Geometria_Descritiva_versao_06072013

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ARQUITETURA E URBANISMO
Disciplina: IT 459 - Desenho Técnico
Prof. Delson Lima Filho
NOÇÕES DE GEOMETRIA DESCRITIVA
(GEOMETRIA MONGEANA)
Breve introdução
Notação cremoniana�
Antes de iniciarmos os estudos de GD (Geometria Descritiva�) informamos ao estudante que adotaremos a notação cremoniana, que é a mais utilizada nas academias contemporâneas. Esta notação emprega letras maiúsculas do alfabeto latino na identificação do ponto; letras minúsculas, do mesmo alfabeto, na identificação das linhas (retas, curvas etc.) e letras gregas minúsculas na identificação de superfícies (planos, ângulos, figuras planas etc.). Qualquer uma dessas letras (latinas ou gregas), quando colocadas entre parênteses, representa elementos no ou do espaço, seja este um ponto, uma linha ou uma superfície. 
Conceitos fundamentais da Geometria euclidiana
Importa também observar que a Geometria Descritiva se utiliza dos conceitos geométricos fundamentais criados por Euclides. Ou seja:
a) O ponto geométrico não tem dimensão.
Logo, não há como definir um ponto geométrico. Não obstante, este precisa ser representado para que seu emprego prático possa ser possível.
Representação de um ponto:
É comum se "desenhar" um pequeno x�, representando a interseção de duas linhas, e ao lado deste se colocar uma letra maiúscula, nomeando-o. 
Exemplo de representações para um ponto: x A; x D'; x (G)...
b) Dois pontos distintos determinam uma reta, que é infinita em ambos os sentidos.
Consequências: Nem sempre é prático ou possível operar geometricamente com a reta, por ela ser infinita. Assim se utiliza o segmento de reta que é uma porção (fração, pedaço, parte...) de uma reta. Notadamente, o segmento de reta é limitado por dois pontos, recebendo nomes como AB, BC, CD etc. O intervalo linear entes estes dois pontos é considerado DOMÍNIO. As extremidades nos permite a percepção ótica do que, normalmente, chamamos de FIGURA, sendo, a reta suporte do segmento, o ANTIDOMÍNIO�. 
Por dedução e conceitualmente, a figura segmento de reta é a interseção do domínio com o antidomínio. O segmento de reta geométrico não tem espessura, apenas comprimento.
Exemplo de representações de um segmento�: AB; CD, GH etc.
Nota: Sobre o par de letras deve ser colocado um traço, o que não é possível ser feito no Word.
c) Três pontos distintos determinam um plano;
Consequências: A cada par de pontos se repete as considerações utilizadas no estudo da reta visto no item anterior. Logo, ao unir os três ponto, dois a dois, se obtém um triângulo (que é o polígono com o menor número de lados). Sob a mesma conceituação utilizada no item anterior, é a união da figura triangulo com o DOMÍNIO, e as retas suportes de seus lados com os espaços exteriores e infinitos compõem o ANTIDONÍNIO. 
Por dedução, conceitualmente, a figura triângulo, bem como outras figuras planas, resulta da interseção do domínio com o antidomínio. Ou seja, fica reafirmado que a linha geométrica não tem espessura, apenas comprimento�.
C.1) Outras determinações de um plano:
C.1.1) Uma reta (dois pontos) e um ponto fora desta;
C.1.2) Duas retas paralelas (dois pontos em uma e um ponto na outra);
C.1.3) Duas retas concorrentes (o ponto de concorrência, mais dois pontos, um em cada reta)
Observa-se que os itens c.1.1, c.1.2, c.1.3 tem relação com o item c. Ou seja, em todos eles se tem 3 pontos não alinhados, logo, um plano.
d) Quatro pontos distintos, de modo que o quarto não pertença ao plano dos três anteriores, determinam o espaço ou uma figura espacial (um poliedro). Neste caso também se aplicam os conceitos já vistos nos itens b e c.
Por dedução, conceitualmente, uma figura espacial (tridimensional, em especial os poliedros), também pode ser "lida" como a interseção do domínio com o antidomínio.
NOTA: Quando frisamos que uma figura geométrica é a interseção do DOMÍNIO com o ANTIDOMÍNIO queremos destacar a impossibilidade prática de representação de uma figura geométrica, do mesmo modo como ela é conceituada pela geometria. Qualquer que seja a qualidade de um desenho geométrico, este jamais poderá ser como a geometria o conceitua, ou seja, feito por uma linha sem espessura. Na computação gráfica, como, por exemplo, no software Auto CAD, a "linha digital" pode ser ampliada infinitamente. Apesar de se manter visível, não se "afina" ou "engrossa" como acontece quando se usa um lápis, lapiseira, giz, carvão etc.
Os algoritmos� de Emile Lemoine�
Em resumo, dizemos que todos os instrumentos de desenho geométrico tem um "certo" grau de imperfeição. Lemoine conceitua este erro como "sistemático".
Todos os seres humanos, ao desenharem, cometem erros ou imperfeições em seus traçados. Lemoine conceitua este erro como "acidental".
Por conseguinte, a imagem geométrica não pode comunicar os entes e fatos da geometria com o mesmo grau de rigor com que esta os conceitua; e o grau de fidelidade da imagem geométrica de uma figura, em relação a esta figura, está na razão inversa do número de operações que levam à sua obtenção.
O algoritmo de Lemoine consiste na soma dos erros sistemáticos, que resulta em um valor numérico chamado "coeficiente de exatidão" e, a soma dos erros sistemáticos com os erros acidentais, resulta em um valor numérico chamado "coeficiente de simplicidade".
Na essência, os algoritmos de Lemoine demonstram que o menor número de traçados empregados na resolução de um problema, corresponde ao melhor procedimento, posto que os "coeficientes de exatidão e de simplicidade" resultam menores.
Considerações sobre as geometrias e as projeções
A Geometria Cotada
A Geometria Cotada, criada por Felipe Buache�, utiliza apenas um plano de base (plano de nível) e cotas de pontos. O plano de nível, possivelmente tenha sido inspirado na superfície dos oceanos, que tem altitude 0 (zero). Logo, todos os pontos que estejam acima da "lâmina d'água" tem cotas (alturas) positivas e, todos os pontos abaixo, tem cotas negativas. A partir deste referencial Buache projetou pontos ortogonalmente ao plano de nível e os identificou com um número positivo ou negativo correspondendo as suas respectivas cotas. Esta geometria ainda é utilizada nos dias atuais na Geografia, Cartografia etc. e é encontrada nas cartas e nos mapas.
A Geometria Descritiva
