Modulo1 - Sinais - Slides

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Análise de 
Sistemas Lineares
Módulo 1
Sinais e Sistemas
49 Slides
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Conteúdo
Introdução
Sinais
� Classificação de Sinais
� Sinais Básicos
Sistemas
� Classificação de Sistemas
Operações com Sinais
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Introdução
Conceitos
Sinais e Sistemas
� Definições 
� Descrições
� Representações Matemática
� Classificações
Sinais 
� Elementares (básicos)
� Operações
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Sinal
Definição
� Um Sinal é a representação física de uma informação
� Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula 
informações sobre o comportamento ou a natureza de 
um fenômeno físico
� Função de uma variável independente f(t), em que 
geralmente a variável t representa o tempo
Exemplo
� Circuito RC: o sinal pode 
ser a tensão no capacitor, vc(t),
ou a corrente no resistor, i(t)
v(t)
R
C
vc(t)i(t)
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Sistema
Definições
� Entidade que processa sinais, 
imprimindo ou extraindo informações
� Entidade que processa um conjunto de sinais 
(entradas) resultando noutro conjunto (saídas)
Implementação
� Hardware: componentes físicos, elétricos, 
mecânicos ou hidráulicos
� Software: algoritmo que calcula as saídas em 
função das entradas
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Energia e Potência do Sinal
Energia*
� Será finita se x(t)� 0 quando | t |� �
caso contrário as integrais da definição não convergem
� Para sinais com energia infinita (sinais periódicos), usa-se a 
medida de Energia Média, ou:
Potência*
(J) )( 2∫
∞
∞−
= dttxEx(J) )(2∫
∞
∞−
= dttxEx
x(t) é um Sinal Real x(t) é um Sinal Complexo
(W) )(1lim
2
2
2
∫
−
∞→
=
T
T
Tx
dttx
T
P (W) )(1lim
2
2
2
∫
−
∞→
=
T
T
Tx
dttx
T
P
x(t) é um Sinal Real x(t) é um Sinal Complexo
Px é o valor médio quadrático de x(t) ���� raiz quadrada de Px = rms de x(t)
*
n
o
r
m
a
l
i
z
a
d
a
(valor eficaz)
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�� 
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Exemplo
Calcule a Energia, ou a Potência, dos seguintes sinais
t
x(t)
2
2.e -t / 2
-1 0 2 4
Como x(t) é um Sinal Real e tende a zero
para grandes tempos então esse é um sinal 
de Energia:
844)2()2()(
0
22/
0
1
22
=+=+== ∫∫∫
∞
−
−
∞
∞−
dtedtdttxE tx
Como x(t) é um Sinal Real e não tende a zero
para grandes tempos e como é periódico,
então esse é um sinal de Potência:
∫∫
−−
===
1
1
2
1
1
2
3
1
2
1)(
2
1 dttdttxPxt
x(t)
1
-1 1 2 4
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����
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�� 
������� �
Exercício
Determine a potência e o valor rms de x(t) = C.cos(�0t + �)
2
0
2
lim
)22cos(
2
lim
2
lim
)]22cos(1[
2
lim 
)(cos1lim )(1lim
22
2
2
0
22
2
2
2
2
0
2
2
2
0
22
2
2
2
C
T
TCP
dtt
T
Cdt
T
CP
dtt
T
CP
dttC
T
dttx
T
P
Tx
T
T
T
T
T
Tx
T
T
Tx
T
T
T
T
T
Tx
=+=
++
++=
+==
∞→
−
∞→
−
∞→
=
−
∞→
−
∞→
−
∞→
∫∫
∫
∫∫
θω
θω
θω
Portanto, toda senóide de amplitude C, independentemente de sua 
frequência �0, possui potência C2/2, e valor rms: 22.C
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RMS
Definição
� Raiz do Valor Quadrático Médio ou RMS
(do inglês root mean square) ou Valor Eficaz
� É a raiz quadrada da média aritmética dos valores ao 
quadrado
� O rms de N valores {x1, x2, ... , xN} é:
� O rms de uma função contínua f(t) no interv. T1 � t � T2 é:
��
N
xxx
x
N
x N
N
i
irms
22
2
2
1
1
