Transferência_de_Massa_UFB

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Edição de agosto de 2005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal da Bahia 
 
 
 
 
 
Samuel Luporini 
 
 
 
 
 
 
Transferência de Massa 
 
OBJETIVOS: 
1. Conhecimento básico das leis de transferência de massa indispensável a uma formulação correta 
dos problemas correntes de engenharia química. 
2. Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente, simular e avaliar processos de 
transferência de massa com ênfase em equipamentos de contato direto. 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
1. Fundamentos da transferência de massa 
1.1. Transferência de massa molecular 
1.2. O coeficiente de difusão 
1.3. Transferência de massa convectiva 
 
2. Equações diferenciais de transferência de massa 
2.1. A equação diferencial de transferência de massa 
2.2. Formas especiais da equação de transferência de massa 
2.3. Condições de contorno 
2.4. Modelagem de processos envolvendo difusão molecular 
 
3. Difusão molecular no estado estacionário 
3.1. Transferência de massa independente de reação química 
3.2. Sistemas associados com reação química 
3.3. Sistemas de duas e três dimensões 
3.4. Transferências simultâneas de momento, calor e massa 
 
4. Difusão molecular no estado transiente 
4.1. Difusão transiente e a segunda lei de Fick 
4.2. Difusão transiente em meio semi-infinito 
4.3. Difusão transiente em um meio finito sob condições de resistência de superfície 
 desprezível 
4.4. Cartas de concentração tempo para formas geométricas simples 
 
5. Transferência de massa convectiva 
5.1. Considerações fundamentais em transferência de massa convectiva 
5.2. Parâmetros significantes em transferência de massa convectiva 
5.3. Analise dimensional 
5.4. Análise exata da camada limite de concentração laminar 
5.5. Análise aproximada da camada limite de concentração 
5.6. Analogias entre transferência de massa, calor e momento 
5.7. Modelos para coeficientes de transferência de massa convectiva 
6. Transferência de massa convectiva entre fases 
6.1. Equilíbrio 
6.2. Teoria das duas resistências 
 
7. Correlações para transferência de massa convectiva 
7.1. Transferência de massa para placas, esferas e cilindros 
7.2. Transferência de massa envolvendo escoamento através de tubos 
7.3. Transferência de massa em colunas de parede molhada 
7.4. Transferência de massa em leitos fixo e fluidizado 
7.5. Transferência de massa gás-líquido em tanques agitados 
7.6. Coeficientes de capacidade para torres de recheio 
7.7. Modelagem para processos de transferência de massa envolvendo convecção 
 
8. Equipamentos de transferência de massa 
8.1. Tipos de equipamentos de transferência de massa 
8.2. Operações de transferência de massa gás-líquido em tanques de mistura perfeita 
8.3. Balanços de massa para torres de contatos contínuos 
8.4. Balanço de entalpia para torres de contatos contínuos 
8.5. Coeficientes de capacidade para transferência de massa 
8.6. Analises de equipamentos de contatos contínuos 
 
 
Bibliografia: 
WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., RORRER, G., Fundamentals of Momentum, Heat 
and Mass Transfer, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001. 
WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass 
Transfer, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984. 
BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGTHFOOT, E.N., Fenômenos de Transporte, 2a. edição, LTC 
EDITORA, 2004. 
CREMASCO, M.A., Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª. Edição revista, Editora 
UNICAMP, 2002. 
GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972. 
MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001. 
CUTLIP, M.B., SHACHAM, M., Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical 
Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999. 
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de ponto a 
ponto, há uma tendência natural da massa ser transferida, minimizando as diferenças de 
concentração entre os sistemas. 
 
o O transporte de um constituinte de uma região de alta concentração para aquela de menor 
concentração é chamado de transferência de massa. 
 
o Exemplos: 
o A remoção de poluente a partir de uma corrente de descarga por absorção. 
 ‘Stripping’ de gases por lavagem de água. 
o Difusão de nêutron em um reator nuclear. 
o A difusão de substâncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado. 
o A taxa de catalise química e reações biológicas. 
 
o A transferência de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos 
estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfície para um liquido em movimento, 
adicionado pelas características dinâmicas do escoamento. 
 
o Dois modos distintos de transporte: 
 molecular 
 convectivo 
 simultâneos 
 
 
1.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA MOLECULAR 
 
1815 ® Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais 
espécies moleculares, na qual as concentrações relativas variam de um ponto ao outro, um processo 
natural resulta em diminuir a desigualdade da composição, chamando de difusão molecular. 
 
O fluxo líquido de cada espécie molecular ocorre na direção de um gradiente de concentração 
negativo. 
 
Teoria cinética dos gases. 
 
A transferência de massa ou difusão ocorre somente em misturas. 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CONCENTRAÇÕES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
densidadeou totalmássica ãoconcentraç 
 A espécie da mássica ãoconcentraç 
mistura da volume
A de massa
A
=r
==r
 (1.1) 
 
 
(1.3) 1w
(1.2) w mássica Fração
n
1i
i
A
n
1i
i
A
A
=
r
r
=
r
r
==
å
å
=
=
 
n = número de espécie da mistura 
 
 A concentração molar da espécie A, cA é o número de moles de A presentes por unidade de 
volume da mistura. 
1 mol de A º massa equivalente ao seu peso molecular 
 
 
M
c
A
A
A
r
= (1.4) 
 
MA = peso molecular de A 
 
Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo: 
 
 
RT
p
V
n
c AAA == (1.5) 
 
Onde: PA = pressão parcial da espécie A na mistura 
 nA = número de moles da espécie A 
 V = volume do gás 
Moléculas de espécie AMoléculas de espécie A
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 T = temperatura absoluta 
 R = constante dos gases 
 
A concentração molar total, c, é o mole total da mistura por unidade de volume. 
 
 
RT
P
V
n
cc
n
1i
total
iå
=
=== (1.6) 
 
P = pressão total 
 
Fração molar de líquidos e sólidos: xA = cA/c 
 
Gases: yA = cA/c (1.7) 
 
Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais: 
 
(1.9) 1y e 1x
Dalton de Lei (1.8) 
P
p
RTPRTp
c
c
y
n
1i
i
n
1i
i
AAA
A
==
===
åå
==
 
Tabela 24.1 Concentrações em uma mistura binária com A e B (Welty) 
 
Exemplo 1: A composição do ar é muitas vezes dada em termos das duas espécies principais na 
mistura de gases: 
 
79,0yN
21,0yO
2
2
N2
O2
=Þ
=Þ
 
 
Determinar a fração mássica de O2 e N2 e o peso molecular médio do ar a 25o C e 1atm. 
 
 
Velocidades 
 Num sistema multicomponentes as varias espécies n, moverá normalmente a diferentes 
velocidades. A velocidade de mistura será a media das velocidades da cada espécie presente. 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
médiamolar e velocidada relativa i de difusão de e velocidadVv
média mássica e velocidada relativa i de difusão de e velocidadvv
molar média ade velocid(1.11) 
c
vc
V
ioestacionár eixo um para i de absoluta velocidadev
mássica média ade velocid(1.10) 
vv
v
i
i
n
1i
ii
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
=-
=-
=
=
r
r
=
r
r
=
å
å
å
å
=
=
=
=
rr
rr
r
r
r
rr
r
 
 
De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade 
média molar ou mássica somente se existir gradientes de concentração. 
 
Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura 
gasosa são: cm/s; 11 vcm/s; 19 vcm/s; 13 vcm/s; 10v z,NzO,HzO,zCO, 22 ==== 
 
Determinar: 
a) velocidade média molar da mistura 
b) velocidade média mássica da mistura 
c) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média molar da mistura 
d) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média mássica da mistura 
 
 
Fluxos 
 
É um vetor quantitativo atribuído a quantidade da espécie particular, em unidade mássica ou molar, 
que passa em um incremento de tempo através de uma área normal ao vetor. 
 
Podem ser definidos com referência a coordenadas fixas no espaço, coordenadas que movem com a 
velocidade média mássica ou molar. 
 
O fluxo molar na direção z: 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
zd
cd
DJ AABz,A -= 1ª Lei de Fick (1.12) 
 
DAB = difusividade mássica ou coeficiente de difusão do componente A difundindo em B. 
dcA/dz = gradiente de concentração na direção z. 
 
 
zd
yd
cDJ AABz,A -= (1.13) 
 
 O fluxo mássico na direção z: 
 
 
zd
wd
Dj AABz,A r-= (1.14) 
 
 
zd
d
Dj AABz,A
r
-= (1.15) 
 
 Para um sistema binário com uma velocidade média constante na direção z o fluxo molar 
relativo a velocidade média molar é: 
 
( ) VcJ zz,AAz,A -J= (1.16) 
 
Igualando (1.13) com (1.16), temos: 
 
( )
( ) ( )z,BBz,AAAzAz,BBz,AAz
zA
A
BA,z,AA
A
BA,zz,AAz,A
ccyVcou cc
c
1
V:sendo
Vc
dz
dy
cDc :Portanto
 
 
dz
dy
-cD VcJ
J+J=J+J=
+-=J
=-J=
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( )
:que temos
cN e cN
:são ioestacionár eixo ao relativo B eA scomponente dos fluxos Os
ccy
dz
dy
cDc:Logo
BBBAAA
z,BBz,AAA
A
BA,z,AA
J=J=
J+J+-=J
rrrr
 
 
 
( )
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
++-=
 solução da global
movimento do
resultante fluxo
 difusiva
ãocontribuiç da
resultante fluxo
z eixo ao
referênciac/ 
A de fluxo
NNy 
dz
dy
cD N z,Bz,AA
A
BA,z,A
 
 
 
( )
: temosforma mesma Da
mistura naA de difusão de ecoeficient D
(1.18) NyycD N
:nentemulticompo mistura uma para
(1.17) NNyycD N
MA,
n
1i
iAAMA,A
BAAABA,A
=
+Ñ-=
++Ñ-=
å
=
rr
rrr
 
 
( )
( )B,zA,zAAA,BA,z
B,zA,zA
A
A,BA,z
nnw
dz
dw
Dn
liquidos para NNx
dz
dx
cDN
++r-=
++-=
 
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas: 
 
cm/s. 11 cm/s; 19 cm/s; 13 cm/s; 10 z,Nz,OHz,Oz,CO 222 =J=J=J=J 
 
Determine para a temperatura de 105º C e 1 atm: 
a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura. 
b) Contribuição do fluxo convectivo de O2 na mistura. 
c) Fluxo molar total com referência ao eixo estacionário 
 
 
2. COEFICIENTE DE DIFUSÃO 
 
Lei de Fick Þ a constante de proporcionalidade é conhecida como coeficiente de difusão. 
 
