Lei de Coulomb

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Física III (FIS0013)
Eletrostática
Prof. MSc. Farley Correia Sardinha
2
Prof. Sardinha
Prof. Sardinha
ELETROSTÁTICA
– Conceitos Básicos –
A Força Elétrica e o Campo Elétrico
3Prof. Sardinha
Objetivos
Reconhecer o conceito de Força Elétrica e suas
representações;
Aplicar a Lei de Coulomb na forma vetorial para
distribuições discretas de cargas elétricas.
Calcular o Campo Elétrico para distribuições
discretas de carga elétrica, relacionando-o à Lei
de Coulomb;
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Charles-Augustin de Coulomb
 Foi em homenagem ao físico francês
Charles Augustin de Coulomb (1736-
1806) que se deu o nome “coulomb”
à unidade de carga elétrica.
 Engenheiro de formação, publicou 7
tratados sobre o Eletromagnetismo,
e outros sobre a torção, o atrito
entre sólidos, etc.
 Experimentador genial e rigoroso,
utilizou uma balança de torção para
determinar a força exercida entre
duas cargas elétricas.
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Lei de Coulomb
A repulsão eletrostática e a
atração eletrostática são
expressões diferentes da
força eletrostática entre dois
objetos eletrizados.
Em 1785, Charles Coulomb
propôs uma lei que permitia
calcular a força eletrostática
entre dois objetos pontuais,
cujas cargas elétricas são q1 e
q2.
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Lei de Coulomb
 Segundo a Lei de Coulomb,
a força eletrostática:
 Sempre atua na direção que
liga dois objetos eletrizados;
 É diretamente proporcional
ao produto das cargas dos
dois objetos;
 É inversamente proporcional
ao quadrado da distância
entre os dois objetos.
7Prof. Sardinha
Lei de Coulomb
y
0 x
q1 r12 = r2 – r1
q2
r2
r1
 𝐹12 = 𝑘 ∙
𝑞1. 𝑞2
 𝑟2 − 𝑟1 3
∙ 𝑟2 − 𝑟1
 𝐹12 = 𝑘 ∙
𝑞1. 𝑞2
 𝑟2 − 𝑟1 2
∙
 𝑟2 − 𝑟1
 𝑟2 − 𝑟1
𝑭𝟏𝟐 = 𝒌 ∙
𝒒𝟏. 𝒒𝟐
𝒓𝟏𝟐 𝟐
∙ 𝒓𝟏𝟐
8Prof. Sardinha
Lei de Coulomb
q1
q2
F12
F21
Atração
q1
q2
F12
F21
Repulsão
 𝒓𝟏𝟐
 𝒓𝟐𝟏
𝑭𝟐𝟏 = 𝒌 ∙
𝒒𝟐. 𝒒𝟏
𝒓𝟐𝟏 𝟐
∙ 𝒓𝟐𝟏
𝑭𝟏𝟐 = 𝒌 ∙
𝒒𝟏. 𝒒𝟐
𝒓𝟏𝟐 𝟐
∙ 𝒓𝟏𝟐
9Prof. Sardinha
Lei de Coulomb
A constante k é chamada de constante de
Coulomb ou constante eletrostática, dada por:
𝑘 =
1
4. 𝜋. 𝜀
Onde e é a chamada permissividade elétrica
do meio em que as cargas estão inseridas.
Em geral, a permissividade elétrica é dada por:
𝛆 = 𝛆𝐫. 𝛆𝟎
10Prof. Sardinha
Lei de Coulomb
Onde 𝛆𝟎 é a permissividade elétrica do espaço
livre dada por:
𝛆𝟎 ≅ 𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎
−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵.𝒎𝟐
E 𝛆𝐫 é a permissividade relativa ou constante
dielétrica do material, cujos valores são:
εr = 1 para o vácuo
εr = 1,0006 para o ar próximo à superfície da Terra
11Prof. Sardinha
Princípio da Superposição
 Dentre as muitas semelhanças com a Lei de
Gravitação de Newton, a Lei de Coulomb
atende ao Princípio da Superposição.
 Ou seja, em um sistema com N partículas
carregadas a interação ocorre aos pares e a
força a que está sujeita cada partícula é dada
pela soma vetorial de todas as interações.
