AD1 de Matemática Financeira 2011-1

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AD 1 – MF - 2011/2 
Gabarito 
 
1) (0,8 pt.) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em %. 20 Contudo, a procura 
por essa mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de %. 20 O preço ficou 
caro, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez 
um desconto para que o preço voltasse ao valor inicial. De quanto foi esse desconto? 
Solução: 
Seja x o preço inicial da mercadoria. O comerciante realizou dois aumentos sucessivos de %. 20 
Como estes aumentos são cumulativos, então ao final dos dois aumentos, o preço da mercadoria 
será dado por x44,120,120,1  , ou seja, após os aumento, o preço da mercadoria será de x44,1 . 
Logo o preço original será 69,0
44,1

x
x do preço corrigido, isto é, o preço original será então 
equivalente a %. 69 do preço reajustado. Logo o desconto a ser dado será de   % 31% 69100  
sobre o preço reajustado, para retornar ao preço original. 
Resposta: 31 % 
 
2) (1,0 pt.) Um investidor aplicou 15.000,00 R$ pelo prazo de quinze meses à taxa de juros 
simples de 24 % ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por nove meses, à taxa linear de 
 % 20 ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro? 
Solução: 
Ao aplicar 15.000,00 por quinze meses a uma taxa de juros simples de ano % 24 , ou 
mês ao % 2 
12
24  , durante quinze meses, o investidor ganhou um rendimento (juro) J dado por 
00,500.41502,000,000.15 J 
Seja C o capital necessário para se obter o mesmo rendimento numa aplicação a taxa de juros 
simples de % 20 ao ano durante nove meses, isto é, 75,0
4
3
12
9  do ano. 
 2
 Temos então que 00,000.30
15,0
00,500.475,020,000,500.4  CCC 
Resposta: R$ 30.000,00 
 
3) (1,5 pts.) Um investidor aplicou 
4
3 de seu capital no regime de juro simples comercial a uma 
taxa de ano ao % 12 pelo prazo de 6 meses, e o restante, pelo mesmo prazo, no regime de juro 
composto, a uma taxa de ano ao % 10,25 . Sabendo que essas aplicações juntas renderam um 
montante de R$ 52.875,00, determine o valor do capital desse investidor. 
Solução: 
Seja C o capital do investidor. 
4
3C foi aplicado no regime de juro simples a uma taxa de 
ano ao % 12 por 6 meses, ou seja, ano 5,0 . Logo o montante 1M gerado por esta aplicação será 
dado por   CMCM 795,015,012,014
3
1  . 
O restante do capital, isto é, 
4
C foi aplicado a mo regime de juro composto por 6 meses, ou seja, 
ano 5,0 a uma taxa de 10,25 % ao ano. Logo o montante 2M gerado por esta aplicação será dado 
por   5,01025,01
42
 CM  CM 2625,02  . 
Como 00,875.5221  MM então 00,875.522625,0795,0  CC  
00,875.520575,1 C  00,000.50
0575,1
00,875.52  CC 
Resposta: R$ 50.000,00 
 
4) (1,5pts.) Um capital é aplicado no regime de juro composto, a uma taxa de 
 ano ao % 24 durante três anos e nove meses. Determine o valor da perda porcentual do 
montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela 
convenção linear. 
Solução: 
Seja C o capital aplicado. O prazo de aplicação é de três anos e nove meses, isto é, 
ano 75,3
12
93 

  e a taxa é de ano ao % 40 , ou seja, no prazo, temos um período inteiro de 
capitalização, isto é, três anos e uma parte não inteira do período de capitalização, ano 75,0 . 
 3
Na convenção exponencial, será utilizado o regime de juro composto em todo o prazo de aplicação, 
portanto nesse caso o montante será dado por   CMCM 240430,275,324,01  . 
Na convenção linear, determina-se um montante parcial utilizando o regime de juro composto 
considerando a parte inteira do prazo de aplicação e depois se determina o montante final 
considerando o montante parcial aplicado a mesma taxa de juro no regime de juro simples durante a 
parte não inteira do prazo de aplicação. Logo, denotando por 1M este montante parcial, temos que: 
  CMCM 906624,11324,011  . Logo o montante final M gerado pela aplicação 
utilizando a convenção linear será dado por   CMCM 249816,275,024,01906624,1  . 
A perda do montante final se utilizado a convenção exponencial será dada por: 
 CCC 009386,0240430,2249816,2  e portanto o porcentual desta perda em relação ao montante 
se utilizado a convenção linear será dada por % 4,0100
249816,2
009386,0 
C
C 
Resposta: 0,4 % 
 
