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Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 1 
Álgebra Linear 
 
 
1. MATRIZES 
 
 
1.1 Introdução 
 
- Ordenam e simplificam 
- Fornecem novos métodos de resolução 
 
Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
 
 
Exemplo: quando obtemos os dados referentes a altura, peso e idade 
de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela: 
 
 Altura(m) 
 
Massa(kg) Idade(anos) 
Pessoa 1 
 
a11 a12 a13 
Pessoa 2 
 
a21 a22 a23 
Pessoa 3 
 
a31 a32 a33 
Pessoa 4 
 
a41 a42 a43 
 
 
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz: 
 
[ ] 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 2 
Outros exemplos: 
 
 
2 1 4
4 7 0
2 1 2
x
x
−





/
 [ ]4 2 1 [ ]3x 
 
 
 
Os elementos de uma matriz podem ser números(reais ou 
complexos)., funções, ou ainda outras matrizes. 
 
 
Representamos uma matriz de m linhas por n colunas por: 
 
 
Amxn = 
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
! ! ! !






 = [aij]mxn 
 
 
Pode-se usar colchetes, parênteses ou duas barras: 
 
 
1 3
5 8



 ou 
x y v
y
2 5 7
5 0
 
 
 
 
NOTA! Para localizar um elemento de uma matriz, descreve-se a 
linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está. 
 
 
Definição: Duas matrizes Amxn= [aij]mxn e Brxs = [bij]rxs são iguais A = 
B, se elas têm o mesmo número de linhas e colunas, isto é, m = r e n = 
s, e todos os seus elementos correspondentes são iguais : aij = bij . 
 
 
Exercícios: 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 3 
1. Fornecer dois exemplos de matrizes iguais 
2. Apresente uma matriz de dimensão 3x3 e identifique os seguintes 
elementos: a11, a22, a33, a21, a12 
3. Faça uma tabela com dados de quatro colegas da sala (exemplos: 
dia de nascimento, mês, ano, tamanho do calçado). Represente esta 
tabela na forma de uma matriz. 
 
 
 
1.2 Tipos de Matrizes 
 
 
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos 
por Amxn: 
 
 
MATRIZ QUADRADA é aquela cujo número de linhas é igual ao 
número de colunas (m = n) 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
NOTA! No caso de matrizes quadradas Amxn, costuma-se dizer que A 
é uma matriz de ordem m. 
 
 
MATRIZ NULA é aquela em que aij = 0, para todo i e j. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
MATRIZ-COLUNA é aquela que possui uma única coluna (n=1). 
 
Exemplos: 
MATRIZ-LINHA é aquela onde m = 1. 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 4 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ DIAGONAL é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, 
para i ≠≠≠≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ IDENTIDADE QUADRADA é aquela em que aii = 1 e aij = 
0, para i ≠≠≠≠ j. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR é a matriz quadrada onde 
todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, 
para i > j . 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR é a matriz quadrada onde 
todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, 
para i < j . 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 5 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ SIMÉTRICA é aquela onde m = n e aij = aji. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
Identificar o tipo de matriz: 
 
a) ( )0 
 
b) 0 0 0 
 
c)
1 0
0 2



 
 
d) 
1 0 0 0
2 2 0 0
2 2 3 0
2 2 2 4






 
 
e)
1 0
0 1



 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 6 
 
1.3 Operações com Matrizes 
 
Naturalmente, temos a necessidade de efetuarmos certas operações 
com matrizes. Por exemplo, consideremos as tabelas, que descrevem 
a produção de grãos em dois anos consecutivos. 
 
Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o primeiro ano 
 soja feijão arroz milho 
Região A 3000 200 400 600 
Região B 700 350 700 100 
Região C 1000 100 500 800 
 
 
Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o segundo ano 
 soja feijão arroz milho 
Região A 5000 50 200 0 
Região B 2000 100 300 300 
Região C 2000 100 600 600 
 
 
 
Se quisermos montar uma tabela com a produção por produto e por 
região nos dois anos em conjunto, teremos que somar os elementos 
correspondentes das duas tabelas anteriores: 
 
 
3000 200 400 600
700 350 700 100
1000 100 500 800
5000 50 200 0
2000 100 300 300
200 100 600 600
8000 250 600 600
2700 450 1000 400
3000 200 1100 1400






+






=






 
 
ou seja 
 
 
Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante os dois anos 
 soja feijão arroz milho 
Região A 8000 250 600 600 
Região B 2700 450 1000 400 
Região C 3000 200 1100 1400 
 
 
 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 7 
Agora, existe uma possibilidade da produção do terceiro ano ser o 
triplo do produzido no primeiro ano em função das condições 
climáticas e financeiras. Assim, a estimativa para o próximo ano 
será: 
 
 
 
 
Acabamos de efetuar, neste exemplo, duas operações com matrizes: 
soma e multiplicação por um número, que são definidas 
formalmente, a seguir. 
 
 
ADIÇÃO 
 
 
A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn = [aij] e Bmxn = [bij], é 
uma matriz m x n, que denotaremos A + B, cujos elementos são 
somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é, 
 
A + B = [ aij + bij]mxn 
 
 
Exemplo: 
 
 
1
4
2
1
0
5
0
2
1
4
5
0
−






+ −






=






.....
.....
.....
.....
.....
.....
 
 
 
 
Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, 
temos: 
i. A + B = B + A, comutativa 
ii. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C, associativa 
iii. A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn 
 
 
3
3000 200 400 600
700 350 700 100
1000 100 500 800
9000 600 1200 1800
2100 1050 1000 400
3000 300 1500 2400
.






=






Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 8 
 
 
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 
 
Seja Amxn = [aij]mxn e k um número, então definimos uma nova matriz 
 
k . A = [k.aij]mxn 
 
 
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m x n e 
números k, k1 e k2, temos: 
 
i. k(A + B) = kA + kB 
ii. (k1 + k2) A = k1A + k2B 
iii. 0. A = 0mxn 
iv. k1(k2A) = (k1k2)A 
 
 
TRANSPOSIÇÃO 
 
Dada uma matriz Amxn = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz 
A'= A'mxn = [bij]mxn, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji. 
A' é denominada transposta de A. 
 
Exemplo: 
 
Propriedades: 
 
i. Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua 
transposta, isto é, A = A'. Exemplo:
1 3
3 2



 . 
ii. A'' = A . Isto é , a transposta da transposta de uma matriz é ela 
mesma. 
iii. (A + B)' = A'+ B'. Em palavras, a transposta de uma soma é 
igual à soma das transpostas. 
iv. (k A)'= kA', onde k é um escalar qualquer. 
 
 
A e A
x
x
= −






=




0
2
1
4
5
0 3 2
2 3
............... '
.... .... .....
..... ...... ......
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos daCunha Migliano 9 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
 
Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das 
vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. 
 
 A B C 
 
Alimento I 
Alimento II 
 
 
4 3 0
5 0 1



 
 
 
 
 
Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, 
quanto consumiremos de cada tipo de vitamina? 
 
 
Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) 
pela matriz "consumo": 
 
 
[ ]5 2 
 
 
A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada 
vitamina é o "produto": 
 
 
 
[ ]5 2 . 4 3 05 0 1



 =[ 5.4+2.5 5.3+2.0 5.0+2.1 ] = [30 15 2] 
 
 [ ]1x2 . [ ]2x3 = [ ]1x3 
 
 
 
Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C. 
 
 
 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 10 
Outro problema que poderemos considerar em relação aos dados 
anteriores é o seguinte: 
 
 
Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteúdo 
vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina A, B e 
C são respectivamente, R$1,5 , R$3 e R$5 por unidade, quanto 
pagaríamos pela porção de alimento indicada anteriormente? 
 
