lista04_cal1

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Lista de Exerc´ıcios 4
1. Seja y = f(x) uma func¸a˜o. Prove:
(a) lim
x→a
f(x) = L⇔ lim
x→a
[f(x)− L] = 0
(b) lim
x→a
f(x) = L⇔ lim
x→a
|f(x)− L| = 0
(c) lim
x→a
f(x)
x− a = 0⇔ limx→a
f(x)
|x− a| = 0
2. Mostre que uma func¸a˜o na˜o pode ter
dois limites diferentes no mesmo ponto;
ou seja, se lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
f(x) =
L2, enta˜o L1 = L2.
3. Sejam y = f(x) uma func¸a˜o e k uma
constante. Prove que se lim
x→a
f(x) existe,
enta˜o lim
x→a
kf(x) = k lim
x→a
f(x).
4. Se lim
x→0+
f(x) = A e limx→0− f(x) = B,
enta˜o calcule:
(a) lim
x→0+
f(x3 − x)
(b) lim
x→0+
f(x2 − x4)
(c) lim
x→0−
f(x3 − x)
(d) lim
x→0+
f(x2 − x4)
5. Prove que
lim
x→c
f(x) = L⇒ lim
x→c
|f(x)| = |L|
6. A afirmac¸a˜o
” lim
x→c
|f(x)| = |L| ⇒ lim
x→c
f(x) = L”
e´ falsa ou verdade? Por queˆ?
7. Determine o valor de L para que as
seguintes func¸o˜es sejam continuas nos
pontos dados:
(a)
f(x) =
{
x2−x
x
se x 6= 0,
L se x = 0
c = 0
(b)
f(x) =
{
x2−9
x−3 se x 6= 3,
L se x = 3
c = 3
(c)
f(x) =
{
x+ 2L se x ≥ −1,
L2 se x < −13
c = −1
(d)
f(x) =
{
4− x+ x3 se x ≥ 1,
9− Lx2 se x < 1
c = 1
8. Use a continuidade das func¸o˜es para cal-
cular os seguintes limites.
(a) lim
x→pi
cos(x+ senx)
(b) lim
x→pi
2
e
1
sin x
(c) lim
x→0
ln
(
cos2x+ 1√
2(x2 + 1
)
(d) lim
x→0
sen(x2 + sen(cosx))
x2 + 1
9. Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o
cont´ınuas e esboce os gra´ficos correspon-
dentes:
(a) f(x) = |x2 + 2x+ 1|, x ∈ R
(b) f(x) =
{
2x, se x ≥ 1,
1, se x > 1.
(c) f(x) =
{
x2−4
x−2 , se x 6= 1,
4, se x = 1.
(d) f(x) =
{
x2, se x ≥ 0,
2x, se x > 0.
10. Seja f uma func¸a˜o definida em R tal
que para todo x ∈ [−1, 1]. Calcule
limx→0 f(x) e justifique.
1
11. Seja f uma func¸a˜o definida em R tal que
para todo x 6= 1, −x2 + 3x ≤ f(x) ≤
x2−1
x−1 . Calcule limx→1 f(x) e justifique.
12. Seja f definida em R e tal que, para
todo x, |f(x) − 3| ≤ 2|x − 1|. Calcule
limx→1 f(x) e justifique.
13. Suponha que para todo x, |g(x)| ≤ x4.
Calcule limx→0
g(x)
x
.
14. Sabendo que
lim
x→0
senx
x
= 1 (1o Limite Fundamental).
Calcule os limites quando existem.
(a) lim
x→0
1− cosx
x
(b) lim
x→0
sen3x
x
(c) lim
x→0
x2
senx
(d) lim
x→pi
2
1− senx
2x− pi
(e) lim
x→0
senx
x− pi
(f) lim
x→0
x− tg x
x+ tg x
15. Mostre que a func¸a˜o definida por
f(x) =
{
x sen( 1
x
) se x 6= 0,
0 se x = 0.
e´ cont´ınmua em x = 0.
16. Encontre os limites abaixo:
(a) lim
x→+∞
2x+ 1
5x− 2
(b) lim
x→−∞
2x+ 7
4− 5x
(c) lim
x→+∞
7x2 − 2x+ 1
3x2 + 8x+ 5
(d) lim
x→+∞
x+ 4
3x2 − 5
(e) lim
x→+∞
2x2 − 3x
x+ 1
(f) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
(g) lim
x→+∞
2x3 − 4
5x+ 3
(h) lim
x→−∞
(
3x+
1
x2
)
(i) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
(j) lim
x→−∞
√
x2 − 2x+ 3
x+ 5
(k) lim
x→−∞
6x− 4
3x+ 1
(l) lim
x→+∞
x2 + 5
x3
(m) lim
x→+∞
(
2
x2
− 4x
)
(n) lim
x→+∞
(
√
x2 + 1− x)
(o) lim
x→+∞
(
√
3x2 + x− 2x)
(p) lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x)
2