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Estruturas Cristalinas 1 
 
 
 
 
 
33 
ESTRUTURAS CRISTALINAS 
 
INTRODUÇÃO 
 A estrutura dos materiais sólidos é resultado da natureza de suas ligações 
químicas, a qual define a distribuição espacial de seus átomos, íons ou moléculas. A 
grande maioria dos materiais comumente utilizados em engenharia, particularmente 
os metálicos, exibe um arranjo geométrico de seus átomos bem definido, 
constituindo uma estrutura cristalina. Um material cristalino, independente do tipo de 
ligação encontrada no mesmo, apresenta um agrupamento ordenado de seus 
átomos, íons ou moléculas, que se repete nas três dimensões. Nesses sólidos 
cristalinos, essa distribuição é muito bem ordenada, exibindo simetria e posições 
bem definidas no espaço. Em estruturas cristalinas, o arranjo de uma posição em 
relação a uma outra posição qualquer deve ser igual ao arranjo observado em torno 
de qualquer outra posição do sólido, ou seja, qualquer posição em uma estrutura 
cristalina caracteriza-se por apresentar vizinhança semelhante. 
2 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
 A partir do conceito de estrutura cristalina, onde, é possível descrever um 
conjunto de posições atômicas, iônicas ou moleculares repetitivas, surge o conceito 
de célula unitária. Uma célula unitária é definida como a menor porção do cristal que 
ainda conserva as propriedades originais do mesmo. Através da adoção de valores 
específicos associados às unidades de medidas nos eixos de referências, definidos 
como parâmetros de rede, e aos ângulos entre tais eixos, pode-se obter células 
unitárias de diversos tipos. Em meados do século passado, o cientista francês A. 
Bravais propôs que o estudo das estruturas cristalinas poderia ser elaborado com a 
utilização de sete sistemas cristalinos básicos. Partindo desses sete sistemas 
cristalinos seria possível descrever 14 células unitárias, as quais englobariam 
qualquer tipo de estrutura cristalina conhecida. Na tabela 3.1 são mostradas as 
principais características desses arranjos no tocante a parâmetros de rede e 
ângulos entre eixos. Na figura 3.1 são apresentados as células unitárias de Bravais. 
 
Tabela 3.1. Parâmetros de rede e ângulos dos sete sistemas cristalinos de Bravais. 
 
 
SISTEMAS 
 
EIXOS 
 
ÂNGULOS ENTRE OS EIXOS 
 
CÚBICO a=b=c Todos os ângulos = 900 
TETRAGONAL a=b≠c Todos os ângulos = 900 
ORTORRÔMBICO a≠b≠c Todos os ângulos = 900 
MONOCLÍNICO a≠b≠c 2 ângulos = 900 e 1 ângulo ≠ 900 
TRICLÍNICO a≠b≠c Todos ângulos diferentes e nenhum igual a 900 
HEXAGONAL a1=a2=a3≠c 3 ângulos = 90
0 e 1 ângulo = 1200 
ROMBOÉDRICO a=b=c Todos os ângulos iguais, mas diferentes de 90
0
 
 
Estruturas Cristalinas 3 
 
 
 
 
a 
a
a 
a 
a 
a 
a
a
a
CÚBICO 
b a 
c β 
b a
c β
MONOCLÍNICO
a 
a 
c 
a
a
c
TETRAGONAL 
b 
a 
c 
b
a
c
b 
b
a 
c 
b 
a 
c 
ORTORRÔMBICO 
a 
c 
aa a b 
c 
α β 
γ a
a
a
α
αα
HEXAGONAL ROMBOÉDRICOTRICLÍNICO 
 
 
Figura 3.1. Células unitárias do arranjos cristalinos de Bravais. 
4 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
ESTRUTURAS CRISTALINAS COMPACTAS 
 Bravais sugeriu a existência de 14 tipos de arranjos cristalinos, porém, alguns 
desses ocorrem com maior freqüência que outros. A maioria dos elementos, 
principalmente aqueles com caráter metálico elevado, transforma-se de líquido para 
sólido assumindo estruturas altamente densas, como mostra a tabela 3.2. Nesse 
caso não existem restrições em relação à direcionalidade das ligações (ligações 
covalentes) ou restrições associadas à neutralidade da rede e a fatores geométricos 
(ligações iônicas). Uma avaliação mais aprofundada dos arranjos cristalinos de 
Bravais revela que as estruturas cúbica de corpo centrado (CCC), cúbica de face 
centrada (CFC) e hexagonal compacta (HC) são aquelas que permitem maior grau 
de empacotamento atômico. A estrutura hexagonal compacta é na verdade uma 
modificação da estrutura hexagonal simples, já mostrada anteriormente. 
 
