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NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS 
PONTO, RETA E PLANO 
a) Definição: são noções primitivas e são adotadas sem definição. 
b) Notação: 
Ponto - letras 
maiúsculas latinas: A, 
B, C, ... 
Reta - letras 
minúsculas latinas: a, b, 
c, ... 
Plano - letras minúsculas gregas: 
, , , ... 
 A 
 
c) Postulados 
 RETA PLANO 
P1 
Numa reta, 
bem como 
fora dela, 
existem 
infinitos 
pontos 
Num plano, 
bem como 
fora dele 
existem 
infinitos 
pontos 
P2 
Por um 
ponto 
passam 
infinitas 
retas 
 
Toda reta 
que tem 
dois pontos 
distintos 
num plano 
fica 
inteiramente 
contida no 
plano 
 
P3 
Dois 
pontos 
distintos 
determinam 
uma única 
reta que os 
contém. 
Por três 
pontos não 
situados na 
mesma reta 
(não 
colineares) 
passa um e 
somente um 
 
plano 
P4 
Uma reta de 
um plano 
divide-o em 
dois 
semiplanos 
P5 
Um plano 
divide o 
espaço em 
duas regiões 
chamadas 
semi-
espaços 
 
SEGMENTO DE RETA 
a) Definição: Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com 
o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. 
b) 
Notação: 
Os pontos A e B são as extremidades e os pontos que estão entre A e B são os pontos 
internos do segmento dado. 
Se os pontos A e B coincidem (A = B), dizemos que o segmento é nulo. 
 
SEMI-RETA 
a) Definição: Dados dois pontos distintos A e B, em uma reta r. A semi-reta de 
origem A é o conjunto-reunião do segmento e de todos os pontos C, para os quais B 
está entre A e C. 
b) Notação: 
O ponto A é a origem da semi-reta . Se A estiver entre B e C, a semi-reta e a 
semi-reta são opostas. 
ÂNGULOS 
a) Definição: Chama-se ângulo a reunião de duas semi-retas de mesma origem, não 
contida numa mesma reta (não colineares). 
b) Notação: AÔB 
 
O ponto O é o vértice do ângulo. 
As semi-retas e são os lados do ângulo. 
 
ÂNGULOS CONSECUTIVOS 
Definição: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é 
também lado do outros. 
 
 
AÔB e AÔC são consecutivos ( é lado 
comum) 
BÔA e BÔC são consecutivos ( é lado 
comum) 
 
 
CÔB e CÔA são consecutivos ( é lado comum) 
 
ÂNGULOS ADJACENTES 
Definição: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos 
internos comum. 
AÔB e BÔC são ângulos 
adjacentes 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
Definição: Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles 
são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro. 
· e são semi-retas 
opostas 
· e são semi-retas 
opostas 
· Logo, AÔB e CÔD são 
ângulos opostos pelo vértice 
O. 
 
 
ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Dado o ângulo AÔB e a reta , dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares 
(soma das medidas é 180º). 
 
 
 
ÂNGULOS: RETO, AGUDO E OBTUSO 
Ângulo reto: Chamamos de ângulo reto, aquele que é formado por duas retas 
perpendiculares, ou seja, mede 90º. 
Ângulo agudo: é um ângulo menor que um ângulo reto. 
Ângulo obtuso: é um ângulo maior que um ângulo reto. 
 
AÔB é reto AÔB é agudo AÔB é obtuso 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DO PLANO 
Um plano fica determinado de quatro maneiras distintas 
Três pontos não colineares determinam 
um plano (veja postulado P3 do plano) 
 
 
Uma reta e um ponto fora dela, 
determinam um único plano 
Desta maneira, temos os pontos A, B e 
C, definindo o plano a; A, B e D, 
definindo o plano b; A, B e E definindo o 
plano c, e assim por diante. Com 
infinitos pontos fora da reta s, temos 
infinitos planos passando pela reta s 
 
Duas retas concorrentes determinam um 
plano. 
 