 
 
( )w,T,PfD
t
L
L1LM
1
tL
M
dzdc
J
D
AB
2
32
A
z,A
AB
=
º
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
º
-
=
 
 
 
Idêntico as dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte. 
 
Viscosidade cinemática: n 
Difusividade térmica: a = k/rcp 
 
 
 
Difusividade mássica de gases 
 
- mistura gasosa de baixa densidade 
- teoria cinética dos gases 
Aumenta a 
mobilidade da 
molécula 
Gases ® 5 x 10-6 a 10-5 
m2/s 
líquidos ® 10-10 a 10-9 m2/s 
sólidos ® 10-14 a 10-10 m2/s 
DAB 
diminui 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 Movimento molecular para a superfície de um volume de controle 
 
Transferência de massa 
 
 
 
médio livre caminho 
Nd2
1
acaso aomolecular e velocidad
m
kT8
C
C
3
1
D
y
C
3
1
j
2
AA
A
y,A
Þ
p
=l
Þ
p
=
l=
¶
r¶
l=
 ? 
 
 k = constante de Boltzmann 
 N = concentração molecular 
 m = massa de uma molécula 
 CN
4
1
Z = 
 d = diâmetro da molécula esférica 
 Z = freqüência em que as moléculas alcançam a área Dx Dz 
 
0 (estacionário) 
( ) 0dv
t
dAn
CVCS
=r
¶
¶
+Jr òòòòò
rr
 ® Fluxo para frente = fluxo para trás 
Dy 
Dx 
x 
y 
rA = rA(y) 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
*A isótoposeu eA Ex 
 similares. moléculas de mistura uma de difusão de eCoeficient
m
Tk
Pd3
2
*D
PcRTNkT
:ideal gás um Para
m
kT
Nd3
2
*D :Logo
2133
223AA
21
223AA
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
p
=
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
=
 
 
 
A equação de Chapman-Enkosg: 
 
 
D
2
AB
21
BA
233
AB
P
M
1
M
1
T10x858,1
D
Ws
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
-
 
 
onde: DAB (cm2/s) 
 MA e MB = pesos moleculares 
 P = pressão absoluta (atm) 
 sAB = diâmetro de colisão, parâmetro de Leonard-Jones (Å) 
 WD = integral de colisão 
 
É válida para um par de gases apolares e moléculas não reagentes. 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
e
=W
AB
kT
f TABELA K.1 WELTY 
 
onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/K 
 eA = energia de interação molecular (ergs) 
 
Os parâmetros de Leonard-Jones s e eAB Þ TABELA K.2 WELTY 
 
Na ausência de dados experimentais:Fundamentos de Transferência de Massa 1.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
bA
cA
31
c
c
31
c
31
b
T15,1k
T77,0k
P
T
44,2
V841,0
V18,1
=e
=e
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=s
=s
=s
 
 
 
Vb = volume molar para o ponto normal de ebulição (cm3/gmol) Þ TABELA 24.4 WELTY 
Vc = volume molar crítico (cm3/gmol) 
Tc = temperatura crítica (K) 
Tb = temperatura de ebulição normal (K) 
Pc = pressão crítica em (atm) 
 
Para pares de moléculas apolares, tem-se 
 
 
BAAB
BA
AB 2
ee=e
s+s
=s
 
 
Para moléculas polar-polar e polar-apolar são discutidas por Bird e Cremasco 
 
Predição de DAB variando com a P e T 
 
 
2
1
1122
T,D
T,D
23
1
2
2
1
P,T,ABP,T,AB T
T
P
P
DD
W
W
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= 
 
Apêndice J.1 de Welty 
 
Exemplo 4: Avaliar o coeficiente de difusão para o CO2 no ar a 20ºC e 1 atm. Comparar com os 
dados experimentais. 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Quando os parâmetros de Lennard-Jones não são disponíveis pode-se utilizar a equação de Fuller. 
 
 
( ) ( )[ ]231
B
31
A
21
BA
75,13
AB
P
M
1
M
1
T10
D
åå J+J
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=
-
 J Þ TABELA 24.3 WELTY 
 
Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e 
Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases. 
a) CO2/ar 310 K e 1,5 x 105 Pa 
b) Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105 Pa 
e) SO2/ar 300 K e 1,5 x 105 Pa 
 
 
Exemplo 6. Reavaliar o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em ar a 20º C e 1 atm, 
utilizando a equação de Fuller, Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no 
exemplo 4. 
 
 
Para compostos polares, tem-se a equação de Hirschfelder com a integral de colisão avaliada por: 
 
( )
(K) ebulição de normal pontoT
)gmol/(cm ebulição de ponto no líquido domolar volumeV
(debyes) dipolo momento 
TV
10x94,1
:onde
T
169,0
b
3
b
p
bb
p
3
21
BAAB
2
AB
DoD
=
=
=m
m
=d
dd=d
d
+W=W
*
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( )
( ) ( ) ( )*HTexp
G
*FTexp
E
*DTexp
C
*T
A
T3,1118,1
k
kkk
kT
T*
BDo
b
2
21
BAAB
AB
+++=W
d+=
e
÷÷
ø
ö
çç
è
æ e
+
e
=
e
e
=
 
 
A = 1,06036 E = 1,03587 
B = 0,15610 F = 1,52996 
C = 0,19300 G = 1,76474 
D = 0,47635 H = 3,89411 
 
 ( )
31
2
b
21
BAAB
AB
3,11
V585,1
colisão de diâmetro
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
d+
=s
ss=s
=s
 
 
 
Mistura de gases (WILKE) 
 
 
 
 
yyyy
y
y 1 de livremolar Fração
D
y
D
y
D
y
1
D
n432
2
2
n,1
n
3,1
3
2,1
2
mistura,1
+++
=¢Þ
¢¢
+
¢
=
L
L
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo 7: Determinar a difusividade do monóxido de carbono através de uma mistura de gases na 
qual a fração molar de cada componente são: 
 
10,0y,70,0y,2,0y CONO 22 === 
 
O gás esta a 298 K e 2 atm de pressão total. 
 
 
Exemplo 8 (24.14 – WELTY) 
Determinar a difusividade do dióxido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte 
Composição: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105 Pa. 
 
DIFUSIVIDADE MÁSSICA EM LÍQUIDOS 
 
Equação de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinâmica. 
 
 
B
AB 6
kT
D
pm
= Solução diluída de não eletrólitos. É uma equação pouco precisa 
 
Em geral: ( )Vf
kT
D AB = Função do volume molar 
 
Equação de Wilke-Chang para não eletrólitos: 
( )
6,0
A
21
BB
8
AB
B
V
M10x4,7
T
D f
=m
-
 
 
Onde: mB = viscosidade da solução de não eletrólitos cP 
 VA = volume molar no ponto normal de ebulição (TABELAS 24.4 E 24.5– WELTY) 
 fB = parâmetro de associação para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) 
 Deduções de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) 
 
Exemplo 9 
Estimar o coeficiente de difusão em liquido do etanol (C2H5OH) em solução diluída de água a 10oC 
O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5. 
 
Hayduk e Laudie propuseram a equação: 
 
 589,0A
14,1
B
5
AB V10x26,13D
--- m= . Com resultados semelhantes a equação Wilke-Chang. 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
O coeficiente de difusão de um sal univalente em soluções diluídas pode ser calculado utilizando a 
equação de Nernst 
 
 
eequivalent Coulumbs/g 96500Faraday de constante
CREMASCO - 1.10 Tabela
 
cm
eequivalent g
cm
 voltAmp
zero ãoconcentraç a iônica acondutânci,
gmol.K/J316,8R
11
RT2
D
33
oo
2
oo
AB
==Á
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=ll
=
Á÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
l
+
l
=
-+
-+
 
 
Substituindo 2 por 1/n+ + 1/n- onde n+ e n- são as valências do cátion e anion. 
Para temperaturas diferentes de 25oC, estes parâmetros podem ser estimados a partir da seguinte 
correlação: 
 
 ( ) ( )
32
C25iTCiT
)25T(c)25T(b)25T(aoo -+-+-+l=l Tabela 1.11 – CREMASCO 
 
Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difusão em solução diluída do cloreto de potássio a 30o C. 
Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5 cm2/s. 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.15 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
 
DIFUSÃO EM SÓLIDOS CRISTALINOS 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.16 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
 
 
• Arranjos nas estruturas cristalina: cúbica, CCC, CFC. 
• Movimento do soluto ® ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstícios 
entre os átomos da matriz cristalina. 
• A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energética 
‘Q’ determinada pela energia de ativação. 
 