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Lei de Coulomb
y
x
q1
F21
+
–
– q3q2
q4
+
F31
F41
 𝐹1 = 𝐹21 + 𝐹31 + ⋯+ 𝐹𝑁1
 𝐹1 = 
𝑛=2
𝑁
 𝐹𝑛1
13Prof. Sardinha
Exemplos
1. Em um átomo de hidrogênio, o elétron está separado
do próton por uma distância média de
aproximadamente 5,3 x 10–11 m.
a)Qual a intensidade (o módulo) da força eletrostática entre o
próton e o elétron?
b)Qual a força aplicada sobre o elétron pelo próton?
c)Qual a força aplicada sobre o próton pelo elétron?
d)E se o átomo estivesse imerso em um meio onde k = 3,0 x 109
N.m2/C2? Qual seria a intensidade da força eletrostática?
r = 5,3 x 10–11 m
q1 = + e q2 = – e
14Prof. Sardinha
Exemplos
2. Calcule a razão entre a força elétrica e a força
gravitacional exercida por um próton e um elétron de um
átomo de hidrogênio em uma região submetida ao vácuo.
Lembre-se que:
𝐹𝑔 = 𝐺.
𝑚1.𝑚2
𝑟2
e 𝐹𝑒 = 𝑘0.
𝑞1.𝑞2
𝑟2
Onde G é a constante gravitacional dada por:
𝐺 = 6,67 × 10−11
𝑁.𝑚2
𝑘𝑔2
E as massas são:
𝑚𝑝 ≅ 1,67 × 10
−18𝜇𝑔
𝑚𝑒 ≅ 9,11 × 10
−22𝜇𝑔
15Prof. Sardinha
Testes
1. O próton que constitui o núcleo do átomo de
hidrogênio atrai o elétron que orbita em torno
dele. Em relação a essa força, os elétrons atraem
os prótons com força menor, maior ou de mesma
intensidade?
2. Se um próton é repelido com uma certa força por
uma partícula carregada, como essa força
diminuirá se o próton for deslocado por uma
distância três vezes maior? E cinco vezes maior?
Qual o sinal da carga da partícula nesse caso?
16Prof. Sardinha
Testes
3. A figura mostra dois prótons e um elétron sobre
uma reta.
a) Qual é o sentido da força exercida pelo elétron sobre
o próton do meio?
b) Qual é o sentido da força exercida pelo outro próton
sobre o próton do meio?
c) Qual é o sentido da força total exercida sobre o
próton do meio?
e p p
17Prof. Sardinha
4. A figura mostra três arranjos de dois prótons e um elétron.
a) Ordene, em ordem decrescente, os arranjos de acordo com o módulo da
força exercida pelos prótons sobre o elétron.
b) No primeiro arranjo o ângulo entre a força total exercida sobre o elétron e
a reta d é maior ou menor que 45°?
Testes
e p p
d
D
ep p
d D
p
d
D
e
p
I. II.
III.
18Prof. Sardinha
Testes
5. Inicialmente uma esfera A, de carga – 50e, está
a 0,0025 mm de outra esfera B, de carga + 20e.
Se as duas esferas são idênticas e estão imersas
em vácuo, sobre o eixo y, sendo que A está na
origem e B está acima de A:
a) Qual a força que A aplica em B?
b) Se as duas forem colocadas em contato, qual será a
força que A aplicará em B, quando forem recolocadas
nas mesmas posições?
19Prof. Sardinha
1. Considere as cargas pontuais imersas no vácuo e
dispostas como na figura abaixo:
Se q1 = – 1,3 nC, q2 = q3 = 2,0 nC e q4 = 0,8 nC:
a)Qual a força resultante sobre q1?
b)E qual a força resultante sobre q2?
2,1
Exercícios
y
x (mm)
q2
–
q3q1
+
0
q4
5,7 9,5
+ +
20Prof. Sardinha
Exercícios
2. Considere três cargas pontuais imersas no vácuo e
localizadas nos vértices de um triângulo retângulo, como
na figura abaixo:
Se q1 = q3 = 5,00 mC, q2 = – 2,00 mC e a = 0,100 m, qual a
força resultante sobre q3?
y
x
q1
+– q3
q2
+
a
a
𝟐. 𝐚
21Prof. Sardinha
3. Considere as cargas pontuais imersas no vácuo e
dispostas como na figura abaixo:
Se q1 = 15,0 mC, q2 = 6,00 mC e a força resultante
sobre q3 é nula, qual é o valor de x?
x
Exercícios
y
x (m)
q2
–
q1q3
+
0 2,00
+
22Prof. Sardinha
Exercícios
4. Duas pequenas e idênticas esferas carregadas, cada
uma de 3,00 x 10–2 kg, imersas no vácuo, estão
suspensas em equilíbrio, como na figura abaixo:
Se o comprimento de cada corda é L = 0,150 m e o
ângulo é q = 5,00°, qual a carga de cada esfera?
qL
q q
+ a
L
+
q
23Prof. Sardinha
Exercícios
5. Dadas as partículas pontuais cujas cargas elétricas e posições
estão determinadas na tabela abaixo:
Qual a força elétrica resultante aplicada sobre a partícula 2?
