AP3_probest_2011_2_gab

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
3a. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2011 
Profa. Keila Mara Cassiano 
(Pode usar calculadora) 
 
Versão Tutor 
 
 
1. (2,0 pontos) A tabela abaixo traz algumas informações sobre o preço de um determinado produto 
pesquisado em diversos estabelecimentos em diversas localidades com o objetivo de verificar a 
discrepância de preços de produtos não tabelados pelo governo. 
 
 
Preços 
Ponto 
Médio 
 (xi) 
Freqüência 
Absoluta 
(ni) 
 
nixi 
 
nixi
2 
Freqüência 
Relativa 
 (%) 
Freqüência 
 Acumulada 
Relativa (%) 
100,00 105,00 102,5 5 512,5 52.531,25 0,125 0,125 
105,00 110,00 107,5 6 645,0 69.337,50 0,150 0,275 
110,00 115,00 112,5 10 1.125,0 126.562,50 0,250 0,525 
115,00 120,00 117,5 8 940,0 110.450,00 0,200 0,725 
120,00 125,00 122,5 6 735,0 90.037,50 0,150 0,875 
125,00 130,00 127,5 5 637,5 81.281,25 0,125 1,000 
Total 40 4.595,0 530.200,00 1,000 
 
De posse destas informações e sabendo que ( )∑ −= 222 1 Xnxn
n
iiσ , determine: 
a) (0,5) Qual o preço médio e o preço modal deste produto? 
b) (0,5) Qual a amplitude total do preço deste produto? 
c) (0,5) Qual o preço mediano deste produto? 
d) (0,5) Qual o desvio padrão do preço deste produto? 
 
Solução: 
a) 
Para o cálculo do preço médio, usemos a fórmula da média: 
 
Logo: 
.875,114=X 
 
O preço modal é o ponto médio da classe de maior frequência absoluta: 
Como a maior frequência absoluta é 10, então a moda será: 112,5 que é o ponto médio da classe. 
 
5,112* =X . 
 
b) 
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor preço. 
 
.30100130minmax =−=−=∆ xxtotal 
Logo: 
.30=∆ total 
 
c) 
Para o cálculo da mediana, inicialmente observe a classe que se encontra a frequência acumulada 
de 50% dos dados. Como podemos ver, a classe de 110 a 115 tem 25% dos dados e acumula 
52,5%, 2,5% a mais dos 50% a que se refere a mediana. Assim, se fizermos a proporção baseada 
nesta diferença, conforme a figura abaixo podemos encontrar a mediana. 
 
 
 
22
22 25875.25,12)115(255,12
5,2
115
25
5
5,2
115
25
110115 QQQQ −=⇒−=⇒−=⇒−=− 
.5,114
25
5,862.25,862.2255,12875.225 222 ==⇒=⇒−= QQQ 
Logo: 
.5,1142 =Q 
 
d) 
Para o cálculo do desvio padrão, usemos a fórmula da variância e os dados obtidos: 
 
( ) ( ) ( )27,196.1340200.530
40
1)875,114(40200.530
40
11 2222 ×−=×−=−= ∑ Xnxn
n
iiσ 
( ) .734,58
40
375,349.26,850.527200.530
40
1
==−= 
O desvio padrão será: 
.66,7734,58 ==σ 
Logo: 
 
.66,7=σ 
 
2. (2,5 pontos) A tabela abaixo traz o resultado de uma pesquisa realizada em uma Universidade 
com alunos de Graduação, Especialização, Mestrado e Doutorado sobre o tempo de uso diário de 
um Laboratório de Informática: 
 
 Graduação Especialização Mestrado Doutorado Total 
Menos de 1 hora 320 200 150 80 750 
Entre 1 e 4 horas 260 180 170 90 700 
Mais de 4 horas 220 120 230 180 750 
Total 800 500 550 350 2.200 
 
De posse destas informações, determine a probabilidade de um aluno dentre estes selecionado 
aleatoriamente: 
 
a) (0,5) Usar o Laboratório de Informática por pelo menos uma hora por dia? 
b) (0,5) Usar o Laboratório de Informática por mais de 4 horas por dia e ser aluno de 
Graduação? 
c) (0,5) Usar o Laboratório de Informática por menos de 1 hora por dia, dado que é aluno de 
pós-graduação? 
d) (0,5) Usar o Laboratório de Informática por um período entre 1 e 4 horas por dia ou ser 
aluno de Mestrado ou Doutorado? 
e) (0,5) Ser aluno de Graduação ou Especialização e usar o Laboratório de Informática por 4 
horas ou menos são eventos independentes? 
 