Exemplo 3.1 
 O chumbo exibe estrutura CFC. Qualquer quantidade de chumbo sólido é 
constituída por pequenos cubos imaginários (células unitárias), com arestas 
medindo 0,495x10-9 m, onde os átomos desse elemento ocupam vértices e centro 
das faces. A partir dessas informações, calcule o número de cubos existentes em 1 
cm3 (1x10-6 m3) de chumbo. 
 
Solução 
 O número de células unitárias é obtido pela divisão do volume total pelo 
volume de uma célula. 
 Volume da célula unitária do chumbo=(0,495x10-9 m)3=1,2x10-28 m3 
 Número de células unitárias=1x10-6 m3/1,2x10-28 m3=8,2x1021 células (cubos) 
 
ESTRUTURAS CRISTALINAS CÚBICAS 
 A estrutura cúbica é uma das que ocorrem com maior freqüência nas 
substâncias cristalinas e é considerada a de maior importância. Dependendo da 
posição que os átomos ocupam na estrutura cúbica, a mesma pode ser classificada 
em cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada 
(CFC). 
Estruturas Cristalinas 5 
 
 
 
 
 
Tabela 3.2. Estrutura cristalina e propriedades de alguns elementos. 
 
Elemento Símbolo 
Número 
Atômico 
Massa Atômica 
(g/mol) 
Densidade 
à 20 oC (g/m3 ) 
Estrutura 
Cristalina à 20 
oC 
Raio 
Atômico (nm) 
 
Alumínio 
 
Al 
 
13 
 
26,98 
 
2,70 
 
CFC 
 
0,143 
Antimônio Sb 51 121,75 6,70 Romboédrica 0,138 
Arsênico As 33 74,93 5,78 Romboédrica 0,125 
Bário Ba 56 137,33 3,50 CCC 0,217 
Berílio Be 4 9,01 1,85 HC 0,113 
Bismuto Bi 83 208,98 9,81 Romboédrica 0,114 
Boro Bo 5 10,81 2,30 Romboédrica 0,046 
Cádmio Cd 48 112,40 8,64 HC 0,149 
Cálcio Ca 20 40,08 1,55 CFC 0,198 
Cério Ce 58 140,12 6,69 HC 0,184 
Césio Cs 55 132,91 1,89 CCC 0,265 
Chumbo Pb 82 207,20 11,36 CFC 0,175 
Cobalto Co 27 58,93 8,83 CCC 0,125 
Cobre Cu 29 63,54 8,93 CFC 0,128 
Cromo Cr 24 51,99 7,19 CCC 0,125 
Enxofre S 16 32,06 2,07 Ortorrômbica 0,104 
Estanho Sn 50 118,69 5,77 TCC 0,158 
Estrôncio Sr 38 87,62 2,60 CFC 0,215 
Ferro Fe 26 55,85 7,87 CCC 0,124 
Gadolínio Gd 64 157,25 7,89 HC 0,179 
Gálio Ga 31 69,72 5,90 Ortorrômbica 0,122 
Germânio Ge 32 72,59 5,32 CFC 0,123 
Háfnio Hf 72 178,49 13,31 HC 0,156 
Índio In 49 114,82 7,29 Tetragonal 0,162 
Irídio Ir 77 192,22 22,65 CFC 0,135 
Ítrio Y 39 88,90 4,47 HC 0,182 
Lantânio La 57 138,91 6,15 HC 0,189 
Lítio Li 3 6,94 0,53 CCC 0,152 
Magnésio Mg 12 24,30 1,74 HC 0,160 
Manganês Mn 25 54,94 7,47 Cúbica 0,112 
Mercúrio Hg 80 200,59 13,55 Romboédrica 0,155 
Molibdênio Mo 42 95,94 10,22 CCC 0,136 
Nióbio Nb 41 92,90 8,57 CCC 0,143 
Níquel Ni 28 58,69 8,90 CFC 0,124 
Ósmio Os 76 190,20 22,57 HC 0,135 
Ouro Au 79 196,97 19.30 CFC 0,144 
Paládio Pd 46 106,40 12,02 CFC 0,137 
Platina Pt 78 195,09 21,45 CFC 0,139 
Polônio Po 84 209 9,19 CCC 0,167 
Potássio K 19 39,09 0,86 CCC 0,231 
Prata Ag 47 107,87 10,49 CFC 0,144 
Rênio Re 75 186,20 21,04 HC 0,138 
Ródio Rh 45 102,91 12,41 HC 0,134 
Rutênio Ru 44 101,07 12,37 HC 0,125 
Silício Si 14 28,08 2,33 CD 0,118 
Sódio Na 11 22,98 0,97 CCC 0,192 
Tântalo Ta 73 180,95 16,60 CCC 0,143 
Tório Th 90 232,04 11,72 CFC 0,180 
Titânio Ti 22 47,88 4,51HC 0,148 
Tungstênio W 74 183,85 19,25 CCC 0,137 
Urânio U 92 238,03 19,05 Ortorrômbica 0,138 
Vanádio Va 23 50,94 6,10 CCC 0,132 
Zinco Zn 30 65,38 7,13 HC 0,133 
Zircônio Zr 40 91,22 6,51 HC 0,159 
6 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
 O arranjo cúbico simples (CS), apesar de pertencer às estruturas cúbicas, 
não permite alto grau de empacotamento. Entretanto, a análise desse arranjo é 
importante no estudo das outras estruturas cúbicas. Nesse arranjo atômico, existe 
apenas um átomo em cada vértice do cubo. Na estrutura CS, o parâmetro de rede, 
definido por a, corresponde ao tamanho da aresta desse cubo, ou seja, a=2r, onde r 
é o raio atômico. A figura 3.2 mostra a representação esquemática de tal célula 
cristalina. 
 Como forma de classificar o nível de ocupação por átomos em uma estrutura 
cristalina, define-se o fator de empacotamento (F.E.), que é dado por: 
 F.E. = 
N V
V
A
C
 3.1 
onde: N = Número de átomos que efetivamente ocupam a célula; 
 VA = Volume do átomo (4/3.π.r3); 
 r = Raio do átomo; 
 VC = Volume da célula unitária. 
 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 3.2. Representação de uma célula unitária CS: (a) posições dos átomos; (b) 
arranjo atômico; (c) átomos no interior da célula unitária. 
 
