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Sistemas de Controle I - Aula 05 - Resposta no Domínio do Tempo - p2

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Aula 05
Resposta no Domínio do Tempo – P2
Ênio Prates Vasconcelos Filho
PUC-GO
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Tópicos
Δ Função de Transferência:
• Função de transferência de sistemas Mecânicos Translacionais;
Δ Resposta no Domínio do Tempo:
• Sistemas de Segunda Ordem;
• Resposta de Sistemas com Polos Adicionais;
• Resposta de sistemas com Zeros;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas de 2ª Ordem Subamortecidos
Δ O sistema de 2ª Ordem Subamortecido é bastante comum para representar
sistemas do mundo real;
Δ Definiremos parâmetros do regime transitório desse tipo de resposta;
Δ Relacionaremos esses parâmetros ao tipo de resposta do sistema;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta à uma entrada degrau
Δ Seja o sistema:
𝐶 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 =
𝐾1
𝑠
+
𝐾2𝑠 + 𝐾3
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
Δ (para que seja um sistema subamortecido, 𝜁 < 1)
Δ No domínio do Tempo, temos:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 cos 𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 +
𝜁
1 − 𝜁2
sin 𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡
= 1 −
1
1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 cos(𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 − ∅)
Δ Onde ∅ = tan−1(
𝜁
1−𝜁2
)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta à uma entrada degrau
Δ Considerando essa resposta, e variando 𝜁, temos o seguinte gráfico:
Δ Quanto menor o valor de 𝜁, maior a oscilação;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta à uma entrada degrau
Δ Já foram definidos 𝜁 e 𝜔𝑛, para um sistema de 2ª ordem;
Δ Definimos então:
• 𝑇𝑝, Instante de pico: Tempo necessário para alcançar o primeiro instante de
pico (máximo);
• %𝑈𝑃, Ultrapassagem Percentual: O quanto a forma de onda, no instante de
pico, ultrapassa o valor de estado estacionário;
• 𝑇𝑠 , Tempo de assentamento: tempo para que as oscilações entrem e
permaneçam numa faixa de +/-2% do valor de estado estacionário;
• 𝑇𝑟, Tempo de subida: Tempo necessário para que a onda vá de 0,1 a 0,9 de
seu valor final;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta à uma entrada degrau
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Cálculo de Tp
Δ O Valor de 𝑇𝑝 é obtido derivando c(t) em:
𝑐 𝑡 = 1 −
1
1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 cos(𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 − ∅)
Δ Trazendo c(t) para o domínio da frequência e fazendo sua derivação, temos:
ℒ 𝑐 (𝑡) = 𝑠𝐶 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
Δ Trazendo de volta para o domínio do tempo,
 𝑐 𝑡 =
𝜔𝑛
1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 sin 𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡
Δ Igualando a derivada a zero, temos:
𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 = 𝑛𝜋 ou 𝑡 =
𝑛𝜋
𝜔𝑛 1−𝜁2
Δ Cada valor de n fornece máximos e mínimos locais. Em n=0, temos t=0. Para n=1, temos
o primeiro ponto de pico (𝑇𝑝):
𝑇𝑝 =
𝜋
𝜔𝑛 1 − 𝜁2
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Cálculo de %UP
Δ O %UP é dado por:
%𝑈𝑃 =
𝑐𝑚𝑎𝑥 − 𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑥100
Δ O valor de 𝑐𝑚𝑎𝑥 é obtido calculando o
valor de c(t) no instante c(𝑇𝑝);
Δ 𝑐𝑚𝑎𝑥 = 𝑐 𝑇𝑝 = 1 + 𝑒
−(𝜁𝜋/ 1−𝜁2)
Δ 𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 1
%𝑈𝑃 = 𝑒−(𝜁𝜋/ 1−𝜁
2)𝑥100
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Cálculo de %UP
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Calculo de Ts
Δ Devemos encontrar o instante em que a amplitude da senoide amortecida
alcance o valor de 0,02:
1
1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 = 0,02
Δ Essa equação é uma estimativa conservadora, uma vez que admitimos que
todo o termo cossenoidal assume o valor 1 em Ts;
Δ Então:
𝑇𝑠 =
− ln(0,02) 1 − 𝜁2
𝜁𝜔𝑛
Δ O Ts pode ser aproximado por:
𝑇𝑠 =
4
𝜁𝜔𝑛
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Calculo de Tr
Δ Não é possível obter a relação analítica precisa entre o tempo de subida e a
relação de amortecimento;
Δ Entretanto, é possível obter, computacionalmente, uma relação para
valores padrão de 𝜁 e usar essa informação.
