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Modulo3 - Análise de Fourier

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Análise de Fourier
34 slides
Prof. Cláudio A. Fleury
T0 = 0,01s
f0 = 1/ T0 = 100 Hz
tempo (s)
x(t)
Espectro 
de
x(t)
f (Hz)
Conteúdo
1.1. IntroduçãoIntrodução
2.2. Série de FourierSérie de Fourier
3.3. Representação de Sinais PeriódicosRepresentação de Sinais Periódicos
4.4. Transformada de FourierTransformada de Fourier
2
5.5. Propriedades da Transformada de FourierPropriedades da Transformada de Fourier
6.6. Transformada de Fourier InversaTransformada de Fourier Inversa
7.7. Resposta em Frequência Resposta em Frequência de Sistemas LITCde Sistemas LITC
SL Prof. Cláudio MAR/2014
História
Série de Fourier é uma ferramenta matemática usada para se analisar 
funções periódicas arbitrárias pela decomposição da funçãodecomposição da função em uma soma de soma de 
funções componentes senoidaisfunções componentes senoidais mais simples, as quais diferem umas das 
outras apenas em amplitude, freqüência e fase. Esta análise aplica-se a vários 
propósitos, dentre eles, aquele de facilitar a manipulação da função original, 
analiticamente e graficamente.
As áreas de aplicação desta teoria incluem a Engenharia Elétrica, a 
Acústica, a Óptica, o Processamento de Sinais e Imagens, e a Compressão de 
SL Prof. Cláudio MAR/2014 3
Acústica, a Óptica, o Processamento de Sinais e Imagens, e a Compressão de 
Dados. Usando as ferramentas e técnicas da espectroscopia, por exemplo, 
astrônomos deduzem a composição química de uma estrela pela análise das 
componentes frequenciais (espectro) a partir das luzes emitidas pela estrela; 
engenheiros otimizam o projeto de um sistema de telecomunicações usando 
informações sobre as componentes espectrais de um sinal de dados que um 
sistema transportará.
As Séries de Fourier são assim chamadas em homenagem ao cientista e 
matemático francês JeanJean--BaptisteBaptiste--Joseph FourierJoseph Fourier (1768-1830), quem as 
primeiro usou em seu estudo sobre a Propagação do Calor em Corpos Sólidos
(The Analytical Theory of Heat, anunciado em 1807, mas publicado em 1822)
� Transformações para o Domínio da Domínio da FreqüênciaFreqüência
(espectro) são representações alternativas para se 
conhecer outras características de sinais e SLITC's, 
além da causalidadecausalidade e estabilidadeestabilidade
� Como a Transformada de Laplace, a de Fourier também 
1. Introdução
SL Prof. Cláudio MAR/2014 4
� Como a Transformada de Laplace, a de Fourier também 
é um operador linearoperador linear muito útil à análise de SLITC's
� Análise de Fourier: abordagens quanto ao Tipo do Sinal
�� PeriódicoPeriódico: Série de Fourier
�� Não PeriódicoNão Periódico: Transformada de Fourier
2. Série de Fourier Sinal Periódico
� Sinal Periódico x(t) de período T > 0:
� Período fundamental T0 de x(t)
� Menor valor de T para o qual a Equação (1) é satisfeita
Frequência fundamental
(1) ),()( tTtxtx ∀+=
5
� Frequência fundamental
� Linear: f0 = 1/T0
� Angular: ω0 = 2pi f0 
� Exemplos de sinais periódicos
� Sinal senoidal real
� Sinal exponencial complexo )sen()cos()(
)cos()(
002
01
0 tjtetx
ttx
tj ωω
φω
ω
−==
+=
−
SL Prof. Cláudio MAR/2014
2. Série de Fourier Definição
Trigonométrica
� Representação de um Sinal Periódico x(t) com período 
fundamental T0 em Série de Fourier Trigonométrica
∫
∑
∞
=
=
=++=
)cos()(2 :onde
2
 ),sencos(
2
)(
0
0
0
1
00
0
k
k
kk
dttktx
T
a
T
tkbtkaatx
ω
pi
ωωωCoeficientes
Trigonométricos 
da Série de Fourier
Eq. de Eq. de 
SínteseSíntese
Eq.s Eq.s de de 
SL Prof. Cláudio MAR/2014 6
� Efeito da simetria temporal
∫
∫
><
><
=
=
0
0
)sen()(2 
)cos()( :onde
0
0
0
0
T
k
T
k
dttktx
T
b
dttktx
T
a
ω
ω
Se x(t) par � bk = 0
Se x(t) ímpar � ak = 0
Eq.s Eq.s de de 
AnáliseAnálise
Exemplo 1
Como x(t) é um sinal ímpar, então:
[ ]
[ ]−++−=
+−=