Exemplo 3.2 
 Calcule o fator de empacotamento de uma estrutura cúbica simples. 
 
Estruturas Cristalinas 7 
 
 
 
 
Solução 
 O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica simples 
é resultado da soma dos átomos presentes em seus vértices. 
 Número de vértices = 8 
 Número de átomos por vértice = 1/8 
 Número total de átomos = 8 . 1/8 = 1 
 Volume ocupado por átomos (VA) = 1 . Volume de 1 átomo = 4/3.π.r3 
 Volume da célula unitária, 
 333C r8 = )(2r = a = V 3.2 
 Fator de Empacotamento, 
 0,52 = 
r 8
r 
3
4 1
 = F.E. 3
3π
 3.3 
ou seja, apenas 52% desta célula unitária são preenchidos por átomos. Devido ao 
baixo índice de ocupação desta célula, os metais não apresentam este tipo de 
arranjo. Uma única exceção é o polônio (Po). 
 No arranjo cúbico de corpo centrado (CCC) existe um átomo em cada vértice 
de um cubo e um outro átomo no centro do mesmo, como mostra a figura 3.3. Esta 
estrutura pode ser encontrada no cromo, vanádio, zircônio, tungstênio, tântalo, bário, 
nióbio, lítio, potássio, etc. O parâmetro de rede a dessa estrutura é função da 
presença do átomo central, e é diferente do caso anterior. Ao se observar a diagonal 
principal da célula unitária dessa estrutura constata-se que seu tamanho 
corresponde a quatro raios atômicos. Assim, o parâmetro de rede é calculado a 
partir do teorema de Pitágoras ou: 
 ( ) )(4r = 2a + a 222 3.4 
 
3
4r = a 3.5 
 
Exemplo 3.3 
 Determine o fator de empacotamento da estrutura cúbica de corpo centrado. 
 
