Gabarito EP2

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Álgebra Linear I 
Exercícios Programados 2 – EP2 
Conteúdo: Aulas 4 e 5 
Gabarito 
 
1. Mostre que as matrizes 











814
312
201
 e 













116
104
2211
 são inversas uma da outra. 
Solução: 
Usando a definição de matriz inversa, temos: 











814
312
201













116
104
2211
=













81880848444
31430418422
20220212011
=











100
010
001
. 
2. Calcule a e b para que a matriz B = 






43
21
 seja a inversa da matriz 
A = 
.
1
2
3 







b
a 
Solução: 
Para que B seja inversa de A, AB = BA = I, ou seja, 






43
21
 
.
1
2
3 







b
a







10
01
. 
A igualdade matricial resulta no seguinte sistema linear 











143
063
021
13
b
a
b
a
 
Da primeira e terceira equações 
2a
, da segunda e quarta equações 
.
2
1b
 
 
3. Encontre a inversa de 










110
101
011
 utilizando o esquema apresentado na aula 4, após 
o Teorema 1. Verifique sua resposta utilizando a definição de matriz inversa. 
 
Solução: 
 





















 21
100
010
001
110
101
011 LL





















 133
010
100
001
101
110
011 LLL
 























233
211
011
100
001
110
110
011
LLL
LLL






















 
2
3
3
111
100
101
200
110
101
L
L











 









 

322
311
2
1
2
1
2
1
100
101
100
110
101
LLL
LLL

























2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
100
010
001
 
Portanto, a inversa de










110
101
011
 é .
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1















 
Veja que .
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

























110
101
011
=










100
010
001
 
4. Calcule o valor de m para que a matriz 





 

m
A
2
36
 não tenha inversa. 
Solução: 
A condição para que A não tenha inversa é que seu determinante seja igual à zero, ou 
seja, 
066 m
, ou 
1m
. 
5. Calcule pelo processo de triangularização 
1322
1413
2101
2132




. 
Solução: 
12
1
1
1322
1413
2101
2132 LL 




144
133
122
2
1
2
3
2
3
1322
1413
2101
11
2
LLL
LLL
LLL






 
23
2
2
2
5
2
7
2
3
2
3
2
1
2
3
1250
40
10
11
2
LL 




244
22
7
332
5
2
7
3
2
2
1
2
3
2
3
51250
40
110
11
)2(
LLL
LLL






 
36
1
3
3
13
3
19
3
2
2
1
2
3
2
3
700
600
110
10
)2(
LL 




3443
13
18
19
3
2
2
1
2
3
2
3
7700
100
110
11
)6()2(
LLL 



 
.55
18
55
18
000
100
110
11
)6()2(
18
55
18
19
3
2
2
1
2
3
2
3 




 




 
6. 
(a) Descreva a matriz 
44][ xijaA 
 cujo termo geral é definido por 
.jiaij 
 
(b) Calcule 
)det(A
 utilizando desenvolvimento de Laplace. 
 
Solução: 
(a) 
















0123
1012
2101
3210
A 
(b) Escolhendo a primeira linha: 
 
0123
1012
2101
3210



 = 0.(-1)1+1
012
101
210 
+ (-1).(-1)1+2
013
102
211


+(-2)(-1)1+3
023
112
201


 
+ (-3)(-1)1+4
123
012
101 
 = 0 
 
Por triangularização: 
 
0123
1012
2101
3210



= - 
0123
1012
3210
2101



= - 
6420
3210
3210
2101


 = - 
0000
0000
3210
2101


 = 0 
 
 
7. Considere a matriz de Vandermonde de ordem 3: 













2
33
2
22
2
11
1
1
1
xx
xx
xx
V . 
(a) Mostre que 
))()((det 231312 xxxxxxV 
. 
(b) Que condições os escalares 
21, xx
 e 
3x
 devem satisfazer para que V seja inversível? 
Solução: 
a) Aplicando operações elementares nas linhas 2 e 3 para zerar os elementos na primeira 
coluna, temos: 
 
2
1
2
313
2
1
2
212
2
11
2
33
2
22
2
11
0
0
1
1
1
1
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx


. 
 Observe que as linhas 2 e 3 estão multiplicadas por 
12 xx 
 e 
13 xx 
, assim 
podemos escrever 
13
12
2
11
1312
10
10
1
))((
xx
xx
xx
xxxx


