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RESUMO_EDO_E_SERIES_AULAO_CALCULO_III

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AULÃO CÁCULO III – 13/06/2015 
 
Profs. Ivana Barreto Matos e Raimundo Almeida 
 
 
RESUMO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES 
MEMÓRIA DE CÁLCULO: 
SÉRIES 
Séries: Teste da divergência: 
0
nu∑ 
0 diverge
lim
0 nada a afirmarnn
ou
u
→∞
≠ ± ∞
= 

 
Critério da razão: 
0
nu∑ 
1
1 absolutamente converge
lim 1 diverge
1 nada a afirmar
n
n n
k
u
k k
u
k
+
→∞
<

= >

=
 
Critério da raiz: 
0
nu∑ 
1 absolutamente converge
lim 1 diverge
1 nada a afirmar
n
n
n
k
u k k
k→∞
<

= >

=
 
Série Geométrica: 
0
n
a r∑ 
| | 1 absolutamente converge
| | 1 diverge
r
r
<
 ≥
 
Série de Maclaurin 
( )
0
(0)( )
!
n
nff x x
n
=∑
 
Série de Taylor 
( )
0
( )( ) ( )
!
n
nf af x x a
n
= −∑
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 
Equações diferenciais exatas: 
( , ) ( , ) 0 ∂ ∂+ = =
∂ ∂
N MM x y dx N x y dy
x y
 
Equações lineares de 1ª ordem: 
( ) ( )+ =dy a x y f x
dx
 
( )( ) ( )( )−∫ ∫= +∫a x dx a x dxy e f x e dx C 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM 
Homogênea: 
1 2" ' 0y a y a+ + = 1 1 2 2hy C y C y= + 
∆ > = +
∆ = = +
∆ < = +
k x k x
h
kx kx
h
ax ax
h
caso y C e C e
caso y C e C xe
caso y C e bx C e sen bx
1 2
1 2
1 2
1 2
1º : 0
2º : 0
3º : 0 cos( ) ( )
 
Método de Lagrange: 
1ª ordem : ( )h
a x dx
y C e
−∫
=
 
( )( )p
a x dx
y C x e
−∫
=
’
 
2ª ordem: 
1 1 2 2hy C y C y= +
 
1 1 2 2( ) ( )py C x y C x y= + 
SISTEMA 1 1 2 2
1 1 2 2
' ( ) ' ( ) 0
' ( ) ' ' ( ) ' ( )
C x y C x y
C x y C x y f x
+ =

+ =
 
 
Método de Descart: 
xTipo y a y a y P x e1: " ' ( )1 2 α+ + =
 
α
α
α
α α
α α α
α α α
+ + ≠ =
+ + = + ≠ =
+ + = + = =
x
p n
x
p n
x
p n
caso a a y R x e
caso a a e a y x R x e
caso a a e a y x R x e
2
1 2
2
1 2 1
2 2
1 2 1
1º : 0 ( )
2º : 0 2 0 ( )
3º : 0 2 0 ( )
 
α αβ β
+ + =
= +
Tipo y a y a y f x
x xf x P x e x Q x e sen x
2 : " ' ( )1 2
( ) ( ) cos( ) ( ) ( )
 
α α
α α
α β
β β
α β
β β
+
= +
+
= +
x x
p
x x
p
caso i nãoé raizdacaracterística
y R x e x S x e sen x
caso i é raizdacaracterística
y x R x e x S x e sen x
1º :
( ) cos( ) ( ) ( )
2º :
( ( ) cos( ) ( ) ( ))

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