A Geometria Descritiva ou geometria mongeana� pode ser conceituada como uma Geometria baseada na dupla projeção o que a difere da monoprojeção de Buache e do espaço tridimensional de Descartes. Ou seja, para seu criador, Gaspard Monge, é possível identificar a maioria dos objetos tridimensionais a partir da leitura de apenas duas de suas projeções. A GD não só se diferencia da Geometria Cotada� , como também da geometria cartesiana� entre outras�, pois se utiliza apenas de duas projeções para representar elementos geométricos como pontos, linhas e superfícies, sem a necessidade do emprego de números.
A metodologia da dupla projeção se dá a dois planos ortogonais entre si, que recebem atualmente as designações de plano π e plano π´�, respectivamente, correspondendo, o primeiro, a um plano horizontal e, o segundo, a um plano frontal�. Estes dois planos se cortam em uma reta comum que recebe convencionalmente o nome de linha de terra. Logo, a linha de terra divide cada um dos planos em dois semiplanos�. Cada par de semiplanos, um de π e outro de π', estabelece um diedro. Logo, o espaço mongeano tem como base uma linha de terra, quatro semiplanos e quatro diedros�. Por dedução, um diedro pode ser descrito como o espaço compreendido entre dois semiplanos ortogonais entre si e de mesma origem (linha de terra).
OBS: Aqui também pode ser empregado o conceito de DOMÍNIO e ANTIDOMÍNIO. Ou seja, a linha de terra e os semiplanos (elementos visíveis) são o domínio, as figuras visíveis. Todos os espaços livres, os prolongamentos dos planos (que são infinitos), os diedros, são os antidomínios.
Figura 1 - modelo em perspectiva do espaço mongeano�
Tabela 1 - Designações dos semiplanos e diedrosDiferentes designações para os semiplanos determinando os diedros
	1° Diedro
	SpHA e SpFS
	π+ e π´+ 
	πA e π´S
	2° Diedro
	SpFS e SpHP
	π´+ e π-
	π´S e πP
	3° Diedro
	SpHP e SpFI
	π- e π´- 
	πP e π´I
	4° Diedro
	SpFI e SpHA
	π´- e π+
	π´I e πA
Como se vê na tabela1, podemos nominar estes semiplanos de diversos modos. Por praticidade costumamos chamar os semiplanos horizontais de "semiplano horizontal anterior" e "semiplano horizontal posterior". Consequentemente, os semiplanos frontais podem ser chamados de "semiplano frontal superior" e "semiplano frontal inferior".
Tabela 2 - Descrição dos nomes mais comuns dados aos semiplanos
	Nossa preferência
	Outra possível designação
	Empregado na figura 1
	SpHA (Semiplano Horizontal Anterior),
	π+ (pi positivo)
	πA (pi anterior)
	SpFS (Semiplano Frontal Superior),
	π'+ (pi índice linha positivo)
	π'S (pi índice linha superior)
	SpHP (Semiplano Horizontal Posterior)
	π- (pi negativo)
	πP (pi posterior)
	SpFI (Semiplano Frontal Inferior),
	π'- (pi índice linha negativo)
	π'- (pi índice linha negativo)
Por definição:
- o primeiro diedro é o espaço compreendido entre o semiplano horizontal anterior e o semiplano frontal superior;
- o segundo diedro é o espaço compreendido entre o semiplano frontal superior e o semiplano horizontal posterior;
- o terceiro diedro é o espaço compreendido entre o semiplano horizontal posterior e o semiplano frontal inferior;
- o quarto diedro é o espaço compreendido entre o semiplano frontal inferior e o semiplano horizontal anterior.
Figura 2 - modelo físico do espaço diédrico de Monge: os "vértices" dos arames representam pontos do espaço e as linhas azuis, linhas de chamadas� e projeções dos pontos.
Figura 3 - Modelo físico com as projeções das linhas de chamadas nos semiplanos�
A transformação do espaço 3D em 2D resulta na ÉPURA
Figura 4 - O modelo com o plano π girando sobre o plano π´ para resultar na épura
Um modelo físico de fácil obtenção
O senso comum nos leva a utilizar o piso (chão) e uma parede à nossa frente como um modelo físico para a facilitação do entendimento da geometria mongeana. Assim, em uma sala de aula, por exemplo, geralmente estamos sentados em cadeiras assentadas no semiplano horizontal anterior (SpHA, π+ ou πA), olhando para a parede do quadro negro, semiplano frontal superior (SpFS, π'+ ou π'S). Em resumo, sob esta condição estamos no 1º diedro. Assim, é possível identificar os outros "diedros" onde podem estar outras pessoas ou coisas. Ou seja, quem ou o que está acima do mesmo piso em que estamos, mas, atrás da parede do quadro negro, está no 2º diedro. Quem ou o que está abaixo do 2º diedro, está localizado no 3º diedro e quem ou o que está abaixo do piso sobre o qual nos encontramos, está no 4º diedro. Deixamos evidenciado que estas posições são relativas. Ou seja, podemos utilizar as outras "paredes", teto e chão como modelo de plano π ou π'. Entretanto, para evitar confusão, nos posicionaremos, na maioria das vezes, sobre o piso e o relacionamos a π e consideraremos a parede à nossa frente como modelo de plano π'.
1) ESTUDO DO PONTO MONGEANO
Localização de um ponto no espaço mongeano
Para a localização de um ponto no espaço mongeano� são necessários três dados (três referências): a abscissa�, o afastamento� e a cota� (ordem alfabética). Estes elementos podem ser positivos, negativos ou nulos.
Na figura 1 vemos um ponto 0 (zero) na linha de terra. Este ponto é aleatório. Ou seja, pode ser posicionado em qualquer lugar da LT. 
A partir deste ponto 0 (zero) fica determinada a abscissa. Caso a abscissa seja positiva esta deve ser localizada à direita do ponto (0) e se negativa, à esquerda. É importante observar que a abscissa não interfere na localização espacial do ponto quando se quer identificar sua posição espacial. Em que pese a consideração de "posição espacial" um ponto pode se localizar na LT, nos semiplanos e não, necessariamente, apenas nos diedros.�;
O afastamento é a distância de um ponto ao plano frontal (π´) e a cota (altura) é a distância de um ponto ao plano horizontal (π).
Consequentemente, todos os pontos acima de π (plano horizontal) têm cotas positivas e, inversamente, os abaixo, tem cotas negativas.
Sob a mesma lógica, todos os pontos à frente de π´ (plano frontal) têm afastamentos positivos e, inversamente, os posteriores, tem afastamentos negativos.
Reafirmando: um ponto nem sempre está necessariamente no espaço, pode estar nos semiplanos ou até mesmo na linha de terra. Logo, um ponto pode não ter afastamento nem cota (vai estar na linha de terra); pode ter apenas afastamento (vai estar no semiplano horizontal anterior ou posterior) e pode ter apenas cota (vai estar no semiplano frontal superior ou inferior). 
Assim, a identificação ou localização de um ponto na geometria mongeana independe da abscissa. Logo, devemos, apenas, observar os valores dos afastamentos e das cotas. 
Tabela 3 - possíveis localizações de um ponto na GD
	Situação espacial
	abscissa
	afastamento
	cota
	1º diedro
	