 
 
[ ] [ ]30 15 2
15
3
5
30 15 15 3 2 5 100.
,
( , ) ( ) ( ) [ ]






= + + = 
 
 
 
[ ] 1x3 . [ ] 3x1 = [ ]1x1 
 
 
 
Ou seja, pagaríamos R$100 
 
 
Sejam A = [aij]mxn e B = [brs]nxp. Definimos AB = [cuv]mxp onde 
 
c a b a b a buv uk kv u kv un nv
k
n
= = + +
=
∑ 1
1
... 
 
 
Observações: 
i. Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o 
número de colunas da primeira for igual ao número de linhas 
da segunda, isto é, n = l. Além disso, a matriz-resultado C = AB 
será de ordem m x p. 
ii. O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz 
produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha 
da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima 
coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 11 
Exemplos: 
 
 
 
 
2 1
4 2
5 3
1 1
0 4






−


. = 
 
 
 
 
 
 
1 1
0 4
2 1
4 2
5 3
−









=. 
 
 
 
 
 
1 0
2 3
5 4
0 1
0
3
6
8
1
2
−





 −



 =. 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
i. Em geral AB≠≠≠≠BA 
ii. A I = IA = A 
iii. A (B+C)=AB+AC 
iv. (A+B)C=AC+BC 
v. (AB)C=A(BC) 
vi. (AB)'= B'A' 
vii. 0.A=0 e A.0 = 0 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 12 
EXERCÍCIOS 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 13 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 14 
2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
2.1 Introdução 
 
A preocupação do homem foi sempre descrever a natureza para 
melhor entender os fenômenos físicos. Por exemplo, sabemos que o 
hidrogênio (H2) reage com o oxigênio (O2) para produzir a água 
( H2O). 
 
 
Quanto de hidrogênio e oxigênio precisamos? 
 
 
Podemos descrever esta mudança do seguinte modo: 
 
xH2 + yO2 →→→→ zH2O. 
 
Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada 
elemento no início e fim da reação deve ser igual ao número de 
átomos desse mesmo elemento, no fim da reação. Assim devemos ter 
para o hidrogênio 2x = 2z, e para o oxigênio, 2y = z. Portanto, as 
nossas incógnitas x, y e z devem satisfazer as equações: 
 
 
2 2 0
2 0
x z
y z
− =
− =
 
 
 
 
Para esse sistema de equações nós encontraremos muitas soluções 
distintas, e só teremos resolvido o sistema se expressarmos o conjunto 
de todas as soluções. 
 
Exemplo: S= { x=z, y=z/2, ∀∀∀∀ z ∈∈∈∈R}. 
 
 
Desta forma, o nosso objetivo nessa aula é estudar um método para a 
resolução de sistemas lineares em geral. 
 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 15 
Em primeiro lugar, precisamos aprender um método que possa 
substituir um sistema complexo de muitas incógnitas e constantes por 
um outro sistema simples e equivalente ao original. 
 
Veja esse exemplo: 
 
( ) ........................i
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 3 1
2 5 4 4
3 2 5
1 4 3 1
2 5 4 4
1 3 2 5
+ + =
+ + =
− − = − −









 
 
( ) ........................II
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 3 1
0 3 2 2
0 7 5 4
1 4 3 1
0 3 2 2
0 7 5 4
+ + =
− − =
− − =
− −
− −









 
 
( ) / / ........................ / /III
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 3 1
0 2 3 2 3
0 7 5 4
1 4 3 1
0 1 2 3 2 3
0 7 5 4
+ + =
+ + = −
− − =
−
− −









 
 
 
( )
/ /
/ /
/ /
........................
/ /
/ /
/ /
IV
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 1 3 11 3
0 2 3 2 3
0 0 1 3 2 3
1 0 1 3 11 3
0 1 2 3 2 3
0 0 1 3 2 3
+ + =
+ + = −
+ − = −
−
− −









 
 
( )
/ /
/ / ........................
/ /
/ /V
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 1 3 11 3
0 2 3 2 3
0 0 2
1 0 1 3 11 3
0 1 2 3 2 3
0 0 1 2
+ + =
+ + = −
+ + =
−