 
 
 
 
Exercício 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000º C. Analise os 
resultados. 
 
Q 
difusão 
z 
Energia 
RTQ
oAB eDD
-= 
Q = energia de ativação difusional (cal/mol) 
R = 1,987 cal/mol K 
Do = coeficiente de difusão sem que 
houvesse a necessidade de salto energético 
Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.17 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
DIFUSÃO EM SÓLIDOS POROSOS 
 
 
 
 
 
 
a) Difusão de Fick ou ordinária 
b) Difusão de Knudsen 
c) Difusão configuracional 
 
Difusão ordinária 
• Poros maiores que o livre caminho médio das moléculas difundentes. 
 
 
dz
dC
DJ Aefz,A -= 1ª Lei de Fick 
 
Def = coeficiente efetivo aparece em razão da natureza tortuosa do sólido poroso. 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.18 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
t
e
=
p
ABef DD 
 
 ep = porosidade 
 t = tortuosidade Þ TABELA 1.14 – CREMASCO 
 
 t = 4,0 
 ep = 0,5 Þ Na ausência de dados tabelados 
 
 
 
 
Difusão de Knudsen 
 
 Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho médio do difundente, ocorre colisões 
com as paredes dos poros. 
 
 pk d3
1
D W= 
 
 dp = diâmetro médio dos poros (cm) 
 W = velocidade média molecular (cm/s) 
 
 
[ ]
[ ]cm 
S
V2
S
2
r
s/cm 
M
T
r10x7,9D
p
B
p
p
2
21
A
p
3
k
=
r
e
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.19 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Onde: ep = porosidade do sólidoS = área da matriz porosa 
 rB = massa especifica aparente do sólido 
 Vp = volume especifico do poro da partícula sólida 
 
Quando a tortuosidade do poro é considerada, efetuar a correção: 
 
 
t
e
= pKKef DD 
 
Devido a estrutura do sólido poroso, um soluto gasoso, ao se difundir, pode deparar com vários 
tamanhos de poros, ocorrendo a difusão ordinária e a de Knudsen, logo: 
 
 
{ 321321
Knudsen
Kef
Fick de Lei1
 a segue
ordinária
ef
efetivo
Aef D
1
D
1
D
1
a
+= 
 
 
Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difusão do dióxido de carbono em partícula 
catalítica esférica de alumina a 30º C. 
 
 
Difusão configuracional 
 
• Ocorre em matrizes porosas (zeólitas). 
• Macro e microporos. 
• Arranjo tipo colméia ® peneira molecular. 
• A difusão ocorre devido a saltos energéticos do solutos pelos microporos. 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ -
=
RT
Q
expDD oA zeo Þ TABELA 1.16 – CREMASCO 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.20 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
Difusão em membranas 
 
• Osmose inversa 
• Ultrafiltração 
• Diálise 
• Perevaporação 
• Perpetração 
 
• Podem ser de materiais cerâmicos ® inorgânicos 
• ou materiais poliméricos ® orgânicos 
 
• A difusão do soluto em polímeros ocorre por um processo de estado ativado, via saltos 
energéticos, ocupando vazios na estrutura polimérica. 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
RT
Q
expDD oa me Þ TABELA 1.17 - CREMASCO 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.21 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30º C para as seguintes situações: 
a) difusão em um membrana de borracha butilica. 
b) difusão em uma membrana de polibutadieno. 
c) difusão em uma membrana de poli(dimetil butadieno). 
 
 
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.22 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA 
 
o Envolve um fluido em movimento e uma superfície ou entre dois fluidos em movimento 
relativamente imiscíveis. 
o Depende das propriedades de transporte e das características dinâmicas do fluido em 
escoamento. 
o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido Þ 
convecção forçada. 
o Movimento do fluido causado pela diferença de densidade, a qual é conseqüência da diferença 
de concentração ou temperatura Þ convecção natural. 
 
AcA ckN D= Þ Equação da taxa de transferência de massa convectiva, generalizada de uma 
maneira análoga a lei de resfriamento de Newton. 
 
 NA = Transferência de massa molar, 
DcA = diferença entre a concentração da superfície e a concentração média da corrente de 
fluido da espécie A se difundindo. 
kc = coeficiente de transferência de massa convectivo. 
 
o Transferência de massa molecular: a transferência de massa convectiva ocorre na direção do 
decréscimo de concentração. 
o kc inclui as características de escoamento laminar e turbulento. 
o kc é uma função da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, DcA. 
o Similaridades entre kc e h Þ técnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc. 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPITULO 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle apropriado 
é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
controle de
 volumeno massa de
 acúmulo de Taxa
controle de
 volumeno massa de
produção de Taxa
controle de
 volumeno sai que
 massa de Taxa
controle
de volumeno entra
que massa de Taxa
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
(2.1) 
 
 A transferência de massa através da área zyDD para x será : 
 
 AAAxx,AA nou zy Jr=DDJr
r
 
 
O fluxo líquido (entrada-saída) do constituinte A será: 
 
 
zzA,zzzA,
yyA,yyyA,
xxA,xxxA,
yxnyxn :z direção an e
zxnzxn :y direção an
zynzyn : xdireção an
DD-DD
DD-DD
DD-DD
D+
D+
D+
 
 
A taxa de acúmulo de A no volume de controle será: 
 
yD
? y 
x 
y 
z 
xD zD 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 zyx
t
A DDD
¶
r¶
 
 
Se A é produzido no interior do volume de controle por uma reação química a uma taxa rA (massa 
de A produzida)/(volume×tempo), a taxa de produção de A é: 
 
 zyxrA DDD 
 
Substituindo cada termo na equação (2.1) temos: 
 
0r
tz
nn
y
nn
x
nn
: termosos cancelando e ,zyx volumepelo Dividindo
0zyxrzyx
t
yxn
yxnzxnzxn zynzyn 
A
AzzA,zzzA,y
yA,yyyA,xxA,xxxA,
A
A
zzA,
zzzA,yyA,yyyA,xxA,xxxA,
=-
¶
r¶
+
D
-
+
D
-
+
D
-
DDD
=DDD-DDD
¶
r¶
+DD-
DD+DD-DD+DD-DD
D+D+D+
D+D+D+
 
 
 
(2.3) 0r
t
n
A componente o para decontinuida da equaçãoA 
(2.2) 0r
tz
n
y
n
x
n
: temoszero a tendendo? z e? y ? x, com limite o Avaliando
A
A
A
A
Az,Ay,Ax,A
=-
¶
r¶
+×Ñ
=-
¶
r¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
r
 
 
Uma equação da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B. 
 
 0r
t
n B
B
B =-¶
r¶
+×Ñ
r
 (2.4) 
 
Adicionando os dois componentes, nós obtemos: 
Operador divergente 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( ) ( ) ( ) 0rr
t
nn BA
BA
BA =+-¶
r+r¶
++×Ñ
rr
 
 
Para uma mistura binária vale: 
 
 Jr=Jr+Jr=+
rrrrr
 nn BBAABA 
 
 r=r+r BA 
 
 rr BA -= 
 
Logo: 
( )
 0
t
=
¶
r¶
+Jr×Ñ
r
 (2.5) 
 
Da definição de derivada substantiva: 
 
 Ñ×J+
¶
¶
=
r
tDt
D
 
 
 
 
Figura 3.2 Cremasco 
 
Logo: 
 0
Dt
D
=J×Ñr+
r r
 
 
em termos de fração molar: 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 0rJ
Dt
Dw
AA
A =-×Ñ+r
r
 
 
 0rJw
t
w
AAA
A =-×Ñ+Ñ×Jr+
¶
¶
r
rr
 
 
Em termos de unidades molares: 
 
 0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 Componente A 
 
 0R
t
c
N B
B
B =-¶
¶
+×Ñ
r
 Componente B 
 
 
e a mistura: 
 ( ) ( ) ( ) 0RR
t
cc
NN BA
cA
BA
A =+-
¶
+¶
++×Ñ
rr
 
 
 J=J+J=+
rrrrr
cccNN BBAABA 
 
 ccc BA =+ 
 
 Não se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo 
tanto de B (ou vice-versa). 
 
 BA « 
 
em geral: 
 
 ( ) 0RR
t
c
c BA =+-¶
¶
+J×Ñ
r
 
 
 [ ] ( )BA RRcct
c
+=J×Ñ+Ñ×J+
¶
¶ rr
 
 
 
 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
FORMAS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
Temos a equação para o componente A: 
 
 A
A
A Rt
c
N =
¶
¶
+×Ñ
r
 
 
 Como: ( )BAAAABA NNyycDN
rrr
++Ñ-= 
 
e seus equivalentes: 
 
 J+Ñ-=
rr
AAABA cycDN 
 
e ( )BAAAABA nnwwDn
rrr
++Ñr-= 
 
e seu equivalente: 
 
 Jr+Ñr-=
rr
AAABA wDn 
 
nós obtemos: 
 
 0r
t
wD A
A
AAAB =-¶
r¶
+Jr×Ñ+Ñr×Ñ-
r(2.6) 
 
 
 0R
t
c
cycD A
A
AAAB =-¶
¶
+J×Ñ+Ñ×Ñ-
r
 (2.7) 
 
 
SIMPLIFICAÇÕES 
 
a) Se a densidade da mistura, r, e o coeficiente de difusão, DAB, são assumidos constantes, a 
equação (2.6) torna-se: 
 
 
 
 
 
{ 0rt
D A
A
A
decontinuida da equação
0
AA
2
AB =-¶
r¶
+rÑJ+J×Ñr+rÑ-
=
rr
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Dividindo cada termo pelo peso molecular 
 
 
( ) ( )geração
difusiva
ãocontribuiç
acúmulo
convectiva
ãocontribuiç
RcD
t
c
c AA
2
AB
A
A
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+Ñ=
¶
¶
+Ñ×J
r
 (2.8) 
 
b) RA = 0: sem reação química, r e DAB = constantes 
 
 A
2
AB
A
A cDt
c
c Ñ=
¶
¶
+Ñ×J
r
 
 
 ou A
2
AB
A cD
tD
cD
Ñ= 
 
c) 0=J
r
, RA = 0: sem reação química, r e DAB = constantes 
 
 A
2
AB
A cD
t
c
Ñ=
¶
¶
 2ª Lei de Fick da difusão. 
 
