EP7 Algebra Linear 1 gabarito

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 7 – EP7 
Conteúdo: Aulas 13 e 14 
Resolução 
 
1. Sejam u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4) e w = (3, 6, -4). Calcule as expressões: 
a) 
vu 
 b) 
vu 
 c) 
uu 22 
 
d) 
w
w
1
 e) 
w
w
1
 f) 
),( wvd
 
Solução: 
a) 
837)5(3)7,5,3()4,3,1()3,2,2( 222  vu
. 
b) 
.26174)3(13)2(2)4,3,1()3,2,2( 222222  vu
 
c) 
.1746868)6,4,4()6,4,4()3,2,2(2)3,2,2(222  uu
 
d) 









61
4
,
61
6
,
61
3
)4,6,3(
61
1
)4,6,3(
)4,6,3(
11
w
w
 
e) 
1
61
16
61
36
61
9
61
4
61
6
61
3
61
4
,
61
6
,
61
31
222
























w
w
 
f) 
.149)8,9,2()4,6,3()4,3,1(),(  wvwvd
 
 
2. Considere os subespaços U = [(0, 1, 0)] e V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] de 

3. Determine 
U 

 V e U + V. Verifique se a soma é direta. 
Solução: 
(x, y, z) 

 U, (x, y, z) = a(0, 1 ,0). Daí, x = z = 0 e U = {(0, x, 0)/ x 
 
}. 
(x, y, z) 

 V, (x, y, z) = a(1, 0 ,1) + b(0, 1, 1). Daí, a = x, b = y e a + b= z e 
 V = {(x, y, x+y)| x,y 
 
}. 
Então, U 

 V = {(x, y, z) 
 
3| (x, y, z) 

 U e (x, y, z) 

 V} = {(x, y, z) 
 
3| x = z = 
0 e y = 0} = {(0, 0 ,0)}. 
U + V = 

3, pois todo vetor (a, b, c) em 

3 pode ser escrito na forma 
(a, b, c)= 

 U
0) a,c-b (0,


 + 

V
c) , a-c (a,

(*) 
ou podemos observar que 
dim U + V = dim U + dim V – dim U  V = 1 + 2 – 0 = 3. 
O 

3 é soma direta de seus subespaços U e V, pois U + V = 

3 e U 

 V = {(0,0,0)}. 
 
Obs: Note que em (*), um vetor genérico de 

3 foi decomposto em uma soma de um 
vetor de U com um vetor de V. Para obtê-la, considere (0, x, 0) 

 U e (x’, y’, x’ + y’) 

 
V, fazendo: 
(a, b, c) = (0, x, 0) + (x’, y’, x’+y’) = (x’, x+y’, x’+y’) , 
e resolvendo para x, x’ e y’, encontramos x’= a, y’= c-a e x =b-c+a. 
Como a decomposição é única (pois foi encontrada apenas uma solução), a Proposição 
2, da aula 13, garante que a soma é direta. 
 
3. Sejam 
     0|,,,00|,,, 44  tzyxtzyxVetyezxtzyxU
 
subespaços de 

4. 
a) Determine U

V. 
b) Exiba uma base para U

V. 
c) Determine 
VU 
. 
d) Exiba uma base para 
VU 
. 
e) 
VU 
é soma direta? Justifique. 
Solução: 
(a) 
      zyxzyxzyxVetztztzU ,,|,,,,|,,,
 
U

V 
      VtzyxeUtzyxtzyxVU  ,,,,,,|,,,
 
      tztztztzyxetyezxtzyxVU ,|),,,000|,,,
. 
Note que 
VU 
 pois se 
Utzyx ),,,(
, então 
),,,(),,,( tztztzyx 
 e 
0 tztz
, logo 
Vtzyx ),,,(
. Assim 
UVU 
. 
(b) Como 
)1,0,1,0()0,1,0,1(),,,( tztztz 
, o conjunto {(-1,0,1,0), (0,1,0,1)} é uma 
base para 
VU 
. 
Obs: Lembre que para determinar uma base de um espaço vetorial precisamos determinar 
um conjunto de geradores linearmente independente. 
(c) e (d) O conjunto {(-1,0,1,0), (0,1,0,1)} é uma base para U e 
{(1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1)} é uma base de V. Assim, dim U = 2 e dim V = 3. 
Como dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U

V) = 2 + 3 – 1 = 4, então 
U + V = 
4
, logo uma base é por exemplo a canônica do 

4: 
{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}. 
(e) Embora 

4 seja a soma de U e V, ele não é soma direta deles, pois a interseção de U 
e V não é o conjunto unitário formado apenas pelo vetor nulo 
 00000 ,,,
, ou seja, 
  0000 ,,,VU 
. 
 
4. Considerando o espaço euclidiano 

3 e os pares de vetores 
 221 ,,u 
 e 
 204  ,,v
. 
Calcule: 
a) O produto interno de u e v ( Notação: <u, v>) 
b) A norma de u ( Notação: || u ||) 
c) A norma de v 
d) O ângulo entre u e v. 
Solução: 
 a) 
    ....),,(),,,( 0220241204221 
 
 b) 
  .)(),,( 39441221221 222 
 
 c) 
  .),,( 5220416204204 222 
 
 d) Como o produto interno destes vetores é zero eles são ortogonais, o ângulo entre 
eles é 90º. Ou, se 

 é o ângulo entre u e v, verificamos que 

 = 90º pela igualdade 
.
vu
v,u
cos 0
56
0

 
 
5. Determine três vetores de 
3
, distintos, não nulos e ortogonais ao vetor (2,-1,-3). 
Solução: 
Seja (x,y,z) 
3
 um vetor satisfazendo as condições do enunciado, então 
<(x,y,z),(2,-1,-3)> = 0, então 2x - y -3z = 0. 
Veja que a igualdade obtida significa que os vetores ortogonais ao vetor (2,-1,-3) 
pertencem ao plano de equação 2x - y -3z = 0. 
Assim, tomando valores para duas variáveis (lembre que um sistema com uma equação 
e três incógnitas possui duas variáveis livres), obtemos o valor da terceira: 
 y = 1 e z = 1 

x = 2 

 (2, 1, 1). 
 x = 1 e y = 0 

z = 2/3 

 (1, 0, 2/3). 
 x = ½ e e z = -1 

 y = 4 

 (1/2, 4, -1).