−=
==
∫ ∫
)cos()2cos()0.cos()cos(1
)cos()cos(1
)(sen)(sen1
,3,2,1 ,0
2
0
0
2
kkkk
ktkt
k
dtktdtktb
ka
k
k
pipipi
pi
pi
pi
pi
pi
pi pi
pi
K



<≤−
<≤
=
pipi
pi
21
01)(
t
t
tx
2pipi
-1
1
x(t)
t0
( ) ( )∑
∞
++= 00
0 sencos)( kk tkbtka
a
tx ωω
Eq. de Síntese
Sinal periódico com 
T0 = 2pi s, ω0 = 2pi/T0 = 1 rad/s 
-2pi −pi
SL Prof. Cláudio MAR/2014 7
[ ]
[ ]




=−−=
−++−=
par ,0
ímpar ,4)1(12
)cos()2cos()0.cos()cos(1
k
k
k
k
kkkk
k
k pi
pi
pipipi
pi






+++= L
5
)5sen(
3
)3sen(
1
)sen(4)( ttttx
pi
Como o sinal f(t) tem média nula, então:
Logo:
00 =a
( ) ( )∑
=
++=
1
00 sencos2
)(
k
kk tkbtkatx ωω
� Sinal Dente de Serra: x(t) = t, [-pi,pi]
( )
( ) ( )dtkttdtkttb
dtktta
k
k
0
sen
2
sen
2
2
0cos
2
2
−
−
==
==
∫∫
∫
pipi
pi
pi
pi
pipi
pi
( ) ( )∑
∞
=
++=
1
00
0 sencos
2
)(
k
kk tkbtka
a
tx ωω
Exemplo 2
Sinal periódico com T0 = 2pi s, ω0 = 2pi/T0 = 1 rad/s 
SL Prof. Cláudio MAR/2014 8
( )
k
k
kk
k
ktt
k
kt
k 1
0
0
2
)1(20)cos(.002
)cos(.)sen(2
2
+
−
=












−−
−
=












−=
pi
pi
pipi
pi
pi
pipi
Simetria ímpar






−+−+−= L
5
)5sen(
4
)4sen(
3
)3sen(
2
)2sen()sen(2)( ttttttx
2. Série de Fourier Definição
Trigonométrica Compacta
� Representação em Série de Fourier Trigonométrica Compacta 
de um Sinal Periódico x(t) com período fundamental T0 = 2pi /ω0
� C0 é a componente de Corrente Contínua (DC) do sinal x(t)1
� Ck cos(kω0t–θk) é a harmônica de ordem k do sinal x(t)
0
0
1
00
2
 ),cos()(
T
tkCCtx
k
kk
pi
ωθω =−+= ∑
∞
=
SL Prof. Cláudio MAR/2014 9
� Ck cos(kω0t–θk) é a harmônica de ordem k do sinal x(t)
� A primeira componente harmônica, C1 cos(ωωωω0t–θθθθ1), é a componente 
fundamental, pois ela tem o mesmo período do sinal x(t)
� Relação entre Coeficientes Trigon.s e Coeficientes Trigon. Compactos
( )kkk
kkk
abarctg
baCaC
=
+==
θ
;;
2
220
0
1 valor médio
)(
2
1);(
2
1
)(;;2 00
kkkkkk
kkkkkk
jbaCjbaC
CCjbCCaCa
+=−=
−=+==
−
−−
2. Série de Fourier Definição
Exponencial Complexa
� Representaçãoem Série de Fourier Exponencial Complexa 
de um Sinal Periódico x(t) com período fundamental T0= 2pi /ω0
=
=
∫
∑
−
∞
−∞=
dtetxD
eDtx
tjk
k
k
tjk
k
)(1 :onde
)(
0
0
ω
ω
Coeficientes 
Complexos da
Série de Fourier
Eq. de SínteseEq. de Síntese
Eq. de AnáliseEq. de Análise
SL Prof. Cláudio MAR/2014 10
� Valor médio de x(t) em um período:
� Para x(t) real: D
-k = Dk*
∞<<∞−
= ∫
><
k
dtetx
T
D
T
k
 :para 
)( :onde
00
∫
><
==
0
)(1 :0 fazendo
0
0
T
dttx
T
Dk
conjugado complexo
Eq. de AnáliseEq. de Análise
Valor MédioValor Médio
Coeficientes da Série de Fourier Exponencial do sinal x(t) = cos(ω0t)
Exemplo 3
da escoeficientos que vemosinspeçãopor Assim,
2
1
2
1
2
)cos(
:definiçãoda invés ao Euler,dea Fórmula usar Vamos
 )cos()(
0
0
000
00
=+=
+
=
=
∞
−∞=
−
−
∑ eDee
ee
t
ttx
k
tjk
k
tjtj
tjtj
ωωω
ωω
ω
ω
SL Prof. Cláudio MAR/2014 11
1 ,0 
2
1
 