	+
	+
	2º diedro
	
	-
	+
	3º diedro
	
	-
	-
	4º diedro
	
	+
	-
	SpHA (semiplano horizontal anterior)
	
	+
	0
	SpFS (semiplano frontal superior)
	
	0
	+
	SpHP (semiplano horizontal posterior)
	
	+
	0
	SpFI (semiplano frontal inferior)
	
	0
	+
	LT (linha de terra)
	
	0
	0
2.2.3) A ÉPURA
As figuras 3 e 4 são boas referências do que vem a ser uma ÉPURA
�
Figura 5 - épura: figura da direita�. Resulta da rotação de π sobre π', ou vice-versa
A épura é uma representação 2D de uma concepção 3D. Ou seja, a épura jamais será o objeto ao qual representa, pois, resulta da "projeção" deste objeto� ou representa uma ideia.
Na figura 5, no desenho à direita, temos as vistas de cima (em π) e de frente (em π'), na cor vermelha, de um objeto de cor verde que aparece em perspectiva na figura à esquerda.
Em resumo: a épura é o resultado de projeções. Ou melhor: a épura de um objeto o representa. Não podendo jamais sê-lo�. Entretanto, a épura oferece condições geométricas de se chegar às dimensões "reais" do objeto que lhe serviu de origem. São estas medidas correspondentes que costumamos chamar de VG (Verdadeira Grandeza), um dos mais importantes objetivos desta geometria.
Exercícios:
Represente em épura, em papel à parte, e identifique as posições dos pontos:
	
	Diedro, semiplano ou LT
	(A) (20, 30, 40)
	
	(B) (30, -30, 35)
	
	(C) (40, -30, -35)
	
	(D) (15, 25, -40)
	
	(E) (25, 35, 00)
	
	(F) (30, 00, 40)
	
	(G) (20, -25, 00)
	
	(H) (30, 00, -35)
	
	(I) (35, 00, 00)
	
