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Aula 05 Resposta no Domínio do Tempo – P2 Ênio Prates Vasconcelos Filho PUC-GO R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Tópicos Δ Função de Transferência: • Função de transferência de sistemas Mecânicos Translacionais; Δ Resposta no Domínio do Tempo: • Sistemas de Segunda Ordem; • Resposta de Sistemas com Polos Adicionais; • Resposta de sistemas com Zeros; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Sistemas de 2ª Ordem Subamortecidos Δ O sistema de 2ª Ordem Subamortecido é bastante comum para representar sistemas do mundo real; Δ Definiremos parâmetros do regime transitório desse tipo de resposta; Δ Relacionaremos esses parâmetros ao tipo de resposta do sistema; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta à uma entrada degrau Δ Seja o sistema: 𝐶 𝑠 = 𝜔𝑛 2 𝑠 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛 2 = 𝐾1 𝑠 + 𝐾2𝑠 + 𝐾3 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛 2 Δ (para que seja um sistema subamortecido, 𝜁 < 1) Δ No domínio do Tempo, temos: 𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 cos 𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 + 𝜁 1 − 𝜁2 sin 𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 = 1 − 1 1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 cos(𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 − ∅) Δ Onde ∅ = tan−1( 𝜁 1−𝜁2 ) R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta à uma entrada degrau Δ Considerando essa resposta, e variando 𝜁, temos o seguinte gráfico: Δ Quanto menor o valor de 𝜁, maior a oscilação; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta à uma entrada degrau Δ Já foram definidos 𝜁 e 𝜔𝑛, para um sistema de 2ª ordem; Δ Definimos então: • 𝑇𝑝, Instante de pico: Tempo necessário para alcançar o primeiro instante de pico (máximo); • %𝑈𝑃, Ultrapassagem Percentual: O quanto a forma de onda, no instante de pico, ultrapassa o valor de estado estacionário; • 𝑇𝑠 , Tempo de assentamento: tempo para que as oscilações entrem e permaneçam numa faixa de +/-2% do valor de estado estacionário; • 𝑇𝑟, Tempo de subida: Tempo necessário para que a onda vá de 0,1 a 0,9 de seu valor final; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta à uma entrada degrau R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Cálculo de Tp Δ O Valor de 𝑇𝑝 é obtido derivando c(t) em: 𝑐 𝑡 = 1 − 1 1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 cos(𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 − ∅) Δ Trazendo c(t) para o domínio da frequência e fazendo sua derivação, temos: ℒ 𝑐 (𝑡) = 𝑠𝐶 𝑠 = 𝜔𝑛 2 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛 2 Δ Trazendo de volta para o domínio do tempo, 𝑐 𝑡 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 sin 𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 Δ Igualando a derivada a zero, temos: 𝜔𝑛 1 − 𝜁2𝑡 = 𝑛𝜋 ou 𝑡 = 𝑛𝜋 𝜔𝑛 1−𝜁2 Δ Cada valor de n fornece máximos e mínimos locais. Em n=0, temos t=0. Para n=1, temos o primeiro ponto de pico (𝑇𝑝): 𝑇𝑝 = 𝜋 𝜔𝑛 1 − 𝜁2 R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Cálculo de %UP Δ O %UP é dado por: %𝑈𝑃 = 𝑐𝑚𝑎𝑥 − 𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑥100 Δ O valor de 𝑐𝑚𝑎𝑥 é obtido calculando o valor de c(t) no instante c(𝑇𝑝); Δ 𝑐𝑚𝑎𝑥 = 𝑐 𝑇𝑝 = 1 + 𝑒 −(𝜁𝜋/ 1−𝜁2) Δ 𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 1 %𝑈𝑃 = 𝑒−(𝜁𝜋/ 1−𝜁 2)𝑥100 R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Cálculo de %UP R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Calculo de Ts Δ Devemos encontrar o instante em que a amplitude da senoide amortecida alcance o valor de 0,02: 1 1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 = 0,02 Δ Essa equação é uma