AD2 - Q3 - Gabarito

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PROBABILIDADE E ESTATI´STICA
AD2 - QUESTA˜O 3 - GABARITO
1o Semestre de 2015
Profa. Keila Mara Cassiano (UFF)
(AD2 - Questa˜o 3) - (2,5 pontos)* - A func¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X e´
P (X) = 1/5 para X = 2, 4, 6, 8, 10 . Determine:
(a) A distribuic¸a˜o de Probabilidades de X ;
(b) E(X + 3)2 ;
(c) V AR(3X − 2) .
Soluc¸a˜o:
(a)
Temos que os valores que a v.a X pode assumir sa˜o: 2, 4, 6, 8, 10 e que a probabilidade de ocorreˆncia
de cada um destes vlaores e´ igual a` 1/5. Assim, a distribuic¸a˜o de Probabilidades de X sera´:
X 2 4 6 8 10
p(x) 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
(b)
Podemos calcular E(X + 3)2 de duas formas. Na primeira, substitui-se todos os valores da dis-
tribuic¸a˜o na fo´rmula da esperanc¸a. Ou na segunda opc¸a˜o, calculamos E(X) e em seguida aplicamos
as propriedades da espranc¸a ate´ obter a resposta do item (b).
Logo:
E(X) = (2 × 1
5
) + (4 × 1
5
) + (6 × 1
5
) + (8 × 1
5
) + (10 × 1
5
) =
2 + 4 + 6 + 8 + 10
5
=
30
5
= 6.
Assim:
E(X + 3)2 = E(X2) + E(6X) + E(9)
Para o ca´lculo de E(X2) , precisamos substituir todos os valores que a v.a X assume pelo seu
quadrado. Assim:
E(X2) = (4× 1
5
) + (16× 1
5
) + (36× 1
5
) + (64× 1
5
) + (100× 1
5
) =
4 + 16 + 36 + 64 + 100
5
=
220
5
= 44.
De volta ao problema solicitado:
E(X + 3)2 = E(X2) + E(6X) + E(9) = 44 + (6 × 6) + 9 = 44 + 36 + 9 = 89.
(c)
V AR(3X − 2) = V AR(3X) + V AR(2) = 9V AR(X)
Vamos calcular V AR(X) .
V AR(X) = E(X2) − E2(X) = 44 − 62 = 44 − 36 = 8.
1
De volta ao problema solicitado:
V AR(3X − 2) = 9V AR(X) = 9 × 8 = 72.
2