 - Líquidos estagnados 
 - Sólidos 
 
d) As equações dos itens a, b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado 
estacionário, isto é: 
 
 0
t
c A =
¶
¶
 
 
Se 0c A
2 =Ñ temos a equação de Laplace. 
 
Laplaciano 2Ñ : coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. 
 
2ª Lei de Fick 
 
 ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
2
A
2
2
A
2
2
A
2
AB
A
z
c
y
c
x
c
D
t
c
 Coordenadas retangulares. 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
q¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
2
A
2
2
A
2
2
A
2
A
2
AB
A
z
cc
r
1
r
c
r
1
r
c
D
t
c
 Coordenadas cilíndricas. 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
f¶
¶
q
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
q¶
¶
q
q¶
¶
q
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
2
A
2
2
A
2
A2
2AB
A c
senr
1c
sen
senr
1
r
c
r
rr
1
D
t
c
 Coordenadas 
esféricas. 
 
 A equação diferencial geral para transferência de massa do componente A, ou a equação da 
continuidade de A são descritas nas 3 coordenadas, como: 
 
 A
z,Ay,Ax,AA R
z
N
y
N
x
N
t
c
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
 
 ( ) Az,A,Ar,AA Rz
NN
r
1
Nr
rr
1
t
c
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
q¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶ q 
 
 ( ) ( ) A,A,Ar,A22A R
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
f¶
¶
q
+q
q¶
¶
q
+
¶
¶
+
¶
¶ f
q 
 
 
CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM 
 
 As condições de contorno e inicial utilizadas são muito similares à aquelas de transferência 
de calor. 
 Condições iniciais: 
 
 Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares) 
 
 Para t = 0, rA = rA0 (unidades mássicas) 
 
 As condições de contorno geralmente encontradas, são: 
 
a) A concentração na superfície pode ser especificada: 
 
 cA = cA1 , frações molares 
 
 yA = yA1, gases 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 xA = xA1, líquidos e sólidos 
 
 rA = rA1, concentração mássica 
 
 wA = wA1, fração mássica 
 
 Quando o sistema é um gás pode-se utilizar a pressão parcial pela lei Dalton: 
 
 pA = pA1 = yA1P 
 
 Para casos específicos de difusão de um líquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a 
equação da lei de Rault: 
 
 pA1 = xAPA 
 
onde: xA = fração molar da fase líquida 
 PA = pressão de vapor de A na transferência ao líquido 
 
 
 
 
b) O fluxo mássico para a superfície pode ser especificado como, por exemplo: 
 
 jA = jA1 ou NA = NA1 
 O fluxo na superfície pode ser: 
 
 
0z
A
ABz,A dz
dw
Dj
=
r-= 
 
 Em superfícies impenetráveis: jA,z = 0 
 
c) A taxa de reação química pode ser especificada: 
 
 1A11A ckN = reação de 1ª ordem, sendo k1 a constante da taxa. 
 
 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
d) Quando o fluido esta escoando sobre uma fase, a espécie pode ser perdida a partir da fase de 
interesse por transferência de massa convectiva. 
 
 ( )¥-= A1Ac1A cckN 
 
 cA¥ = concentração de A na corrente de fluido. 
 cA1 = concentração de A no fluido adjacente a superfície. 
 kc = coeficiente de transferência de massa convectivo. 
 
 
EXEMPLO 2.1: 
Num cilindro de combustível nuclear com material fissionável, a taxa de produção de nêutrons é 
proporcional a concentração de nêutrons. Use a equação diferencial de transferência de massa para 
escrever a equação diferencial que descreve o processo de transferência de massa. Liste suas 
condições de contorno. 
 
EXEMPLO 2.2: 
Numa câmara de combustão, o oxigênio difunde através de um filme de ar para a superfície de 
carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equação: 
 
22 COCO2O2C3 +®+ 
 
 
 
 
 
a) Escreva a equação diferencial especifica para este processo em estado estacionário para o 
componente O2. 
b) Escreva a lei de Fick para o componente oxigênio. 
z = 0 
O2 CO CO2 
z = d 
 Difusão em regime permanente 3.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 3: DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE 
 
 Temos a equação diferencial de transferência de massa: 
 
 0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 
 
RA = taxa de produção química do componente A dentro da fase através da qual a massa esta sendo 
transferida. 
 
 
t
c A
¶
¶
 = acumulo de A dentro da fase. 
 
 AN×Ñ = taxa líquida de fluxo mássico do componente A. 
 
 
t
c A
¶
¶
 = 0 no estado estacionário, ou seja, a concentração de A não varia com o tempo. 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAÇÃO 
QUÍMICA 
 
 Num sistema binário, o componente z deste fluxo é expresso por: 
 
 ( )z,Bz,AAAABz,A NNydz
dy
cDN ++-= 
 
 
3.1 DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO 
 
Encontrar o fluxo molar da difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado 
Hipóteses: T e P = constantes 
 B é quimicamente inerte a A 
 Solubilidade de B em A é desprezível 
 
 Difusão em regime permanente 3.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
Figura 3.1 Célula de difusão de Arnold 
 
Solução: 
( )
,lnB
2A1A
12
AB
z,A y
yy
zz
cD
N
-
-
= (3.1) 
 
 Para um gás ideal: 
P
p
ye
RT
P
V
n
c AA === , substituindo em (3.1), temos: 
 
 ( )
( )
ln,B
2A1A
12
AB
z,A p
pp
zzRT
PD
N
-
-
= (3.2) 
 
 As equações (3.1) e (3.2), correspondente a difusão em estado estacionário de um gás 
através de um segundo gás estagnado. 
Um difunde e o outro não è absorção e umidificação. 
 A equação (3.2) tem sido usada para descrever o coeficiente de transferência de massa 
convectivo pela teoria do filme. 
 
 
Figura 3.2 Modelo do filme para a transferência de massa do componente A movendo para a 
corrente gasosa. 
Líquido puro A 
z = z1 
z = z2 
Dz 
NAz|z 
NAz|z+Dz 
Gás B escoando 
Escoamento 
de gás B 
Líquido A 
Líquido A 
z = d 
z = 0 NAz 
Corrente de gás principal 
 
Filme de gás movendo lentamente 
 Difusão em regime permanente 3.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 Neste caso z2 – z1 = d, logo a equação (3.2) fica: 
 
 
 
( )
ln,B
2A1AAB
z,A p
pp
RT
PD
N
-
d
= 
 
 Pela definiçãode convecção temos: 
 
 ( )2A1Acz,A cckN -= ou 
 
 ( )2A1Acz,A RT
k
N r-r= 
 
Por comparação o coeficiente de transferência de massa convectivo é: 
 
 
d
=
,lnB
AB
c p
PD
k 
 
Modelo do filme sugere que ABc Dk µ 
 
Outros modelos (capítulo 28 – Welty) 1 a 0,5 n :onde ,Dk nABc =µ 
 
Determine o perfil de concentração para a difusão através de um filme gasoso inerte estagnado e 
também sua concentração media. 
 
 Solução: 
( ) ( )121 zzzz
1B
2B
1B
B
y
y
y
y
--
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= Perfil de concentração 
 
 ( ) ,lnB1b2B
1B2B
B yyyln
yy
y =
-
= Concentração média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exercício 3.1: 
Através de uma abertura acidental de uma válvula, água foi espalhada no chão de uma planta 
industrial em uma área remota de difícil acesso. Estimar o tempo necessário para evaporar a água 
nas vizinhanças que esta estagnada. A camada de água é de 0,04’’, que pode ser assumida constante 
a temperatura de 75º F. O ar esta a 75º F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de água/lb 
ar seco. A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás 
de espessura 0,20 in. 
Resposta: 2,73 hrs 
 
 
3.2 DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO 
 
· Um dos contornos move com o tempo 
· Após um intervalo de tempo longo, nota-se a variação no nível do líquido a partir do topo do 
capilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 Célula de difusão de Arnold com liquido se movendo na superfície. 
 