Duas retas paralelas determinam um 
plano. 
 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO 
RETAS 
PARALELAS 
- Coincidentes (r e s) 
- Distintas (r e t ou s e 
t) 
· r Ì a 
· s Ì a 
· r Ç s 
= r 
· r Ç s 
= s 
· t Ì a 
· t Ç r 
= Æ 
· t Ç s 
= Æ 
RETAS 
CONCORRENTES 
As retas r e s têm 
apenas um ponto em 
comum 
· r Ì a 
· s Ì a 
· r Ç s = {P} 
Falamos até aqui de retas coplanares, ou seja, retas contidas no mesmo plano. 
Vamos analisar o bloco retangular abaixo: 
 
 
· As retas r e s são coplanares, pois pertencem a um mesmo plano; 
· As retas r e s se encontram no ponto G e por isso são concorrentes; 
· As retas r e s se encontram no ponto G e formam um ângulo de 90º, por isso são 
perpendicularres; 
· As retas r e t não possuem um plano que a contenha; 
· As retas s e t são coplanares; 
· As retas s e t não têm ponto em comum, por isso são paralelas. 
Observações: 
· Retas coplanares - são duas retas contidas num mesmo plano 
· Retas reversas - são duas retas não contidas num mesmo plano e que não tem 
ponto comum. 
· Para duas retas serem perpendiculares, necessariamente têm que pertencerem ao 
mesmo plano e formarem ângulo de 90º (ângulo reto). 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO NO ESPAÇO 
Há três posições possíveis entre uma reta e um plano: 
Reta contida no plano 
 - quando a reta e o 
plano têm dois pontos 
distintos em comum. 
 
· A 
Î a 
· B 
Î a 
· r 
Ì a 
 
Reta concorrente ou 
secante ao plano 
 - Quando a reta e o 
plano têm apenas um 
ponto em comum. 
 
 
· r 
Ç 
a = 
{P} 
 
· Reta paralela 
ao plano - 
Quando a reta 
e o plano não 
têm ponto em 
comum. 
 
· r 
Ç 
a = 
Æ 
 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS NO ESPAÇO 
Dois planos a e b podem ocupar no espaço as seguintes posições: 
 
 
Secantes ou 
concorrentes 
- quando 
dois planos 
têm uma 
única reta em 
comum. 
a Ç b = r a Ç b = r 
Paralelos - 
Dois planos 
são paralelos 
quando não 
têm ponto em 
comum 
 
 
· a Ç b = Æ 
 
Coincidentes 
- Dois planos 
são 
coincidentes 
quando 
possuem 
mais que 
uma reta em 
comum. 
 
 
· a Ç b = a = b 
· a=b 
 
PARALELISMO 
RETAS PARALELAS 
a) Definição: Duas retas são paralelas, se e somente se, são coincidentes (iguais) ou são 
coplanares (contidas no mesmo plano) e não se cruzam. 
Retas paralelas 
Coincidentes (r e s) 
Distintas (r e t ou s e 
t) 
· r 
Ì a 
· s 
Ì a 
· r Ç s 
· t Ì a 
· t Ç r = 
Æ 
· t Ç s = 
Æ 
= r 
· r Ç s 
= s 
Æ 
b) Notação: r // s // t ou r // s e r // t. 
 
Se os ângulos a e b são congruentes (mesma medida), 
então as retas s e t são paralelas. 
 
PARALELISMO ENTRE RETAS E PLANOS 
a) Definição: Uma reta é paralela a um plano, ou vice-versa, se e somente se, eles não 
têm ponto comum. 
Reta paralela 
ao plano 
Quando a reta e 
o plano não têm 
ponto em 
comum. 
 
· r Ç a = Æ 
· r //  a 
 
Uma condição necessária e suficiente para que r, que não está contida em a ,  a ,   seja 
paralela a a a é r ser paralela a uma reta t qualquer contida em a .a . 
PARALELISMO ENTRE PLANOS 
a) Definição: Dois planos são paralelos, se e somente se, eles não têm ponto comum ou 
são coincidentes (iguais). 
Paralelos - Dois 
planos são 
paralelos quando 
não têm ponto em 
comum 
 
 
· a // b 
· a Ç b = Æ 
 
Coincidentes - 
Dois planos são 
coincidentes 
quando possuem 
mais que uma 
reta em comum. 
 