Comentários sobre o exercício:
1) o ponto (A) tem afastamento e cota positivos, logo, está no 1º diedro;
2) o ponto (B) tem afastamento negativo e cota positiva, logo, está no 2º diedro;
3) o ponto (C) tem afastamento e cotas negativos, logo está no 3º diedro;
4) o ponto (D) tem afastamento positivo e cota negativa, logo, está no 4º diedro;
5) o ponto (E) tem afastamento positivo e não tem cota, logo, está no SpHA;
6) o ponto (F) não tem afastamento e tem cota positiva, logo, está no SpFS;
7) o ponto (G) tem afastamento negativo e não tem cota, logo, está no SpHP;
8) o ponto (H) não tem afastamento e tem cota negativa, logo, está no SpFI e
9) o ponto (I) não tem afastamento nem cota, logo, está na Linha de terra.
Como se vê, em nenhum dos casos a abscissa foi importante para localizar a posição do ponto na GD (Geometria Descritiva). 
Entender bem a localização, a identificação e a representação de um ponto é fundamental para o estudo seguinte: posições relativas de uma reta.
2) ESTUDO DA RETA MONGEANA
2.2.4.1) Considerações preliminares
2.2.4.1.1) Posições de uma reta em relação a um plano
Antecedendo aos estudos das posições de uma reta em relação aos planos mongeanos, devemos observar que em relação a um plano, uma reta pode ser, APENAS, paralela�, inclinada� ou perpendicular�. Ou seja, na geometria de base euclidiana, como a mongeana, não existe uma quarta possibilidade, apenas, reafirmamos, estas três descritas�.
Assim: 
a) Se uma reta é perpendicular a um plano,inevitavelmente se projeta�, neste plano, como um ponto. Ou melhor, a reta vai se confundir com o seu traço�;
b) Se a reta é inclinada a um plano, se projetará, neste plano, sempre menor� do que seu tamanho "verdadeiro" e;
c) Se a reta é paralela a um plano, se projetará, neste plano, com sua medida real ou VG (Verdadeira Grandeza) �.
Com base nestas três descrições, concluímos que a condição sine qua non para que um segmento de reta se projete em um plano com sua medida verdadeira (ou VG - Verdadeira Grandeza), é que este seja PARALELO ao plano de projeção. Consequentemente, todas as vezes que um segmento de reta é inclinado a um plano, se configura, no sistema mongeano, um trapézio retângulo, onde os lados não paralelos correspondem ao segmento (figura) e sua projeção. Logo, os lados paralelos deste trapézio são linhas de chamadas.
2.2.4.1.2) Posições relativas de uma reta a dois planos ortogonais entre si
No item anterior vimos que existem apenas três posições de uma reta em relação a um plano. Não obstante, uma reta pode se posicionar de 7 (sete) modos diferentes em relação a dois planos.
A reta mongeana segue os mesmos conceitos euclidianos, ou seja, a reta é determinada por dois pontos distintos, não tem espessura, é infinita. Evidentemente, a reta não tem nome, textura, qualidade, espessura etc.
Dependendo das posições espaciais� relativas, a reta mongeana pode ser estudada como: 1) as que não cortam π nem π´, 2) as que cortam apenas π, 3) as que cortam apenas π´, 4) as que cortam π e π´ ou passam pela linha de terra, 5) as que estão contidas em π ou π´ ou estão contidas na linha de terra. 
No primeiro item, vemos que só há uma posição em� que a reta não corta π nem π´. Esta posição é denominada fronto-horizontal ou paralela a linha de terra, o que nos leva a considerar que a linha de terra seja um caso particular de uma reta fronto-horizontal.
resumidamente: toda reta que não tem traço com π nem com π' é uma fronto-horizontal ou paralela a linha de terra.
Figura 6 - Modelo físico de reta na posição fronto-horizontal ou paralela a linha de terra�
No segundo caso, para que uma reta corte apenas π, ou seja, tenha traço em π, deve ser, obrigatoriamente, paralela a π'. Estas condições definem as posições denominadas vertical e frontal.
resumidamente: toda reta perpendicular a π é vertical. Entretanto, em relação a posição frontal deve ser observada também a inclinação a π sem deixar de citar o paralelismo a π'.
Figura 7 - modelos físicos de retas nas posições vertical e frontal, com suas respectivas projeções
c) No terceiro caso, das retas que deixam traço apenas em π´ é fundamental que estas sejam paralelas a π: resultando nas posições topo e horizontal
Resumidamente: toda reta perpendicular a π´ é topo. No entanto, a posição horizontal requer, como na frontal, a referência ao paralelismo com π e a inclinação com π', atentando para o detalhe de que os dados de uma são inversos aos da outra.
Figura 8 - modelos de retas nas posições topo e horizontal
d) No quarto caso, das retas que deixam traços em π e π´, ao mesmo tempo, ou em situação especial, as que passam pela linha de terra:
 d.1) a posição perfil difere das cinco anteriores porque se refere a inclinação a π e π'. Nesta posição, não utilizamos as palavras "paralelas a", nem "perpendicular a". Logo, definimos a reta na posição perfil quando esta tem seus pontos com a mesma abscissa ainda que seja inclinada aos planos π e π'.
As projeções de uma reta de perfil forma um único triângulo retângulo com a reta. Podemos então deduzir que as projeções de uma reta de perfil são catetos de um triângulo retângulo.