. 
Obs: Lembre que 
))(( 1212
2
1
2
2 xxxxxx 
 e 
))(( 1313
2
1
2
3 xxxxxx 
. 
Aplicando operação elementar na linha 3 para zerar o elemento na segunda coluna, temos: 
23
12
2
11
1312
00
10
1
))((
xx
xx
xx
xxxx


. Assim, chegamos a uma matriz triangular, calculando o 
seu determinante, encontramos
))()(( 231312 xxxxxx 
. Tente resolver utilizando a Regra 
de Sarrus. 
b) Para que a matriz de Vandermond de ordem 3 seja inversível, o seu determinante deve 
ser diferente de zero, então 
21 xx 
, 
32 xx 
 e 
31 xx 
. 
 
8. 
a) Dada a matriz 







31
13
A
, calcule det (
xIA
), onde 
I
é a matriz identidade de 
ordem 2. 
b) Verifique que a matriz 
A
 acima satisfaz a equação 
086)( 2  IAAAp
, em que 
0 é a matriz nula, quadrada, de ordem 2. 
c) Mostre que qualquer matriz quadrada de ordem 2, 







dc
ba
A
, satisfaz a seguinte 
equação: 
0)(det)()( 2  IAAdaAAp
. 
Nota: O polinômio
)det()( xIAxp 
 é chamado polinômio característico da matriz A. 
Você estudará mais sobre isso em Álgebra Linear 2. 
Curiosidade: O resultado do item c foi enunciado pelo matemático Arthur Cayley, para 
matrizes quadradas de qualquer ordem, em uma memória publicada em 1858 (A Memoir on 
the Theory of Matrices). Uma das aplicações deste resultado foi a resolução do problema que 
colocamos no exercício 4-b do EP1. Com esta memória, Cayley introduziu um cálculo 
simbólico com as matrizes. 
 
Solução: 
a) 
861)3(
31
13
det
10
01
31
13
det)det( 22 


























 xxx
x
x
xxIA
 
b) 

























10
01
8
31
13
6
31
13
31
13
86)( 2 IAAAp
 
























00
00
80
08
186
618
106
610
 
Veja que este polinômio, cuja variável é uma matriz, tem a mesma expressão que o 
polinômio determinado em a), cuja variável é um número real. 
 
c) 
 IAAdaAAp )(det)()( 2
 






























00
00
0
0
)()(
)()(
2
2
bcad
bcad
ddacda
bdaada
dcbcdca
bdabbca
. 
 
9. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: 
a) 
22))(( BABABA 
 quaisquer que sejam 
A
 e 
B
matrizes quadradas de mesma 
ordem. 
b) Sejam 
A
, 
B
 e 
C
 matrizes quadradas de mesma ordem. Se 
B
 é inversível e 
CBAB 
, 
então 
CA 
. 
c) 
)det()det()det( BABA 
 quaisquer que sejam 
A
 e 
B
matrizes quadradas de mesma 
ordem. 
Se A é uma matriz de ordem n, inversível, então 
0Adet
 e 
  11   AdetAdet
. 
 
Solução. 
a) Observe que: 
22 BBAABA)BA)(BA( 
, logo a igualdade acima será válida se 
BAAB 
, o 
que nem sempre é verdadeiro. 
Mas para mostrar que uma afirmação é falsa, é suficiente exibir pelo menos um exemplo 
onde esta afirmação falha, ou seja, apresentar um contra exemplo. 
Então, considere 













11
01
10
21
BeA
. 
Verificamos que 














00
40
21
82
)BA)(BA(
.BA 22 
 
b) A afirmação é verdadeira. 
Neste caso, não é suficiente apresentar um exemplo que verifique, pois para mostrar que a 
implicação é verdadeira, precisamos mostrar que é válida para quaisquer matrizes 
A
, 
B
 e 
C
 nas condições acima. 
Seja 1B a inversa de B, 
.).().()()( 1111 CABBCBBABCBBABCBAB  
 
 
c) A afirmação é falsa. 
Sejam 







10
01
A
 e 









10
01
B
. 







00
00
BA
, 
0)det(  BA
 e 
.211)det()det(  BA
 
 
d) A afirmativa é verdadeira 
Pois por hipótese existe uma matriz B de ordem n tal que AB = BA = 
nI
. Logo 
  .IdetBdet.AdetABdet n 1
 Daí 
0Bdet
 e 
Adet
Bdet
1

.