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Lista de Exer´ıcios - GAAV - Equac¸o˜es de Retas e Planos Professora Luciana Franc¸a da Cunha Aguiar Questa˜o 1. Seja a reta r : 5x+ 3y − 4 = 0. Qual dos pontos abaixo pertence a` reta r? A(1,−1/3) A(1,−1/3) B(0,−4/3) C(−4/5, 0) D(0, 0) E(1, 1) Questa˜o 2. O ponto A(0, a, b) pertence a reta determinada pelos pontos P (1, 5, 0) e Q(2, 3,−1). As coordenadas do ponto A e´: (0, 7, 1) Questa˜o 3. Calcular o valor de n para que seja de 30◦ o aˆngulo formado entre as retas: 1 ou 7 r : x = t y = 5 + n.t z = −2 + 2t e s : x− 2 4 = y + 4 5 = z 3 Questa˜o 4. O aˆngulo formado entre os planos e´: θ = 60◦ pi1 : x+ 2y + z − 10 = 0 e pi2 : 2x+ y − z + 1 = 0 Questa˜o 5. Determinar a equac¸a˜o reduzida da reta que conte´m o ponto A(3, 2) e que faz, com o eixo das abscissas, um aˆngulo de 45◦. y = x− 1 Questa˜o 6. Determine o valor aproximado do aˆngulo formado pelas retas: θ ∼= 5, 2◦ r : x+ 1 −1 = y + 3 2 = z 4 e s : x = −2 + h y = −2− 3h z = −5h Questa˜o 7. Determine o valor das inco´gnitas m e n para que as retas dadas sejam paralelas: -2 e -7 r : x = 2− 3t y = 3 + t z = mt e r : x− 4 n+ 1 = y + 4 2 = z −4 Questa˜o 8. Determinar o aˆngulo entre as retas de equac¸o˜es: 45◦ r : 2x− y + 1 = 0 e s : 3x+ y − 2 = 0. Questa˜o 9. Determinar a eq. geral da reta definida pelos pontos A(1, 4) e B(−2, 3). x− 3y + 11 = 0 Questa˜o 10. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r e o ponto A dados por: r : x− 1 = y + 3 = z e o ponto A(1, 0, 2). x+ 2y − 3z + 5 = 0 Questa˜o 11. Dados os pontos A(1, 0, 3), B(3,−2, 0) e C(1, 4, 5), pergunta-se: E´ poss´ıvel com apenas 3 pontos obtermos uma equac¸a˜o geral de um plano? Se sim, encontre-a. 2x− y + 2z − 8 = 0 Questa˜o 12. Seja o plano pi : 2x− y + 3z + 1 = 0, calcular: (a) O ponto de pi que tem abscissa igual a 1 e cota igual a -2; (1,−3,−2) (b) O valor de k para que o ponto P (−1,−k − 3,−k) pertenc¸a ao plano pi. k = 1 Questa˜o 13. Considere a reta r : X = (2, 1,−1) + t.(−2, 0, a), t ∈ R e o plano α : x− 2y + z + b = 0. E´ correto dizer que a reta r e´ paralela ao plano α quando: a = 2 e b = 0 Questa˜o 14. Determinar a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3, 4,−1) e e´ simultanea- mente ortogonal a`s retas: (x, y, z) = (3, 4,−1) + t.(−1,−2,−2) r1 : x = 5 y = t z = 1− t e r2 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + h.(2, 3,−4) Questa˜o 15. Encontre a equac¸a˜o geral do plano que conte´m o ponto P0 = (0, 1, 3) e seja ortogonal ao vetor → n= (3, 2, 5). 3x+ 2y + 5z − 17 = 0 Questa˜o 16. Obter a equac¸a˜o do plano que passa por P = (1, 2, 1) e Q = (3, 1,−1) e seja paralelo eixo y. x+ z − 2 = 0 Questa˜o 17. Calcular a equac¸a˜o do plano que passa por P = (1, 3, 3) e e´ paralelo ao plano xy. z−3 = 0 Questa˜o 18. Encontre a equac¸a˜o geral do plano que conte´m o ponto A = (3, 0, 1) e e´ paralelo aos vetores → u= (1, 2, 0) e → v= (0, 3, 1). 2x− y + 3z − 9 = 0 Questa˜o 19. Achar a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos P = (1, 2, 3) e Q = (1, 2, 0) e tem a direc¸a˜o do vetor → v= (2, 0, 3). y − 2 = 0 Questa˜o 20. Obter a equac¸a˜o do plano que conte´m os pontos A = (3, 0, 1), B = (2, 1, 1) e C = (3, 2, 2). x+ y − 2z − 1 = 0 Questa˜o 21. Obter os pontos de intersec¸a˜o do plano x+ 2y − 4z + 5 = 0 com os eixos coordenados. A = (−5, 0, 0), B = (0,−5 2 , 0 ) e C = ( 0, 0, 5 4 ) Questa˜o 22. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos A = (0, 1, 2) e B = (1, 3, 0) e seja paralelo ao eixo x. y + z − 3 = 0 Questa˜o 23. Achar m para que o ponto A = (m, 1, 2) pertenc¸a ao plano x+ 2y− z+ 5 = 0. m = −5 Questa˜o 24. Nas figuras abaixo, determine as equac¸o˜es dos planos, sabendo-se que: (a) α1 e´ paralelo ao plano yz; α1 : x− 2 = 0 (b) α2 passa por P e conte´m o eixo z; α2 : 2x− y = 0 (c) α3 e´ paralelo ao eixo y. α3 : x+ 2z − 4 = 0 Questa˜o 25. Achar a equac¸a˜o do plano que passa pela origem e e´ perpendicular ao vetor → u= (2,−1, 3). 2x− y + 3z = 0
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