· a // b 
· a Ç b = a = b 
· a=b 
 
 
PERPENDICULARIDADE 
RETAS PERPENDICULARES 
a) Definição: Duas retas são perpendiculares, se e somente se, são concorrentes (têm 
ponto comum) e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes. 
b) Notação: r ^ s. 
Retas perpendiculares 
· r ^ s <=> r Ç s = {P} e a = b 
 
Obs. Dois segmentos são perpendiculares, se e somente se, estão contidos em retas 
perpendiculares e têm um ponto comum. 
 
RETA E PLANO PERPENDICULARES 
a) Definição: Uma reta e um plano são perpendiculares, se e somente se, eles têm um 
ponto comum e a reta e perpendicular a todas as retas que passam por este ponto comum. 
b) Notação: r ^ a. 
Retas e pano 
perpendiculares 
· r ^ a <=> r 
paralela a 
todas as retas 
que passam 
por P e 
contidas em 
a. 
Condição suficiente - Se uma reta e perpendicular a duas retas concorrentes de um 
plano, então ela é perpendicular ao plano. 
PLANOS PERPENDICULARES 
a) Definição: Um plano a é perpendicular a um plano b , , se e somente se, a contém 
uma reta perpendicular ao plano b.  
b) Notação: aa ^^ bb . 
Pano 
perpendiculares 
· aa ^^ bb 
<=> se 
houver 
uma reta 
em 
a perpen
dicular 
a b. 
 
 
 