· Sobre um intervalo de tempo considerável somente uma pequena fração de difusão. 
· t1 – t0 => longo tempo. 
· O fluxo molar na fase gasosa estagnada é: 
 
 
( )
zzz onde ,
y
yy
z
cD
N 12
,lnB
2A1AAB
z,A =-
-
= (3.2.1) 
 
Dz 
z = z1 para t0 = zto 
z = z1 para t1 = zt 
 
Líquido puro A 
NAz|z 
NAz|z+Dz 
Gás B escoando 
 Difusão em regime permanente 3.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
· O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por: 
 
 líquida fase naA demolar densidade 
M
 onde ,
dt
dz
M
N
A
L,A
A
L,A
z,A =
rr
= (3.2.2) 
 
 Em condições pseudo-estacionária, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2), 
 
 
( )
,lnB
2A1AAB
A
L,A
y
yy
z
cD
dt
dz
M
-
=
r
 (3.2.3) 
 
 Integrando: 
 
 ( ) òò -
r
=
t
0t
z
z2A1AAB
Aln,BL,A
t
0
dzz
yycD
My
dt 
 
 Rearranjando, temos: 
 
 ( ) ÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
-
r
=
2
zz
tyyc
My
D
2
t
2
t
2A1A
Aln,BL,A
AB
0 (3.2.4) 
 
 A equação (3.2.4) é utilizada para determinação do coeficiente de difusão do gás a partir dos 
dados experimentais da célula de Arnold. 
 
Exemplo 3.2: 
E. M. Larson, usando uma célula de Arnold, mediu a difusividade do clorofórmio no ar a 25º C e 1 
atm de pressão. A densidade do clorofórmio líquido a 25º C é 1,485 g/cm3, e sua pressão de vapor a 
25º C é 200 mmHg. No tempo tempo t = 0 a superfície do liquido de clorofórmio era 7,40 cm a 
partir do topo do tubo, e após 10 hrs a superfície do líquido caiu de 0,44 cm. Se a concentração do 
clorofórmio é zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difusão do gás clorofórmio no ar? 
Resposta: 9,3 x 10-6 m2/s 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.3 CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR 
 
· Destilação de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporização são iguais. 
· Fluxos iguais em direções opostas. z,Bz,A NN -= 
 
 
 0N A =×Ñ 
 
· Considerando somente a direção z: 
 
 0N
dz
d
z,A = 
 
· Lei de Fick 
 
 ( )
444 3444 2143421
bulk
z,Bz,AA
difusão
A
ABz,A NNydz
dc
DN ++-= 
 
· Como z,Bz,A NN -= , logo: 
 
 
 
dz
dc
DN AABz,A -= (3.3.1) 
 
· Condições de contorno: 
 
 Para z = z1 temos: cA = cA1 
 Para z = z2 temos: cA = cA2 
 
Integrando a equação (3.3.1) com as c.c., temos: 
 
 ( )2A1A
12
AB
z,A cczz
D
N -
-
= (3.3.2) 
 
Pela lei dos gases ideais: 
 e.e. = 0 sem reação = 0 
0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 
 Difusão em regime permanente 3.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
RT
p
V
n
c AAA == , substituindo, fica: 
 
 ( ) ( )2A1A12
AB
z,A ppzzRT
D
N -
-
= (3.3.3) 
 
 As equações (3.3.2) e (3.3.3) são comumente referidas como equações da contradifusão 
equimolar no estado estacionário. 
 
Obter o perfil de concentração para contradifusão equimolar no estado estacionário. 
Resposta: 
21
1
2A1A
1AA
zz
zz
cc
cc
-
-
=
-
-
 
 
Por comparação: 
 
( ) ( )
d
=
-=-
d
=
ABo
2A1A
o
2A1A
AB
z,A
D
k :Logo
cckcc
D
N
 para a contradifusão equimolar. 
 
Exemplo 3.3: 
Calcule o fluxo molar da amônia gasosa, sabendo-se que ela se difunde num capilar de 10 cm de 
comprimento com 2 reservatórios contendo nitrogênio. O sistema esta a 25º C e 1 atm. A pressão 
parcial da amônia em um dos reservatórios é 90 mmHg e no outro 10 mmHg. 
 
 
 
Resposta: -1,07 x 10-7 gmol/s.cm2 
 
NA,z pA2 = 90 mmHg 
pA1 = 10 mmHg 
Dz 
A º amônia 
 
B º Nitrogênio 
 Difusão em regime permanente 3.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAÇÕES QUÍMICAS 
 
· Quando ocorre uniformemente através de uma fase => reação homogênea. Acontece em todos 
os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equação da continuidade do soluto. 
· Toma lugar numa região restrita no contorno da fase => reação heterogênea. 
 
 { 0Rt
c
N
)(homogêneaA espécie da
toaparecimen de taxa
A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 (3.4.1) 
 
· Numa reação heterogênea a taxa de aparecimento de A não aparece na equação diferencial, 
desde que a reação não ocorra dentro do volume de controle, ao invés disto ela entra na analise 
como uma condição de contorno: 
 
 0Aszz,AA ckNR == d= 
 
· A reação heterogênea as vezes aparece na equação da continuidade de A => sistemas pseudo-
homogêneo. 
 
3.4.1 DIFUSÃO SIMULTÂNEA E HETEROGÊNEA, REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM: 
DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA 
 
· Quando a taxa de reação é instantânea em relação a taxa de difusão => processo com difusão 
controlada. 
· Quando a taxa de reação para o componente transferido nos limites da superfície limita a taxa de 
transferência de massa => processo com reação controlada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo: 
Partícula de carvão pulverizada dentro de uma câmara de combustão em leito fluidizado => difusão 
controlada. 
Moles de oxigênio transferido pelo tempo 
 
 
 
 Figura Difusão através de um filme esférico 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )gCOgCO2gO5,2sC3 22 +®+ 
 
Equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas: 
 
 
( ) ( ) A
remnalunidirecio
difusão
0
,A
,Ar,A
2
2
ioestacionár
estado
0
A R
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
éf¶
¶
q
+q
q¶
¶
q
+
¶
¶
+
¶
¶
=
f
q
=
4444444 34444444 21321
 
 
RA = 0 se A = O2 => nenhuma reação homogênea ocorre ao longo do caminho da difusão. 
 
 ( )
Rr,O
2
rr,O
2
r,O
2
r,O
2
2222
NRNrou cteNr0Nr
r
==Þ=
¶
¶
 
 
quadro 
C 
R 
r Dr 
NCO2,r 
NO2,r 
NCO,r 
Ar nas vizinhanças 
 Difusão em regime permanente 3.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Equação da Lei de Fick para o O2 fica: 
 
 
dr
dy
y2,01
cD
N 2
2
2
2
O
O
misO
z,O +
-=
-
 
 
Condições de contorno: 
 
 r = R, yO2 = 0 Þ reação instantânea 
 r = ¥, yO2 = 0,21 
 
Solução: ÷
ø
ö
ç
è
æ
=÷
ø
ö
ç
è
æ -
042,1
1
ln
2,0
cD
R
1
Nr
misO
z,O
2 2
2
 
 
Como ( )rO22O 22 Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W p== 
 
 ( )042,1ln
2,0
cD
R4W
misO
O
2
2
-
p-= 
 
A esfera de carvão oxida com o tempo => diminuição da esfera => pseudo-estacionário 
 
Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final. 
 
Balanço material para o carbono: 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
dt
dR
R4
Mdt
dV
M
onde
dt
dV
M
w0
CCC
2
C
C
C
C
C
C
C
acumuladosaientra
p
r
=
r
÷÷
ø
ö
çç
è
æ r
=-
=-
 
 
quadro 
 
 
( )
( )042,1lncD12
RR
M
t
misO
2
f
2
i
C
C
2 -
-
r
= 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
PRODUÇÃO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE 
 
 
 
( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 ®+ 
 
quadro 
 
Equação da Lei de Fick para o O2 fica: 
 
 
dr
dy
cDN 2
22
O
misOr,O --= 
 
Condições de contorno: 
 
 r = R, a)instantâne (não ordem 1a. de Reação ckN sOsRrO 22
Þ-=
=
 
 
 r = ¥, yO2 = yO2¥ 
 
Solução: ( )sOOmisOr,O2 2222 yycDR
1
Nr --=÷
ø
ö
ç
è
æ
¥- 
 
Como ( )rO22O 22 Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W p== 
 
 ( )sOOmisOO 2222 yyRcD4W -p-= ¥- 
 
C 
R 
r Dr 
NCO2,r 
NO2,r 
Ar nas vizinhanças 
 Difusão em regime permanente 3.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
quadro 
 
ck
N
c
c
y
s
ROsO
sO
22
2
-
== logo: 
 
 
Rk
D
1
yRcD4
W
s
misO
OmisO
O
2
22
2
-
¥-
+
p-
= 
 
Se misOs 2Dk ->> 
 
 ¥-p-= 222 OmisOO yRcD4W 
 
 
EXEMPLO 3 
Um reator de leito fluidizado de carvão tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145 
K, o processo será limitado pela difusão de oxigênio em contracorrente com dióxido de carbono, 
formado na superfície da partícula. Assumir que o carvão é carbono puro sólido com densidade de 
1,28 x 103 kg/m3 e que a partícula é esférica com diâmetro inicial de 1,5 x 10-4 m. Ar (21% O2 e 
79% N2) existe a vários diâmetros da esfera. Sob as condições de combustão, a difusividade do O2 
na mistura é 1,3 x 10-4 m2/s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionário, calcular o tempo 
necessário para reduzir o diâmetro da partícula de carbono a 5 x 10-5 m. O ar nas vizinhanças é uma 
fonte infinita de transferência de O2, onde a oxidação do carbono na superfície da partícula é 
diminuída pela transferência de O2. A reação na superfície é: ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 ®+ 
Resposta: t = 0,92 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.4.2 DIFUSÃO COM UMA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA 
 
· Operações unitárias: um constituinte de uma mistura gasosa é preferencialmente dissolvido em 
contato com um liquido. Dependendo da natureza química das moléculas envolvida a absorção 
pode envolver reação química. 
 