Solução: 
 
Considere os eventos: 
A: o aluno usa o laboratório por menos de 1 hora 
B: o aluno usa o laboratório entre 1 e 4 horas 
C: o aluno usa o laboratório por mais de 4 horas 
G: graduação, E: especialização. M: mestrado e D: doutorado. 
 
a) 
Deseja-se saber )Pr( CB ∪ . 
.659,0
200.2
450.1
200.2
750
200.2
700)Pr()Pr()Pr( ==+=+=∪ CBCB 
 
.659,0)Pr( =∪ CB 
 
b) 
Neste caso, deseja-se )Pr( GC ∩ , que é o equivalente na célula de interseção entre alunos de 
graduação e uso do laboratório por mias de 4 horas. 
 
.1,0
200.2
220)Pr( ==∩ GC 
 
c) 
Agora, pede-se ))(|Pr( DMEA ∪∪ , pois aluno de pós-graduação pode ser qualquer um que não 
seja graduação. 
200.2
350
200.2
550
200.2
500
200.2
80
200.2
150
200.2
200
)Pr()Pr()Pr(
)Pr()Pr()Pr()|Pr(
++
++
=
++
∩+∩+∩
=∪∪
DME
DAMAEADMEA 
.307,0
400.1
430
200.2
400.1
200.2
430
=== 
Logo: 
.307,0)|Pr( =∪∪ DMEA 
 
d) 
Aqui se pede a probabilidade da união de dois eventos. A saber: 
 
200.2
90170
200.2
350550
200.2
700))(Pr()Pr()Pr())(Pr( +−++=∪∩−∪+=∪∪ DMBDMBDMB 
 
.609,0
200.2
340.1
200.2
260
200.2
900
200.2
700
==−+= 
Logo: 
.609,0))(Pr( =∪∪ DMB 
 
 
e) 
Para verificar se dois eventos A e B são independentes, precisamos verificar se: 
 
).Pr()Pr()Pr( BABA ∩= 
No nosso caso, os eventos são: (G ou E) e (A ou B). 
.5909,0
200.2
300.1
200.2
500
200.2
800)Pr()Pr()Pr()Pr( ==+=+=∪= EGEGEouG 
.6590,0
200.2
450.1
200.2
700
200.2
750)Pr()Pr()Pr()Pr( ==+=+=∪= BABABouA 
 
[ ] [ ] ( )( ) ( )( )BAEBAGBAEGBouAEouG ∪∩+∪∩=∪∩∪=∩ PrPr)Pr()(Pr)Pr()(Pr 
.436,0
200.2
960
200.2
380
200.2
580
200.2
180200
200.2
260320
==+=
+
+
+
= 
 
Assim, 
.3894,06590,05909,0)Pr()Pr( =×=× BouAEouG 
 Como 0,3894 é diferente de 0,436, então não se verifica a independência de eventos. 
 
Logo: 
 
OS EVENTOS NÃO SÃO INDEPENDENTES. 
 
 
3. (2,0 pontos) Uma prova é composta de 5 (cinco) questões de múltipla escolha com 5 (cinco) 
alternativas cada, sendo uma correta. Para que um aluno seja aprovado é necessário que ele acerte 
pelo menos 80% da prova. Se ele errar 80% da prova ou mais, ele será reprovado. Suponha que um 
aluno faça esta prova de forma aleatória (no chute). 
 
a) (0,5) Qual a probabilidade de este aluno ser aprovado? 
b) (0,5) Qual a probabilidade de este aluno ser reprovado? 
c) (0,5) Qual a nota esperada para este aluno? 
d) (0,5) Qual o desvio padrão da nota deste aluno? 
 
Solução: 
Temos um problema de distribuição Binomial, onde n=5 e p=0,2 (5 alternativas, sendo uma 
correta). 
Seja X o número de questões certas. Como n=5, 80% representa 4 questões: 
 
a) 
100032,018,00016,05)8,0()2,0(
5
5)8,0()2,0(
4
5)5()4()4Pr( 0514 ××+××=





+





=+=≥ ppX 
.00672,000032,00064,0 =+= 
Logo: 
.00672,0)4Pr( =≥X 
 
b) 
4096,02,0532768,011)8,0()2,0(
1
5)8,0()2,0(
0
5)1()0()1Pr( 4150 ××+××=





+





=+=≤ ppX 
.73728,04096,032768,0 =+= 
Logo: 
.73728,0)1Pr( =≤X 
 
c) 
 Como é um caso de Distribuição Binomial de Probabilidade, então a média será dada pela 
esperança: 
.12,05)( =×== npXE 
Logo: 
Nota 1. 
 
d) 
O desvio padrão segue a mesma lógica da média. Inicialmente, calculamos a variância para depois 
calcularmos o desvio padrão. 
 