21 +++
== ∑
=
L
∫
−
=
2
1
2
12
|)(|1 T
Trms
dttf
TT
x
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Operações com Sinais
Realizadas na variável dependente (eixo vertical)
� Mudança de Escala da Amplitude
� Adição
� Multiplicação
� Diferenciação
� Integração
)(.)( txcty =
)()()( 21 txtxty +=
)(.)()( 21 txtxty =
)()( tx
dt
d
ty =
∫
∞−
=
t
dxty ττ )()(
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Exemplos de Aplicação das Operações com Sinais
� Mudança de Escala da Amplitude
Amplificadores e Atenuadores
� Adição
Circuito Somador/Subtrator com Amp-Op
� Multiplicação
Circuito Modulador AM:
� Diferenciação
Circuito com Indutor:
� Integração
Circuito com capacitor:
)()( ti
dt
dLtvL =
)2cos()( :onde )().()( tftptptmts Ppi==
∫
∞−
=
t
C dttiC
tv )(1)(
Operações com Sinais
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Operações com Sinais
Realizadas na variável independente (eixo horizontal)
� Mudança de Escala
Compressão (a > 1) ou Expansão (0 < a < 1) 
).()( taxty =
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Operações com Sinais
Realizadas na variável independente (eixo horizontal)
� Reflexão
Exemplo
)()( txty −=
• Todo sinal par é igual à sua versão refletida
• Todo sinal ímpar é igual ao oposto de sua versão refletida
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Operações com Sinais
Realizadas na variável independente (eixo horizontal)
� Deslocamento
Exemplo
)()( 0ttxty −=
t (s)
x(t)
2
2.e -t / 2
-1 0 2 4
t (s)
x(t-2)
2
2.e –(t–2) / 2
-1 0 2 4
Atraso de 2 s.
Avanço de 2 s.
t (s)
x(t+2)
2
2.e –(t+2) / 2
-3 -1 0 2 4
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Faz-se o deslocamento temporal x(t - b),
e depois o escalonamento temporal x(a.t)
Operações com Sinais
Regra de Precedência para operações combinadas de 
deslocamento e mudança de escala da variável 
independente de um sinal x(t) : y(t) = x(a.t - b)
A relação entre x(t) e y(t) deve atender às condições
� y(0) = x(-b) e y(b/a) = x(0)
Exemplo: y (t) = x (2.t – 2)
Primeiro o deslocamento: z (t) = x (t – 2)
Depois o escalonamento: y (t) = z (2.t) = x (2.t – 2)
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Exemplos de Operações
t
x(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
t
x(t-2)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
t
x(t/2)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
t
x(2t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
t
x(-t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
Sinal Original Desloc. Temporal
Reflexão
Compressão Expansão
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Exercícios
1. Classifique os sinais quanto à paridade:
2. Indique a freqüência em Hz e rad/s:
3. Qual é a freqüência fundamental ?
4. Seja x[n] = { -1,-1,3,1,1}, esboce
x[n] e y[n] = x[n+3].
5. Encontre y(t)=x(2t+3).
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Classificação de Sinais
Sinal de Tempo Contínuo
� O sinal x(t) é de tempo contínuo se a variável tempo t for 
contínua
Sinal de Tempo Discreto
� O sinal x(t) é de tempo discreto se a variável tempo t for 
definida em tempos discretos, e será representado por uma 
seqüência de números x[n]
t
x(t)
0 n
x[n]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
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Classificação de Sinais
Sinal Analógico
� Se um sinal de tempo contínuo x(t) puder assumir qualquer 
valor no intervalo contínuo (a,b), então ele é analógico 
Sinal Digital
� Se um sinal de tempo discreto x[n] puder assumir apenas um 
