EP4-MD2-Tutor

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
EP 4 - GABARITO
Questão 1: Gráfico da função f .
Solução:
a) lim
x→0
f (x) = 1 c) lim
x→2
f (x) = 0 e) lim
x→4
f (x) = 0
b) lim
x→1
f (x) =−3 d) lim
x→3
f (x) = 1 f ) lim
x→5
f (x) =−3
Questão 2: Gráfico da função h.
1
Solução:
a) lim
x→0
h(x) = 1 c) lim
x→1
h(x) = 2 e) h(1) = 1
b) lim
x→−1
h(x) = 2 d) lim
x→3
h(x) = 2 f ) h(3) = 2
Nota: Observe que lim
x→1
h(x) = 2 6= h(1) = 1. Isso mostra que nem sempre o valor do limite coin-
cide com a imagem da função no ponto em questão. Este fato ocorre porque, conceitualmente,
lim
x→a
h(x) representa apenas o comportamento das imagens de h em pontos próximos de a e não
o valor h(a) em si. Pode acontecer de lim
x→a
h(x) = h(a), como é o caso do item (d) desta questão,
onde lim
x→3
h(x) = h(3) = 2. Neste caso, como há coincidência no item (d), dizemos que a função h é
contínua em x = 3, mas isso é assunto para as próximas aulas.
Questão 3: Gráfico da função g .
Solução:
a) lim
x→0
g (x) = 1 c) lim
x→7
g (x) = 0 e) lim
x→8
g (x) = 5 g) lim
x→10
g (x) = 5 i) lim
x→1
g (x) = 2
b) lim
x→2
g (x) = 5 d) lim
x→5
g (x) =−4 f ) lim
x→−3
g (x) =−1 h) lim
x→3
g (x) = 0 j) lim
x→6
g (x) =−3
k) g (1) = 1 l) g (6) =−2
Nota: Mais uma vez, perceba que lim
x→1
g (x) = 2 6= g (1) = 1 e lim
x→6
g (x) = −3 6= g (6) = −2. Observe
também que, uma vez que é conhecido o gráfico de uma função, não precisamos de sua lei de
definição para encontrar os limites pedidos.
Questão 4: Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→−3
x2 −9
2x2 +7x +3
b) lim
x→0
(4+x)2 −16
x
c) lim
x→−2
x +2
x3 +8
d) lim
x→9
9−x
3−p
x
Solução:
a) lim
x→−3
x2 −9
2x2 +7x +3
= lim
x→−3
(x +3)(x −3)
(2x +1)(x +3)
= lim
x→−3
x −3
2x +1
= −3−3
2(−3)+1
= 6
5
.
b) lim
x→0
(4+x)2 −16
x
= lim
x→0
16+8x +x2 −16
x
= lim
x→0
8x +x2
x
= lim
x→0
x(8+x)
x
= lim
x→0
(8+x) = 8.
2
c) lim
x→−2
x +2
x3 +8
= lim
x→−2
x +2
(x +2)(x2 −2x +4)
= lim
x→−2
1
x2 −2x +4
= 1
12
.
d) lim
x→9
9−x
3−p
x
= lim
x→9
(3+p
x)(3−p
x)
3−p
x
= lim
x→9
(3+p
x) = 6.
Questão 5: Considere a função f : [0,+∞) →R definida por
f (x) =

p
x −p
2
x −2
, se 0 ≤ x 2
.
Calcule:
a) lim
x→0
f (x) c) lim
x→3
f (x)
b) lim
x→1
f (x) d) lim
x→7
f (x)
Solução:
a) lim
x→0
f (x) = lim
x→0
p
x −p
2
x −2
= −p2
−2
=
p
2
2
.
b) lim
x→1
f (x) = lim
x→1
p
x −p
2
x −2
=
p
1−p
2
1−2
= 1−p
2
−1
=p
2−1.
c) lim
x→3
f (x) = lim
x→3
x2 −49
x −7
= 9−49
9−7
= −40
−2
= 20.
d) lim
x→7
f (x) = lim
x→7
x2 −49
x −7
= lim
x→7
(x −7)(x +7)
x −7
= lim
x→7
(x +7) = 14.
Questão 6: Considere a função g :R→R definida por
g (x) =

x +4
5−
p
x2 +9
, se x 6= −4
−3, se x =−4
.
Calcule:
a) lim
x→−1
g (x) c) lim
x→−4
g (x) e) O valor de g (−4)
b) lim
x→0
g (x) d) lim
x→−2
g (x) f ) O valor de g (−2)
Solução:
a) lim
x→−1
g (x) = lim
x→−1
x +4
5−
p
x2 +9
= −1+4
5−
√
(−1)2 +9
= 3
5−p
10
.
b) lim
x→0
g (x) = lim
x→0
x +4
5−
p
x2 +9
= 0+4
5−
√
(0)2 +9
= 4
5−p
9
= 4
5−3
= 4
2
= 2.
3
c) lim
x→−4
g (x) = lim
x→−4
x +4
5−
p
x2 +9
= lim
x→−4
x +4
5−
p
x2 +9
.
5+
p
x2 +9
5+
p
x2 +9
= lim
x→−4
(x +4)(5+
p
x2 +9)
25− (x2 +9)
=
lim
x→−4
(x +4)(5+
p
x2 +9)
−(x2 −16)
= lim
x→−4
(x +4)(5+
p
x2 +9)
−(x +4)(x −4)
= lim
x→−4
5+
p
x2 +9
−(x −4)
= 5+
√
(−4)2 +9
−(−4−4)
=
5+p
25
−(−16)
= 10
16
= 5
8
. Em resumo, lim
x→−4
g (x) = 5
8
.
d) lim
x→−2
g (x) = lim
x→−2
x +4
5−
p
x2 +9
= −2+4
5−
√
(−2)2 +9
= 2
5−p
4+9
= 2
5−p
13
.
e) g (−4) =−3.
f) g (−2) = 2
5−p
13
.
Questão 7: Considere a função h : R \ {−5,5} → R definida por h(x) = |x|−5
x2 −25
. Calcule lim
x→−5
h(x) e
lim
x→5
h(x).
Solução:
• lim
x→−5
h(x) = lim
x→−5
|x|−5
x2 −25
= lim
x→−5
−x −5
(x −5)(x +5)
= lim
x→−5
−(x +5)
(x −5)(x +5)
= lim
x→−5
−1
x −5
= 1
10
.
• lim
x→5
h(x) = lim
x→5
|x|−5
x2 −25
= lim
x→5
x −5
(x −5)(x +5)
= lim
x→5
1
x +5
= 1
10
.
Nota: Observe que −5 ∉ Dom(h) e 5 ∉ Dom(h), isto é, não é possível calcular h(-5) e nem h(5). No
entanto, os limites lim
x→−5
h(x) e lim
x→5
h(x) existem (são calculáveis)! Novamente, isto evidencia que o
cálculo do limite trata do estudo do comportamento das imagens de uma função h na vizinhança
de um ponto a dado e não da imagem da função em a.
4