralA HxC Hx Rpi= = A área total do cilindro será simplesmente: Área total = 2 x Abase + Alateral d) Cone: O cone é uma figura com uma base circular, assim como o cilindro, porém com uma ponta na outra extremidade. Veja um exemplo: Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio R: 2Ab Rpi= Dado que a altura do cilindro é H, então o seu volume é: 3 Ab HV ×= Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples multiplicação da área da base pela altura – foi preciso dividir esse produto por 3. Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e o prisma (que veremos a seguir). No cone, chamamos de geratriz o segmento de reta que liga a ponta até a extremidade da base. Veja-a marcada pela letra “G” na figura acima. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um triângulo retângulo. Portanto, fica fácil calcular a geratriz com auxílio do teorema de Pitágoras: G2 = R2 + H2 Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir: Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à geratriz G. O comprimento deste setor circular (marcado em vermelho na figura acima) é igual ao comprimento da circunferência da base, isto é, 2C Rpi= . Assim, podemos calcular a área deste setor circular a partir da seguinte proporção: Área do círculo de raio G --------------------------- Comprimento do círculo de raio G Área do setor circular --------------------------------- Comprimento do setor circular Isto é, pi G2 ---------------------------- 2pi G Área lateral do cone --------------------------2pi R Portanto, podemos dizer que: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Área lateral do cone = pi xGxR e) Pirâmide: Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base retangular: Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por: 3 Ab HV ×= Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei em detalhes aqui. Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das faces laterais, que são triângulos. Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das áreas das faces laterais. f) Prisma: Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e outro com base retangular: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é facilmente calculada. Além disso, você já sabe calcular a área da base de cada um deles. Assim, você consegue calcular facilmente a área total de um prisma – mas não se esqueça de somar a área da base duas vezes, afinal temos essa área na extremidade inferior e superior das figuras. O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura: V = Ab x H g) Esfera: a esfera é uma figura espacial formada por todos os pontos que se encontram à distância R de um ponto central C: O volume de uma esfera de raio igual a R é: V = 4pi R3/3 A área da superfície da esfera é: A = 4pi R2 Vamos aos exercícios? 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� 1.5 Representação de pontos no plano cartesiano O plano cartesiano é formado por 2 eixos que se cruzam conforme a figura abaixo: � � � � O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou, simplesmente, eixo X. Já o eixo da vertical é chamado de eixo das ordenadas ou, simplesmente, eixo Y. O cruzamento dos dois eixos representa o ponto de origem, isto é, o ponto onde se localiza o zero de cada eixo. A partir dessa origem, os valores de cada eixo crescem no sentido das setas. Isto é, no eixo X, os valores crescem para a direita. Portanto, à direita da origem teremos os valores positivos de X, e à esquerda teremos os valores negativos. Já no eixo Y, os valores crescem para cima, de modo que na parte acima da origem teremos os valores positivos e, na parte abaixo da origem, os valores negativos. Veja que os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados na figura abaixo no sentido anti-horário: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Podemos definir um ponto P em qualquer posição do plano cartesiano simplesmente dizendo qual o valor de sua abscissa X e qual o valor de sua ordenada Y. Normalmente escrevemos os valores da abscissa e da ordenada entre parenteses, sendo