 
 
Condições de contorno: Em z = 0 Þ cA = cA0 
 Em z = d Þ cAs = 0 
 
Figura Absorção com reação química homogênea. 
 
Fluxo molar: ( )
444 3444 2143421
filme
do dentro pequena muito é
A de ãoconcentraç a 0, 
bulk
z,Bz,AA
difusão
A
ABz,A NNydz
dc
DN
»
++-= (3.4.2.1) 
 
Equação diferencial de transferência de massa no estado estacionário considerando apenas a direção 
z: 
 
 { 0Rdz
dN
)(homogêneaA espécie da
mentodesapareci de taxa
A
z,A =- (3.4.2.2) 
 
A1A ckR -= Þ Taxa de desaparecimento de A Þ reação química de 1ª ordem. (3.4.2.3) 
 
Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos: 
z 
z = 0 
Dz 
z = d 
NAz|z 
NAz|z+Dz 
Líquido B 
Superfície 
do líquido Mistura gasosa 
(A e gás inerte) 
 Difusão em regime permanente 3.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 0ck
dz
dc
D
dz
d
A1
A
AB =+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- , com DAB = constante, fica: 
 
 0ck
dz
cd
D A12
A
2
AB =+- (3.4.2.4) 
 
 A solução geral da equação (3.4.2.4) é: 
 
 z
D
k
senhcz
D
k
coshcc
AB
1
2
AB
1
1A += 
 
As condições de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentração fica: 
 
 
d
-=
AB
1
AB
1
0A
AB
1
0AA
D
k
tgh
z
D
k
senhc
z
D
k
coshcc (3.4.2.4) 
 
Fluxo molar: 
 
 
dz
dc
DN AABz,A -= 
 
Solução: 
 
 
d
d
d
=
=
AB
1
AB
1
0AAB
0zz,A
D
k
tgh
D
k
cD
N (3.4.2.5) 
 
 
· Se não houver reação química: 
d
= 0AABz,A
cD
N 
 
· Numero adimensional de Hatta = Þ
d
d
AB
1
AB
1
D
k
tgh
D
k
mostra a influencia da reação química. 
 Difusão em regime permanente 3.15 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
· Se a taxa da reação química aumenta (k1 aumenta) o fator d
AB
1
D
k
tgh se aproxima de 1, e 
 ( )0ckDN 0A1AB0zz,A -== 
 
 Por comparação com a equação da convecção: ( )2A1Acz,a cckN -= , temos que: 
 
 Þµ ABc Dk Teoria da penetração 
 
 Se Þµ ABc Dk Teoria do filme 
 
 
EXEMPLO 4 
Considerando um processo unitário com um disco rotativo para o tratamento de fenol (espécie A) 
em água. O biofilme contém um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol. A 
concentração de A dentro do biofilme diminuirá à medida que o penetra, ou seja A é degradado. 
Não há resistência convectiva entre o fluido e a superfície do biofilme. 
 
Figura Tratamento de água de lavagem por biofilme. 
 
É desejável tratar 0,1 m3/h de água contendo 0,1 mol/m3 de fenol. Se a espessura do biofilme é 2 x 
10-3 m, qual é a área do biofilme necessária para obter uma concentração de saída de 0,02 mol/m3? 
A taxa de degradação é descrita pela cinética de Michales-Menten: 
AA
Amax,A
A ck
cR
R
+
= 
 
onde RA,max = 5,7 x 10-3 mol/m3, kA = 0,3 mol/m3 e DAB = 2 x 10-10 m2/s a T = 25º C. 
Solução: S = 57 m2 
Corrente de alimentação da 
água de lavagem 
CAi = moles/m
3 
Biofilme 
Água de lavagem 
tratada CAO Mistura perfeita 
Seção transversal do 
biofilme 
CAO 
CA(z) 
biofilme 
Superfície 
Sólida inerte 
z = 0 z = d 
 
 dcA/dz = 0 
Capítulo 28 Welty 
 Difusão em regime permanente 3.16 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.4.3 DIFUSÃO INTRAPARTICULAR COM REAÇÃO QUÍMICA (Cremasco) 
 
 Quando um sólido poroso apresenta sua área interna maior (30 m2/g ou maior) ou da mesma 
magnitude do que a sua superfície externa, considera-se o soluto, depois de atingir a superfície da 
partícula, difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformação por reação 
química nas paredes dos sítios ativos do catalisador, conforme mostraa figura. 
 
 
 
 
Figura - Difusão com reação química heterogênea no interior de um sólido poroso 
 
 
· Termo reacional = aR”A, onde a = superfície do poro/unidade de volume da matriz porosa 
(sistema pseudo-homogêneo) 
 
· Equação geral para espécie A: 
 
 ( ) ( ) A
remnalunidirecio
difusão
0
,A
,Ar,A
2
2
ioestacionár
estado
0
A Ra
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
¢¢=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
f¶
¶
q
+q
q¶
¶
q
+
¶
¶
+
¶
¶
=
f
q
=
4444444 34444444 21321
 
 
 
 ( ) Ar,A22 RaNrrr
1 ¢¢=
¶
¶
\ (3.4.3.1) 
 
Sendo a reação de desaparecimento do soluto A escrita como: 
 
 AsA CkR -=¢¢ (3.4.3.2) 
R”A 
sólido 
poro 
A 
B 
CAs 
 Difusão em regime permanente 3.17 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
O fluxo de A no interior da matriz porosa será dado por: 
 
 
dr
dC
DN Aefr,A -= (3.4.3.3) 
 
Supondo temperatura e pressão constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1), 
 
 A
ef
s2A2 C
D
ak
r
dr
dC
r
dr
d
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
 (3.4.3.4) 
 
Denominando: 
ef
s2
D
ak
=l 
 
A equação (3.4.3.4) fica na forma: 
 
 0C
dr
dC
r
2
dr
Cd
A
2A
2
A
2
=l-+ (3.4.3.5) 
 
a qual esta sujeita as seguintes condições de contorno: 
 
C.C.1: em r = R ® CA = CAs 
 
C.C.2: em r = 0 ® finitovalor Climou 0
dr
dC
A
0r
A ==
®
 (simetria da partícula) 
 
Chamando: y=ArC 
 
A equação (3.4.3.5) fica: 
 
0
dr
d 2
2
2
=yl-+
y
 (3.4.3.6) 
 
A solução geral da eq. (3.4.3.6) é: 
 
( ) ( )rsenhCrcoshC 21 l+l=y ou ( ) ( )[ ]rsenhCrcoshCr
1
C 21A l+l= (3.4.3.7) 
 
A determinação das constantes parte da aplicação das condições de contorno C.C.1 e C.C.2, 
ficando: 
 Difusão em regime permanente 3.18 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( )
( )Rsenh
rsenh
r
R
C
C
As
A
l
l
= (3.4.3.8) 
 
A eq. (3.4.3.8) fornece o perfil de concentração de A no interior da matriz porosa em função da 
relação entre as resistências a difusão e a reação química irreversível de 1ª ordem que se processa 
nos sítios internos da partícula. 
 
O fator de efetividade 
 
 O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matéria exerce na taxa de reação 
numa partícula, sendo definido como a razão entre a taxa real de reação química, Rsg, e a taxa da 
reação baseada nas condições de superfície externa da partícula, como se toda a superfície ativa dos 
poros estivesse exposta nas mesmas condições da superfície, sgR . Assim: 
 
 
sg
sg
R
R
=he 
 
com: 
Rr
A
ef
2
R,A
2
sg dr
dC
DR4NR4R
=
p-=p= 
 
representado todo o soluto consumido na superfície externa da partícula transportado para dentro 
dessa partícula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivação, temos: 
 
( ) ( )[ ]RcothR1CRD4R Asefsg ll-p-= 
 
Caso ocorra somente reação química irreversível de 1ª ordem, a taxa é: 
 
Ass
3
A
3
sg CakR3
4
RR
3
4
R p-=¢¢p= 
 
Logo: 
( ) ( )[ ]
( )2R
1RcothR3
l
-ll
=he 
 
O parâmetro l pode ser reformulado da seguinte maneira: l=f neR , que é o modulo de Thiele, 
indica a relação entre a taxa de reação química de 1ª ordem e a taxa de difusão. E Rne = Vp/Sm um 
raio generalizado que depende da geometria da partícula. Pa esfera perfeita: Vp = 4pR3/3 e Sm = 
4pR2, logo: lR = 3f. 
 
 Difusão em regime permanente 3.19 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 O perfil de concentração do soluto e o fator de efetividade em função do modulo de Thiele 
no interior do catalisador esférico são fornecidos por: 
 
 
( )
( )f
f
=
3senh
Rr3senh
r
R
C
C
As
A 
 
 
( )
23
13coth3
f
-ff
=he 
 
 Para catalisadores muito ativos (ks elevado) ® f = elevado ® baixos valores de he 
 Para catalisadores pouco ativos ® altos valores de he ® utilizam quase toda a área interna 
do catalisador. 
 