d.2) a posição genérica difere das 6 (seis) anteriores, pois todos os seus pontos tem abscissa, afastamentos e cotas diferentes. Ainda assim, de modo similar a reta de perfil, as projeções de uma reta genérica forma um triângulo retângulo com π e outro com π'.
As retas nas posições perfil e genérica podem cortar os semiplanos de modos variados, ou, até mesmo, passar pela linha de terra.
Resumos importantes
Se uma reta do espaço é paralela a um plano, esta se projeta ortogonalmente neste plano, em VG (verdadeira grandeza).
Quando uma reta é paralela a um plano, não terá traço� com este plano.
Reafirmando: a condição sine qua non para que uma reta se projete ortogonalmente a um plano, em verdadeira grandeza, é que ela seja paralela a este plano.
Ainda que no dia a dia denominemos as retas, não existe reta horizontal, frontal, vertical, topo, fronto-horizontal, perfil nem genérica, a reta é sempre a mesma reta conceituada por Euclides. Ou seja, os nomes utilizados apenas identificam as posições que uma reta pode se apresentar em relação aos planos de projeção.
Em resumo: vimos que todas as retas se projetam em π ou π' em VG. Apenas as posições de perfil e a genérica necessitam de um rebatimento, uma rotação ou uma mudança de plano para se apresentarem coincidentes ou paralelas em π ou π´. Evidentemente, passando a assumir as posições horizontal ou frontal.
Figura 10 - fotos de modelos de retas nas posições perfil a e perfil b
OBS 1: Considerando que a geometria mongeana se baseia em projeções ortogonais, as duas projeções de uma reta de perfil (figura 8) são os catetos de um triângulo retângulo. Logo, determinando-se a hipotenusa, fica determinada a VG da reta, evidentemente, por dedução matemática, que não é o caso de nossa disciplina.
OBS 2: Sob a mesma lógica: a projeção de uma reta genérica em π é um dos catetos de um triângulo retângulo. O outro cateto é a diferença das cotas e a VG será determinada pela obtenção da hipotenusa. Do mesmo modo: a projeção de uma reta genérica em π´ é um dos catetos de um triângulo retângulo. O outro cateto é a diferença de afastamentos e a VG será determinada pela obtenção da hipotenusa (dedução matemática).
Figura 11
2.2.4.1.3) Determinação da VG (Verdadeira Grandeza) das retas na posição perfil e genérica
2.2.4.1.3.1) Existem 3 (três) métodos das mudanças
a) rebatimento
b) rotação
c) mudança de plano
2.2.4.1.3.1.1) Método do rebatimento
O método do rebatimento corresponde a uma rotação de 90º.
Conceitualmente, uma das projeções pode ser considerada "eixo do rebatimento" recebendo o nome de CHARNEIRA.
Na figura 10 destacamos, com setas, o triângulo HFF'. A projeção AB contida em HF foi escolhida como charneira. Assim, Basta traçar uma linha de chamada por F, em π, e transportar para esta a cota FF'.
Figura 12
Caso não se tenha acesso aos traços da reta, o mesmo procedimento pode ser feito com o trapézio (A) (B) AB, identificado na figura 11 pelas setas. Traçam-se linhas de chamadas em A e B e, sobre estas, colocamos as cotas respectivas.
Figura 13
A figura 12 mostra o plano π'1 contendo o triângulo HFF', e na figura 12 o plano π'1 rebatido sobre π.
Figura 14
Figura 15
Na figura 14 vemos a escolha de AB ou da projeção HF, como charneira. O rebatimento do plano π1 sobre π, figura 15, também nos dá a VG da reta (A) (B) e do ângulo α que esta faz com π.
Figura 16
Na figura 16 o plano que contém o trapézio A', B', (A), (B) vai girar de 90° apondo-se sobre π' e determinando a VG de (A) (B). A projeção A'B' ou H'F' é utilizada como charneira. O que pode ser visto na figura 17.
Figura 17
Em resumo: o rebatimento de um segmento de reta, por exemplo (A) (B), nas posições perfil ou genérica, a partir de suas projeções em π e π', pode ser realizado sob o mesmo procedimento. Ou seja:
a.0) caso seja possível: determine os traços H, H' e F, F' da reta que contém o segmento (A) (B);
a.1) considere as projeções AB e A'B', como charneiras dos rebatimentos;
a.2) trace as linhas de chamadas pelas projeções A, B, A' e B' e pelos traços H' e F;
c) transporte apenas o afastamento de H e a cota de F', para as linhas de chamadas, determinando H1 e F'1. identifique as projeções em VG e os ângulos α e β que a reta faz com π e π' respectivamente.
OBS: α tem sempre vértice em H1 e β tem sempre vértice em F'1.
2.2.4.1.3.2) Método da Rotação
A rotação é um movimento relativamente duplo,composto. Ou seja, o movimento aplicado sobre uma das projeções implica no movimento, ao mesmo tempo, da outra projeção.
OBS: Um bom modelo de rotação pode ser visto nos elementos de um cone reto. 
Por exemplo:
Um cone reto, visto de frente, tem a forma de um triângulo isósceles (lembrar o conceito de figura e domínio). Nesta vista, a base do cone aparece como uma linha horizontal (base do triângulo isósceles), apesar de, na realidade, ser um círculo. Das infinitas geratrizes costumamos considerar somente as duas das extremidades. O mesmo cone reto, visto de cima, aparece como um círculo, e possui um centro (visível), que representa o vértice. Caso identifiquemos algumas geratrizes veremos que estas podem se apresentar, no sistema mongeano, como retas frontais, genéricas e perfis. Ora, sabemos que as geratrizes de um cone tem a mesma medida. Entretanto, olhando um cone de frente, veremos as geratrizes com tamanhos diferentes. Apenas as geratrizes do contorno aparente (lados iguais do triângulo isósceles), vistas de frente, aparecerão em VG. 