 
 
 
( ) ........................VI
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 0 3
0 0 2
0 0 2
1 0 0 3
0 1 0 2
0 0 1 2
+ + =
+ + = −
+ + =
−









 
 
ou ainda, 
x
x
x
1
2
3
3
2
2
=
= −
=



 
 
Todas as equações ( I - VI) produzem sempre sistemas com o mesmo 
conjunto-solução. 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 16 
2.2 Sistemas e Matrizes 
 
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um 
conjunto de equações do tipo: 
 
 
 
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x bm
n n
n n
m m mn n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
2
+ + + =
+ + + =
+ + + =





...
...
...
! ! ! !
 
 
com aij, 1≤≤≤≤ i ≥≥≥≥ m, 1≤≤≤≤ j ≥≥≥≥ n, números reais (ou complexos). 
 
Uma solução do sistema acima é uma n-upla de números ( x1, 
x2, x3, ..., xn) que satisfaça simultaneamente estas m equações. 
 
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente 
se toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do 
outro. 
 
Podemos escrever o sistemas de equações numa forma matricial: 
 
a a a
a a a
a a a
x
x
x
b
b
b
n
n
m m mn n m
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
+ + +
+ + +
+ + +












=






...
...
...
.
! ! ! ! ! !
 
 
 
ou A . X = B onde 
 
X
x
x
xn
=






.
1
2
!
 e B
b
b
bm
=






1
2
!
 
 
A
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
=
+ + +
+ + +
+ + +






11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
.
! ! ! !
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 17 
 
Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é:a a a b
a a a b
a a a b
n
n
m m mn m
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
.
! ! ! !






 
 
 
que chamamos de matriz ampliada do sistema. Observe que no 
exemplo de simplificação de matriz trabalhamos com a matriz 
ampliada do sistema. 
 
 
 
2.3 Operações Elementares 
 
 
São três as operações elementares sobre linhas de uma matriz. 
 
i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas: Li ↔↔↔↔ Lj; 
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k Li ↔↔↔↔ 
Lj 
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a 
j-ésima linha: Li ↔↔↔↔ Li + kLj. 
 
Exemplos: 
 
1 0
4 1
3 4
1 0
3 4
4 1
−
−






→ −
−






 para L2 ↔↔↔↔ L3 
 
1 0
4 1
3 4
1 0
12 3
3 4
−
−






→ −
−






 para L2 ↔↔↔↔ 3 L2 
 
1 0
4 1
3 4
1 0
4 1
1 4
−
−






→ −
−






 para L3 ↔↔↔↔ L3 + 2L1 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 18 
Se A e B são matrizes M x n, dizemos que B é linha equivalente a A, 
se B for obtida de A por meio de um número finito de operações 
elementares sobre as linhas de A. 
 
Notação A →→→→ B ou A ∼∼∼∼ B 
 
Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são 
equivalentes. 
 
 
 
Exercícios: 
 
 
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, 
associadas aos novos sistemas. 
 
 
2 3 11
4 3 2 0
6
3 4
x y z
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
+ + =
+ + =





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 19 
2.4 Forma Escada 
 
2.4.1 Definição - Uma matriz m x n é linha reduzida à forma escada 
se : 
 
a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. 
Exemplos: 
0 1 4
1 0 3
0 0 1






 
0 1 0 0
1 3 4 1
0 0 0 1
0 0 1 3






 
1 1 4
1 5 3
1 2 2






 
 
b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma 
linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. 
Exemplos: 
0 1 0
1 0 0
0 0 1






 
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0






 
 
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, 
daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo). 
Exemplo: 
 
 
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0






 
 
d) Se as linhas 1,...., r são as linhas não nulas, e se o primeiro 
elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki , então 
k1<k2<..<ki< ki+1<...<kr. 
 
Esta última condição impõe a forma escada à matriz: 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 20 
 
Isto significa que o número de zeros precedendo o primeiro elemento 
não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente 
linhas nulas, se houver. 
 
