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Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 1 Álgebra Linear 1. MATRIZES 1.1 Introdução - Ordenam e simplificam - Fornecem novos métodos de resolução Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo: quando obtemos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela: Altura(m) Massa(kg) Idade(anos) Pessoa 1 a11 a12 a13 Pessoa 2 a21 a22 a23 Pessoa 3 a31 a32 a33 Pessoa 4 a41 a42 a43 Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz: [ ] Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 2 Outros exemplos: 2 1 4 4 7 0 2 1 2 x x − / [ ]4 2 1 [ ]3x Os elementos de uma matriz podem ser números(reais ou complexos)., funções, ou ainda outras matrizes. Representamos uma matriz de m linhas por n colunas por: Amxn = a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ! ! ! ! = [aij]mxn Pode-se usar colchetes, parênteses ou duas barras: 1 3 5 8 ou x y v y 2 5 7 5 0 NOTA! Para localizar um elemento de uma matriz, descreve-se a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está. Definição: Duas matrizes Amxn= [aij]mxn e Brxs = [bij]rxs são iguais A = B, se elas têm o mesmo número de linhas e colunas, isto é, m = r e n = s, e todos os seus elementos correspondentes são iguais : aij = bij . Exercícios: Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 3 1. Fornecer dois exemplos de matrizes iguais 2. Apresente uma matriz de dimensão 3x3 e identifique os seguintes elementos: a11, a22, a33, a21, a12 3. Faça uma tabela com dados de quatro colegas da sala (exemplos: dia de nascimento, mês, ano, tamanho do calçado). Represente esta tabela na forma de uma matriz. 1.2 Tipos de Matrizes Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por Amxn: MATRIZ QUADRADA é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) Exemplos: NOTA! No caso de matrizes quadradas Amxn, costuma-se dizer que A é uma matriz de ordem m. MATRIZ NULA é aquela em que aij = 0, para todo i e j. Exemplos: MATRIZ-COLUNA é aquela que possui uma única coluna (n=1). Exemplos: MATRIZ-LINHA é aquela onde m = 1. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 4 Exemplos: MATRIZ DIAGONAL é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i ≠≠≠≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos. Exemplos: MATRIZ IDENTIDADE QUADRADA é aquela em que aii = 1 e aij = 0, para i ≠≠≠≠ j. Exemplos: MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR é a matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j . Exemplos: MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR é a matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i < j . Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 5 Exemplos: MATRIZ SIMÉTRICA é aquela onde m = n e aij = aji. Exemplos: EXERCÍCIOS: Identificar o tipo de matriz: a) ( )0 b) 0 0 0 c) 1 0 0 2 d) 1 0 0 0 2 2 0 0 2 2 3 0 2 2 2 4 e) 1 0 0 1 Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 6 1.3 Operações com Matrizes Naturalmente, temos a necessidade de efetuarmos certas operações com matrizes. Por exemplo, consideremos as tabelas, que descrevem a produção de grãos em dois anos consecutivos. Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o primeiro ano soja feijão arroz milho Região A 3000 200 400 600 Região B 700 350 700 100 Região C 1000 100 500 800 Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante o segundo ano soja feijão arroz milho Região A 5000 50 200 0 Região B 2000 100 300 300 Região C 2000 100 600 600 Se quisermos montar uma tabela com a produção por produto e por região nos dois anos em conjunto, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores: 3000 200 400 600 700 350 700 100 1000 100 500 800 5000 50 200 0 2000 100 300 300 200 100 600 600 8000 250 600 600 2700 450 1000 400 3000 200 1100 1400 + = ou seja Produção de grãos(em milhares de toneladas) durante os dois anos soja feijão arroz milho Região A 8000 250 600 600 Região B 2700 450 1000 400 Região C 3000 200 1100 1400 Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 7 Agora, existe uma possibilidade da produção do terceiro ano ser o triplo do produzido no primeiro ano em função das condições climáticas e financeiras. Assim, a estimativa para o próximo ano será: Acabamos de efetuar, neste exemplo, duas operações com matrizes: soma e multiplicação por um número, que são definidas formalmente, a seguir. ADIÇÃO A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn = [aij] e Bmxn = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é, A + B = [ aij + bij]mxn Exemplo: 1 4 2 1 0 5 0 2 1 4 5 0 − + − = ..... ..... ..... ..... ..... ..... Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: i. A + B = B + A, comutativa ii. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C, associativa iii. A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula mxn 3 3000 200 400 600 700 350 700 100 1000 100 500 800 9000 600 1200 1800 2100 1050 1000 400 3000 300 1500 2400 . = Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 8 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Seja Amxn = [aij]mxn e k um número, então definimos uma nova matriz k . A = [k.aij]mxn Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m x n e números k, k1 e k2, temos: i. k(A + B) = kA + kB ii. (k1 + k2) A = k1A + k2B iii. 0. A = 0mxn iv. k1(k2A) = (k1k2)A TRANSPOSIÇÃO Dada uma matriz Amxn = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz A'= A'mxn = [bij]mxn, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = aji. A' é denominada transposta de A. Exemplo: Propriedades: i. Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, isto é, A = A'. Exemplo: 1 3 3 2 . ii. A'' = A . Isto é , a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. iii. (A + B)' = A'+ B'. Em palavras, a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. iv. (k A)'= kA', onde k é um escalar qualquer. A e A x x = − = 0 2 1 4 5 0 3 2 2 3 ............... ' .... .... ..... ..... ...... ...... Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos daCunha Migliano 9 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Suponhamos que a seguinte matriz forneça as quantidades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. A B C Alimento I Alimento II 4 3 0 5 0 1 Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina? Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz "consumo": [ ]5 2 A operação que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina é o "produto": [ ]5 2 . 4 3 05 0 1 =[ 5.4+2.5 5.3+2.0 5.0+2.1 ] = [30 15 2] [ ]1x2 . [ ]2x3 = [ ]1x3 Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 10 Outro problema que poderemos considerar em relação aos dados anteriores é o seguinte: Se o custo dos alimentos depender somente do seu conteúdo vitamínico e soubermos que os preços por unidade de vitamina A, B e C são respectivamente, R$1,5 , R$3 e R$5 por unidade, quanto pagaríamos pela porção de alimento indicada anteriormente? [ ] [ ]30 15 2 15 3 5 30 15 15 3 2 5 100. , ( , ) ( ) ( ) [ ] = + + = [ ] 1x3 . [ ] 3x1 = [ ]1x1 Ou seja, pagaríamos R$100 Sejam A = [aij]mxn e B = [brs]nxp. Definimos AB = [cuv]mxp onde c a b a b a buv uk kv u kv un nv k n = = + + = ∑ 1 1 ... Observações: i. Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = l. Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem m x p. ii. O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 11 Exemplos: 2 1 4 2 5 3 1 1 0 4 − . = 1 1 0 4 2 1 4 2 5 3 − =. 1 0 2 3 5 4 0 1 0 3 6 8 1 2 − − =. Propriedades: i. Em geral AB≠≠≠≠BA ii. A I = IA = A iii. A (B+C)=AB+AC iv. (A+B)C=AC+BC v. (AB)C=A(BC) vi. (AB)'= B'A' vii. 0.A=0 e A.0 = 0 Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 12 EXERCÍCIOS Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 13 Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 14 2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 2.1 Introdução A preocupação do homem foi sempre descrever a natureza para melhor entender os fenômenos físicos. Por exemplo, sabemos que o hidrogênio (H2) reage com o oxigênio (O2) para produzir a água ( H2O). Quanto de hidrogênio e oxigênio precisamos? Podemos descrever esta mudança do seguinte modo: xH2 + yO2 →→→→ zH2O. Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada elemento no início e fim da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo elemento, no fim da reação. Assim devemos ter para o hidrogênio 2x = 2z, e para o oxigênio, 2y = z. Portanto, as nossas incógnitas x, y e z devem satisfazer as equações: 2 2 0 2 0 x z y z − = − = Para esse sistema de equações nós encontraremos muitas soluções distintas, e só teremos resolvido o sistema se expressarmos o conjunto de todas as soluções. Exemplo: S= { x=z, y=z/2, ∀∀∀∀ z ∈∈∈∈R}. Desta forma, o nosso objetivo nessa aula é estudar um método para a resolução de sistemas lineares em geral. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 15 Em primeiro lugar, precisamos aprender um método que possa substituir um sistema complexo de muitas incógnitas e constantes por um outro sistema simples e equivalente ao original. Veja esse exemplo: ( ) ........................i x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 3 1 2 5 4 4 3 2 5 1 4 3 1 2 5 4 4 1 3 2 5 + + = + + = − − = − − ( ) ........................II x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 3 1 0 3 2 2 0 7 5 4 1 4 3 1 0 3 2 2 0 7 5 4 + + = − − = − − = − − − − ( ) / / ........................ / /III x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 3 1 0 2 3 2 3 0 7 5 4 1 4 3 1 0 1 2 3 2 3 0 7 5 4 + + = + + = − − − = − − − ( ) / / / / / / ........................ / / / / / / IV x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 1 3 11 3 0 2 3 2 3 0 0 1 3 2 3 1 0 1 3 11 3 0 1 2 3 2 3 0 0 1 3 2 3 + + = + + = − + − = − − − − ( ) / / / / ........................ / / / /V x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 1 3 11 3 0 2 3 2 3 0 0 2 1 0 1 3 11 3 0 1 2 3 2 3 0 0 1 2 + + = + + = − + + = − ( ) ........................VI x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 3 0 0 2 0 0 2 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 2 + + = + + = − + + = − ou ainda, x x x 1 2 3 3 2 2 = = − = Todas as equações ( I - VI) produzem sempre sistemas com o mesmo conjunto-solução. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 16 2.2 Sistemas e Matrizes Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bm n n n n m m mn n 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 2 + + + = + + + = + + + = ... ... ... ! ! ! ! com aij, 1≤≤≤≤ i ≥≥≥≥ m, 1≤≤≤≤ j ≥≥≥≥ n, números reais (ou complexos). Uma solução do sistema acima é uma n-upla de números ( x1, x2, x3, ..., xn) que satisfaça simultaneamente estas m equações. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro. Podemos escrever o sistemas de equações numa forma matricial: a a a a a a a a a x x x b b b n n m m mn n m 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 + + + + + + + + + = ... ... ... . ! ! ! ! ! ! ou A . X = B onde X x x xn = . 1 2 ! e B b b bm = 1 2 ! A a a a a a a a a a n n m m mn = + + + + + + + + + 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... . ! ! ! ! Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 17 Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é:a a a b a a a b a a a b n n m m mn m 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... ... ... . ! ! ! ! que chamamos de matriz ampliada do sistema. Observe que no exemplo de simplificação de matriz trabalhamos com a matriz ampliada do sistema. 2.3 Operações Elementares São três as operações elementares sobre linhas de uma matriz. i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas: Li ↔↔↔↔ Lj; ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k Li ↔↔↔↔ Lj iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha: Li ↔↔↔↔ Li + kLj. Exemplos: 1 0 4 1 3 4 1 0 3 4 4 1 − − → − − para L2 ↔↔↔↔ L3 1 0 4 1 3 4 1 0 12 3 3 4 − − → − − para L2 ↔↔↔↔ 3 L2 1 0 4 1 3 4 1 0 4 1 1 4 − − → − − para L3 ↔↔↔↔ L3 + 2L1 Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 18 Se A e B são matrizes M x n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B for obtida de A por meio de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. Notação A →→→→ B ou A ∼∼∼∼ B Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes. Exercícios: Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 3 11 4 3 2 0 6 3 4 x y z x y z x y z x y z − + = − + = + + = + + = Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 19 2.4 Forma Escada 2.4.1 Definição - Uma matriz m x n é linha reduzida à forma escada se : a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. Exemplos: 0 1 4 1 0 3 0 0 1 0 1 0 0 1 3 4 1 0 0 0 1 0 0 1 3 1 1 4 1 5 3 1 2 2 b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. Exemplos: 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo). Exemplo: 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 d) Se as linhas 1,...., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki , então k1<k2<..