5) (0,8 pt.) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de % 24,24 ao ano, capitalizada bimestralmente? 
Solução: 
A taxa de % 24,24 ao ano é nominal, pois seu período que é anual e diferente do período de 
capitalização que é bimestral, portanto, considerando a relação entre os períodos destas taxas, a taxa 
efetiva bimestral será proporcional à taxa dada. 
Como bimestres 6 ano 1  então, nesse caso a taxa efetiva bimestral, será dada por 
 % 04,4
6
24,24  ao bimestre. A taxa mensal equivalente a esta taxa, é taxa que gera o mesmo 
montante se considerado o mesmo prazo e o mesmo capital. 
Como meses 2 bimestre 1  , então a taxa mensal equivalente i à taxa de 4,04 % a. b., será dada por 
    02,0102,10404,1110404,0121  iiii ao mês ou 2i % ao mês. 
Resposta: 2 % 
 
 
 
 
 
 
 4
6) (1,8 pts.) Dois capitais foram aplicados no regime de juro composto: o primeiro a uma taxa de 
% 8 ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a % 6 ao ano capitalizados 
trimestralmente. No fim de quatro anos, a soma dos montantes dessas aplicações foi de 
28.913,52 R$ . Calcular os dois capitais, sabendo-se que o segundo é % 20 maior do que o 
primeiro. 
Solução: 
Sejam 1C e 2C os capitais aplicados. Sabe-se que 2C é % 20 maior do que 1C , portanto, 
12,12 CC  . 
O capital 1C foi aplicado durante quatro anos a uma taxa de % 8 ao ano capitalizado 
semestralmente. Esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
acumulação do capital que é semestral. Portanto, considerando a relação entre os períodos das taxas 
envolvidas, a taxa efetiva semestral é proporcional à taxa dada. Como semestres 2 ano 1  , então a 
taxa semestral efetiva i desta operação será dada por 4
2
8 i % ao semestre. Como 
semestres 8 anos 4  , temos então que o montante 1M gerado por esta aplicação será dado por 
  1368569,11804,0111 CMCM  . 
O capital 2C foi aplicado durante quatro anos a uma taxa de % 6 ao ano, capitalizada 
trimestralmente. Esta taxa é nominal, pois seu período que é anual é diferente do período de 
acumulação do capital que trimestral. Portanto, considerando a relação entre os períodos das taxas 
envolvidas, a taxa efetiva semestral é proporcional à taxa dada. Como s trimestre4 ano 1  , então a 
taxa trimestral efetiva i desta operação será dada por 5,1
4
6 i % ao trimestre. Como 
s trimestre16 anos 4  , temos então que o montante 2M desta aplicação será dado por 
   16015,0122 CM 2268986,12 CM  . 
Como 12,12 CC  então,   12,1268986,12 CM 1522783,12 CM  . 
Sabe-se que  28.913,521522783,11368569,128.913,5221 CCMM 
00,000.101891352,2
28.913,52
128.913,521891352,2  CCC . 
Portanto, 00,000.12200,000.102,12  CC . 
Resposta: R$ 10.000,00 e R$ 12.000,00 
 
 5
7) (1,6 pts.) Uma duplicata de 5.450,00 R$ vence em seis meses . Determine o desconto e o valor 
atual, empregando a taxa de % 5,1ao mês, considerando o critério do desconto: 
 a) comercial simples; 
 b) racional simples; 
 c) comercial composto; 
 d) racional composto. 
Solução: 
Temos que: 