que o primeiro valor refere-se ao eixo X e o segundo ao eixo Y. Algo como P = (x, y). Por exemplo, se tivermos o ponto P = (4, 5), podemos entender que o valor da abscissa desse ponto é x = 4 e o valor da ordenada é y = 5. Podemos localizar esse ponto no plano cartesiano, como você vê abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� � � � ���������������� ������� ���������������� ������� ������� ����� ������� ����� � � � � � � � ��� ���� � Observeque bastou localizarmos a posição x = 4, traçarmos uma linha vertical (perpendicular ao eixo X), e, a seguir, localizar y = 5 e traçar uma linha horizontal (perpendicular ao eixo Y). O ponto P (4, 5) fica no cruzamento entre as duas linhas pontilhadas que traçamos. Dessa forma, você consegue localizar qualquer ponto no plano. Observe ainda que o ponto P que desenhamos encontra-se no 1º quadrante. Notou que todos os pontos do primeiro quadrante terão valores positivos para a abscissa e também para a ordenada? Já os pontos do segundo quadrante tem valores negativos de X e positivos de Y. Para exemplificar, localizei na figura abaixo o ponto A (-5, 2): 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� � Da mesma forma, os pontos do 3º quadrante tem valores negativos tanto na abscissa (X) quanto na ordenada (Y). E, no 4º quadrante, os pontos tem valores positivos na abscissa (X), porém negativos na ordenada (Y). Por exemplo, se uma questão disser que um determinado ponto A possui x > 0 e y < 0, você facilmente saberá localizar em que quadrante ele se encontra: o quarto quadrante. A tabela abaixo resume este assunto: Quadrante Sinal da abscissa (x) Sinal da ordenada (y) 1 + + 2 - + 3 - - 4 + - Vale ainda a pena você conhecer uma reta chamada “bissetriz dos quadrantes ímpares”. Trata-se de uma reta que divide ao meio tanto o 1º quanto o 3º quadrantes, como você vê na figura abaixo. Veja que todos os pontos dessa reta tem a abscissa igual à ordenada. Exemplifiquei mostrando 2 pontos: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Outra reta bem conhecida é a “bissetriz dos quadrantes pares”. Essa reta divide tanto o 2º quanto o 4º quadrantes ao meio. Nessa reta, todos os pontos tem a abscissa com o valor oposto da ordenada. O ponto C (-3, 3), por exemplo, pertence à esta reta. 1.5.1 Distância entre dois pontos Dados dois pontos em um plano cartesiano, é fácil calcular a distância entre eles utilizando o teorema de Pitágoras. Vamos visualizar isso através de um exemplo. Imagine dois pontos A (1, 1) e B (4, 5) cuja distância um do outro queremos calcular. Veja-os no plano cartesiano: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� A distância entre os pontos A e B é dada pelo tamanho do segmento de reta d, desenhado na figura. Para obtê-lo, podemos desenhar o triângulo retângulo visto abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Observe que, ao desenhar o triângulo, encontramos o ponto C (4, 1). No triângulo acima, o lado AC tem tamanho dx, e o lado BC tem tamanho dy. Veja que é fácil calcular dx: como o segmento AC é paralelo ao eixo X, basta vermos que ele começa na posição x = 1 e termina em x = 4. Portanto, dx = 4 – 1 = 3. Da mesma forma, como o segmento BC é paralelo ao eixo Y, basta vermos que ele começa em y = 1 e termina em y = 5, de forma que dy = 5 – 1 = 4. Assim, temos: Trata-se de um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4, e com a hipotenusa medindo d. O teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, ou seja: 2 2 23 4 d+ = Portanto, 2 2 9 16 25 25 5 d d d + = = = = Assim, a distância entre os pontos A e B é de 5 unidades. Observe que, tendo os pontos A (1, 1) e B (4, 5), o que fizemos foi a seguinte conta: 2 2 2 2 2 2 (4 1) (5 1) 3 4 d d − + − = + = Observe que dentro de um dos parênteses temos a subtração entre os valores das abscissas (x) dos pontos A e B, e no outro parênteses temos a substração entre os valores das ordenadas (y). Logo, podemos criar a seguinte fórmula para calcular a distância (d) entre os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb): 2 2 2( ) ( )xa xb ya yb d− + − = 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� A título de exemplo, vamos calcular a distância entre os pontos A (-2, -7) e B (3, -5). Veja que xa = -2, ya = -7, xb = 3 e yb = -5. Portanto: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 2 3) ( 7 ( 5)) ( 5) ( 7 5) 25 ( 2) 25 4 29 xa xb ya yb d d d d d d − + − = − − + − − − = − + − + = + − = + = = Assim, a distância entre os pontos A (-2, -7) e B (3, -5) é de 29 unidades. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 1. Exercício de fixação) Efetue as conversões de unidades solicitadas: a) 5litros para m3 b) 10dam em cm c) 40hm2 em km2 d) 2 dias em minutos e) 36 horas em dias f) 150 milissegundos em segundos g) 36o em radianos h) 4 radpi em graus i) 3 2 radpi em graus j) 0o em radianos l) 20 cm3 em m3 m) 15dag em hg Respostas: a) 0,005m3 b) 10000cm c) 0,40km2 d) 2880minutos e) 1,5dias f) 0,150s g) 5 radpi h) 45o 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� i) 270o j) 0 rad l) 0,000020 cm3 m) 1,5hg 2. FGV - CODESP/SP - 2010) Antônio, Bernardo, Caetano, Dario e Eduardo estão, respectivamente, sobre os vértices A, B, C, D e E de um pentágono regular, onde os vértices aparecem nessa ordem no sentido horário. Em determinado momento, Bernardo, Caetano, Dário e Eduardo caminham em linha reta até Antônio. Sendo b, c, d e e as distâncias percorridas, respectivamente, por Bernardo, Caetano, Dário e Eduardo, tem-se que: a) b = c = d = e b) b<c=d<e c) b=e<c=d d) c<b=e<d e) c=d<b=e RESOLUÇÃO: Vamos desenhar um pentágono regular, posicionando os 5 rapazes: Observe que, para caminhar até A, os rapazes B e E precisarão percorrer apenas o equivalente a um lado do pentágono. Já os rapazes D e C precisarão percorrer uma diagonal do pentágono. Portanto, as distâncias b e e são iguais, e as distâncias c e d também são iguais, sendo essas últimas maiores que as duas anteriores. Isto é: b = e < c = d Resposta: C 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� 3. FGV - MEC - 2008) A figura ilustra um triângulo ABC, cujo ângulo B mede �. Analise as afirmativas a seguir: I. mantendo-se os valores dos ângulos A e B e reduzindo-se o lado AB à metade do seu tamanho, reduzir-se-á o lado AC também à metade. II. mantendo-se o tamanho do lado AB e o valor do ângulo A e dobrando-se o valor do ângulo B, o tamanho do lado AC dobrará.III. dobrando-se as medidas de todos os lados do triângulo, dobrar-se-á também a medida do ângulo B. São sempre verdadeiras somente: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III RESOLUÇÃO: Veja que estamos diante de um exercício envolvendo semelhança de triângulos. Vamos julgar as alternativas: I. mantendo-se os valores dos ângulos A e B e reduzindo-se o lado AB à metade do seu tamanho, reduzir-se-á o lado AC também à metade. Fazendo isso, teremos o triângulo BDE, como vemos abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Neste triângulo, o lado BD mede a metade de AB, isto é, BD = AB/2 Veja ainda que os triângulos BDE e BAC são semelhantes, pois possuem os seus três ângulos são idênticos. Podemos, portanto, dizer que neste segundo triângulo o lado DE (correspondente ao AC do primeiro) também é a metade de AC. Você pode ver isso através da seguinte proporção: AB BD AC DE DE AB AC BD = × = × Como BD = AB/2, então: 2 1 2 2 ABDE AB AC ACDE AC × = × = × = Item VERDADEIRO. II. mantendo-se o tamanho do lado AB e o valor do ângulo A e dobrando-se o valor do ângulo B, o tamanho do lado AC dobrará. Ao dobrar um ângulo, deixamos de ter triângulos semelhantes. Não podemos afirmar que, ao dobrar um ângulo, o lado a ele oposto (no caso, AC é oposto ao ângulo B) será dobrado. Item Falso. III. dobrando-se as medidas de todos os lados do triângulo, dobrar-se-á também a medida do ângulo B. Dobrando-se as medidas de todos os lados do triângulo ABC, teremos um novo triângulo DEF como este abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Veja que: 1 2 AB AC BC BF EF BE = = = Todos os lados são proporcionais. Portanto, esses dois triângulos são