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AULÃO CÁCULO III – 13/06/2015 Profs. Ivana Barreto Matos e Raimundo Almeida RESUMO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES MEMÓRIA DE CÁLCULO: SÉRIES Séries: Teste da divergência: 0 nu∑ 0 diverge lim 0 nada a afirmarnn ou u →∞ ≠ ± ∞ = Critério da razão: 0 nu∑ 1 1 absolutamente converge lim 1 diverge 1 nada a afirmar n n n k u k k u k + →∞ < = > = Critério da raiz: 0 nu∑ 1 absolutamente converge lim 1 diverge 1 nada a afirmar n n n k u k k k→∞ < = > = Série Geométrica: 0 n a r∑ | | 1 absolutamente converge | | 1 diverge r r < ≥ Série de Maclaurin ( ) 0 (0)( ) ! n nff x x n =∑ Série de Taylor ( ) 0 ( )( ) ( ) ! n nf af x x a n = −∑ EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Equações diferenciais exatas: ( , ) ( , ) 0 ∂ ∂+ = = ∂ ∂ N MM x y dx N x y dy x y Equações lineares de 1ª ordem: ( ) ( )+ =dy a x y f x dx ( )( ) ( )( )−∫ ∫= +∫a x dx a x dxy e f x e dx C EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM Homogênea: 1 2" ' 0y a y a+ + = 1 1 2 2hy C y C y= + ∆ > = + ∆ = = + ∆ < = + k x k x h kx kx h ax ax h caso y C e C e caso y C e C xe caso y C e bx C e sen bx 1 2 1 2 1 2 1 2 1º : 0 2º : 0 3º : 0 cos( ) ( ) Método de Lagrange: 1ª ordem : ( )h a x dx y C e −∫ = ( )( )p a x dx y C x e −∫ = ’ 2ª ordem: 1 1 2 2hy C y C y= + 1 1 2 2( ) ( )py C x y C x y= + SISTEMA 1 1 2 2 1 1 2 2 ' ( ) ' ( ) 0 ' ( ) ' ' ( ) ' ( ) C x y C x y C x y C x y f x + = + = Método de Descart: xTipo y a y a y P x e1: " ' ( )1 2 α+ + = α α α α α α α α α α α + + ≠ = + + = + ≠ = + + = + = = x p n x p n x p n caso a a y R x e caso a a e a y x R x e caso a a e a y x R x e 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1º : 0 ( ) 2º : 0 2 0 ( ) 3º : 0 2 0 ( ) α αβ β + + = = + Tipo y a y a y f x x xf x P x e x Q x e sen x 2 : " ' ( )1 2 ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) α α α α α β β β α β β β + = + + = + x x p x x p caso i nãoé raizdacaracterística y R x e x S x e sen x caso i é raizdacaracterística y x R x e x S x e sen x 1º : ( ) cos( ) ( ) ( ) 2º : ( ( ) cos( ) ( ) ( ))
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