) 5,1
 meses 6
min00450.5
desconto( taxa de % ao ano i
ção)e antecipa ( prazo d n
lo )al do títuo ( valor n,N
 
a) Sabemos que no desconto comercial simples, o desconto cd pode ser obtido através da relação 
niNcd  , logo nesse caso temos que 50,4906015,000,450.5  cdcd 
O valor atual A pode ser obtido através da relação cdNA  . Nesse caso então temos que 
50,959.450,49000,450.5  AA 
 
b) Sabemos que no desconto racional simples, a relação entre o valor nominal N e o valor atual A 
é dada através da equação    ni
NAniAN  11 . 
 Nesse caso então, temos que 00,000.5
09,1
00,450.5
6015,01
00,450.5  AAA . 
O desconto racional simples rd pode ser obtido através da relação ANrd  . 
Logo, nesse caso temos que: 00,45000,000.500,450.5  rdrd 
 
c) Sabemos que no desconto comercial composto a relação entre o valor atual e o valor nominal é 
dada por  niNA  1 . Portanto, nesse caso temos que: 
  53,977.46 015,0100,450.5  AA . E como cdNA  , temos então que 
47,47253,977.400,450.5  cdcd . 
 
d) Sabemos que no desconto racional composto, a relação entre o valor nominal N e o valor atual 
A é dada através da equação    ni
NAniAN


1
1 . 
 
 6
 Nesse caso então, temos que   25,984.46015,01
00,450.5 

 AA . 
O desconto racional simples rd pode ser obtido através da relação ANrd  . 
Logo, nesse caso temos que: 75,46525,984.400,450.5  rdrd 
Resposta: 



4.984,25 R$ e 465,75 R$ d)
4.977,53 R$ e 472,47 R$ c)
5.000,00 R$ e 450,00 R$ b)
4.959,50 R$ e 490,50 R$ a)
. 
 
8) (1,0 pt.) A diferença entre os valores atuais de um título considerando respectivamente o critério 
do desconto racional e comercial é igual a R$ 250,00. Calcular o valor nominal do título, sabendo-
se que seu vencimento é para cinco meses e que a taxa de juros simples da operação é de 24 % ao 
ano. 
Solução: 
Temos que: 






) 24
 meses 5
 ) ( 00,250
simplesjurosadesconto( taxa de % ao ano i
ção)e antecipa ( prazo d n
comercialatualvalorcAeracionalatualvalorrAcArA
 
Sabemos que no regime de juros simples, duas taxas equivalentes também são proporcionais e 
como 1 ano = 12 meses, então a taxa mensal i equivalente à taxa de % 24 ao ano será dada por 
% 2
12
24 i ao mês. 
A relação entre o valor nominal de um título e os descontos comercial cd e racional rd e seus 
respectivos valores atuais é dada por cANcd  e rANrd  . 
Portanto,      00,25000,250 rANcANrAcA 00,250 rdcd . 
Sabe-se que considerando as mesmas condições, isto é, prazo de antecipação e taxa de desconto, a 
relação entre o desconto racional simples rd e o desconto comercial simples cd de um título é 
dada por   nirdrdcdnirdcd  1 , onde n é o prazo de antecipação e i é taxa 
unitária da operação. 
Nesse caso então temos que 00,500.2
1,0
00,250250502,0  rdrdrd e, portanto 
00,750.200,25000,500.2  cdcd . 
 7
O desconto comercial simples cd pode ser obtido através da equação niNcd  , onde N é o 
valor nominal do título, n é o prazo de antecipação e i é taxa unitária da operação. Logo, nesse 
caso temos que  502,000,750.2 N 00,500.27
1,0
00,750.2  NN . 
Obs.: Este resultado também poderia ser obtido, lembrando que a relação entre os valor atual 
racional rA e o valor nominal do título é dado por ni
N
rA  1 e a relação entre o valor atual 
cA e o valor nominal é dado por  niNcA  1 . 
Como 00,250 cArA , temos então que    00,250502,01502,01 N
N 
00,500.2700,27501,000,27599,0  NNNN 
Resposta: R$ 27.500,00