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PROBABILIDADE E ESTATI´STICA AD2 - QUESTA˜O 4 - GABARITO 1o Semestre de 2015 Profa. Keila Mara Cassiano (UFF) (AD2 - Questa˜o 4) - (2,5 pontos)* Segundo pesquisas, a cada cinco crianc¸as de uma determinada cidade, duas ja´ contra´ıram a Dengue. Suponha que um levantamento esteja sendo feito e que cinco crianc¸as sejam sorteadas aleatoriamente nesta cidade. Determine a probabilidade de: (a) Duas delas terem contra´ıdo Dengue; (b) Nenhuma delas ter contra´ıdo Dengue; (c) Pelo menos 4 delas ja´ terem contra´ıdo Dengue; (d) Todas elas ja´ terem contra´ıdo Dengue; (e) No ma´ximo uma delas ja´ ter contra´ıdo Dengue. Soluc¸a˜o: Com a informac¸a˜o de que a cada 5 crianc¸as, 2 ja´ tiveram Dengue, temos que a probabilidade de selecionar uma crianc¸a aleatoriamente e ela estar com Dengue sera´: 2/5 = 0, 4 . O fato de uma crianc¸a ja´ ter contra´ıdo dengue na˜o interfere se a outra ja´ teve ou na˜o a donec¸a. Ou seja, os eventos sa˜o independentes. Com isso, ao selecioar 5 crianc¸as, estamos fazendo 5 ensasios independentes de uma varia´vel aleato´ria com duas possibilidades: ter ou na˜o ter contra´ıdo a doenc¸a. Esta e´ a definic¸a˜o de Distribuic¸a˜o Binomial de Probabilidade. Assim, a varia´vel: D: nu´mero de crianc¸as que ja´ contraiu Dengue segue uma distribuic¸a˜o Binomial. D ∼ Binomial(5; 0, 4) (a) P (D = 2) = C5,2(0, 4) 2(0, 6)3 = 10× 0, 16× 0, 216 = 0,3456. (b) P (D = 0) = C5,0(0, 4) 0(0, 6)5 = 1× 1× 0, 07776 = 0,07776. (c) P (D ≥ 4) = P (D = 4) + P (D = 5) = [C5,4(0, 4)4(0, 6)1] + [C5,5(0, 4)5(0, 6)0] = (5× 0, 0256× 0, 6) + (1× 0, 01024× 1) = 0, 0768 + 0, 01024 = 0,08704. (d) Esta probabilidade ja´ foi calculada no item anterior. P (D = 5) = 0,01024. 1 (e) P (D ≤ 1) = P (D = 0) + P (D = 1) = 0, 07776 + [C5,1(0, 4)1(0, 6)4] = 0, 07776 + [5× 0, 4× 0, 1296] = 0, 07776 + 0, 2592 = 0,33696. 2
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