semelhantes, e por isso devem ter os mesmos ângulos. Item Falso. Resposta: A 4. FGV – CODESP/SP – 2010) Um contêiner tipo Dry Box 40 pés tem medidas internas aproximadas de 12,03m x 2,28m x 2,34m e suporta uma carga máxima de 26527kg. Há uma carga com grande quantidade de caixas rígidas, que podem ser empilhadas, com dimensões externas de 1,70m x 0,70m x 1,10m e pesando 650kg cada uma. O número máximo dessas caixas que podem ser colocadas em um contêiner tipo Dry Box 40 pés, atendendo a suas especificações de carga, é: a) 39 b) 38 c) 40 d) 42 e) 41 RESOLUÇÃO: Vejamos um desenho do contêiner e de uma caixa: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Veja que, no sentido do comprimento (maior dimensão) do contêiner, cabem 7 caixas, pois 7 x 1,70 = 11,9m. Sobram, portanto, 0,13m não ocupados. No sentido da largura do contêiner (2,28m) cabem 3 vezes a largura da caixa(0,70 x 3 = 2,10), sobrando 0,18m. Mas veja que, ao invés disso, cabem também 2 vezes a altura da caixa (1,10 x 2 = 2,20), sobrando apenas 0,08m não ocupados. Vamos dar preferência para este segundo arranjo, pois nele sobra menos espaço vazio. Portanto, estamos colocando as caixas nessa posição: Desta forma, no sentido da altura do contêiner (2,34m) cabem 3 caixas (pois 3x0,70m = 2,10m), sobrando 0,24m. Veja que, até aqui, foi possível empilhar 7 caixas no sentido do comprimento, por 2 caixas no sentido da largura, por 3 caixas no sentido da altura do contêiner. Ao todo, temos 7 x 2 x 3 = 42 caixas. Como cada caixa pesa 650kg, essas 42 caixas pesam 650x42 = 27300kg. Isso é mais do que o contêiner suporta (26527kg). Devemos, portanto, tirar algumas caixas para evitar sobrecarregar o contêiner. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Tirando uma caixa, o peso total passa a ser 27300 – 650 = 26650kg, que ainda é superior ao valor suportado pelo contêiner. Tirando mais uma caixa, temos o peso de 26000kg, que é suportado pelo contêiner. Portanto, foi preciso tirar 2 das 42 caixas, restando 40 caixas no contêiner. Este é o número máximo de caixas que podemos empilhar. Resposta: C Obs.: veja que aqui estávamos diante de uma restrição de volume (quantas caixas cabiam no espaço interno do contêiner) e de uma restrição de peso (qual o peso máximo suportado pelo contêiner). Neste caso, é sempre preciso verificar se as duas restrições estão sendo respeitadas. Na resolução do exercício, primeiramente analisamos a restrição volumétrica e, a seguir, verificamos a restrição de peso.Você poderia calcular, de início, a restrição de peso, dividindo o peso máximo suportado (26527kg) pelo peso de cada caixa (650kg), encontrando 40,81 caixas. Arredondando para baixo, temos que o número máximo de caixas suportado é de 40. Com isso você já eliminaria as alternativas D e E. 5. FGV – CAERN – 2010) Observe a sequência de figuras. Da 1ª para a 2ª figura, houve um giro no sentido horário. Da 2ª para a 3ª, houve um giro no sentido anti- horário. E assim por diante, alternando um giro horário com um giro anti-horário. Para manter o padrão da construção, a próxima figura deve ser: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� RESOLUÇÃO: Observe que da 1ª para a 2ª figura houve um giro no sentido horário de 90º. Já no giro da 2ª para a 3ª, houve um giro no sentido anti-horário de 45º. E assim sucessivamente, alternando giros de 90º no sentido horário com giros de 45º no sentido anti-horário. Portanto, seguindo assim, você verá que da 8ª para a 9ª (última figura do enunciado) houve um giro de 45º no sentido anti-horário. Portanto, o próximo giro deve ser de 90º no sentido horário, levando à figura da letra B. Resposta: B 6. FGV – CAERN – 2010) 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� A figura acima ilustra um quadrado de vértices A, C, E e G. Os pontos B, D, F e H são os pontos médios, respectivamente, dos lados AC, CE, EG e GA. O ponto J está no centro do quadrado. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir: I. A região ocupada pelo triângulo BCD é igual à região ocupada pelo triângulo FGH II. A região ocupada pelo pentágono BDEGH é igual à região ocupada pelo quadrado BDFH III. A região ocupada pelo hexágono ABDEFH é igual à metade da região ocupada pelo quadrado ACEG. Assinale: a) se somente a afirmativa I estiver correta b) se somente a afirmativa II estiver correta c) se somente a afirmativa III estiver correta d) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas RESOLUÇÃO: Chamando de 2L o comprimento do lado do quadrado ACEG, podemos dizer que a distância entre o vértice A e o ponto médio B é L, bem como a distância entre o ponto B e o vértice C também é L, e assim por diante. Da mesma forma, sendo J o centro do quadrado, então a distância de J até B, D, F e H (pontos médios) também é igual a L. Veja issono desenho abaixo: Com isso em mente, vamos julgar as afirmativas: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� I. A região ocupada pelo triângulo BCD é igual à região ocupada pelo triângulo FGH Veja que tanto o triângulo BCD como o triângulo FGH tem altura h = L, e base b = L. Portanto, a área de ambos é igual a: 2 2 2 b h LÁrea ×= = Se eles tem a mesma área, então ocupam a mesma região. Item Verdadeiro. II. A região ocupada pelo pentágono BDEGH é igual à região ocupada pelo quadrado BDFH Observe que o pentágono BDEGH contém 5 triângulos, todos eles com base b = L e altura h = L, isto é, todos com 2 2 2 b h LÁrea ×= = . Portanto, a área total deste pentágono é igual à soma das áreas desses triângulos, ou seja, 2 5 2 L × . Já o quadrado BDFH é composto por 4 triângulos, todos com base b = L e altura h = L. Assim, sua área total é igual a 2 4 2 L × , que é diferente da área do pentágono. Item Falso. III. A região ocupada pelo hexágono ABDEFH é igual à metade da região ocupada pelo quadrado ACEG. Note que o hexágono mencionado acima é formado por 6 triângulos de base b = L e altura h = L, tendo, portanto, área total igual a 2 6 2 L × . Já o quadrado ACEG é formado pelos 8 triângulos pequenos, tendo área igual a 2 8 2 L × . Item Falso. Resposta: A 7. FGV – MEC – 2008) 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� A figura ilustra uma caixa com 2 dm de altura, cuja abertura tem 3dm x 4dm. Abaixo, estão ilustrados 3 sólidos: Dos sólidos apresentados, cabe(m) totalmente na caixa somente: a) I b) II c) III d) I e II e) II e III RESOLUÇÃO: Observe que a esfera tem 3dm de diâmetro. Portanto, a sua altura (3dm) é maior que a altura da caixa (2dm). Assim, parte da esfera ficaria fora da caixa. O cilindro tem 4dm de altura. Se colocado “em pé” na caixa, ficaria com parte fora da caixa. Entretanto, veja que é possível “deitar” o cilindro, colocando-o na horizontal, de modo que ele caberia na caixa, pois esta tem uma abertura de 4dm, 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� suficiente para acomodar o cilindro. Deitado, o cilindro fica apenas com 2dm de altura, igual à altura da caixa. Já o cubo de 3dm passaria na abertura da caixa, porém sua altura é superior à altura da caixa, ficando parte fora dela. Assim, apenas o cilindro cabe totalmente na caixa. Resposta: B. 8. FGV – MEC – 2008) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a circunferência toca o quadrado. Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir: I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado. II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado. III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale: a) se somente a afirmativa I estiver correta b) se somente a afirmativa II estiver correta c) se somente a afirmativa III estiver correta d) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas RESOLUÇÃO: Observe que, se o quadrado tem lado igual a 2L, este também será o comprimento do diâmetro da circunferência: Com isso em mãos, vamos analisar as afirmativas. I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da área total do quadrado. Veja que a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é a área hachurada no desenho acima. Ela é a diferença entre a área do quadrado e a área da circunferência, isto é: Área hachurada = Área quadrado – Área circunferência A área do quadrado de lado 2L é 2 2(2 ) 4A L L= = . A área da circunferência de raio L é igual a 2A Lpi= . Portanto, 2 2 2 4 (4 ) Área hachurada L L Área hachurada L pi pi = − = − Usando a aproximação 3,14pi = , podemos dizer que: 2 2 (4 3,14) 0,86Área hachurada L L= − = Como metade da área do quadrado é igual a 2L2, podemos dizer que a área hachurada é menor que a metade da área do quadrado. Item Verdadeiro. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado. Observe o triângulo retângulo que destaquei abaixo, onde chamei de X a distância de A até O: Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que: X2 = L2 + L2 = 2L2 Portanto, 22 2X L L= = Como 2 é aproximadamente igual a 1,41, podemos dizer que X = 1,41L. Esta medida é maior do que a metade do lado do quadrado (L). Item Falso. III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. O percurso PRQ, por cima da circunferência, corresponde à metade do comprimento da circunferência. Sabemos que o comprimento de uma circunferência de raio igual a L é: 2C Lpi= Usando a aproximação 3,14pi = , temos: 2 3,14 6,28C L L= × × = A metade deste comprimento é igual a 3,14L. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Para fazer o mesmo percurso sobre os lados do quadrado, passaríamos por metade do perímetro daquele quadrado, isto é, percorreríamos L + 2L + L = 4L. Portanto, o comprimento do percurso PRQ é mais curto quando feito por cima da circunferência do que por cima dos lados do quadrado. Item Verdadeiro. Resposta: D 9. FGV – PREF. CAMPINAS – 2008) A figura abaixo mostra um triângulo ABC e o ponto D sobre o lado AC. Sabendo que AB = BC = CD e que o ângulo DBA = 18º, então o ângulo CBD mede: a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º e) 66º RESOLUÇÃO: Vamos marcar as informações dadas pelo enunciado na figura. O traço cortando cada lado indica que aqueles lados tem o mesmo tamanho. Além disso, veja que o ângulo DBA é aquele ângulo com vértice em B e formado pelos segmentos de reta DB e BA: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Observe que o triângulo ABC é isósceles, pois os lados AB e BC são iguais. Portanto, os ângulos A e C são iguais: Como os ângulos internos de um triângulo devem somar 180º, podemos dizer que, no triângulo ABD: 180º = 18º + X + BDA BDA = 162º - X Veja ainda que a soma dos ângulos BDA e BDC é igual a 180º. Isto é:BDA + BDC = 180º (162º - X) + BDC = 180º BDC = 18º + X Colocando essas informações no desenho, temos: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Finalmente, note que o triângulo BCD também é isósceles, pois os lados CB e CD são iguais. Assim, os ângulos da base BD devem ser iguais. Já vimos que o ângulo BDC mede 18o – X, portanto o ângulo CBD também deve ter essa medida: Aqui podemos lembrar que a soma dos ângulos internos do triângulo BCD também deve medir 180º. Assim: X + (18º + X) + (18º + X) = 180º 3X = 180º - 36º X = 48º Portanto, o ângulo CBD mede 18º + X = 18º + 48º = 66º. Resposta: E 10. FGV – PREF. CAMPINAS – 2008) A figura ilustra um triângulo eqüilátero. 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Todas as alternativas abaixo apresentam figuras geométricas que podem ser formadas com 6 triângulos idênticos ao apresentado, EXCETO: RESOLUÇÃO: Vamos tentar reproduzir cada uma das figuras acima utilizando triângulos eqüiláteros. Acompanhe os desenhos: a) 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Veja que utilizamos exatamente 6 triângulos equiláteros para formar esta figura. b) Novamente, foi possível montar a figura com 6 triângulos eqüiláteros. c) Idem aos itens anteriores. d) 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Veja que essa figura só precisou de 5 triângulos equiláteros, ao contrário das demais. Portanto, este é o gabarito. e) Novamente foi possível montar o desenho com os 6 triângulos equiláteros. Resposta: D 11. FCC – DNOCS – 2010) No triângulo ABC representado na figura abaixo, os segmentos BT e CT dividem os respectivos ângulos internos dos vértices B e