Partícula
Carga 
Elétrica (mC)
x
(mm)
y
(mm)
Z
(mm)
1 + 3,5 – 2,0 0,0 0,0
2 – 6,7 0,0 – 2,0 0,0
3 – 8,9 0,0 0,0 – 2,0
24Prof. Sardinha
6. Considere as cargas pontuais imersas no vácuo e
dispostas como na figura abaixo:
Se q1 = 1,6 x 10
–19 C e q2 = 2.q1 :
a)Qual a força resultante sobre q1?
b) E se uma carga q3 = – q2 for colocada a 0,0150 m de q1?
c) E se q3 for colocada a 0,0150 m de q1, mas sobre uma
reta que faz um ângulo de 60° com o eixo x?
Exercícios
x (m)
q2
–
q1
0 0,0200
+
0,01500,010025Prof. Sardinha
7. Duas esferas condutoras iguais, A (de carga QA = +Q) e B
(eletricamente neutra), estão separadas por uma distância
a, muito maior do que os raios das esferas.
Supondo que a carga induzida nas esferas seja
desprezível, devido à distância entre elas, :
a)Se as esferas forem interligadas por um fio condutor
fino o suficiente para que a carga por ele acumulada seja
desprezível, qual será a força eletrostática entre as
esferas após o fio ser removido?
b)Se a esfera A for ligada momentaneamente à terra e,
em seguida, qual será a nova força eletrostática entre as
esferas após o aterramento ser removido?
Exercícios
26Prof. Sardinha
Campo Elétrico
O conceito de campo foi desenvolvido por
Michael Faraday (1791-1867).
Inicialmente era a ideia que se tinha para
explicar a ação à distância de forças como a
gravitacional, a elétrica e a magnética.
Como vimos, partículas que possuem carga
elétrica criam o campo elétrico ao redor de si e
interagem com outras partículas eletrizadas
através da troca de fótons, que transmitem a
força eletromagnética.
27Prof. Sardinha
Campo Elétrico
Portanto, dada uma partícula de carga Q e uma
segunda partícula de carga q, a força elétrica
recebida pela segunda partícula será exercida
pelo campo elétrico 𝑬 da primeira.
Sendo que variações nesse campo se propagam
à velocidade da luz.
É importante notar que o campo elétrico
independe da segunda partícula, mas a força
elétrica que esta sofrerá dependerá de sua carga.
28Prof. Sardinha
Campo Elétrico
O campo elétrico no ponto onde a carga teste se
encontra será a força resultante sobre ela dividida por
sua carga, q0, de forma que:
𝐸 =
 𝐹
𝑞0
Assim, a força de uma partícula de carga qi sobre uma
carga q0, localizada em um ponto P, sendo dada por:
 𝐹𝑖0 = 𝑘 ∙
𝑞𝑖 . 𝑞0
 𝑟𝑖𝑃 2
∙ 𝑟𝑖𝑃
29Prof. Sardinha
Campo Elétrico
O campo elétrico nesse ponto
será:
𝐸𝑖𝑃 = 𝑘 ∙
𝑞𝑖
 𝑟𝑖𝑃 2
∙ 𝑟𝑖𝑃
Ou seja, se uma partícula de
carga q0 < 0 for colocada sobre
o ponto P, a força:
 𝐹𝑖0 = 𝑘 ∙
𝑞𝑖 . 𝑞0
 𝑟𝑖𝑃 2
∙ 𝑟𝑖𝑃 +
q0
–
𝑭𝐢𝟎
qi
P 𝐫𝐢𝐏
𝑬𝐢𝐏
+
qi
P 𝐫𝐢𝐏
𝑬𝐢𝐏
30Prof. Sardinha
Exemplos
3. Uma carga puntiforme q1 = + 8,0 nC está sobre o eixo x,
na posição x1 = – 1,0 mm, enquanto outra carga
puntiforme q2 = + 12 nC está sobre o eixo x, na posição
x2 = 3,0 mm.
a) Determine o campo elétrico:
b) na posição xA = 6,0 mm.
c) na posição xB = 2,0 mm.
4. Uma carga puntiforme q1 = + 8,0 nC está sobre o ponto
(0,0; 0,0) do plano xy, enquanto outra carga puntiforme
q2 = + 12 nC está sobre o ponto (4,0; 0,0) do plano xy. Os
eixos estão com escala em centímetros. Determine o
campo elétrico resultante na posição (0,0; 3,0).
31Prof. Sardinha
Exemplos
5. Uma carga puntiforme + q está em x = a e uma
segunda carga puntiforme está em x = – a.
Determine o campo elétrico:
a)em um ponto arbitrário P (x > a, 0).
b)em seu limite para x >> a.
– +0
a a
P x
y
x
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Dipolos Elétricos
Um sistema de duas
cargas iguais, mas de
sinais opostos, separadas
por uma pequena
distância L, é chamado de
dipolo elétrico.