Aplicando esta consideração nas projeções de retas genéricas, temos:
2.2.4.1.3.2.1) Aplicando a rotação em uma reta de perfil ou genérica:
a.1) Escolhendo a projeção em π para aplicar a rotação.
Supondo que a reta seja (A) (B), a projeção em π é AB e em π´, A´B´.
Mantemos A fixo (centro da rotação) e giramos B (sentido horário (-) ou anti-horário (+)) até uma paralela a linha de terra que passe por A. Ou seja, com centro em A e raio AB, giramos B até uma paralela a linha de terra que passe por A, obtendo o ponto B1.
Na projeção A´B´ em π´, traçamos uma paralela à linha de terra passando por B´, que é o ponto que está sendo girado.
A seguir, traçamos uma linha de chamada por B1 até encontramos B1´ na paralela traçada anteriormente. Unimos A´ com B1´ obtendo a VG. 
OBS: Na realidade, com esta reta (A) (B), elaboramos a representação mongeana do cone, do mesmo modo que já descrevemos anteriormente.
a.2) Escolhendo a projeção em π´ para aplicar a rotação.
fazer o inverso do que foi proposto no item a.1.
2.2.4.1.3.3) Método da Mudança de Plano
A mudança de plano é um procedimento semelhante ao rebatimento.
Escolhemos uma das duas projeções.
Neste caso escolhemos a projeção AB em π. Neste caso, mudança de plano, o plano π'1, mostrado na figura 12, deve ser posicionado paralelo a projeção AB. Ou seja, não mais passando por AB.
Como próximo passo, observe a figura 13, em que o plano π'1 gira de 90°. Utilizaremos na mudança de plano, exatamente o mesmo procedimento realizado no rebatimento. 
O posicionamento de π'1 paralelo a projeção AB, significa que se decidiu por uma nova posição da linha de terra. Dai a identificação do método da mudança de plano frontal (que muito chamam de plano vertical) ou mudança do plano π'. 
Convencionalmente os tracinhos que identificam a linha de terra devem ser localizados em π. Assim, ao se fazer a mudança de plano deve-se observar os tracinhos convencionais na posição correta. A nova leitura das projeções, após a mudança de plano, identificará a posição perfil ou genérica passou a ser frontal. Ou seja, a mudança de plano π', tanto para uma posição perfil ou genérica, vai transformá-las em frontais. Dai, a VG em π'1.
A boa identificação das posições de uma reta e um bom conhecimento dos procedimentos que determinem a VG das retas, em especial, as de posições perfil e genérica, nos permite avançar para o estudos dos planos.
3) ESTUDO DO PLANO MONGEANO
a) todos os planos paralelos a π são horizontais. Consequentemente, os planos horizontais são perpendiculares ou ortogonais a π'. Caso se aponha uma reta sobre um plano horizontal, se verifica que esta pode assumir as posições: horizontal, fronto-horizontal e topo.
b) todos os planos paralelos a π' são frontais. Consequentemente, os planos frontais são perpendiculares ou ortogonais a π. Caso se aponha uma reta em um plano frontal, esta pode assumir as posições: frontal, fronto-horizontal e vertical.
c) todos os planos com pontos de mesma abscissa são perfis. De outro modo: todos os planos ortogonais a π e a π' ao mesmo tempo, são perfis. Apondo uma reta em um plano de perfil, esta pode assumir as posições: perfil, topo e vertical.
d) todos os planos perpendiculares ou ortogonais a π são verticais. Porém, quando paralelo a π' recebe o nome de frontal, como já vimos quando perpendicular ou ortogonal a π' recebe o nome de perfil, também já visto e quando é inclinado ou oblíquo a π' recebe o nome de vertical. Apondo uma reta em um plano vertical, esta pode assumir as posições: vertical, genérica e horizontal.
e) os planos perpendiculares ou ortogonais a π' recebem os nomes de perfil, topo ou horizontal. A posição topo, se refere ao plano que além de ortogonal ou perpendicular a π' e inclinado ou oblíquo a π. Apondo uma reta em um plano de topo, esta pode assumir as posições: topo, genérica e frontal.
f) o plano rampa ou fronto-horizontal deixa, de modo geral, traços fronto-horizontais em π e π'. Há caso especial em que o plano rampa passa pela linha de terra. Apondo uma reta em um plano rampa, esta pode assumir as posições: fronto-horizontal, perfil e genérica.
g) o plano genérico é inclinado ou oblíquo a π e π'. Seus traços se apresentam inclinados em π e π'. O traço de um plano genérico, em π é sempre uma reta horizontal. O traço de um plano genérico em π' é sempre uma reta frontal. O plano genérico possui retas de mesma abscissa (perfil) além de retas genéricas. Logo, das 7 (sete) posições que um plano pode assumir em relação a π e π', apenas o plano genérico possui 4 (quatro) retas: genérica, horizontal, frontal e perfil. Todos os outros planos possuem apenas 3(três).
Um plano pode ser identificado, em épura, por seus traços ou por uma figura.
Identificação de um plano pelos traços
Identificação de um plano a partir de uma figura (triângulo)