 
Exercícios: 
 
Defina se é forma escada ou não as seguintes matrizes: 
 
a)
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
−






 segunda não é satisfeita 
 
b)
0 2 1
1 0 3
0 0 0
−






 primeira e quarta não são satisfeitas 
 
c)
0 1 3 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 1 2
−
−






 primeira e terceira não são satisfeitas 
 
d) 
0 1 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
−






 É forma escada 
 
 
 
2.4.2 Teorema - Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única 
matriz-linha reduzida à forma escada. 
 
2.4.3 Definição - Dada a matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha 
reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, 
denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de 
A é o número n-p. 
 
 
NOTA : Dada uma matriz A qualquer, para achar seu posto é 
necessário encontrar primeiro sua matriz-linha reduzida à forma 
escada, e depois contar suas linhas não nulas. O número encontrado é 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 21 
o posto de A. A nulidade é a diferença entre o número de colunas de A 
e o posto. 
 
Exercícios: 
 
1. Encontre o posto e a nulidade de A, onde 
 
 
A
o
= −
−






1 2 1
1 0 3 5
1 2 1 1
 
 
 
 L2 = L2 + L1 e L3 = L3 - L1 
1 2 1 0
0 2 4 5
0 4 0 1−






→ 
L2 = L2/2 
1 2 1 0
0 1 2 5 2
0 4 0 1
/
−






→ 
L1 = L1 - 2 x L2 e L3 = L3 +4 x L2 
1 0 3 5
0 1 2 5 2
0 0 8 11
− −






→/ 
 
 
L3 = L3/8 
1 0 3 5
0 1 2 5 2
0 0 1 11 8
− −






→/
/
 
L1 = L1 + 3 x L3 e L2 = L2 - 2 x L3 
1 0 0 7 8
0 1 0 1 4
0 0 1 11 8
−
−






/
/
/
 
 
O posto de A é 3 e a nulidade é 4-3 = 11. 
Esta é a matriz ampliada de um sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Encontre o posto e a nulidade de A, onde 
 
 
A =
−
−






2 1 3
1 4 2
1 5 1
4 16 8
 
 
Resposta: posto é 2, nulidade é 1. A matriz-linha reduzida à forma 
escada é 
1 0 14 9
0 1 1 9
0 0 0
0 0 0
/
/






. 
 
 
 
 
2.5 Soluções de um Sistema de Equações Lineares 
 
Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas 
 
 
 
 
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x bm
n n
n n
m m mn n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
2
+ + + =
+ + + =
+ + + =





...
...
...
! ! ! !
 
 
 
 
cujos coeficientes aij e termos constantes bi são números reais (ou 
complexos). 
 
 
Este sistema pode ter: 
 
i) uma única solução: 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 23 
X
x
x
xn
=






.
1
2
!
 
 
Neste caso, o sistema é denominado possível (compatível) e 
determinado. 
 
ii) infinitas soluções 
 
Neste caso, o sistema é denominado possível e indeterminado. 
 
 
iii) nenhuma solução. 
 
Neste caso, o sistema é denominado impossível ( incompatível). 
 
 
2.5.1 Teoremas 
 
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e 
somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da 
matriz dos coeficientes. 
ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será 
única. 
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos 
escolher n - p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas 
em função destas. O grau de liberdade do sistema é dito ser n - 
p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.6 Exercícios 
 
1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, 
associadas aos novos sistemas. 
 
2 3 11
4 3 2 0
6
3 4
x y z
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
+ + =
+ + =





 
 
 
 
 
2. Descreva todas as possíveis matrizes 2 x 2, que estão na forma 
escada reduzida por linhas. 
 
 
 
 
3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. 
 
a)
1 2 3 1
2 1 2 3
3 1 2 3
− −
− +
+






 b) 
0 1 3 2
2 1 4 3
2 3 2 1
−
− +
−






 c)0 2 2
1 1 3
3 4 2
2 3 1
−
−






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão anterior. 
 
 
Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 25 
 
3. DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA

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