O TEOREMA DE TALES 
1. INTRODUÇÃO 
Um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana é o chamado "teorema de 
Tales", cujo enunciado clássico é: "Se um feixe de paralelas é interceptado por duas retas 
transversais então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são 
proporcionais". 
 Este resultado junto com a teoria da semelhança de figuras constitui o cerne da 
geometria. A semelhança, por sua vez, pode ser utilizada na demonstração do teorema de 
Pitágoras. A relação trigonométrica fundamental e a fórmula da 
geometria analítica da distância entre dois pontos surgem 
da aplicação do Teorema de Pitágoras. 
Portanto, pela sua importância no estudo da geometria e conseqüentemente no 
estudo da trigonometria e da geometria analítica, o teorema de Tales merece um 
tratamento muito especial. 
2. UM POUCO DE HISTÓRIA 
Tales de Mileto foi um filósofo grego que viveu por volta de 630 A.C.. Sabe-se 
muito pouco a respeito de sua vida e de sua obra. Conjectura-se ter sido ele o criador da 
geometria demonstrativa. Por isto, ele é saudado como o primeiro matemático a dar uma 
contribuição à organização da geometria. 
Tudo o que afirmaremos daqui para a frente é sobre tradições persistentes e não 
sobre documentos históricos. 
Um discípulo de Aristóteles chamado Eudemo (320 A.C.) escreveu uma história de 
matemática. Um resumo desta história foi incorporado pelo filósofo Proclus (410 D.C.) 
no seu livro "Comentário sobre o volume 1 de Euclides". É a partir deste texto que temos 
a primeira referência de Tales como iniciador do método dedutivo na Matemática. 
Proclus nos diz: "Tales primeiro foi ao Egito e de lá introduziu esse estudo na Grécia. 
Descobriu muitas proposições ele próprio, e instruiu seus sucessores nos princípios que 
regem muitas outras, seu método de ataque sendo em certos casos mais geral, em outros 
mais empírico". 
Proclus atribui a Tales as seguintes propriedades: 
- Um ângulo inscrito numa semi-circunferência é reto. 
- Os ângulos opostos pelo vértice são iguais. 
- Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. 
- Um círculo é dividido igualmente pelo seu diâmetro. 
- Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente 
a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes. 
Mas temos outras fontes que citam o nome de Tales. - O historiador Heródoto (484 
- 425 A.C.) disse que Tales previu o eclipse solar de 585 A.C. 
- Diógenes Laércio nos informa que: "Hierônimos (discípulo de Aristóteles) disse que 
Tales mediu a altura da pirâmide do Egito pela observação de sua sombra com a sombra 
da pirâmide. Quando a sua sombra tivesse o mesmo comprimento de sua altura, a sombra 
da pirâmide teria o mesmo comprimento que a altura da pirâmide". 
- Plutarco disse que "Tales mediu a altura da pirâmide fincando verticalmente uma vara 
no chão e comparando as razões entre os dois triângulos formados". Percebe-se que este 
relato é mais geral que o outro. 
- Aristóteles cita que Tales fez uma fortuna alugando com antecedência as prensas de 
azeite num ano em que a colheita de azeitonas prometia ser abundante. 
- Eudemo cita que Tales mediu a distância de uma torre a um navio. 
3. O SURGIMENTO DO NOME "TEOREMA DE TALES" 
Observamos pelos relatos de Diógenes, Plutarco e Eudemo que a questão da 
proporcionalidade estava sempre associada ao nome de Tales. Além disso, ela era de 
grande importância na arquitetura e agrimensura. Por isso, conjectura-se que a primeira 
sistematização da geometria deve Ter sido em torno da questão da proporcionalidade de 
segmentos determinados por um feixe de retas paralelas e outras retas transversais. Esta 
questão durante muitos séculos foi denominada de teorema dos segmentos proporcionais. 
Foi somente no final do século 19, na França, que alguns autores denominaram este 
resultado de teorema de Tales, denominação que persiste até hoje. 
A primeira publicação de que se tem notícia e que substitui o nome de "teorema 
dos segmentos proporcionais" pelo "teorema de Tales" é o livro francês "Elements de 
Géomètrie" de Rouche e Comberousse (reedição de 1883). 
Em alguns países como por exemplo a Alemanha, o nome teorema de Tales é dado 
a um outro enunciado. Neste país o teorema de Tales tem o seguinte enunciado: "Todo 
triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo". O teorema que nós chamamos 
de "teorema de Tales" é chamado na Alemanha de teorema dos feixes de retas 
concorrentes. 
 4. O TEOREMA DE TALES NA EUROPA 
· ITÁLIA II 
teorema de Talete 
"I segmenti staccati da um fascio di rette parallele su due trasversali sono direttamente 
proporzionali". (Os segmentos determinados por um feixe de retas paralelas sobre duas 
transversais são diretamente proporcionais). 
Obs.: O enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos de uma mesma transversal. 
Clique aqui para ver exemplo 
· ESPANHA 
 Teorema de Tales 
"Si cortamos dos rectas cualesquiera, por varias rectas paralelas, los segmentos 
correspondientes determinados em ambias, son proporcionales". (Se cortamos duas retas 
quaisquer por várias retas paralelas, os segmentos correspondentes determinados em 
ambas são proporcionais). 
Obs.: O enunciado destaca que a razão é entre dois segmentos correspondentes de duas 
retas transversais. 
Clique aqui para ver exemplo 
· ALEMANHA 
Teorema dos Segmentos Proporcionais 
"Se um feixe de retas concorrentes é cortado por duas retas paralelas então a razão entre 
as medidas dos segmentos determinados por uma reta do feixe é igual à razão entre as 
medidas dos segmentos correspondentes determinados sobre qualquer outra reta do 
feixe". 
Obs.: O enunciado destaca, como na Itália, que a razão é entre dois segmentos de uma 
mesma transversal. Contudo, enquanto na Itália são duas retas transversais e um feixe de 
retas paralelas, na Alemanha são duas retas paralelas e um feixe de retas concorrentes. 
Clique aqui para ver exemplo 
· FRANÇA 
 Três pontos de vista na apresentação do Teorema de Tales 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. COMO TRABALHAR TALES ADOTANDO O PRIMEIRO PONTO DE 
VISTA? 
· Fase Experimental 
Sugerimos iniciar com um trabalho experimental usando régua, compasso e 
esquadro. Cada aluno deverá construir um triângulo qualquer ABC no caderno. Escolher 
um ponto D qualquer em AB e traçar por este ponto uma paralela DE a BC com E 
pertencendo a AC. Medir os segmentos , , e numa mesma unidade de 
comprimento e calcular os quocientes: 
 