4) ESTUDO DE UMA FIGURA TRIDIMENSIONAL
� Luigi Cremona, geômetra italiano 1830-1903 convencionou o emprego de letras nas representações geométricas.
� Geometria Descritiva - criada por Gaspard Monge em 
� Alguns professores adotam também um pequeno círculo ou apenas um ponto.
� Esta conceituação pode ser utilizada em quase tudo aquilo que seja visível: linear, plano ou espacial.
� Quando o segmento de reta é nomeado, dispensamos a referência "de reta" e dizemos apenas segmento AB, segmento CD etc.
� A linha curva traçada com um compasso representa uma circunferência (é a figura). O interior desta figura é o círculo (domínio) e todo o infinito externo ao círculo é o ANTIDIMÍNIO.
� Os algoritmos de Lemoine serviram de motivação para a primeira tese de doutorado, defendida por I. Shamos em 1976, que o fez ser considerado o criador da Computação Gráfica.
� Lemoine, Emile, matemático francês [1840-1912], desenvolveu esta sua importante pesquisa em quatro memórias, publicadas entre 1888 e 1894. Mais tarde, absorvida a contribuição de numerosos outros matemáticos e já com feição didática, ela aparece em livro: Lemoine, E. - Géométrographie ou Art dês constructions géométriques, C. Naud Êd., Paris, 1902.
� A Geometria Cotada foi criada pelo geógrafo francês Felipe Buache, com o propósito de fazer o levantamento do canal da Mancha em 1737, a pedido de Napoleão.
� Gaspard Monge - (� HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/Beaune" \o "Beaune" �Beaune�, � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/10_de_maio" \o "10 de maio" �10 de maio� de � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/1746" \o "1746" �1746� — � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/Paris" \o "Paris" �Paris�, � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/28_de_julho" \o "28 de julho" �28 de julho� de � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/1818" \o "1818" �1818�) foi um � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica" \o "Matemática" �matemático� � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7a" \o "França" �francês�, criador da � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_descritiva" \o "Geometria descritiva" �geometria descritiva�.Sem ela - originalmente usada na � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia_militar" \o "Engenharia militar" �engenharia militar� – a enorme expansão da maquinaria do � HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XIX" \o "Século XIX" �século XIX� teria, provavelmente, sido impossível.
� A geometria analítica de René Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado Geometria, como um dos três apêndices do Discurso do Método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. 
� Geometrias não euclidianas.
� Lê-se pi e "pi índice linha", para evitar cacófagos como pilinha, celinha, a galinha, pelinha etc.).
� É comum se chamar o plano frontal (π´) de vertical. Entretanto, isto pode causar conflito quando se estuda as posições de planos em relação a π e π´ (lê-se pi e "pi índice linha", para evitar cacófagos como pilinha, celinha, a galinha, pelinha, telinha, é filinha etc.).
� Os semiplanos podem receber várias designações. O semiplano horizontal anterior pode ser identificado por πA (pi anterior), π+ (pi positivo) etc. O mesmo pode acorrer com os outros três semiplanos.
� É comum a inserção de um terceiro plano de projeção na geometria de Monge. Entretanto, isso estabeleceria outra geometria, pois o espaço passaria a ser estudados como composto por três linhas de terras, 12 (doze) quartos de planos e 8 (oito) triedros ou octantes. A épura seria diferente da proposta por Monge e o único triedro com abscissa, afastamento e cota positivos colocaria a terceira projeção à esquerda de π'. A inserção do terceiro plano na GD foi proposto por Gino Lória. Porém, este não apresentou um estudo consequente nem uma sistematização.
� Disponível em: http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual
� Diedro= di (dois) edros (faces, planos, superfícies). Logo, espaço compreendido entre dois planos.
� linha de chamada - são linhas imaginárias, auxiliares, que representam a trajetória ou as projeções de pontos , linhas e superfícies. Estas linhas são sempre paralelas ou ortogonais aos planos π e π´.
� As linhas de chamadas que aparecem nos planos π e π´ são projeções de linhas de chamadas imaginárias do espaço.
� Quando se diz "espaço mongeano" deve se considerar a linha de terra, os semiplanos e os diedros. Ou seja, nem sempre um ponto está em um diedro, ou espaço, pode estar também em um dos semiplanos ou, até mesmo na linha de terra.
� abscissa - distância de um ponto a um ponto 0 (zero) aleatório. Se positivo, à direita e se negativo, à esquerda.
� afastamento - distância de um ponto para π´.
� cota - sinônimo de altura. Logo, distância de um ponto para π.