C em partes iguais. Se o ângulo do vértice A mede 80o, a medida θ do ângulo assinalado é igual a: a) 110o b) 120o c) 130o d) 140o 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� e) 150o RESOLUÇÃO: Os ângulos internos de um triângulo, como vimos, somam 180 graus. Assim, sabemos que A + B + C = 180o. Como sabemos que A = 80o, então: A + B + C = 180o 80o + B + C = 180o B + C = 100o Como o segmento BT divide o ângulo B em 2 (ou seja, é a bissetriz), teremos, de cada lado deste segmento, o ângulo B/2. Da mesma forma, o segmento CT divide o ângulo C em 2 ângulos iguais a C/2. Observe que o triângulo BCT possui, como ângulos internos: B/2, C/2 e θ . Sabemos que esses 3 ângulos devem somar 180 graus, ou seja: 180 2 2 B C θ+ + = ou seja, 180 2 B C θ+ + = Como sabemos que B + C = 100o, podemos substituir esse valor na expressão acima, obtendo: 100 180 2 θ+ = Assim, podemos obter o valor de θ : 100180 180 50 130 2 θ = − = − = Resposta: C. 12. FCC – METRÔ/SP – 2010) Num triângulo ABC o lado AB mede 16cm. Por um ponto D, pertencente a AB e situado a 10cm de A, traça-se uma paralela a BC que intercepta AC em E. Se AE = 8cm, então a medida de EC , em centímetros, é: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� a) 4,0 b) 4,2 c) 4,4 d) 4,6 e) 4,8 RESOLUÇÃO: Vamos desenhar um triângulo ABC qualquer abaixo: Agora, vamos marcar um ponto D no segmento AB e traçar um segmento paralelo a BC , marcando então o ponto E em AC : Veja que, conforme o exercício disse, a distância de A até D é de 10cm. E a distância de A até E é de 8cm. Veja isso no desenho abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� O exercício pede a medida de EC . Como já temos a medida de AE , basta obtermos o valor de AC e efetuarmos a subtração AC - AE . Para tanto, note que os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Assim, podemos montar a seguinte proporção: AB AD AC AE = Substituindo os valores que já conhecemos, temos: 16 10 8AC = portanto, 16 8 10 128 10 12,8 AC AC AC cm × = × = × = Com isso, podemos obter o valor de EC : 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� 12,8 8 4,8 EC AC AE EC cm = − = − = Resposta: E. 13. FCC – MPE/RS – 2010) A figura mostra um terreno retangular de largura 60m. Se a área da região destacada na figura corresponde a 30% da área do terreno, então a medida x vale: a) 3m b) 6m c) 10m d) 12m e) 15m RESOLUÇÃO: Observe que não conhecemos a altura do retângulo. Vamos chamá-la de h. Veja-a no desenho abaixo: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� Portanto, como a área do retângulo é dada por Base x Altura, a área deste retângulo acima é dada por: 60 A b h A h = × = × O exercício disse que a área destacada (em cinza) corresponde a 30% da área total. Ou seja: Área total -------------------------------- 100% Área destacada------------------------- 30% Substituíndo o valor da área total na regra de três acima, temos: 60 h× ------------------------------------ 100% Área destacada------------------------- 30% Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 60 30% ( rea destacada) 100%h A× × = × Como 100% é igual a 1, e 30% é igual a 0,3, temos: 60 0,3 ( rea destacada) 1 18 rea destacada h A h A × × = × × = Guardemos a expressão acima. Observe que a área destacada é um trapézio com base menor (b) igual a x, base maior (B) igual a 30m, e altura (h) igual a h. Vamos substituir esses valores na fórmula da área do trapézio: ( ) ( ) 2 30 rea destacada 2 B b h A x h A + × = + × = Portanto, a área destacada pode ser dada pelas expressões 18 h× ou ( )30 2 x h+ × . Igualando as duas, podemos “cortar” o h, obtendo o valor de x: 40718706056 ����������� ������ �������� ������������������������������� ������������� ����������� !� � � � � � ������������� ����������������������������������� ��� �������������������������������������������� ( ) ( ) 30 18 2 30 18 2 36 30 6 x h h x x x m + × × = + = = + = Resposta: B. 14. FCC – PREF. SP – 2009) Na figura abaixo, admita que ABCD é retângulo e os segmentos
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