.8,08,02,05)1()( =××=−= pnpXV 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
.8944,08,0 ==σ 
 
 
4. (2,0 pontos) Três empresas (A, B e C) são responsáveis por todo serviço de entrega de produtos 
de limpeza de uma rede de supermercado. Em geral, a empresa A cumpre o horário em 97% das 
entregas, a empresa B cumpre o horário em 98% e a empresa C, em 96%. Sabendo que a empresa A 
é responsável por metade das entregas e a empresa B, por um quinto das entregas e, assumindo que 
um produto foi selecionado aleatoriamente determine: 
 
a) (1,0) Qual a probabilidade de este produto ter chegado dentro do prazo? 
b) (1,0) Sabendo que este produtochegou com atraso, qual a probabilidade de a empresa A 
ter sido a responsável? 
 
Solução: 
Dados os eventos: 
S: o produto chega no prazo 
N: o produto chega com atraso 
A: a entrega foi realizada pela empresa A 
B: a entrega foi realizada pela empresa B 
C: a entrega foi realizada pela empresa C 
 
O enunciado da questão nos fornece as seguintes probabilidades: 
04,0)|Pr(
,96,0)|Pr(
,02,0)|Pr(
,98,0)|Pr(
,03,0)|Pr(
,97,0)|Pr(
,30,0)Pr(
,20,0)Pr(
,50,0)Pr(
=
=
=
=
=
=
=
=
=
CN
CS
BN
BS
AN
AS
C
B
A
 
 
a) 
Pelo Teorema da Probabilidade Total, 
96,030,098,020,097,050,0)|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( ×+×+×=++= CSCBSBASAS 
.969,0288,0196,0485,0 =++= 
 
Logo: 
969,0)Pr( =S . 
 
b) 
Pede-se )|Pr( NA . Pelo Teorema de Bayes, 
 
.4838,0
031,0
015,0
)Pr(1
03,050,0
)Pr(
)|Pr()Pr()|Pr( ==
−
×
==
SN
ANANA 
 
Logo: 
.4838,0)|Pr( =NA 
 
 
 
5. (1,5 ponto) Um psicólogo estima que para convencer um cliente são necessárias até quatro 
sessões, com função de probabilidade dada por: 
10
)( xxp = . Seja X a variável aleatória que conta o 
número de sessões e x o número de sessões. Determine 2)23( +XE . 
 
Solução: 
Inicialmente vamos construir a distribuição de probabilidades desta variável aleatória. 
Se são necessárias até 4 sessões, então X pode assumir valores de 1 (uma sessão) até 4 (quatro 
sessões). 
 
Para X=1, 
10
1)1( =p . 
Para X=2, 
10
2)2( =p . 
Para X=3, 
10
3)3( =p . 
Para X=4, 
10
4)4( =p . 
Note que: ∑ ==+++=+++= .110
10
10
4
10
3
10
2
10
1)4()3()2()1()( ppppxp 
Assim, a distribuição de probabilidades de X será: 
 
x 1 2 3 4 
)(xp 1/10 2/10 3/10 4/10 
 
Com esta distribuição, encontramos E(X). 
 
.3
10
30
10
16
10
9
10
4
10
1
10
44
10
33
10
22
10
11)( ==+++=×+×+×+×=XE 
 
Precisamos encontrar, também, a distribuição de X2. Bastando, para isso, elevar os valores que X 
assume ao quadrado. Assim, temos: 
 
x
2
 
1 4 9 16 
)(xp 1/10 2/10 3/10 4/10 
 
Com esta distribuição, encontramos E(X2). 
 
.10
10
100
10
64
10
27
10
8
10
1
10
416
10
39
10
24
10
11)( 2 ==+++=×+×+×+×=XE 
 
Logo: 
 
.130436904)312()109(4)(12)(9)4129()23( 222 =++=+×+×=++=++=+ XEXEXXEXE
Assim, 
 
.130)23( 2 =+XE