Exemplo 
No craqueamento catalítico do petróleo utilizaram-se microesferas de sílica-alumina de diâmetro 
igual a 1,8 mm e de área especifica dos poros de 3,2 cm2/cm3. Estime o valor do fator de efetividade 
considerando que a reação química catalítica, cuja velocidade é 6,9 cm/s, é irreversível e de 1ª 
ordem. O coeficiente efetivo de difusão é 8,0 x 10-4 cm2/s. 
Resposta: he = 0,187 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.20 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRÊS DIMENSÕES 
 
· A transferência de condução de calor é análoga a transferência de massa molecular, as soluções 
analíticas, analógicas e numéricas são similares (cap. 17 Welty). 
· J.Crank – The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957. 
 
Exemplo: 
Considerar uma placa plana retangular fina, largura W e comprimento L. O topo é imerso em 
inseticida (y = L). 
 
 
Figura 3.5.1 – Modelo de três dimensões para o transporte de inseticida. 
 
A equação geral de transferência de massa fica: 
 
 0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 ou 
 
 
{ 0Rt
c
z
N
y
N
x
N
química
reação
sem
0
A
ioestacionár
estado
0
A
0
AzAyAx =-
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
321321
 (3.5.1) 
 
 ( )
444 3444 21
0 bulk termo
BxAxA
A
ABAx NNydx
dC
DN
=
++-= (3.5.2) 
 
x 
y 
CA = 0 
CA = C(x)
 
CA = 0 
CA = 0 
L 
0 W 
 Difusão em regime permanente 3.21 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 ( )
444 3444 21
0 bulk termo
ByAyA
A
ABAy NNydy
dC
DN
=
++-= (3.5.3) 
 
Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1): 
 
 0
y
C
x
C
2
A
2
2
A
2
=
¶
¶
+
¶
¶
 (3.5.4) 
 
que é uma equação diferencial parcial, linear e homogênea com solução da forma: 
 
 ( ) ( ) ( )yYxXy,xC A = (3.5.5) 
 
Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos: 
 
 
2
2
2
2
yd
Yd
y
1
xd
Xd
x
1
= 
 
 Ambos os lados são constantes, logo: 
 
 0X
xd
Xd 2
2
2
=l+ (3.5.6) 
 
 0Y
yd
Yd 2
2
2
=l- (3.5.7) 
 
A eq. (3.5.6) tem a solução geral da forma: 
 
 xBsenxcosAX l+l= (3.5.8) 
 
A eq. (3.5.7) tem a solução geral da forma: 
 
 yy EeDeY ll- += (3.5.9) 
 
A eq. (3.5.5) fica: 
 
 ( ) ( )( )yyA EeDexBsenxcosAy,xC ll- +l+l= (3.5.10) 
 
 Difusão em regime permanente 3.22 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Onde A, B, C e D são constantes avaliadas pelas condições de contorno: 
 
x = 0 ® CA = 0 
x = W ® CA = 0 
y = 0 ® CA = 0 
y = L ® CA = C(x) 
 
Utilizando as três primeiras condições de contorno a solução é: 
 
 ( )
W
yn
senh
W
xn
senAy,xC
1n
nA
pp
= å
¥
=
 (3.5.11) 
 
Utilizando a ultima condição de contorno: 
 
 ( )
W
Ln
senh
W
xn
senAxC
1n
nA
pp
= å
¥
=
 (3.5.12) 
 
A avaliação de An é mostrada por Cremasco, a solução final é: 
 
 ( ) ( ) dx
W
xn
senxC
W
xn
sen
W
Ln
senh
W
yn
senh
W
2
y,xC
W
0
A
1n
A òå ÷ø
ö
ç
è
æ pp
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ p
÷
øö
ç
è
æ p
=
¥
=
 (3.5.13) 
 
 
A equação (3.5.13) é resolvida após se conhecer a função CA(x). 
 
Exemplo: 
Considere a situação na qual ocorra o fluxo mássico de A através da superfície de um catalisador. 
Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direções x e y. Atingindo três das 
quatro superfícies, a espécie A reage instantaneamente. Em y = L para qualquer x, a sua 
concentração mantém-se constante em um valor b. Considerando a existência da contradifusão 
equimolar entre produto e reagente, pede-se: 
a) a distribuição mássica do soluto A. 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.23 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.6 TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA 
 
· Exemplo: Secagem de uma superfície molhada pelo calor de um gás quente e seco: energia 
transferida a para superfície fria por convecção e radiação; transferência de massa associada a 
entalpia na corrente gasosa se movendo. 
· Os processos de transporte simultâneos são mais complexos, requerendo o tratamento 
simultâneo de cada fenômeno de transporte envolvido. 
 
3.6.1 Transferência simultânea de calor e massa 
 
· Condições isotérmicas 
 
 å
=
=
n
1i
ii
D HN
A
q r
r
 (3.6.1.1) 
 
 
mistura numa i de parcialmolar entalpia H
mássica difusãopor calor de fluxo 
A
q
i
D
=
=
r
 
 
· Condições não isotérmicas (diferenças de temperatura) 
 
 { { å
=
+D-Ñ-=
n
1i
ii
convectivocondutivo
D HNThTk
A
q r
r
 (3.6.1.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.24 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo: Condensação de vapor em uma superfície fria 
A condensação de um filme liquido escoando para baixo em uma superfície fria e um filme de gás 
na qual o condensado é transferido por difusão molecular. 
 
 
Figura Condensação de vapor em uma superfície fria. 
 
z1 ® yA1 = conhecido por psicometria 
T1 = conhecido 
T3 = conhecida (temperatura na superfície) 
 
Na fase gasosa ocorre convecção natural onde h é estimado pela equação: 
 
 
( )[ ] 94169
41
L
L
Pr/492,01
Ra670,0
68,0Nu
+
+= 
 
A equação diferencial que descreve a transferência de massa na fase gasosa é: 
 
 0N
dz
d
z,A = Þ fluxo mássico é constante na direção z. 
 
Se o componente A esta se difundindo através do gás estagnado, o fluxo é descrito pela seguinte 
forma da lei de Fick: 
 
 
dz
dy
y1
cD
N A
A
AB
z,A -
-
= 
Se o perfil de temperatura é conhecido: 
Filme líquido 
condensado Contorno do 
filme gasoso 
T1 
T2 
T3 
T = T(z) 
yA1 
yA2 
yA= yA(z) 
z3 z2 z1 
 
 Difusão em regime permanente 3.25 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
n
11 z
z
T
T
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= 
 
Podemos estimar o coeficiente de difusão que varia com a temperatura: 
 
 
2n3
1
TAB
23
1
TABAB z
z
D
T
T
DD
11 ÷
÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= 
 
A concentração também varia com a temperatura: 
 
 
( )n1zzR
P
RT
P
c == 
 
A equação de fluxo torna-se: 
 
 ( ) dz
dy
z
z
y1RT
DP
N A
2n
1A1
TAB
z,A
1
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
= 
 
Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equação: 
 
 
( )
( ) dz
dy
y1
cD
N A
A
médioAB
z,A -
= 
 
Com as condições de contorno: 
 Para z = z1 Þ yA = yA1 
 Para z = z2 Þ yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton, 
 
Integrando a equação temos: 
 
 
( ) ( )
( ) ln,B12
2A1AmédioAB
z,A yzz
yycD
N
-
-
= 
 
O fluxo de energia total é: 
 
 ( ) ( ) ( )21Az,A21C32Lz HHMNTThTThA
q
-+-=-= 
 Difusão em regime permanente 3.26 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
2 líquido de plano no Entalpia H
1 vapor de plano no Entalpia H
A demolecular Massa M
gasoso filme no naturalcalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient h
líquido filme nocalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient h
2
1
A
C
L
=
=
=
=
=
 
 
Para resolver a equação de fluxo de energia, utiliza-se a técnica de tentativa e erro: 
Assume o valor da temperatura da superfície liquida: T2 
Calcula hC e (cDAB)médio. 
Calcula yA2 = PA/P, com PA = pressão de vapor acima do liquido a T2 e P = pressão total do sistema 
Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto. 
 
Exemplo: 
Uma mistura de vapor etanol-água esta sendo destilada pelo contato da solução liquida etanol/água. 
O etanol é transferido a partir do líquido para a fase vapor e a água é transferida na direção oposta. 
A condensação de vapor de água fornece a energia para a vaporização do etanol. Ambos os 
componentes estão se difundindo através do filme de gás de 0,1 mm de espessura. A temperatura é 
368 K e a pressão é 1,013 x 105 Pa. Para estas condições, a entalpia de vaporização dos 
componentes puros do etanol e água são 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente. 
a)Desenvolver a equação de fluxo para o vapor de etanol. 
b) Desenvolver a equação de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de 
vaporização. 
 
Figura - Retificação adiabática de uma mistura etanol/água. 
 
· Assumir uma direção 
· Processo de transferência de massa molecular adiabático 
· Espessura do filme d 
Parede 
adiabática 
M
is
tu
ra
 li
qu
id
a 
sa
tu
ra
da
 d
e 
et
an
ol
/á
gu
a Filme 
gasoso 
(d) 
Vapor 
etanol/água 
NEtOH 
(vapor) 
NH2O 
(condensado) 
 Difusão em regime permanente 3.27 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.6.2 Transferência simultânea de momento e massa 
 
· Absorção: A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido: 
coluna de parede molhada. 
 
· Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de 
gás. 
Suposições: 
1. O comprimento para contato entre as duas fases é curto, portanto uma pequena quantidade de 
massa é absorvida Þ propriedades do liquido são inalteradas. 
 