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Calculo de Tr
Δ Temos, então: Tempo de subida Normalizado = 𝜔𝑛𝑇𝑟
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Exercício Bônus
Δ Obtendo Tp, %UP, Ts e Tr a partir de uma função de transferência:
𝐺 𝑠 =
100
𝑠2 + 15𝑠 + 100
Δ𝜔𝑛 = 10 e 𝜁 = 0,75
Δ Esse sistema é o que?
• Subamortecido!
Δ 𝑇𝑝 =
𝜋
𝜔𝑛 1−𝜁2
= 0,475𝑠
Δ%𝑈𝑃 = 𝑒−(𝜁𝜋/ 1−𝜁
2)𝑥100 = 2,838%
Δ𝑇𝑠 =
4
𝜁𝜔𝑛
= 0,533𝑠
Δ Usando a Tabela, o tempo de subida normalizado é aproximadamente 2,3s.
Logo, 𝜔𝑛𝑇𝑟 = 2,3. Então, 𝑇𝑟 =0,23s
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
(b)
Posição dos Polos
Δ Dado um sistema genérico mostrado na figura ao
lado (a):
Δ Observando-o mais atentamente, temos (b):
Δ Definindo, para a posição do polo, 𝜔𝑑 =
𝜔𝑛 1 − 𝜁2(parte imaginária do polo) e 𝜁𝜔𝑛 =
𝜎𝑑(parte real do polo), podemos redefinir 𝑇𝑝 e 𝑇𝑠
como:
• 𝑇𝑝 =
𝜋
𝜔𝑛 1−𝜁2
=
𝜋
𝜔𝑑
• 𝑇𝑠 =
4
𝜁𝜔𝑛
=
4
𝜎𝑑
Δ𝜔𝑑: Frequência amortecida de Oscilação;
Δ𝜎𝑑: Frequência exponencial de amortecida
(a)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Observações
Δ𝑇𝑝: é inversamente proporcional à parte imaginária do Polo;
Δ Retas horizontais no plano s são linhas de valores imaginários constantes,
logo linhas onde o 𝑇𝑝 é constante;
Δ𝑇𝑠: é inversamente proporcional à parte real do Polo;
Δ Retas verticais no plano s são linhas de valores reais constantes, logo linhas
onde o 𝑇𝑠 é constante;
Δ 𝜁 = cos 𝜃, logo, linhas radiais são linhas de 𝜁 constante. Desse modo, nas
linhas radiais, %UP é constante;
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Observações
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Observações
Deslocando o polo em sentido vertical, altera-se a parte imaginária, mantém-se a parte
real:
• A medida que o polo se desloca na vertical (1 → 3), a frequência aumenta, mas a
envoltória permanece a mesma;
• %UP aumentaa medida que polo se desloca (1 → 3);
• 𝑇𝑝 diminui a medida que o polo se desloca (1 → 3);
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Observações
Δ Deslocando o polo em sentido horizontal, altera-se a parte real, mantém-se a parte imaginária:
• A medida que o polo se desloca na horizontal (1 → 2), a frequência se mantém, mas o
amortecimento aumenta;
• %UP diminui a medida que polo se desloca (1 → 2);
• 𝑇𝑝 é o mesmo a medida que o polo se desloca (1 → 2);
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Observações
Δ Deslocando o polo em sentido radial, altera-se a parte real e a parte imaginária:
• Quanto mais longe da origem, mais rápida a resposta;
• %UP permanece, a medida que polo se desloca (1 → 3);
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas com polos Adicionais
Δ As expressões até aqui obtidas são válidas para sistemas do tipo:
𝐺 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
Δ As deduções feitas até aqui não são válidas caso o sistema tenha zeros ou
polos adicionais;
Δ Entretanto, sistemas com mais de dois polos podem ser aproximados por
sistemas de dois polos dominantes em determinadas situações;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas com polos Adicionais
Exemplo - Seja o sistema de dois polos imaginários e um polo adicional Real,
sujeito a uma entrada degrau:
𝐶 𝑠 =
𝐴
𝑠
+
𝐵 𝑠 + 𝜁𝜔𝑛 + 𝐶𝜔𝑑
𝑠 + 𝜁𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑2
+
𝐷
𝑠 + 𝛼𝑟
Δ No domínio do tempo:
𝑐 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 + 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 𝐵 cos𝜔𝑑𝑡 + 𝐶 sin𝜔𝑑𝑡 + 𝐷𝑒