estimativa conservadora, uma vez que admitimos que todo o termo cossenoidal assume o valor 1 em Ts; Δ Então: 𝑇𝑠 = − ln(0,02) 1 − 𝜁2 𝜁𝜔𝑛 Δ O Ts pode ser aproximado por: 𝑇𝑠 = 4 𝜁𝜔𝑛 R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Calculo de Tr Δ Não é possível obter a relação analítica precisa entre o tempo de subida e a relação de amortecimento; Δ Entretanto, é possível obter, computacionalmente, uma relação para valores padrão de 𝜁 e usar essa informação. R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Calculo de Tr Δ Temos, então: Tempo de subida Normalizado = 𝜔𝑛𝑇𝑟 R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Exercício Bônus Δ Obtendo Tp, %UP, Ts e Tr a partir de uma função de transferência: 𝐺 𝑠 = 100 𝑠2 + 15𝑠 + 100 Δ𝜔𝑛 = 10 e 𝜁 = 0,75 Δ Esse sistema é o que? • Subamortecido! Δ 𝑇𝑝 = 𝜋 𝜔𝑛 1−𝜁2 = 0,475𝑠 Δ%𝑈𝑃 = 𝑒−(𝜁𝜋/ 1−𝜁 2)𝑥100 = 2,838% Δ𝑇𝑠 = 4 𝜁𝜔𝑛 = 0,533𝑠 Δ Usando a Tabela, o tempo de subida normalizado é aproximadamente 2,3s. Logo, 𝜔𝑛𝑇𝑟 = 2,3. Então, 𝑇𝑟 =0,23s R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO (b) Posição dos Polos Δ Dado um sistema genérico mostrado na figura ao lado (a): Δ Observando-o mais atentamente, temos (b): Δ Definindo, para a posição do polo, 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜁2(parte imaginária do polo) e 𝜁𝜔𝑛 = 𝜎𝑑(parte real do polo), podemos redefinir 𝑇𝑝 e 𝑇𝑠 como: • 𝑇𝑝 = 𝜋 𝜔𝑛 1−𝜁2 = 𝜋 𝜔𝑑 • 𝑇𝑠 = 4 𝜁𝜔𝑛 = 4 𝜎𝑑 Δ𝜔𝑑: Frequência amortecida de Oscilação; Δ𝜎𝑑: Frequência exponencial de amortecida (a) R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Observações Δ𝑇𝑝: é inversamente proporcional à parte imaginária do Polo; Δ Retas horizontais no plano s são linhas de valores imaginários constantes, logo linhas onde o 𝑇𝑝 é constante; Δ𝑇𝑠: é inversamente proporcional à parte real do Polo; Δ Retas verticais no plano s são linhas de valores reais constantes, logo linhas onde o 𝑇𝑠 é constante; Δ 𝜁 = cos 𝜃, logo, linhas radiais são linhas de 𝜁 constante. Desse modo, nas linhas radiais, %UP é constante; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Observações R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Observações Deslocando o polo em sentido vertical, altera-se a parte imaginária, mantém-se a parte real: • A medida que o polo se desloca na vertical (1 → 3), a frequência aumenta, mas a envoltória permanece a mesma; • %UP aumentaa medida que polo se desloca (1 → 3); • 𝑇𝑝 diminui a medida que o polo se desloca (1 → 3); R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Observações Δ Deslocando o polo em sentido horizontal, altera-se a parte real, mantém-se a parte imaginária: • A medida que o polo se desloca na horizontal (1 → 2), a frequência se mantém, mas o amortecimento aumenta; • %UP diminui a medida que polo se desloca (1 → 2); • 𝑇𝑝 é o mesmo a medida que o polo se desloca (1 → 2); R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Observações Δ Deslocando o polo em sentido radial, altera-se a parte real e a parte imaginária: • Quanto mais longe da origem, mais rápida a resposta; • %UP permanece, a medida que polo se desloca (1 → 3); R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Sistemas com polos Adicionais Δ As expressões até aqui obtidas são válidas para sistemas do tipo: 𝐺 𝑠 = 𝜔𝑛 2 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛 2 Δ As deduções feitas até aqui não são válidas caso o sistema tenha zeros ou polos adicionais; Δ Entretanto, sistemas com mais de dois polos podem ser aproximados por sistemas de dois polos dominantes em determinadas situações; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Sistemas com polos Adicionais Exemplo - Seja o sistema de dois polos imaginários e um polo adicional Real, sujeito a uma entrada