<ki< ki+1<...<kr. Esta última condição impõe a forma escada à matriz: Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 20 Isto significa que o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver. Exercícios: Defina se é forma escada ou não as seguintes matrizes: a) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 − segunda não é satisfeita b) 0 2 1 1 0 3 0 0 0 − primeira e quarta não são satisfeitas c) 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 − − primeira e terceira não são satisfeitas d) 0 1 3 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 − É forma escada 2.4.2 Teorema - Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada. 2.4.3 Definição - Dada a matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número n-p. NOTA : Dada uma matriz A qualquer, para achar seu posto é necessário encontrar primeiro sua matriz-linha reduzida à forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. O número encontrado é Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 21 o posto de A. A nulidade é a diferença entre o número de colunas de A e o posto. Exercícios: 1. Encontre o posto e a nulidade de A, onde A o = − − 1 2 1 1 0 3 5 1 2 1 1 L2 = L2 + L1 e L3 = L3 - L1 1 2 1 0 0 2 4 5 0 4 0 1− → L2 = L2/2 1 2 1 0 0 1 2 5 2 0 4 0 1 / − → L1 = L1 - 2 x L2 e L3 = L3 +4 x L2 1 0 3 5 0 1 2 5 2 0 0 8 11 − − →/ L3 = L3/8 1 0 3 5 0 1 2 5 2 0 0 1 11 8 − − →/ / L1 = L1 + 3 x L3 e L2 = L2 - 2 x L3 1 0 0 7 8 0 1 0 1 4 0 0 1 11 8 − − / / / O posto de A é 3 e a nulidade é 4-3 = 11. Esta é a matriz ampliada de um sistema. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 22 2. Encontre o posto e a nulidade de A, onde A = − − 2 1 3 1 4 2 1 5 1 4 16 8 Resposta: posto é 2, nulidade é 1. A matriz-linha reduzida à forma escada é 1 0 14 9 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 / / . 2.5 Soluções de um Sistema de Equações Lineares Consideremos um sistema de m equações lineares com n incógnitas a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bm n n n n m m mn n 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 2 + + + = + + + = + + + = ... ... ... ! ! ! ! cujos coeficientes aij e termos constantes bi são números reais (ou complexos). Este sistema pode ter: i) uma única solução: Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 23 X x x xn = . 1 2 ! Neste caso, o sistema é denominado possível (compatível) e determinado. ii) infinitas soluções Neste caso, o sistema é denominado possível e indeterminado. iii) nenhuma solução. Neste caso, o sistema é denominado impossível ( incompatível). 2.5.1 Teoremas i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, a solução será única. iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n - p incógnitas, e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. O grau de liberdade do sistema é dito ser n - p. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 24 2.6 Exercícios 1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 3 11 4 3 2 0 6 3 4 x y z x y z x y z x y z − + = − + = + + = + + = 2. Descreva todas as possíveis matrizes 2 x 2, que estão na forma escada reduzida por linhas. 3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. a) 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 − − − + + b) 0 1 3 2 2 1 4 3 2 3 2 1 − − + − c)0 2 2 1 1 3 3 4 2 2 3 1 − − 4. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão anterior. Disciplina : Álgebra Linear - T3002A - Prof. Dr. Antonio Carlos da Cunha Migliano 25 3. DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA
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