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Lista de Exerc´ıcios 9
1. Determine as equac¸o˜es das retas tan-
gente e normal ao gra´fico da func¸a˜o
dada, no ponto indicado.
(a) f(x) = x2 − 3x, no ponto de ab-
scissa 0.
(b) f(x) = 3
√
x, no ponto de abscissa 8.
(c) g(x) = 1
x2
, no ponto de abscissa 1.
(d) g(x) = x+ 1
x
, no ponto de abscissa
1.
2. Seja f(x) = x2. Determine a equac¸a˜o
da reta que e´ tangente ao gra´fico de f e
paralela a` reta y = 1
2
x+ 3.
3. Sabe-se que r e´ uma reta tangente ao
gra´fico de f(x) = x3 + 3x e paralela a`
reta y = 6x − 1. Determine a equac¸a˜o
de r.
4. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ per-
pendicular a` reta 2y+x = 3 e tanegente
ao gra´fico de f(x) = x2 − 3x
5. Sejam A e B os pontos em que o gra´fico
de f(x) = x2 − αx, α ∈ R, intercewpta
o eixo x. Determine α para que as retas
tangentes ao gra´fico de f , em A e em B,
sejam perpendiculares.
6. Determine a derivada.
(a) y = x arctg x
(b) f(x) = arc sen(3x)
(c) g(x) = arcsen(x3)
(d) y = arctg x2
(e) y = 3arctg(2x+ 3)
(f) y = arcsen ex
(g) y = e3xarcsen 2x
(h) y = sen 3x
arctg 4x
7. Seja f(x) = x + ex e seja g a inversa de
f .
(a) Mostre que g e´ deriva´vel e que
g′(x) =
1
1 + eg(x)
.
(b) Calcule g′(1) e g′′(1).
8. Seja f(x) = x3 + x.
(a) Mostre que f admite func¸a˜o inversa
g.
(b) Expresse g′(x) em termos de g(x).
(c) Calcule g′(0).
9. Verifique as hipoteses do Teorema do
Valor Me´dio, e determine o valor de c
que satisfazem
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c).
para cada func¸a˜o no intervalo [a, b].
(a) f(x) = x2 + 2x− 1, [0, 1]
(b) f(x) = arcsen x, [−1, 1]
(c) f(x) = 2x3, [0, 2]
(d) f(x) =
√
25− x2, [−3, 4]
10. Para que valores de a, m e b a func¸a˜o
f(x) =


3 se x = 0,
−x2 + 3x+ a se 0 < x < 1,
mx+ b se 1 ≤ x ≤ 2.
satisfaz a hipo´tese do Teorema do Valor
Me´dio no intervalo [0, 2]?
11. Use o Teorema do Valor Me´dio para
provar:
1
(a) Se f : [a, b] −→ R e´ uma func¸a˜o
cont´ınua tal que f ′(x) = 0 em ]a, b[,
enta˜o f e´ a func¸a˜o constante.
(b) Sejam f, g : [a, b] −→ R func¸o˜es
continuas. se f ′(x) = g′(x) em
]a, b[, enta˜o existe uma constante k
tal que g(x) = f(x) + k em [a, b]
12. Determine os intervalos de crescimento
e de decrescimento e esboce o gra´fico
(calcule para isto todos os limites
necessa´rios).
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1
(b) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1
(c) f(x) = x+ 1
x
(d) f(x) = 3x5 − 5x3
13. Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a` con-
cavidade e pontos de inflexa˜o. Esboce o
gra´fico de f .
(a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
(b) f(x) = 2x3 − x2 − 4x+ 1
(c) f(x) = xe−2x
(d) f(x) = x ln x
14. Calcule os limites abaixo, usando as Re-
gras de L’Hospital.
(a) lim
x→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
(b) lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1
(c) lim
x→0+
xe
1
x
(d) lim
x→+∞
e3x
x2
(e) lim
x→+∞
ln x
e3x
(f) lim
x→0+
sen x ln x
(g) lim
x→)+
[cos 3x]
1
sen x
(h) lim
x→0+
xtg x
15. Sejam
f(x) = x2 sen
1
x
e g(x) = x.
Verifique que
(a) lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0,
(b) lim
x→0
f(x)
g(x)
= 0
(c) lim
x→0
f ′(x)
g′(x)
na˜o existe.
Ha´ alguma contradic¸a˜o com a 1a. regra
de L’Hospital?
Respostas
1. (a) y = −3x e y = 1
3
x
(b) y = 1
12
x+ 4
3
e y = −12x+ 98
(c) y = −2x+ 3 e y = 1
2
x+ 1
2
(d) y = 2 e x = 1
2. y = 1
2
x− 1
16
3. y = 6x− 2 ou 6x+ 2
4. y = 2x− 25
4
5. ±1
6. (a) arctg x+ x
1+x2
(b) 3√
1−9x2
(c) 3x
2√
1−x6
(d) 2x
1+x4
(e) 6
1+(2x+3)2
(f) e
x√
1−e2x
(g) e3x
[
3arctg 2x+ 2
1−4x2
]
(h)
3(1+16x2)cos 3x arctg 4x−4sen 3x
(1+16x2)(arctg 4x)2
7. (a)
(b) g′(1) = 1
2
e g′′(1) = − 1
8
8. (a)
(b) g′(x) = 1
1+3(g(x))2
2
(c) g′(0) = 1
9. (a) c = 1
2
(b) c = ±
√
1− 4
pi2
≈ ±0, 771
(c)
(d)
10.
11.
12. (a) Est. cresc. em ]−∞, 0[ e [2,+∞[, e Est. decresc.
em [0, 2].
(b) Est. cresc. em ] − ∞,−1[ e [− 1
3
,+∞[, e Est.
decresc. em
[−1,− 1
3
]
.
(c) Est. cresc. em ] −∞,−1[ e [1,+∞[, e Est. de-
cresc. em [−1, 0[ e ]0, 1].
(d) Est. cresc. em
[
1
3
√
2
,+∞
[
, e Est. decresc. em
]−∞, 0[ e
]
0, 1
3
√
2
]
.
13. (a) Conc. para cima em ]1,∞[, Conc. para baixo
em ]−∞, 1[, Ponto de inflexa˜o: 1.
(b) Conc. para cima em ] 1
6
,∞[, Conc. para baixo
em ]−∞, 1
6
[, Ponto de inflexa˜o: 1
6
.
(c) Conc. para cima em ]1,∞[, Conc. para baixo
em ]−∞, 1[, Ponto de inflexa˜o: 1.
(d) Conc. para cima em ]1,∞[, Ponto de in-
flexa˜o:na˜o ha´.
14. (a) 2, (b) 99
10
, (c) + ∞, (d) +
∞, (e) 0, (f) 0, (g) 1, (h) 1.
15.
3