Buscar

1 - Matrizes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 29 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 29 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 29 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Geometria Analítica e Álgebra Linear 
UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá 
campus Itabira 
Aula 1 
Matrizes 
1 
Introdução 
 A teoria das equações lineares desempenha papel 
importante e motivador da álgebra linear. Muitos 
problemas de álgebra linear equivalem ao estudo 
de um sistema de equações lineares, por exemplo, 
a determinação do núcleo de uma aplicação linear 
e a caracterização do subespaço gerado por um 
conjunto de vetores. 
 
 Um dos principais métodos utilizados para obter a 
solução de um sistema linear é o algoritmo de 
eliminação Gaussiana que opera sobre a forma 
matricial do sistema. Desta forma, as matrizes e 
suas operações estão estreitamente relacionadas 
com os sistemas de equações lineares e sua 
solução. 
2 
Matrizes 
 Os elementos das matrizes, em geral, 
provirão de algum corpo K arbitrário. Os 
elementos de K são chamados escalares. 
Nada de essencial se perderá se 
admitirmos que K seja o corpo dos númeos 
reais ou dos números complexos. 
 
 Além disso, os elementos de ou são 
representados convenientemente por 
vetores linha ou vetores coluna, que são 
casos especiais de matrizes. 
nC
nR
3 
 Dados dois números m e n não nulos, chama-
se matriz m por n (indica-se m x n) toda tabela 
M formada por escalares de um corpo K 
distribuídos em m linhas e n colunas. 
 Em uma matriz M, cada elemento é indicado 
por . O índice i indica a linha e o índice j a 
coluna às quais o elemento pertence. 
 Uma matriz M do tipo m x n também pode ser 
indicada por: com 
 e ou simplesmente 
 
 
 
 
},,3,2,1{ mi 
},,3,2,1{ nj 
)(M ija
ija
nmija  )(M
4 
Matrizes especiais 
 Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, que 
tem uma única linha (também chamada vetor 
linha). 
 Exemplo: 
 (0 9 -3 7) 
 
 Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, 
que tem uma única coluna (também chamada 
vetor coluna). 
 Exemplo: 
 
5 
 Matriz nula: matriz que tem todos os 
elementos iguais a zero. 
 
 Exemplos: 
 matriz nula do tipo 1 por 4: 
 (0 0 0 0) 
 
 matriz nula do tipo 2 por 3: 
6 
 Matriz quadrada de ordem n: matriz do tipo n 
por n, isto é, uma matriz que tem igual número 
de linhas e colunas: 
 
 
 
 
 
 
 Chama-se diagonal principal de uma matriz 
quadrada de ordem n o conjunto dos elementos 
que têm os dois índices iguais. 
 
 Chama-se diagonal secundária de uma matriz 
quadrada de ordem n o conjunto dos elementos 
que têm soma dos índices igual a n+1. 
 
7 
 Matriz diagonal: matriz quadrada em que os 
elementos que não pertencem à diagonal 
principal são iguais a zero: 
 
 Exemplos: 
8 
 Matriz identidade de ordem n: matriz 
diagonal em que os elementos da diagonal 
principal são iguais a 1. 
 Exemplos: 
 Matriz oposta: dada a matriz A de ordem 
mxn, chama-se oposta de A (indica-se por 
-A) a matriz tal que A + (-A) = 0. 
9 
Operações com matrizes 
Igualdade 
 
 
 
Adição 
 
10 
Operações com matrizes 
Teorema (adição) 
 
 
 
 
11 
Operações com matrizes 
Diferença 
 
 
 
 
Multiplicação por escalar 
 
 
 
 
 
12 
Operações com matrizes 
Teorema (Multiplicação por escalar) 
 
 
 
 
 
13 
Operações com matrizes 
Produto de matrizes 
 
 
14 
Teorema 
 
 
15 
Observações: 
 
 
16 
Observações: 
 
 
17 
Operações com matrizes 
Matriz transposta 
 
 
 
 
 
 
18 
Operações com matrizes 
Teorema 
 
 
 
19 
Matriz simétrica 
 
 
20 
Matriz anti-simétrica 
 
 
21 
Exercícios 
22 
Exercícios 
23 
Exercícios 
24 
Exercícios 
25 
Exercícios 
26 
Exercícios 
27 
Exercícios 
28 
Exercícios 
29

Outros materiais

Outros materiais