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Lista de Exerc´ıcios 7
1. Seja n 6= 0 um natural. Mostre usando
a definic¸a˜o de derivada.
(a) f(x) = xn ⇒ f ′(x) = nxn−1.
(b) f(x) = x−n ⇒ f ′(x) =
(−n)x−n−1, x 6= 0
(c) f(x) = x
1
n ⇒ f ′(x) = 1
n
x
1
n
−1, onde
x > 0 se n for par e x 6= 0 se n for
impar.
2. Sejam f g func¸o˜es diferencia´veis em c,
e seja k uma constante. Demonstre
usando a definic¸a˜o de derivada as re-
gras operato´rias das derivadas, isto e´, as
func¸o˜es
f + g, kf, f · g e f/g
sa˜o diferenciaveis em c e teˆm-se:
(a) (f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c);
(b) (kf)′(c) = kf ′(c)
(c) (f · g)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);
(d) (f/g)′(c) = f
′(c)g(c)−f(c)g′(c)
g(c)2
desde
que g(c) 6= 0.
3. Calcule a derivada de cada func¸a˜o apli-
candos as regras opera´torias para a
derivac¸a˜o.
(a) f(x) = x5 − 3x3 + 1
(b) f(x) =
x10
10
+
x5
5
+ 6
(c) f(t) = t8 − 2t7 + 3t+ 1
(d) F (x) =
3
x2
+
4
x
(e) f(y) =
5
y5
− 25
y
(f) g(x) = 3x−2 − 7x−1 + 6
(g) f(x) =
2
5x
−
√
2
3x2
(h) F (x) = x2(3x3 − 1)
(i) G(x) = (x2 + 3x)(x3 − 9x)
(j) f(y) = (2y − 1)(4y2 + 7)
(k) f(x) = (x3 − 8) ( 2
x
− 1)
(l) g(x) =
(
1
x2
+ 3
)(
2
x3
+ x
)
(m) f(x) =
2x+ 7
3x− 1
(n) g(x) = 2x
2+x+1
x2−3x+2
4. Suponha que f , g e h sejam func¸o˜es
diferencia´veis em x = 2 tais que f(2) =
−2, f ′(2) = 3, g(2) = −5, g′(2) = 1,
h(2) = 2, e h′(2) = 4. Use as regras de
derivac¸a˜o´para calcular:
(a) (f + g + h)′(2)
(b) (2f − g + 3h)′(2)
(c) (fgh)′(2)
5. Calcule a derivada de cada func¸a˜o
abaixo:
(a) f(x) = x2ex
(b) F (t) = 3t+ 5 ln t
(c) f(x) = excos x
(d) f(x) = 1+e
x
1−ex
1
(e) g(x) = ex ln x+ 2ex
6. Seja f(x) = sen x. Calcule:
(a) f ′(x)
(b) f ′(pi
4
)
7. Determine a equac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de f(x) = sen x no ponto de
abscissa 0
8. Calcule a derivada de cada func¸a˜o
abaixo:
(a) f(x) = 3sen x
(b) g(x) = tg x+ cotg x
(c) f(t) = 2t cos t
(d) g(x) = x sen x+ cos x
(e) h(x) = 4sen x cos x
9. Determine f ′, f ′′ e f ′′′.
(a) f(x) = 4x4 + 2x
(b) f(x) = 1
x
(c) f(x) = 5x2 − 1
x3
(d) f(x) = 3x2 − 6x+ 1
(e) f(x) = x|x|
10. Esboce os graficos dde f , f ′ e f ′′.
(a) f(x) = x2|x|
(b) f(x) =
{
x2 se x ≤ 1,
1 se x > 1
(c) f(x) =
{
x2 + 3x se x ≤ 1,
5x− 1 se x > 1
11. Determine a derivada de ordem n
(a) f(x) = e
x
3
(b) f(x) = sen x
(c) f(x) = cos x
(d) f(x) = ln x
(e) f(x) =
√
x
12. Seja y = t2x, onde x = x(t) e´
uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dt
|t=1
supondo dx
dt
|t=1 = 2 e x(1) = 3.
13. Seja y = xt3, onde x = x(t) e´
uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dt
|t=2
supondo dx
dt
|t=2 = 2 e x(2) = 1.
14. Seja y = t
x+t
, onde t = t(x) e´
uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dx
|x=1
supondo dt
dx
|x=1 = 4 e t(1) = 2.
15. Seja y = x2 − 3x. Verifique que
x
d2y
dx2
− dy
dx
= 3
16. Seja y = 1
x
. Verifique que
x2
d3y
dx3
= 6
dy
dx
17. Seja y = cos t. Verifique que
x
d2y
dx2
+ x = 0
Respostas
1. (a)
(b)
(c)
2. (a)
(b)
(c)
(d)
3. (a) 5x4 − 9x2
(b) 5x9 + x4
(c) 8t7 − 14t6 + 3
(d) −6
x3
− 4
x2
(e) − 25
y6
+ 25
y2
(f) −6x−3 + 7x−2
(g) − 2
5x2
+ 2
√
2
3x3
(h) 15x4 − 2x
(i) 5x4 + 12x3 − 27x2 − 54x
2
(j) 24y2 − 8y + 14
(k) 16
x2
+ 4x− 3x2
(l) − 10
x6
− 18
x4
− 1
x2
+ 3
(m) −23
3x−1
2
(n) −7x
2+6x+5
(x2−3x+2)2
4. (a) 0
(b) 11
(c) 6
5. (a) xex[2 + x]
(b) 3 + 5
t
(c) ex[cos x− sen x]
(d) 2e
x
(1−ex)2
(e) 2x ln x+ x+ 2ex
6. (a) f ′(x) = cos x
(b) f ′(pi
4
) =
√
2
2
7. y = x
8. (a) 3cos x
(b) sec2x− cosec2x
(c) 2(cos t− tsen t)
(d) xcos x
(e) 4cos 2x
9. (a) f ′(x) = 16x3 + 2, f ′′(x) = 48x2 2 f ′′′(x) = 96x
(b) f ′(x) = − 1
x2
, f ′′(x) = 2
x3
, f ′′(x) = − 6
x4
(c) f ′(x) = 9x2 − 6, f ′′(x) = 18x e f ′′′(x) = 18
(d) f(x) =
{
x2 se x ≥ 0,
−x2 se x < 0
,
f ′(x) =
{
2x se x ≥ 0,
−2x se x < 0
f ′′(x) =
{
2 se x > 0,
−2 se x < 0
,
f ′′(x) = 0, x 6= 0.
10. (a)
(b)
(c)
11. (a) f (n)(x) = 1
3n
e
x
3
(b) f (n)(x) = sen(x+ npi
2
)
(c) f (n)(x) = cos(x− npi
2
)
(d) f (n)(x) = (−1)n+1x−n
(e) f (n)(x) = (−1)n−1 1·3·5·····(2n−3)
2n
x−(
2n−1
3
)
12. 8
13. 36
14. 2
9
3