Determinantes em Geometria Analítica

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Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
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2- DETERMINANTES 
 
 A teoria dos determinantes surgiu quase simultaneamente na Alemanha e no Japão e foi 
desenvolvida por dois matemáticos, Leibniz (1646-1716) e Seki Shinsuke Kowa (1642-1708), ao 
solucionarem um problema de eliminações necessárias à resolução de um sistema de m equações 
lineares com n incógnitas. 
 
2.1- DETERMINANTE 
 
Def.: É um número real que se associa a uma matriz quadrada e indica-se por: 
 
det A = |𝐴| = det [𝑎𝑖𝑗] 
 
2.2- DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 1 
 
Def.: É o próprio elemento da matriz. 
 
Ex.: det A = 
 4
 = 
 
 
2.3- DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 2ª ORDEM 
 
Def.: É o número obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o 
produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
det A = 






2221
1211
aa
aa = 
21122211 aaaa 
 
 
Exemplos: 
1- Encontrar o determinante da matriz A = 








16
34
. 
 
 
 
 
 
2- Resolver a equação 
51
23


x
x
 = 0. 
 
 
 
 
 
 
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2.4- DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 3ª ORDEM 
 
O determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem pode ser obtido utilizando-se a Regra 
de Sarrus, da seguinte forma: 
 
det A = 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa









 = 
   332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 
 
 
Ex.: Calcular o determinante da matriz A = 












126
540
312 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5- DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM N 
 
2.5.1- Menor Complementar 
 
Def.: É o determinante Dij relativo a um elemento aij da matriz A associado a submatriz de 
A, obtida eliminando-se a linha e a coluna que contém o elemento aij considerado. 
 
 Seja A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
, então temos: 
 
D11 = 
3332
2322
aa
aa  elimina-se em A a linha 1 e a coluna 1 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa



 
 
D21 = 
3332
1312
aa
aa  elimina-se em A a linha 2 e a coluna 1 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa



 
 
 
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2.5.2- Cofator 
 
Def.: É o número obtido multiplicando-se (–1)i+j pelo menor complementar de aij e que é 
representado por ij. 
 
ij = (–1)i+j· Dij 
 
 Assim, considerando a matriz A anterior, temos: 
 
11.= (–1)1+1· D11 = (–1)1+1· 
3332
2322
aa
aa 
 
21.= (–1)2+1· D21 = (–1)2+1· 
3332
1312
aa
aa 
 
Exemplo: Dada a matriz A = 









 
873
204
213
, calcule 11, 13 e 32. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.5.3- Teorema de Laplace 
 
Teorema: O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, é igual à soma dos produtos dos 
elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores. 
 
det An×n = 
  



n
j
ijij
n
j
ij
ji
ijininii aDaaa
11
11 det1
 
 
 
 
 
det An×n = 



n
j
ijija
1
 
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Exemplos: 
 
1- Calcule o determinante da matriz A = 










286
413
752
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Determine o determinante da matriz A = 












6413
2765
8910
4123
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.6- PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
 
1- O determinante de uma matriz não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas, ou 
seja, det A = det At. 
 
Ex.: det 






37
52
= 
 
 det 






35
72
= 
 
 2- Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o 
determinante é nulo. 
 
Ex.: det 










723
145
000
= 
 
3- Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo. 
 
Ex.: det 










644
133
255
= 
 
4- Se na matriz A duas linhas (ou duas colunas) tem seus elementos correspondentes 
proporcionais, o determinante é nulo. 
 
Ex.: det 






93
62
= 
 
5- Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, então o 
determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas 
matrizes. 
 
Ex.: det 








647
532
= det






47
32
+ det






67
52
 
 
 
 
 
 
 
 
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6- O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos 
elementos da diagonal principal. 
 
Ex.: det 










200
310
531
= 
 
7- Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal, isto 
é, fica multiplicado por –1. 
 
Ex.: det 










1240
200
531
= 
 
8- Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou de uma 
coluna) da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número. 
 
Ex.: det 










200
310
531
= e det 










200
1240
531
= 
 
9- Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (ou de uma 
coluna) da matriz A aos elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente 
multiplicados por um numero real. 
 
Ex.: det 










975
12104
421
= 
 
 










975
12104
421
 L2 = L2 – 4·L1 
 
 
 10- Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então temos det (A . B) = det A . det B. 
 
 Ex.: Seja A = 












521
342
132
 e B = 











332
412
321
, então 
 
 
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Exercícios 
 
1- Calcule os determinantes: 
 
a) 







 
2
1
2
23 = b) 





 
ycosysen
xcosxsen
= 
 
2- Determine x tal que: 
 
a) 
x
xx
1
232 
= 0 
 
3- Determine o número de raízes reais distintas da equação: 
 
a) 
2
2
1
1
x
x

 = 0 
 
4- Calcule o determinante: 
 
a) 











635
1312
1179
= b) 









 
453
2
012
nm
= 
 
5- Seja M = 










 173
125
342
, calcule D21, D22, D23. 
 
6- Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 
a) 











 
0014
1520
2432
3101
= b) 













12130496
5515214
229142
11672
= 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 5/2; b) sen (x + y). 2- x = 2 ou x = -1/2. 3- duas. 4- a) 121; b) 4m + 8n – 26. 5- -25, 7, 26. 6- a) -54; b) 3696.