−𝛼𝑟𝑡
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas com polos Adicionais
Δ As partes de 𝑐 𝑡 são mostradas a seguir:
Δ Caso I: 𝛼𝑟 não é muito maior que 𝜁𝜔𝑛;
Δ Caso II: 𝛼𝑟 é muito maior que 𝜁𝜔𝑛;
Δ Caso III: 𝛼𝑟 = ∞;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas com polos Adicionais
Δ Representação das respostas de c(t):
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas com polos Adicionais
Δ Considerando o caso II (𝛼𝑟 ≫ 𝜁𝜔𝑛): a exponencial pura
desaparecerá muito mais rapidamente do que a resposta de
segunda ordem amortecida;
Δ Como os termos da exponencial pura se reduzem a um valor
insignificante no instante da 1ª ultrapassagem, os
parâmetros como %UP, 𝑇𝑝, 𝑇𝑠 e 𝑇𝑑 podem ser vistos como a
resposta do sistema de segunda ordem puro (caso III);
Δ No caso I, como a exponencial não se extingue, não se pode
desconsiderar a contribuição do polo extra ao sistema;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Sistemas com polos Adicionais
Δ Quando desprezar o polo adicional?
Δ Depende da prescrição que se queira dar ao sistema. Quanto mais distante
for o polo extra, mais precisa será a representação por um sistema de
segunda ordem;
Δ Consideraremos desprezível um polo cujo valor seja 5 vezes maior que a
constante de tempo 𝜁𝜔𝑛;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta de Sistemas com Zeros
Δ Até o momento, observamos que os zeros do sistema afetam a amplitude
da resposta (também conhecido como resíduo);
Δ Inicialmente, temos um sistema com polos em ( −1 ± 𝑗2,828 ). Ao
acrescentar os zeros em diferentes posições, temos:
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta de Sistemas com Zeros
Δ Quanto mais próximo estiver o zero dos polos dominantes, maior a
influência sobre a resposta transitória;
Δ A medida que o zero se afasta dos polos, a resposta tende a resposta do
sistema com dois polos e sem zeros;
Δ Uma outra forma de olhar: Seja C(s) uma função genérica de 2ª ordem,
com numerador unitário:
𝐶 𝑠 = 𝐹𝑇(𝑠)
Δ Ao acrescentarmos um zero ao sistema, temos:
𝑠 + 𝑎 𝐶 𝑠 = 𝑠 + 𝑎 𝐹𝑇(𝑠)
Δ Logo, como as partes são independentes, podemos dizer que:
𝑠 + 𝑎 𝐶 𝑠 = 𝑠𝐶 𝑠 + 𝑎𝐶(𝑠)
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta de Sistemas com Zeros
𝑠𝐶 𝑠 + 𝑎𝐶(𝑠)
Δ Temos a derivada do sistema original mais uma versão em escala do
sistema original;
Δ Se a (o valor negativo do zero) for muito grande, a transformada de Laplace
da resposta será aproximadamente 𝑎𝐶(𝑠);
Δ Para pequenos valores de “a”, devemos esperar um maior valor de
ultrapassagem;
Δ Caso “a” seja negativo: ao colocar o zero no SPD, temos um termo
derivativo negativo nos momentos iniciais;
Δ Desse modo, se nos instantes iniciais, 𝑠𝐶 𝑠 > 𝑎𝐶(𝑠) , teremos uma
resposta inicialmente negativa (sistemas de fase não mínima);
• Se uma moto ou avião forem sistemas de fase não mínima, ao serem
comandados para manobrar para a direita, inicialmente manobrarão para a
esquerda;
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SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO
Resposta de Sistemas com Zeros
Δ Sistema de fase não mínima
DÚVIDAS?
Contatos: 
E-mail: eniopvf@gmail.com
Skype: eniopvf
Twitter: eniopvf
Bibliografia:
• NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010;
• OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 4.ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 
2003;
• Carlos Alexandre – Prof. UFPE

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