número finito de valores distintos, então ele é digital
tx(t)
0 n
x[n]
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
3
2
1
0
-1
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Classificação de Sinais
Sinal Real
� Se um sinal x(t) puder assumir somente valores reais, então 
ele é real 
Sinal Complexo
� Se um sinal x(t) puder assumir somente valores complexos, 
então ele é complexo do tipo xR(t)+j xI(t), onde xR(t) e xI(t) 
são sinais reais
Sinal Determinístico
� Seus valores podem ser completamente determinados em 
qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função 
matemática conhecida
Sinal Aleatório
� Seus valores são aleatórios em qualquer instante de tempo, e 
são descritos estatisticamente
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Classificação de Sinais
Sinal Par
� Se x(t) = x(-t), 
então ele é um sinal par 
Sinal Ímpar
� Se x(t) = -x(-t), 
então ele é um sinal ímpar
 )()()( txtxtx oe += )()()( txtxtx oe +=
t
xe(t)
0
Sinal Par
t
xo(t)
0
Sinal Ímpar
Todo sinal x(t) pode ser expresso como uma soma de dois sinais, 
sua componente par xe(t), e sua componente ímpar, xo(t)
( )
( )
 )( deímpar parte )()(
2
1)( 
)( depar parte )()(
2
1)( :Então
)()( e )()( :Como
txtxtxtx
txtxtxtx
txtxtxtx
o
e
oe
−−=
−+=
−−=−=
( )
( )
 )( deímpar parte )()(
2
1)( 
)( depar parte )()(
2
1)( :Então
)()( e )()( :Como
txtxtxtx
txtxtxtx
txtxtxtx
o
e
oe
−−=
−+=
−−=−=
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Classificação de Sinais
O produto de dois Sinais Pares, ou de dois Sinais 
Ímpares, resulta um Sinal Par
O produto de um Sinal Par com um Sinal Ímpar, resulta 
um Sinal Ímpar
Sinal1 Sinal2 Sinal1 x Sinal2
PAR PAR PAR
ÍMPAR ÍMPAR PAR
PAR ÍMPAR ÍMPAR
ÍMPAR PAR ÍMPAR
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Exemplos – Componentes Par e Ímpar
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
x
(
t
)
-6 -4 -2 0 2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t
Componente
Par
Componente
Ímpar
x(t)
 )(.
5
4)( tuttx = )(.
5
4)( tuttx =
ttu
t
tu
ttxtx
txo 10
4)(
10
4)(
10
4
2
)(
2
)()( =−+=−−= ttuttuttxtxtxo 10
4)(
10
4)(
10
4
2
)(
2
)()( =−+=−−=
)(
10
4)(
10
4
2
)(
2
)()( tuttuttxtxtxe −−=
−
+= )(
10
4)(
10
4
2
)(
2
)()( tuttuttxtxtxe −−=
−
+=
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Exemplos – Componentes Par e Ímpar
Sinal: x(t) = e j.t (sinal exponencial complexo)
� e j.t = xe(t) + xo(t)
� xe(t) = [ x(t) + x(-t) ] / 2 (componente par)
� xo(t) = [ x(t) – x(-t) ] / 2 (componente ímpar)
� e j.t = cos(t) + j.sen(t) (Fórmula de Euler)
� xe(t) = [e j.t + e -j.t] / 2 = cos(t)
� xo(t) = [e j.t – e -j.t] / 2 = j.sen(t)
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Classificação de Sinais
Sinal Periódico
� Um sinal x(t) é periódico com período T se existir um valor T � 0, para o qual 
x(t+T) = x(t), ∀t
Sinal Não Periódico
� Qualquer sinal x(t) de tempo contínuo que não é periódico é chamado não periódico (ou 
aperiódico)
Sinal de Energia*
� Para um sinal x(t) o conteúdo de energia 
normalizado (por Ohm) E é dado por
� x(t) é um sinal de Energia ⇔ 0 < E < ∞, e assim P = 0
Sinal de Potência
� Para um sinal x(t) a potência média 
normalizada (por Ohm) P é dado por
� x(t) é um sinal de Potência ⇔ 0 < P < ∞, e assim E → ∞
(J) )( 2∫
∞
∞−
= dttxE
(W) )(1lim
2
2
2
∫
−
∞→
=
T
T
T
dttx
T
P
* Na prática os sinais são de Energia
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Sinais Básicos
Degrau Unitário (função de Heaviside unitário)
� Definição
� Degrau deslocado de t0
� Gráfico