8 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
Solução 
 O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica de corpo 
centrado é resultado da soma dos átomos presentes em seus vértices, mais aquele 
localizado em seu centro. 
 Número de vértices = 8 
 Número de átomos por vértice = 1/8 
 Número total de átomos = 8.1/8 + 1 = 2 
 Volume ocupado por átomos (VA) = 2 . Volume de 1 átomo = 8/3.π.r3 
 Volume da célula unitária, 
 
33
r64 = )
3
r4( = a = V
3
33
C 3.6 
 Fator de Empacotamento, 
 0,68 = 
33
r64
r 3
8
 = F.E.
3
3
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
π
 3.7 
ou seja, apenas 68% desta célula unitária são efetivamente preenchidos por 
átomos. 
 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 3.3. Representação de uma célula unitária CCC: (a) posições dos átomos; (b) 
arranjo atômico; (c) átomos no interior da célula unitária. 
 
Estruturas Cristalinas 9 
 
 
 
 
 O arranjo cúbico de face centrada caracteriza-se por exibir os mesmos 
átomos nos vértices, encontrados nos outros dois arranjos cúbicos anteriores, e 
mais um átomo em cada face do cubo. A estrutura cúbica de face centrada é a 
estrutura do alumínio, cálcio, chumbo, níquel, cobre, platina, prata, ouro, etc. A 
figura 3.4 apresenta um diagrama esquemático desta estrutura. O parâmetro de 
rede no caso da estrutura CFC pode ser obtido através da diagonal da face, que tem 
o tamanho de quatro átomos. Usando novamente as relações de um triângulo 
retângulo, é possível relacionar o parâmetro de rede com o raio atômico, ou seja: 
 )(4r = a + a 222 3.8 
 r22 = a 3.9 
 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 3.4. Representação esquemática de uma célula unitária CFC: (a) posições 
atômicas; (b) arranjo atômico; (c) átomos dentro da célula unitária. 
 
Exemplo 3.4 
 Determine o fator de empacotamento da estrutura cúbica de face centrada. 
 
Solução 
 O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica de face 
centrada é resultado da soma dos átomos presentes em seus vértices, mais aqueles 
localizados em suas faces. 
10 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
 Número de vértices = 8 
 Número de átomos por vértice = 1/8 
 Número de faces = 6 
 Número de átomos por face = 1/2 
 Número total de átomos = 8.1/8 + 6.1/2 = 4 
 Volume ocupado por átomos (VA) = 4 . Volume de 1 átomo = 16/3.π.r3 
 Volume da célula unitária, 
 2r16
2
r32 = )
2
r4( = a = V 3
3
33
C = 3.10 
 Fator de Empacotamento, 
 ( ) 0,74 = r216
r 3
16
 = F.E.
3
3π
 3.11 
 
ESTRUTURAS CRISTALINAS HEXAGONAIS 
 As estruturas cristalinas hexagonais, juntamente com as estruturas cúbicas, 
formam os arranjos atômicos dos principais cristais elementares ou aqueles 
formados por um único átomo. Desses cristais, mais da metade apresenta estrutura 
cúbica, um terço exibe estrutura hexagonal e os cristais restantes estão distribuídos 
entre os outros tipos estruturais. Isto faz com que a estrutura hexagonal tenha 
grande importância em cristalografia, o que torna necessário o estudo da mesma. 
Existem dois tipos de arranjo hexagonal, quais sejam: hexagonal simples e 
hexagonal compacto. 
 A estrutura hexagonal simples é formada por átomos posicionados nos 
vértices de dois hexágonos sobrepostos. Outros dois átomos localizam-se no centro 
de cada hexágono. A estrutura cristalina hexagonal simples pode ser representada 
pelo arranjo mostrado na figura 3.5. Nesse caso, o parâmetro a é igual ao parâmetro 
c. Os ângulos basais são de 1200 e os verticais de 900. Esta estrutura cristalina pode 
ser encontrada no selênio e no telúrio. O número de átomos existentes no interior de 
uma célula hexagonal simples é três. O fator de empacotamento de cristais 
hexagonais simples é calculado da mesma forma feita anteriormente, sendo 
Estruturas Cristalinas 11 
 
 
 
 
novamente necessário determinar o volume de uma célula unitária desta estrutura. 
Tal volume é dado por: 
 3r12 = V 3C 3.12 
 O F.E. resulta em: 
 0,60 = 
3r12
r3
43
 = F.E.
3
3π
 3.13 
 
 
(a) (b) (c) 
 
Figura 3.5. Representação esquemática de uma célula unitária HS: (a) posições 
atômicas; (b)arranjo atômico; (c) átomos dentro da célula unitária. 
 
