Matrizes: Introdução e Tipos Especiais

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Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
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1- MATRIZES 
 
1.1- INTRODUÇÃO 
 
Def.: É uma tabela com elementos dispostos em linhas e colunas. 
 
As matrizes são utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. 
 Várias operações computacionais utilizadas na Economia, Estatística, Física Atômica, etc, 
são feitas por matrizes. 
 
Ex.: Observe abaixo a disposição dos dados referentes à altura, peso e idade de um grupo de quatro 
pessoas. 
 
 Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos) 
Pessoa 1 1,70 70 23 
Pessoa 2 1,75 60 45 
Pessoa 3 1,60 52 25 
Pessoa 4 1,81 72 30 
 
Ao retirarmos as linhas e colunas, temos a matriz: 
 
 
 
 
 
 
Outros exemplos de matrizes são: 
 









 −
x
x
0
32
12
 [ ]103 [ ]1 
 
 Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda 
matrizes. 
 A Representação de uma matriz de m linhas e n colunas, com m e n ∈ IN*, é feita da 
seguinte forma: 
 
Am×n = 












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MMM
K
K
21
22221
11211
 
 
 Usa-se letras maiúsculas para denotar matrizes, e para representar a ordem de uma matriz 
escreve-se Am×n. Uma matriz também pode ser representada com parênteses ou duas barras. 
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1.2- MATRIZES IGUAIS 
 
Def.: Duas Matrizes Am×n [ ]
nmija ×= e Br×s
 
[ ]
srijb ×= são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número 
de linhas e o mesmo número de colunas, ou seja, se m = r e n = s, e se todos os seus elementos 
correspondentes são iguais ( ija = ijb ). 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
1.3- TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES 
 
1.3.1- Matriz Quadrada 
 
 Def.: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n). 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.2- Matriz Nula (ou Matriz Zero) 
 
 Def.: É aquela em que ija = 0, para todo i e j. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.3- Matriz-Coluna 
 
 Def.: É aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
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1.3.4- Matriz-Linha 
 
 Def.: É aquela onde m = 1. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.5- Matriz Diagonal 
 
 Def.: É uma matriz quadrada onde ija = 0, para i ≠ j. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.6- Matriz Identidade Quadrada 
 
Def.: É aquela onde iia = 1, ija = 0, para i ≠ j. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.7- Matriz Triangular Superior 
 
Def.: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, ou seja, 
m = n e ija = 0, para i > j. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
1.3.8- Matriz Triangular Inferior 
 
Def.: É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos, ou seja, 
m = n e ija = 0, para i < j. 
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 4
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.9- Matriz Oposta 
 
Def.: É a matriz -A, cujos elementos são simétricos dos elementos correspondentes de A. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
1.3.10- Matriz Simétrica 
 
Def.: É uma matriz quadrada onde m = n e ija = jia , ou seja, A = At. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.11- Matriz Anti-Simétrica 
 
Def.: É uma matriz quadrada onde m = n e ija = - jia , ou seja, A = -At. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
1.3.12- Matriz Ortogonal 
 
Def.: É a matriz quadrada de ordem n, cuja inversa coincide com a transposta, ou seja, A-1 = 
At. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
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1.4- OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
1.4.1- Adição 
 
Def.: A soma de duas matrizes de mesma ordem é uma matriz nm × , denotada por A + B, cujos 
elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é 
 
 
A + B = [ ]
nmijij ba ×+ 
Ex.: =










−+









 −
01
52
40
52
04
11
 
 
Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem, temos: 
 
1- A + B = B + A 
2- A + (B + C) = (A + B) + C 
3- A + 0 = A, onde 0 representa uma matriz nula 
4- A + (–A) = 0 
 
 
1.4.2- Multiplicação por Escalar 
 
Def.: Seja A = [ ]
nmija × e k um número real, então multiplicando k por A temos: 
 
k . A = [ ]
nmijka × 
 
Ex.: =





−
⋅−
31
102
2 
 
 
Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem e os números reais k, k1 e k2, temos: 
 
1- k (A + B) = kA + kB 
2- (k1 + k2)A = k1A + k2A 
3- 0 · A = 0, onde 0 representa uma matriz nula. 
4- k1 (k2A) = (k1k2) A 
 
 
1.4.3- Transposição 
 
Def.: Dada uma matriz A = [ ]
nmija × , para se obter a matriz A
t
 = [ ]
mnijb × a matriz transposta de A, 
basta fazer bij = aji. 
 
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Ex.: A = 
2341
30
12
×










−
 
 
 
Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem e um escalar k ∈ IR, temos: 
 
1- Se A = At, então A é uma matriz simétrica. 
2- (At)t = A. A transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. 
3- (A + B) t = At + Bt 
4- (k A) t = kAt 
 
1.4.4- Multiplicação de Matrizes 
 
Def.: Sejam A = [ ]
nmika × e B
 
[ ]
pnkjb ×= , então por definição AB = [ ] pmijc × , onde 
 
njinji
n
k
kjikij bababac ++==∑
=
K11
1 
Exemplos: 
 
1- =




 −
⋅










40
11
35
24
12
 
 
2- =





−
⋅












−
283
160
10
45
32
01
 
 
3- =










⋅




 −
35
24
12
40
11
 
 
Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem, temos: 
 
1- Em geral AB ≠ BA. 
2- AI = IA = A 
3- A(B + C) = AB + AC 
4- (A + B)C = AC + BC 
5- (AB)C = A(BC) 
6- (AB)t = BtAt 
7- 0 · A = 0 e A · 0 = 0 
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Exercícios 
 
1- Sejam A = 





−112
321
, B = 




−
103
102
, C = 









−
4
2
1
e D = [ ]12 − . Encontre: 
 
a) A + B 
b) B · C 
c) A · At 
d) – C 
 
2- Seja A = 





− 012
2 2
x
x
. Se At = A, então qual é o valor de x? 
 
3- Se A é uma matriz simétrica, então A – At é uma matriz de que tipo? 
 
4- Coloque V para verdadeiro e F para falso: 
 
a) ( ) (A + B)t = Bt + At 
b) ( ) (-A)(-B) = - (AB) 
c) ( ) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA. 
d) ( ) Se podemos efetuar o produto A.A, então A é uma matriz quadrada. 
 
5- Se A2 = A · A, então resolva 
2
23
12





−
: 
 
6- Se A é uma matriz triangular superior, então A2 é uma matriz de que tipo? 
 
7- Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. 
A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: 
 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 










1358256
21912187
17716205
Colonial
eoMediterrân
Moderno
 
 
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, 
quantas unidades de cada material serão empregadas? 
 
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?c) Qual o custo total do material empregado?