� Monge não utilizava um terceiro plano para referenciar a abscissa. Caso Monge o utilizasse a sua geometria seria baseada em octantes, triedros etc. Não obstante, o Desenho Técnico emprega três ou mais planos para praticas as projeções, o que faz parecer que Monge também se utilizou de um terceiro plano. O geômetra Gino Lória, sugeriu a inserção do terceiro plano de projeção na Geometria Descritiva. Porém, esta sugestão não foi aceita nem as consequências desta inclusão foi explorada. Há casos de utilização de um plano designado π´´ (pi duas linhas) o que pode provocar erro conceitual, criação de uma nova geometria ou confirmação da proposta de Lória. Para suprir as possíveis dificuldades quanto a uma necessária terceira representação, pode se recorrer a uma mudança de posição do plano π ou do plano π', designando-os, por exemplo, de π1 (pi primo) ou π'1 (pi índice linha primo).
� Concepção: considerando a representação de uma ideia, de um objeto físico, um modelo digital etc.
� Observa-se que o autor da figura 5 nomeou os semiplanos de A, B, C e D. Sendo o A o semiplano frontal superior, o B semiplano frontal inferior, o C semiplano horizontal posterior e o D semiplano horizontal anterior. Existiu alguma lógica nesta nomeação? Acredito que não. Os semiplanos poderiam ser nomeados na ordem alfabética, no sentido anti-horário e a partir do semiplano horizontal anterior.
� O conceito de "representação", "projeção", entre outros utilizados nas diversas geometrias, é muito complexo, apesar de ser bastante utilizado e repetido desde o ensino médio. Entretanto, nem sempre o estudante percebe a relação que existe entre um "ente real", ou "ente físico", "objeto original", "imagem" etc. e suas "representações", "projeções" etc. Certamente vimos esta situação nos estudos das relações métricas de um triângulo retângulo quando estudamos que b.c+ a.h, b2=a.n, c2= a.m, h2=m.n, onde m e n são "projeções" dos catetos. Ainda no ensino médio, vimos que o seno e o cosseno são "projeções" do raio do círculo trigonométrico. Porém, possivelmente, a dificuldade de entendimento destes conceitos se deve pela falta de reflexão sobre "o que é uma projeção" e qual é "a relação desta com o elemento que lhe serviu de origem". Ora, afinal, não se deve confundir uma "pessoa" com a sua "sombra", sua "foto", seu "desenho", sua "imagem digitalizada", seu "clone", sua "descrição falada ou escrita", seu "parente", seu "nome" etc. Como se deduz: a pessoa é o "ser em si", "único" "real?" e pode ter inúmeras "representações".
� Sugiro a leitura de textos sobre XXXXXXXXXXXXX
� Uma reta é paralela a um plano quando seu ângulo com este plano é de 0°(zero grau). Ou ainda, uma reta é paralela a um plano quando não tem traço com este plano (traço é o lugar onde uma reta "fura" um plano). Ou , uma reta é paralela a um plano quando estes "não se encontram" ou," se encontram no infinito?". Obs.: o conceito "paralelo" merece um estudo mais aprofundado.
� A posição inclinada é também designada por oblíqua entre outras possíveis denominações. importa perceber que este tipo de posição se refere aos ângulos diferentes de 0° ou 90° que estas retas formam com um plano.
� Perpendicular: forma um ângulo de 90° com o plano. É ortogonal ao plano etc.
� Um bom exemplo prático para se entender esta consideração é uma vara de pesca (reta), a linha e a "sombra" da vara na superfície d'água: Quando o ângulo da vara aumenta em relação a superfície d'água a linha sai da água e a sombra diminui. Ao contrário, quando este ângulo diminui, a linha entra na água (diminui) e a sombra (projeção) aumenta. Podemos relacionar a linha com o seno e a sombra com o cosseno. A vara é o raio unitário círculo trigonométrico. Teorizando esta situação verifica-se que a sombra e a linha só terá a mesma medida da vara, quando esta estiver na posição de 0° e 90°. Ou seja, cosseno de 0° = 1 e seno de 90° também é igual a 1.
� No caso da reta perpendicular a um plano se pode considerar um caso particular de projeção, pois a reta se confunde com uma "projetante".
� traço de uma reta é onde ela "fura" o plano. É o único ponto comum à reta e ao plano.
� este conceito "projeção de medida menor" é percebido quando se tem um segmento da reta. Supondo um segmento da reta , AB, medindo 1 (um) metro. Sua projeção será menor do que 1 (um) metro, quando a reta for inclinada ao plano.
� Neste caso, se a reta tem um segmento AB medindo 1(um) metro e é paralela ao plano, a sua projeção no plano medirá, também, 1(um) metro.
� É comum cometermos o erro conceitual de chamar a reta de horizontal, vertical, frontal, topo, perfil, fronto-horizontal e genérica, além de outras denominações. Porém, este costume ajuda a corroborar com a confusão entre o ente "real" e a sua "posição", "representação" etc. A reta é sempre a reta, única, euclidiana, o que vamos estudar são as suas posições em "relação" aos planos mongeanos π e π'.
� quando dizemos reta, nos referimos a posição desta, posto que, a reta é sempre ela mesma, imutável, infinita. O que muda é a sua posição relativa.
� O terceiro plano que aparece na foto tem apenas a função de sustentar a reta (arame). Para não significar um terceiro plano, resolvemos chamá-lo de π'1 (pi índice linha primo) significando uma segunda posição para o plano π'.
� traço: ponto onde a reta "fura" o plano.Melhor: ponto de interseção da reta com um plano.