 A estrutura hexagonal compacta é formada por dois hexágonos sobrepostos 
e entre eles existe um plano intermediário de três átomos. Nos hexágonos, 
novamente, existem seis átomos nos vértices e um outro no centro. 
 A estrutura cristalina hexagonal compacta pode ser observada na figura 3.6. 
Neste caso, o parâmetro de rede a é diferente do parâmetro c. Os ângulos basais 
são novamente iguais a 120o e os verticais de 90o. A estrutura HC pode ser 
observada no berílio, berquélio, lítio, magnésio, cádmio, cobalto, titânio, etc. O 
número de átomos que efetivamente encontram-se dentro de uma célula unitária HC 
é igual a 6. 
 O fator de empacotamento é calculado da mesma maneira efetuada 
anteriormente, e o volume da célula unitária é igual a: 
12 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
 224r = V 3C 3.14 
que resulta em: 
 0,74 = 
224r
r
3
46
 = F.E.
3
3π
 3.15 
 
(a) (b) (c) 
Figura 3.6. Representação esquemática de uma célula unitária HC: (a) posições 
atômicas; (b) arranjo atômico; (c) átomos dentro da célula unitária. 
 
SEQÜÊNCIA DE EMPILHAMENTO 
 A estrutura cúbica de face centrada tem o mesmo fator de empacotamento 
da estrutura hexagonal compacta (0,74). Este fato não é apenas uma coincidência, 
mas resultado da natureza dos planos cristalinos que constituem estas duas 
estruturas. Observando a seqüência de empilhamento de planos cristalinos na 
direção da diagonal do cubo da estrutura CFC e na direção perpendicular à base no 
caso da hexagonal compacta, nota-se que os arranjos atômicos, em ambos os 
casos, são de mesma natureza. A diferença entre as duas estruturas concentra-se 
no posicionamento dos átomos destes planos em relação a um ponto de referência. 
Enquanto os planos do cristal HC apresentam apenas duas variações de 
posicionamento e assim, seguem uma seqüência do tipo "ABABAB...", os cristais 
CFC apresentam três posicionamentos e exibem a seqüência "ABCABCABC..." . A 
figura 3.7 apresenta detalhes sobre a seqüência de empilhamento de planos de tais 
estruturas. 
Estruturas Cristalinas 13 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
Figura 3.7. Seqüência de empilhamento de planos compactos das estruturas (a) HC 
e (b) CFC. 
 
ALOTROPIA OU POLIMORFISMO 
 Diversos elementos, bem como compostos químicos apresentam mais de 
uma forma cristalina, dependendo de condições como pressão e temperatura 
envolvidas. Este fenômeno é denominado de alotropia ou polimorfismo. Metais de 
grande importância industrial como o ferro, o titânio e o cobalto apresentam 
1 2 
4 5 6 
1 2 3 4 
5 6 7 8 
14 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
transformações alotrópicas em temperaturas elevadas. A tabela 3.3 mostra alguns 
metais que exibem variações alotrópicas e suas temperaturas de transformação. 
 A variação alotrópica encontrada em cristais de ferro pode ser considerada 
como um clássico exemplo de polimorfismo, conforme ilustra a figura 3.8. Esta 
variação alotrópica é muito importante em processos metalúrgicos, pois permite a 
mudança de certas propriedades do aço (Fe + C), através de tratamentos térmicos. 
 
Tabela 3.3. Formas alotrópicas de alguns metais. 
 
METAL ESTRUTURA NA TEMP. 
AMBIENTE 
EM OUTRAS 
TEMPERATURAS 
Ca CFC CCC (>4470C) 
Co HC CFC (>4270C) 
Hf HC CFC (>1.7420C) 
Fe CCC CFC (912-1.3940C) 
CCC (>1.3940C) 
Li CCC HC (<-1930C) 
Na CCC HC (<-2330C) 
Sr CFC CCC (>5570C) 
Tl HC CCC (>2340C) 
Ti HC CCC (>8830C) 
Y HC CCC (>1.4810C) 
Zr HC CCC (>8720C) 
 
 O ferro apresenta os arranjos CCC e CFC na faixa de temperaturas que vai 
da temperatura ambiente até a temperatura de fusão do mesmo (1.5390C). O ferro α 
existe de -273 a 9120C e tem estrutura cristalina CCC. Entre 768 e 9120C, o ferro α 
Estruturas Cristalinas 15 
 
