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Probabilidade e Estatística 1º Semestre de 2015 Exercício Programado 10 Profa. Keila Mara Cassiano Versão Tutor (com Gabarito) 1. Em certa linha de montagem, três máquinas B1, B2 e B3 produzem 30%, 45% e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um produto já acabado seja selecionado aleatoriamente. Determine: a) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito? b) Suponha que o produto verificado seja defeituoso, qual das três máquinas é mais provável que ele tenha sido produzido? 2. Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Um estudante é selecionado aleatoriamente: a) Qual a probabilidade de ele ter mais de 1,80m de altura? a) Se tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade que seja uma mulher? 3. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é de 3/4, de um indivíduo de classe B é 1/6 e um indivíduo de classe C é 1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é 1/10, do indivíduo da classe B comprar um carro da marca D é 3/5 e de um indivíduo da classe C comprar um carro da marca D é 3/10. Em certa loja, um carro da marca D foi vendido. Qual a probabilidade de que o comprador tenha sido da classe B? 4. Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem uma determinada doença. Das pessoas que tem esta doença, 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não tem a doença reagem positivamente. Uma pessoa desta população é sorteada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha a doença, se ela reagiu positivamente ao teste? 5. O chefe do setor de compras de uma empresa trabalha com 3 grandes distribuidoras de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, enquanto cada um dos outros dois distribuidores responde por 15% dos pedidos. Dos registros gerias de compras, sabe-se que 6% dos pedidos chegam atrasados. A proporção dos pedidos com atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da proporção do distribuidor 3. Calcule a porcentagem de pedido com atraso: a) Do distribuidor 1; b) Do distribuidor 2; c) Do distribuidor 3. 6. (AD2 – Questão 2) – (2,5 pontos)* Sabe-se que o “soro da verdade”, quando aplicado a um suspeito, é 85% eficaz quando a pessoa é culpada e 95% eficaz quando é inocente. Um suspeito é retirado de um grupo de pessoas onde 90% jamais cometeram qualquer crime. a) Qual a probabilidade de o soro dar a resposta certa? b) Se o soro indica “inocente”, qual a probabilidade de o suspeito ser culpado? Solução: 1) Sejam os eventos: B1: O produto é feito pela máquina B1. B2: O produto é feito pela máquina B2. B3: O produto é feito pela máquina B3. D: O produto é defeituoso. Segundo dados da questão: Pr(B1)=0,30, Pr(B2)=0,45, Pr(B3)=0,25 Pr(D|B1)=0,02, Pr(D|B2)=0,03, Pr(D|B3)=0,02 a) Estamos interessados na probabilidade . Pelo Teorema da Probabilidade Total, Assim, Resposta: b) Estamos interessados em Pr(B1|D), Pr(B2|D) e Pr(B3|D) e verificar qual deles tem maior probabilidade. Pelo Teorema de Bayes, Como é a maior das probabilidades, então a máquina mais provável é máquina B2. Resposta: B2. 2) Sejam os eventos: A: estudante tem mais de 1,80m. H: estudante é do sexo masculino. M: estudante é do sexo feminino. Segundo os dados da questão, .05,0)|Pr( HA “5% dos homens têm mais que 1,80m de altura”. .02,0)|Pr( MA “2% das mulheres têm mais que 1,80m de altura”. .6,0)Pr(H “60% dos estudantes são homens” 4,0)Pr(M . “pois mulher é complementar de homem”. a) É um problema de Teorema da Probabilidade Total: .038,003,0008,005,06,002,04,0)|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( HAHMAMA Logo: .038,0)Pr(A b) O que se deseja aqui é ).|Pr( AM Pelo Teorema de Bayes, .21,0 038,0 008,0 038,0 02,04,0 )Pr( )|Pr()Pr( )|Pr( A MAM AM Logo: .21,0)|Pr( AM 3) Sejam os eventos: A: o indivíduo da classe A comprou um carro B: o indivíduo da classe B comprou um carro C: o indivíduo da classe C comprou um carro D: o carro comprado foi da marca D Então os dados do nosso problema são: Pr(A)=3/4 Pr(B)=1/6 Pr(C)=1/20 Pr(D|A)=1/10 Pr(D|B)=3/5 Pr(D|C)=3/10 Pede-se: Pr(B|D). Pelo Teorema de Bayes: 10 3 20 1 5 3 6 1 10 1 4 3 5 3 6 1 )|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr( )|Pr()Pr( )|Pr( CDCBDBADA BDB DB .526,0 13680 7200 456 2400 30 3 2400 456 30 3 2400 36240180 30 3 200 3 30 3 40 3 30 3 .526,0)|Pr( DB 4) Sejam os eventos: D: o indivíduo tem a doença; N: o indivíduo não tem a doença; R: o indivíduo reagiu ao teste Y. Temos as seguintes probabilidades no enunciado: Estamos interessados em Pelo Teorema de Bayes, Resposta: 0,229. 5) Sejam os eventos: A: a compra foi realizada através do distribuidor 1; B: a compra foi realizada através do distribuidor 2; C: a compra foi realizada através do distribuidor 3; D: O pedido chegou com atraso. Estamos interessados em Pr(D|A), Pr(D|B) e Pr(D|C). Temos: Pr(A)=0,70, Pr(B)=0,15 Pr(C)=0,15, Pr(D)=0,06. Mais ainda: e . Logo: Pelo Teorema da Probabilidade Total, temos: Colocando todos em função de , temos: Substituindo os valores conhecidos, teremos: Substituindo, obtemos: Assim: a) b) c)
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