 e 
Cada aluno verificará a proporcionalidade entre as medidas. A comparação dos 
resultados obtidos permitirá fazer conjecturas fortalecendo nos alunos a hipótese de que 
os segmentos são proporcionais. Este trabalho experimental poderá também ser 
desenvolvido pelo software Cabri-Géomètre (vide Dissertação de Mestrado de Maria 
Célia L. da Silva da PUC/SP). Alertar os alunos que em toda verificação experimentalobtemos geralmente respostas aproximadas. Isto ocorre por vários motivos: ao desenhar 
uma figura, representamos pontos por pequenas bolinhas enquanto o ponto geométrico 
não tem dimensão, representamos segmentos por linhas grossas enquanto que a reta 
geométrica não tem espessura; as medições são imprecisas; os instrumentos nem sempre 
são de boa qualidade; etc.. Comentar a seguir que a verificação experimental não autoriza 
concluir que o resultado obtido é verdadeiro. Ela apenas sugere a validade do resultado. 
Daí a necessidade da demonstração. O fato altamente positivo da verificação 
experimental é que são realizadas 35 a 40 experiências na sala de aula (uma de cada 
aluno) com triângulos distintos e escolhas distintas do ponto D. A conclusão obtida a 
partir das experiências com a relação acima serve para qualquer triângulo e propicia uma 
melhor compreensão da demonstração pois que o enunciado do teorema já foi trabalhado 
e a tese completamente incorporada. 
·Fase Dedutiva 
Um problema que surge a nível de 8a. série é a justificativa do Teorema de Tales. 
Qual a alternativa para o professor que deseja oferecer a seus alunos uma 
demonstração? 
Uma opção seria fazer a demonstração dos pitagóricos que supõe todos os 
segmentos comensuráveis (dois segmentos eram ditos comensuráveis pelos gregos se 
existia um segmento que cabia um número inteiro de vezes no primeiro e um número 
inteiro de vezes no outro). Mas é uma demonstração incompleta. Em geral, os textos 
didáticos apresentam esta demonstração não analisando o caso dos segmentos 
incomensuráveis. 
A primeira demonstração rigorosa do Teorema de Tales aparece no livro sexto dos 
Elementos de Euclides (300 A.C.) e é baseada na teoria das proporções de Eudoxo. Ela 
utiliza o método das áreas. O livro da Geometria de Moise Downs (vol. 1, cap. 12, p. 
307) apresenta também uma demonstração pelo método das áreas. É a demonstração de 
Euclides com uma roupagem nova. A demonstração pelo método das áreas não é uma 
demonstração que segue um caminho natural mas é uma demonstração completa e 
convincente. Vale lembrar que esta demonstração necessita apenas do conhecimento de 
que a área de um retângulo é igual ao produto das medidas dos dois lados tomados na 
mesma unidade. No entanto, deve-se ressaltar que a demonstração deste último resultado 
é tão difícil quanto a análise do caso dos segmentos incomensuráveis. Por este motivo 
postula-se a fórmula da área do retângulo. 
Teorema Fundamental da Proporcionalidade 
Seja ABC um triângulo e D um ponto pertencente ao lado AB. Se pelo ponto D 
traçarmos uma reta r paralela ao lado BC com então . 
 
 
 
 
A demonstração pelo método das áreas 
a) Calcule as áreas dos triângulos ADE e DEB. 
b) Determine a razão entre as duas áreas. 
c) Calcule as áreas dos triângulos ADE e EDC. 
d) Determine a razão entre as duas áreas. 
e) Observe que as áreas dos triângulos EDC e DEB são iguais. 
f) A partir dos resultados obtidos em (b), (d) e (e) conclua a tese. 
 
Recíproco do Teorema Fundamental da Proporcionalidade 
Seja ABC um triângulo, D um ponto pertencente ao lado AB e E um ponto pertencente 
ao lado AC. Se então DE é paralelo a BC. 
Teorema de Tales (Caso Particular) Se 
três retas duas a duas paralelas são 
interceptadas por duas transversais então 
os segmentos determinados pelas 
paralelas sobre as transversais são 
proporcionais. 
 
 
Teorema de Tales (Caso Geral) Se um 
feixe de retas paralelas intercepta retas 
transversais, então os segmentos 
determinados pelas retas paralelas sobre 
as transversais são proporcionais. 
 
 
Créditos: Este trabalho foi desenvolvido pelo grupo de Geometria do PROEM - PUC/SP 
2000