 
 
 
deixa de ser magnético e, algumas vezes, é chamado de ferro β. O ferro γ existe de 
912 a 1.3940C e tem estrutura CFC. O ferro δ existe de 1.394 a 1.5390C, 
apresentando, novamente, estrutura CCC. A diferença entre as estruturas CCC do 
ferro α e do ferro δ reside no valor do parâmetro de rede dos dois casos. Na faixa de 
temperaturas mais baixa, o parâmetro de rede é menor. 
1.500 -
1.400 -
1.300 -
1.200 -
1.100 -
1.000 -
900 -
700 -
800 -
Te
m
pe
ra
tu
ra
 o C
 
Tempo 
Líquido 
Ferro δ 
Ferro γ 
Líquido α
Ferro β 
1.539 oC 
1.394 oC 
912 oC 
768 oC 
 
Figura 3.8. Variações alotrópicas do Ferro puro. 
 
 Um outro exemplo clássico de polimorfismo é a variação alotrópica do 
carbono. Este elemento é encontrado como diamante, que é o material mais duro na 
natureza e como grafite, um material de baixíssima dureza, que pode ser usado 
como lubrificante. O diamante é duro porque todas as suas ligações são covalentes. 
Por outro lado, o grafite tem ligações covalentes apenas em alguns planos. Estes 
planos são agregados a outros planos através de forças secundárias e assim, é fácil 
16 Estruturas Cristalinas 
 
 
 
 
provocar o deslizamento dos mesmos. A figura 3.9 apresenta as estruturas do 
diamante e do grafite. 
 
 
(a) Diamante (b) Grafite 
Figura 3.9. Estruturas cristalinas do carbono nas variações alotrópicas "diamante" e 
"grafite". 
 
Exemplo 3.5 
 À temperatura ambiente, o estrôncio exibe estrutura CFC. Ao ser aquecido 
acima de 557 oC, esse arranjo atômico transforma-se em CCC. Determine a 
variação de volume que envolve essa transformação alotrópica. Considere que o 
raio atômico permanece constante. 
 
Solução 
 Neste caso, apenas a estrutura foi modificada, mantendo-se constante a 
quantidade de matéria. O número de átomos envolvidos permanece o mesmo. Na 
temperatura ambiente, a estrutura é CFC, que exibe 4 átomos por célula unitária. 
Acima de 557 oC, a estrutura de equilíbrio é CCC, que apresenta 2 átomos por 
célula unitária. Partindo-se de uma quantidade fixa de átomos igual a 4, tem-se: 
 Antes da transformação: 
 ( ) 3333CFCI R62,22R216R22aVV ===== 
 
Estruturas Cristalinas 17 
 
 
 
 
 Após a transformação: 
 33
3
3
CCCF R63,24R33
128
3
R42a2V2V ==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=== 
 A variação de volume é dada por: 
 %9,8ou089,0
R62,22
R62,22R63,24V 3
33
=−=Δ 
 Ocorreu expansão volumétrica equivalente a 8,9% do volume inicial. 
 nm135,03
4
nm311,03 
4
ar === 
 
EXERCÍCIOS 
3.1. Quais são as 14 células unitárias de Bravais ? 
3.2. Quais são as estruturas cristalinas metálicas mais comuns ? Liste alguns 
metais que apresentam estas estruturas. 
3.3. Qual é o número de coordenação dos átomos de uma estrutura CCC ? 
3.4. Qual é a relação entre tamanho da aresta "a" da célula CCC e raio atômico ? 
3.5. O Nb, na temperatura ambiente tem estrutura CCC e apresenta raio atômico 
de 0,147 nm. Calcule o valor do parâmetro de rede "a" em nanometros. 
3.6. Calcule o fator de empacotamento da estrutura CFC. 
3.7. Quantos átomos por célula existem na estrutura HC? 
3.8. O Ni é CFC com uma densidade de 8,9 Mg/m3 e tem sua M.A. é igual a 
58,71. 
a. Qual é o volume por célula unitária baseado no valor da densidade ? b. Calcule 
o raio atômico do Ni a partir de sua resposta na parte (a). 
3.9. O Titânio é CCC em alta temperatura. Seu raio aumenta em 2% durante sua 
transformação de CCC para HC no resfriamento. Qual a variação percentual de 
volume que ocorre nesta transformação ? 
(a) do elemento.