2. A velocidade do filme não afetara o processo de difusão. 
 
- Balanço de momento na direção x: 
 
{ { {
x
0
zxyx
0
xx
0
x
0
z
x
0
y
cte
0
x
x
ioestacionár estado
0
x g
zyxx
P
zyxt
x
r+
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
t¶
+
¶
t¶
+
¶
t¶
-
¶
¶
-=
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
J¶
J+
¶
J¶
J+
¶
J¶
J+
¶
J¶
r
===
==
=J
321321321321
 
 
 Logo, g
y
yx r-=
¶
t¶
 (3.6.2.1) 
 
As condições de contorno que devem ser satisfeitas: 
C.C.1 para y = 0 Jx = 0 
C.C.2 para y = d ¶Jx/¶y = 0 ( contato do liquido com o gás) 
 Difusão em regime permanente 3.28 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Fluido newtoniano: 
dy
d x
xy
J
m=t 
 
Substituindo em (1), temos: 
 
 21
2
x1
x
2
x
2
cyc
2
yg
cy
g
y
g
y
++
m
r
-=JÞ+
m
r
-=
¶
J¶
Þr-=
¶
J¶
m (3.6.2.2) 
 
Pela C.C.1 Þ c2 = 0 
 
Pela C.C.2 Þ c1 = rgd/m 
 
Substituindo e após um rearranjo, temos: 
 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
-
d
d
m
r
-=J
2
2
x
y
2
1yg
 (3.6.2.3) 
 
 
 2yxmax 2
g
d
m
r
=J=J d= (3.6.2.4) 
 
Logo: 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
-
d
J=J
2
maxx
y
2
1y
2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5) 
 
Equação diferencial de transferência de massa 
 
 { 0Rt
c
N
química
reação
sem
0
A
ioestacionár
estado
0
A
A =-¶
¶
+×Ñ
=
=
321
r
 
 
nas direções x e y apenas:0
y
N
x
N y,Ax,A =
¶
¶
+
¶
¶
 (3.6.2.6) 
 
Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como: 
 
 Difusão em regime permanente 3.29 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 ( )
444 3444 2143421
xAc
x,Bx,AA
curto.
muito é liquido o com vapor do
contato de tempoo desprezar,
A
ABx,A NNxdx
dc
DN
J=
++-= (3.6.2.7) 
 
 
 ( )
444 3444 21
B emA de desolubilida a
baixa muito ,desprezar
y,By,AA
A
ABy,A NNxdy
dc
DN ++-= (3.6.2.8) 
 
Direção y: A é transportado principalmente por difusão. 
Direção x: A é transportado principalmente por convecção. 
 
Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos: 
 
 
( )
:logo apenas,y de dependente é como ,0
y
c
D
x
c
x2
A
2
AB
xA J=
¶
¶
-+
¶
J¶
 
 
 0
y
c
D
x
c
2
A
2
AB
A
x =
¶
¶
-+
¶
¶
J (3.6.2.9) 
 
Sendo Jx dado pela equação (3.6.2.5), \ 
 
 0
y
c
D
x
cy
2
1y
2
2
A
2
AB
A
2
max =
¶
¶
-+
¶
¶
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
-
d
J (3.6.2.9) 
 
As condições de contorno para a película deslizando são: 
 
C.C.1: para x = 0 ® cA = 0 
 
C.C.2: para y = 0 ® 0
y
c A =
¶
¶
 (parede) 
 
C.C.3: para y = d ® cA = cA0 (contato com o gás) 
 
A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas. 
Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equação (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a 
concentração adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942): 
 Difusão em regime permanente 3.30 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
L++
++=
-
-
-
---
d==
d==
n75,204
n64,105n318,39n1213,5
yA0xA
yALxA
e01811,0
e03500,0e1001,0e7857,0
cc
cc
 (3.2.6.10) 
Onde: 
 
líquido no soluto do difusão de ecoeficient D
superfície na localizada filme, do máxima e velocidad
película da espessura 
coluna da altura L
coluna da topono soluto do ãoconcentraç c
liquido-gás interface na soluto do ãoconcentraç c
coluna da fundo no soluto do ãoconcentraç c
LD
 n 
AB
max
0xA
xA
LxA
max
2
AB
=
=J
=d
=
=
=
=
Jd
=
=
d=
=
 
 
Teoria da penetração: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935) 
 
· Um soluto é transferido dentro de uma película em y = d. O efeito da película deslizando sobre a 
espécie difundindo, é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada 
uniforme e igual a Jmax. 
 
 
 
· O soluto A não será afetado pela presença da parede, então o fluido pode ser considerado de 
profundidade infinita. 
 
Profundidade da penetração 
 Difusão em regime permanente 3.31 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Com estas simplificações, a equação (3.2.6.8) fica: 
 
 
2
A
2
AB
A
max
y
c
D
x
c
¶
¶
=
¶
¶
J 
 
com as condições de contorno: 
C.C.1: para x = 0 ® cA = 0 
C.C.3: para y = d ® cA = cA0 (contato com o gás) 
C.C.3: para y = -¥ ® cA = 0 
 
Fazendo x = d - y, temos: 
 
 
2
A
2
AB
A
max
c
D
x
c
x¶
¶
=
¶
¶
J 
 
e as condições de contorno ficam: 
C.C.1: para x = 0 ® cA = 0 
C.C.2: para x = 0 ® cA = cA0 (contato com o gás) 
C.C.3: para x = ¥ ® cA = 0 
 
Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equação acima, temos: 
 
 
( )
2
A
2
ABAmax
s,c
D0cs
x¶
x¶
=-J no domínio de Laplace 
 
rearranjando: 
( )
0
D
css,c
AB
Amax
2
A
2
=
J
-
x¶
x¶
 
 
Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem, possui a solução geral de: 
 
 ( ) ÷÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
J
-+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
J
=x
AB
max
1
AB
max
1A D
s
expB
D
s
expAs,c 
 
As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o 
domínio de Laplace: 
 
C.C.1: para x = 0 ® ( )
s
c
s,0c 0AA = (contato com o gás) 
 Difusão em regime permanente 3.32 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
C.C.2: para x = ¥ ® ( ) 0s,cA =¥ 
 
Produzindo a solução: 
 
 ( ) ÷÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
J
-=x
AB
max0A
A D
s
exp
s
c
s,c 
 
Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos: 
 
 ( )
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
J
-
x
-=x
max
AB
0AA
xD4
erf1c,xc ou 
 
 ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
x
-=x
expAB
0AA
tD4
erf1c,xc 
 
onde o tempo de exposição é definido como texp = x/Jmax. 
 
A função erro: erf() ® apêndice L de Welty. 
 
Fluxo: { { ÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
p
=
p
=
¶
¶
-==
==d=
d==x
0
2A
c
1A
exp
AB
exp
AB
0A
y
A
AByy,A0y,A
cc
t
D
t
D
c
y
c
DNN
0A
 
 
Por comparação com a equação de convecção: ( )2A1Acy,A cckN -= 
 
21
ABc
exp
AB
c Dkou t
D
k µ
p
= Þ Teoria da penetração. 
Difusão molecular no estado transiente 4.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 4: DIFUSÃO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE 
 
· 2 variáveis independentes: posição e tempo 
 
· Grandes quantidades de problemas de difusão podem ser resolvidos simplesmente olhando as 
soluções do problema análogo à condução de calor. Quando a equação diferencial e a condição 
inicial e de contorno do processo de difusão são exatamente da mesma forma daqueles do 
processo de condução de calor, então a solução pode ser tomada com as mudanças apropriadas 
na notação. 
 
· Muitas soluções analíticas em: 
o Carslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2ª edição. 
o J. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958. 
 
· São peculiares apenas para transferência de massa: 
o Difusão com reações químicas 
o Difusão com velocidade media molar diferente de zero 
o Difusão com mais de 2 componentes 
o Convecção forçada com taxas de transferência de massa elevada 
 
· Processos transientes: 
o O processo na qual esta em estado não estacionário somente em sua partida inicial. 
o O processo na qual é uma batelada (descontínuo) ou operações em sistemas fechados do 
começo ao fim de sua duração. 
 
SOLUÇÃO ANALÍTICA 
 
A segunda lei de Fick, descreve uma situação onde: 
· Não ocorre nenhuma contribuição ao movimento (bulk), isto é, 0=J
r
 
· Nenhuma reação química, isto é, RA = 0 
 
Logo: 
 
 { 0Rt
c
N
química
reaçãosem
0
A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
=
r
 (1) 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 ( )
44 344 21
rr
r
0c
BAAAABz,A NNxxcDN
=J=
++Ñ-= 1ª Lei de Fick, logo: 
 
 AABz,A cDN Ñ-= (2) 
 
Introduzindo (2) em (1), temos: 
 
 A
2
AB
A cD
t
c
×Ñ=
¶
¶
 2ª Lei de Fick (3) 
 
Útil para: 
· Difusão em sólidos, líquidos estacionários, ou em sistemas em contradifusão equimolar. 
· Devido a taxa de difusão extremamente lenta em líquidos, a contribuição do movimento bulk, 
da 1ª lei de Fick (isto é, å iA Nx
r
) aproxima de zero para soluções diluídas, portanto satisfaz a 
2ª lei de Fick. 
 
 
4.1 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO 
 
· Transferência de massa unidirecional dentro de um meio estacionário semi-infinito com uma 
concentração superficial fixa. 
· Absorção de O2 a partir do ar na aeração de um lago. 
· Processo de difusão na fase sólida envolvendo a dureza do aço em atmosfera rica em carbono. 
· A equação diferencial a ser resolvida é: 
 
 
2
A
2
AB
A
z
c
D
t
c
¶
¶
=
¶
¶
 
 
e as condições inicial e