<
>
=
0 0
0 1)(
t
t
tu



<
>
=−
0
0
0
 0
 1)(
tt
tt
ttu
t
u(t)
0
1
t
u(t-t0)
0
1
t0
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Sinais Básicos
Impulso Unitário (função Delta de Dirac)
� Definição
� Impulso deslocado de t0
� Gráfico
-�/2 �/2
1/�
1)( =∫
−
ε
ε
δ dtt
t
��0
-�/2 �/2
1/�
-�/2 �/2
1/�
-�/2 �/2
1/�



=∞
≠
=
0 
0 0)(
t
t
tδ
t
�(t)
0
1
t
�(t-t0)
0
1
t0



=∞
≠
=−
0
0
0
 
 0)(
tt
tt
ttδ
Propriedades
∫
∫
∞−
∞
∞−
=∗
==∗
=∗
τ
ττδ
δ
δ
dtu
dt
tdu
tut
fdtttf
)()(
)()(')(
)0()()(
)(0
par função )()(
)(1)(
t�)x(�(t)x(t)
tt
t
a
at
=∗
−=∗
=∗
δδ
δδ
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�����
�� 
������� ��
}Im{)(sen
}Re{)cos(
12
)cos()(
)(
)(
θω
θω
θω
θω
ωpi
θω
+
+
=+
=+
==
+=
tj
tj
eAtA
eAtA
fT
tAtx
Sinais Básicos
Senóide
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
T = 1 / f
3cos(pi/6)
x(t)x(t)x(t)x(t)
tttt
3sen(4pipipipit+pipipipi/6)
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����
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Sinais Básicos
Exponencial Complexa
� Fórmula de Euler
tj
etx 0)( ω=
)sen()cos( 000 tjte tj ωωω +=
���������� ������	
���
����
Periódico
0
2
ω
pi
=T
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1 real(x)
imag(x)
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Sinais Básicos
Exponencial 
Complexa Geral tjeteee
js
tttjts ωω
ωσ
σσωσ sen.cos.
complexo número um Seja
)( +==
+=
+
���������� ������	
���
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
exp(1.08*t).*(cos(w*t)+j*sin(w*t))
exp(1.08*t)
-exp(1.08*t)
���������
σσσσ �	
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-30
-20
-10
0
10
20
30
exp(-1.08*t)
-exp(-1.08*t)
exp(-1.08*t).*(cos(w*t)+j*sin(w*t))
�����������
σσσσ �	
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1 real(x)
imag(x)
�
��������
��������		σσσσ �	
��������	
����
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�� 
������� ��
Exemplos de Sinais
t
x(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1


 ≤≤−−
=
contrário caso 0
44 4)( tttx
t
x(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1


 ≤≤−
=
contrário caso 0
44 )( tttx
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�����
�� 
�������
Sinais no Matlab
��
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
f = inline('exp(-t).*cos(2*pi*t)','t')
t = -2:0.05:2;
plot(t,f(t)), grid
hold on
plot(t,f(t-2),'r')
plot(t,f(2*t),'m')
plot(t,f(t/2),'k')
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�����
�� 
�������
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Sinais no Matlab
��
u = inline('(t >= 0)','t')
t = -2:0.05:2;
plot(t,u(t+1),'linewidth',2)
grid, hold on
plot(t,u(t-1),'k','linewidth',2)
plot(t,(u(t+0.5) - u(t-0.5))/2,'r','linewidth',2)
axis([-2 2 -0.2 1.2])
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�� 
�������
Sinais no Python
��
import numpy as np
import scipy as sc
import matplotlib.pyplot as plt
def f(t):
return sc.exp(-t) * sc.cos(2*sc.pi*t)
t = np.arange(-2,2,0.05)
plt.plot(t,f(t))
plt.plot(t,f(t-2),'r')
plt.plot(t,f(2*t),'m')
plt.show()
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����
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�� 
�������
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Sinais no Python
��
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(-2,2,0.05)
plt.step(t,t+1>=0,'b',linewidth=3)
plt.step(t,t-1>=0,'k',linewidth=2)
plt.step(t,((t+0.5>=0)-(t-0.5>=0))/2,'r',linewidth=2)
plt.axis([-2, 2, -0.2,1.2])
plt.show()
��������	
����
�����
�� 
������� ��
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Sistemas
Sistema 
� Definição
Modelo matemático de um processo físico que 
relaciona o sinal de entrada (excitação) com o 
sinal de saída (resposta)
Transformação (mapeamento) de x em y
Sistema
Sinal de entrada
x(t)
Sinal de resposta
y(t)
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Sistemas
Sistema 
� Representação
Matemática: operador linear T { · }
Diagrama de Blocos y = T{x}
Sistema
T
x yUma Entrada, 
Uma SaídaSISO
y = T{ x }
Sistema
T
x1
xn
.
.
.
y1
ym
.
.
.Múltiplas Entradas, 
Múltiplas SaídasMIMO
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Classificação de Sistemas
Em relação ao Tempo 
� Contínuo
Entrada(s) e Saída(s) são sinais de tempo contínuo
� Discreto
Entrada(s) e Saída(s) são sinais ou seqüências de tempo 
discreto
Em relação à Memória
� Sem Memória
A saída depende apenas da entrada em cada instante de 
tempo. Ex.: Resistor
� Com Memória
Caso contrário. Ex. Capacitor
∫
∞−
=
t
di
C
tv ττ )(1)(
)(.)( tiRtv =
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Classificação de Sistemas
Em relação à Causalidade* 
� Causal
A saída em um tempo arbitrário t = t0 só depende da 
entrada para t � t0 (não depende de valores futuros)
� Não-causal
Caso contrário
Em relação à Transformação da Entrada em Saída
� Linear
O operador de transformação T é linear
� Não-Linear
Caso contrário
R
e
l
a
t
i
v
o
 
a
 
c
a
u
s
a
 
e
 
e
f
e
i
t
o
• Aditividade: admitindo T{x1} = y1 e T{x2} = y2
então: T{x1 + x2} = y1 + y2
• Homogeneidade (Escalamento ou Mudança de Escala):
T{�.x1} = �.y1
• Superposição: T{�.x1 + �.x2} = �.y1 + �.y2
O
p
e
r
a
d
o
r
 