 Sua magnitude e
orientação são descritas
pelo momento de dipolo
(𝒑), que é um vetor que
aponta da carga negativa
para a positiva, de forma
que:
 𝑝 = 𝑞. 𝐿
–
𝒑
– q
+ q
𝑳
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Dipolos Elétricos
Dessa forma, sendo o
vetor que liga as duas
cargas:
𝐿 = 2. 𝑎. 𝑟
 Então:
 𝑝 = 2. 𝑎. 𝑞. 𝑟
Em termos do momento
de dipolo, o campo
elétrico no eixo do dipolo,
em um ponto a uma
grande distância |x| será:
𝐸 =
2. 𝑘. 𝑝
𝑟 3
. 𝑟
–
𝒑
– q
+ q
𝑳
34Prof. Sardinha
Ação do Campo Elétrico sobre Partículas 
Puntiformes Eletrizadas
Um campo elétrico uniforme pode exercer:
força sobre uma partícula eletrizada isolada,
causando-lhe uma aceleração em uma translação;
força sobre um dipolo elétrico, também causando-
lhe uma translação;
torque sobre um dipolo elétrico, causando-lhe
rotação.
Qualquer partícula eletrizada, quando
submetida a um campo elétrico, sofrerá a ação
de uma força elétrica devida a esse campo.
35Prof. Sardinha
Ação do Campo Elétrico sobre Partículas 
Puntiformes Eletrizadas
Sendo a força elétrica dada por:
𝐸 =
 𝐹
𝑞
⇒ 𝐹 = 𝑞. 𝐸
Pela 1ª Lei de Newton temos que:
 𝑎 =
 𝐹
𝑚
=
𝑞
𝑚
.𝐸
Ou seja, se uma partícula eletrizada sofre a ação de
um campo elétrico, através da força elétrica, ela
sofrerá uma aceleração na mesma direção do
campo.
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Ação do Campo Elétrico sobre Partículas 
Puntiformes Eletrizadas
Além disso, se e essa partícula
eletrizada penetrar esse
campo, sua aceleração terá:
O mesmo sentido do campo, se
ela for positiva.
O sentido oposto ao do campo,
se ela for negativa.
A figura representa partículas
inseridas em um campo
uniforme, ou seja, linhas de
campo paralelas e
equidistantes.
+
+
𝑬
𝑬
37Prof. Sardinha
Exemplos
6. Um elétron é projetado em um campo elétrico uniforme
𝐸 = (1000 𝑁 𝐶) 𝑖 com uma velocidade inicial 𝑣0 =
(2,0 × 106 𝑚 𝑠) 𝑖 . Qual a distância percorrida pelo
elétron antes que ele atinja momentaneamente o
repouso?
7. Um elétron entra em um campo elétrico uniforme 𝐸 =
(−2,0 𝑘𝑁 𝐶) 𝑗 com uma velocidade inicial 𝑣0 = (1,0 ×
106 𝑚 𝑠) 𝑖.
a) Qual a razão entre a força elétrica e a força
gravitacional exercidas sobre esse elétron?
b) Qual a deflexão do elétron depois de ele ter percorrido
1,0 cm na direção x?
Prof. SardinhaProf. Sardinha
Dipolos em campos elétricos
Um campo elétrico externo
uniforme possui força
resultante nula sobre um
dipolo.
Mas exerce um torque que
tende a girar o dipolo para
alinhá-lo com sua própria
direção.
+
–
𝑬
𝐩
 𝐅
 𝐅
39Prof. Sardinha
Dipolos em campos elétricos
Esse torque pode ser expresso por:
 𝜏 = 𝑝 × 𝐸
Se o dipolo gira de um ângulo dq, o campo
elétrico realiza um trabalho dado por:
𝑑𝑊 = − 𝜏. 𝑑𝜃 = −p. E. senθ. 𝑑𝜃
Como DU = – DW, temos:
𝑑𝑈 = −𝑑𝑊 = +p. E. senθ. 𝑑𝜃
Integrando:
𝑈 = −p. E. cosθ + 𝑈0 ⇒ 𝑈 = − 𝑝 ∙ 𝐸 + 𝑈0
40Prof. Sardinha
Sugestões para estudo
Leia o capítulo 21 e o capítulo 22 (até a seção 22-5,
depois 22-8 e 22-9) do livro “Halliday – Vol. 03”.
Responda as perguntas do final de capítulo:
Cap. 21 – Todas
Cap. 22 – 1 a 6, 9 e 10.
Resolva os problemas das seguintes seções:
Cap. 21 – Seção 21.4 e “Problemas Adicionais”
Cap. 22 – Seção 22.4, 22.5, 22.8 e 22.9.
Qualquer dúvida envie e-mail para:
farley.sardinha@multivix.edu.br