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Lista de Exerc´ıcios 8
1. Seja y = xex. Mostre que y′′−4y = 4e2x.
2. Sejam y1 = cos(αx) e y2 = sen(αx).
(a) Mostre que y1 e y2, verificam y
′′ +
α2y = 0.
(b) Mostre que c1y1 + c2y2, satisfaz a
equac¸a˜o diferencial y′′ + α2y = 0,
onde c1 e c2 sa˜o constantes ar-
bitra´rias.
3. Seja u = g(x) uma func¸a˜o diferencia´vel.
Verifique:
(a) [tg u]′ = sec2u · u′
(b) [sec u]′ = sec u tg u · u′
(c) [cotg u]′ = −cosec2u · u′
(d) [cosec u]′ = −cosec u cotg u · u′
4. Determine α de modo que y = eαx sat-
isfac¸a a equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
− 4y = 0.
5. Determine α de modo que y = eαx sat-
isfac¸a a equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
− 3
dy
dx
− 4y = 0.
6. Dado f(x), calcule f ′(x):
(a) f(x) = 5x + log3 x
(b) f(x) = xxsenx
(c) f(x) = (2 + senx)cos 3x
(d) f(x) = xx
x
(e) f(x) = xx
2+1
7. Sejam f e g diferencia´veis em A, com
f(x) > 0 em A. Verifique que, para todo
x ∈ A,
[f(x)g(x)]′ = f(x)g(x)g′(x) + g(x)f(x)g(x)−1f ′(x).
8. Usando o exercicio anterior, calcule a
derivada:
(a) y = (x+ 2)x
(b) y = (1 + ex)x
2
(c) y = (4 + sen(3x))x
(d) y = (3 + pi)x
2
(e) y = (x2 + 1)pi
(f) y = (1 + ex)x
2
9. Expresse dy
dx
em termos de x e y, onde
y = f(x) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel
dada implicitamente pela equac¸a˜o:
(a) x2 + y2 + 2y = 0
(b) xey + xy = 3
(c) y + cos y = xy
(d) y + ln(x2 + y2) = 4
(e) 2y + seny = x
10. Um particula desloca´-se sobre o eixo x
com func¸a˜o posic¸a˜o
x(t) = 3 + 2t− t2, t ≥ 0.
(a) Qual a velocidade no instante t?
(b) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
(c) Estude a variac¸a˜o do sinal de v(t).
(d) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de
posic¸a˜o.
11. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x
com func¸a˜o de posic¸a˜o
x(t) =
1
2
t+ 1, t ≥ 0.
1
(a) Determine a velocidade no instante
t.
(b) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
(c) Esboce o grafico da func¸a˜o de
posic¸a˜o.
12. A equac¸a˜o do movimento de uma
part´ıcula que se desloca ao longo do eixo
x e´
x(t) = e−tsent, t ≥ 0.
(a) Determine a velocidade e a acel-
erac¸a˜o no instante t.
(b) Calcule o limite lim
x→+∞
e−tsent
(c) Esboce o grafico da func¸a˜o de
posic¸a˜o.
13. Uma escada de 8m esta´ encostada em
uma parede. Se a extremidade inferior
da escada for afastada do pe´ da parede
a uma velocidade constante de 2(m/s),
com que velocidade a extremidade supe-
rior estara´ descendo no instante em que
a inferior estiver a 3m da parede?
14. Um ponto P move-se sobre a para´bola
y2 = x,x > 0 e y > 0. A abscissa x esta´
variando com uma acelerac¸a˜o que, em
cada instante, e´ o dobro do quadrado da
velocidade da ordenada y. Mostre que a
ordenada esta´ variando com acelerac¸a˜o
nula.
15. Se a a´rea de um circulo e´ crescente a uma
taxa constante de 4(cm/s2), a que taxa
esta´ crescendo o raio no instante em que
o raio e´ de 5(cm)?
16. Duas rodovias interceptam-se perpen-
dicularmente. O carro A numa rodovia
esta´ a 1
2
km da intersec¸a˜o e se move a
uma raza˜o de 96 km/h, enquanto o carro
B na outra rodovia esta a 1 km da in-
tersec¸a˜o e caminha para ela a uma razao˜
de 120km/h. A que raza˜o esta´ variando
a distaˆncia entre os dois carros neste in-
stante?
17. A a´gua esta´ escoando para fora de um
funil coˆnico a uma vaza˜o de 3 cm3/s. O
funil possui um raio de 2 cm e altura
de 8 cm. Qual sera´ a velocidade que
abaixara´ o n´ıvel da a´gua que se escoa
quando ela estiver a 3 cm do topo?
Respostas
1.
2.
3.
4. 2 ou −2
5. 1 ou 2
6. (a) 5x ln 5 + 1
ln 3
(b) xx [(1 + ln x)sen x+ cos x]
(c) (2+sen x)cos 3x
[
−3sen 3x ln(2 + sen x) + cos x·cos 3x
2+sen x
]
(d) xx
x
xx
[
(1 + ln x) ln x+ 1
x
]
(e) xx
2+1
[
2x ln x+ x
2+1
x
]
7.
8. (a) (x+ 2)x ln(x+ 2) + x(x+ 2)x−1
(b) 2x(1 + ex)x
2
ln(1 + ex) + x2(1 + ex)x
2
−1ex
(c) (4 + sen 3x)x ln(4 + sen3x) + x(4 +
sen3x)x−1(3cos 3x)
(d) 2x(3 + pi)x
2
ln(3 + pi)
(e) 2pix(x2 + 1)pi−1
9. (a) dy
dx
= − x
y+1
(b) dy
dx
= − y+e
y
xey+x
(c) dy
dx
= y
5−sen y−x
(d) dy
dx
= − 2x
x2+y2+2y
(e) dy
dx
= 1
2=cos y
10.
11.
12.
13. − 6
sqrt55
14.
15. 0, 13 cm/s
16. −150, 26 km/h
17. −0, 61 cm/s
2