L
i
n
e
a
r
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�� 
������� ��
Classificação de Sistemas
Em relação à Variação no Tempo 
� Invariante
Entrada deslocada no tempo provoca a mesma Saída 
deslocada no tempo: T{ x(t – t0) } = y(t – t0)
� Variante
Caso contrário
Em relação à Estabilidade (interna ou externa)
� Estável - Entrada limitada e Saída limitada (BIBO*)
Para qualquer entrada limitada | x(t) | � k1 a saída será 
limitada | y(t) | � k2 
onde k1 e k2 são constantes reais finitas
� Instável
Caso contrário
B
o
u
n
d
e
d
 
I
n
p
u
t
 
–
B
o
u
n
d
e
d
 
O
u
t
p
u
t
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Classificação de Sistemas
Em relação à sua Inversibilidade 
� Inversível
A Entrada aplicada ao sistema pode ser recuperada a partir da 
Saída do Sistema Inverso: T-1{y(t)} = T-1{T{x(t)}} = x(t)
� Não Inversível
Caso contrário
B
o
u
n
d
e
d
 
I
n
p
u
t
 
–
B
o
u
n
d
e
d
 
O
u
t
p
u
t
Sistema
T
x(t) y(t) Sistema
T-1
x(t)
Sistema Inverso
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����
�����
�� 
�������
Descrição de Sistemas
Modelo do Sistema 
� Descrição matemática do comportamento dinâmico 
do sistema
� Relação Entrada-Saída
Equação Diferencial
Resposta em Frequência, H(�)
Função de Transferência, H(s)
� Característica Descrita
Externa: Resposta ao Impulso, h(t) 
(medida nos terminais externos do sistema)
Interna: Espaço de Estados 
(descrição completa)
��
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Exemplo
Circuito RC
� Entrada: x(t) = vS(t) 
Saída: y(t) = vC(t) vS(t)
R
C
i(t)
vC(t)
)()()( :Assim
)(
.)( e )()(.)(
txty
td
tydRC
td
tvdCtitvtiRtv CCS
=+
=+=
dt
tdx
R
ty
RCdt
tdy
txdy
C
tyR
di
C
tvtvtiRtv
t
t
CCS
)(1)(1)( :Ou
)()(1)(. :Assim
)(1)( e )()(.)(
=+
=+
=+=
∫
∫
∞−
∞−
ττ
ττ
Hsu, 1.32, p.50
� Entrada: x(t) = vS(t)
Saída: y(t) = i(t)
Uma equação diferencial 
linear de primeira ordem 
com coeficientes 
constantes descreve a 
relação entrada-saída do 
sistema
��������	
����
�����
�� 
�������
Exercício
Para o circuito mostrado a seguir, com L= 1 H, R= 3 � e C = ½ F, 
determine a equação diferencial que relaciona Entrada-Saída, 
considerando vs(t) como variável de Entrada e i(t) como variável de 
Saída.
��
vS(t)
R
C
i(t)
vC(t)
L
)()()()( :LKV tvtvtvtv SCRL =++
)()(2)(3)(
)()(1)(.)(.
txdttyty
dt
tdy
tvdtti
C
tiR
dt
tdiL
t
S
t
=++
=++
∫
∫
∞−
∞−
dt
tdx
ty
dt
tdy
dt
tyd )()(2)(3)(2
2
=++ )()()23(
 l,diferenciaoperador como Usando
2 tDxtyDD
d/dtD
=++
��������	
����
�����
�� 
������� ��
Exercícios Extras
Cap. 1 – Haykin e Veen
� Sinais
1.1 a, b, c, d
1.2 a, b, c, g
1.3, 1.5, 1.7, 1.9, 1.11, 1.13, 1.14, 1.16
� Sistemas
1.28 a, d, f, h, i, k
1.29, 1.38, 1.40
� Matlab
1.42, 1.43, 1.44, 1.45, 1.46