degrau: 𝐶 𝑠 = 𝐴 𝑠 + 𝐵 𝑠 + 𝜁𝜔𝑛 + 𝐶𝜔𝑑 𝑠 + 𝜁𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑2 + 𝐷 𝑠 + 𝛼𝑟 Δ No domínio do tempo: 𝑐 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 + 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 𝐵 cos𝜔𝑑𝑡 + 𝐶 sin𝜔𝑑𝑡 + 𝐷𝑒 −𝛼𝑟𝑡 R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Sistemas com polos Adicionais Δ As partes de 𝑐 𝑡 são mostradas a seguir: Δ Caso I: 𝛼𝑟 não é muito maior que 𝜁𝜔𝑛; Δ Caso II: 𝛼𝑟 é muito maior que 𝜁𝜔𝑛; Δ Caso III: 𝛼𝑟 = ∞; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Sistemas com polos Adicionais Δ Representação das respostas de c(t): R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Sistemas com polos Adicionais Δ Considerando o caso II (𝛼𝑟 ≫ 𝜁𝜔𝑛): a exponencial pura desaparecerá muito mais rapidamente do que a resposta de segunda ordem amortecida; Δ Como os termos da exponencial pura se reduzem a um valor insignificante no instante da 1ª ultrapassagem, os parâmetros como %UP, 𝑇𝑝, 𝑇𝑠 e 𝑇𝑑 podem ser vistos como a resposta do sistema de segunda ordem puro (caso III); Δ No caso I, como a exponencial não se extingue, não se pode desconsiderar a contribuição do polo extra ao sistema; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Sistemas com polos Adicionais Δ Quando desprezar o polo adicional? Δ Depende da prescrição que se queira dar ao sistema. Quanto mais distante for o polo extra, mais precisa será a representação por um sistema de segunda ordem; Δ Consideraremos desprezível um polo cujo valor seja 5 vezes maior que a constante de tempo 𝜁𝜔𝑛; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta de Sistemas com Zeros Δ Até o momento, observamos que os zeros do sistema afetam a amplitude da resposta (também conhecido como resíduo); Δ Inicialmente, temos um sistema com polos em ( −1 ± 𝑗2,828 ). Ao acrescentar os zeros em diferentes posições, temos: R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta de Sistemas com Zeros Δ Quanto mais próximo estiver o zero dos polos dominantes, maior a influência sobre a resposta transitória; Δ A medida que o zero se afasta dos polos, a resposta tende a resposta do sistema com dois polos e sem zeros; Δ Uma outra forma de olhar: Seja C(s) uma função genérica de 2ª ordem, com numerador unitário: 𝐶 𝑠 = 𝐹𝑇(𝑠) Δ Ao acrescentarmos um zero ao sistema, temos: 𝑠 + 𝑎 𝐶 𝑠 = 𝑠 + 𝑎 𝐹𝑇(𝑠) Δ Logo, como as partes são independentes, podemos dizer que: 𝑠 + 𝑎 𝐶 𝑠 = 𝑠𝐶 𝑠 + 𝑎𝐶(𝑠) R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta de Sistemas com Zeros 𝑠𝐶 𝑠 + 𝑎𝐶(𝑠) Δ Temos a derivada do sistema original mais uma versão em escala do sistema original; Δ Se a (o valor negativo do zero) for muito grande, a transformada de Laplace da resposta será aproximadamente 𝑎𝐶(𝑠); Δ Para pequenos valores de “a”, devemos esperar um maior valor de ultrapassagem; Δ Caso “a” seja negativo: ao colocar o zero no SPD, temos um termo derivativo negativo nos momentos iniciais; Δ Desse modo, se nos instantes iniciais, 𝑠𝐶 𝑠 > 𝑎𝐶(𝑠) , teremos uma resposta inicialmente negativa (sistemas de fase não mínima); • Se uma moto ou avião forem sistemas de fase não mínima, ao serem comandados para manobrar para a direita, inicialmente manobrarão para a esquerda; R E S P O S T A N O D O M I N I O D O T E M P O SISTEMAS DE CONTROLE I - 02/2015 – ÊNIO FILHO Resposta de Sistemas com Zeros Δ Sistema de fase não mínima DÚVIDAS? Contatos: E-mail: eniopvf@gmail.com Skype: eniopvf Twitter: eniopvf Bibliografia: • NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010; • OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 4.ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 2003; • Carlos Alexandre – Prof. UFPE
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