2
1
:sãoComplexa xponencial Fourier Ede Série
da escoeficient os que vemosinspeçãopor Assim,
11 ≠=== − kDDD k
ωω0−ω0
∠DkFase
ωω0−ω0
1/2
|Dk|Módulo
Exemplo 4
:são Complexa lExponenciaFourier de Série da escoeficient os Assim,
2
1
2
1
2
)sen(
:Euler de Fórmula ausar vamosdefinição, a usarmos de invés Ao
 )sen()(
0
0
000
00
=−=
−
=
=
∞
−∞=
−
−
∑ eDejejj
ee
t
ttx
k
tjk
k
tjtj
tjtj
ωωω
ωω
ω
ω
Coeficientes da Série de Fourier Exponencial do sinal x(t) = sen(ω0 t)
SL Prof. Cláudio MAR/2014 12
1 ,0 
2
1
 
2
1
:são Complexa lExponenciaFourier de Série da escoeficient os Assim,
11 ≠=−== − kDjDjD k
ωω0−ω0
1/2
|Dk|Módulo
ωω0−ω0
∠DkFase
pi/2
−pi/2
Exemplo 5
)6sen()4cos()( 
rad/s 2/2 :assim e :/3 e /2 
:eles entre comum) múltiplo (mínimo m.m.c. pelo dadoserá período o e
 racional, número umpor expressa ser puder scomponente suas de períodos dos
razãoa se somente periódico é )6sen()4cos()( sinal O
2
00021
0
==+=
=====
+=
∞∞
∑∑ tkjktjkk eDeDtttx
TTTT
tttx
ω
piωpipipi
SL Prof. Cláudio MAR/2014 13
contrário caso ,0 
2
1
 
2
1
 
2
1
 
2
1
:são Fourier de complexos escoeficient os Assim,
)(
2
1)(
2
1)6sen()4cos()( 
: Eulerde fórmulas as usando Novamente
)6sen()4cos()( 
3223
6644
=−====
−++=+=
==+=
−−
−−
−∞=−∞=
∑∑
k
tjtjtjtj
k
k
k
k
DjDDDjD
eejeetttx
eDeDtttx
Exemplo 6




==
====
−
−
−
∞
∞=
∫∫
∑
.12
2
1)(1
rad/s 1
2
22
 ,)(
0
2
2
0
0
0
-k
0
0
0
0
dtedtetf
T
D
T
eDtf
tjkT
T
tjk
k
tjk
k
pi
pi
pipi
ω
piω
ω
2pipi
-1
1
f(t)
t0



<≤−
<≤
=
pipi
pi
21
01)(
t
t
tf Sinal periódico com T0=2pi
SL Prof. Cláudio MAR/2014 14
ímpar para ,2)( kejktf
tjk
k
∑
∞
−∞=
=
pi
( )[ ] ( )





=
−−=−
−
=

−
contrário caso ,0
ímpar para ,2
)1(111
2
2
20
kjkD
jkejkD
T
k
kjk
k
pi
pipi
pi
pi
Sinal sinc(x)
� Função Amostragem ou Seno Amortecido 
� Etimologia: sine cardinal (seno principal)
� Normalização:
� Propriedades 



 =
=
contrário caso)(
01
)(csin
x
xsen
x
x
pi=∫
+∞
∞−
dxx)sinc(
� Propriedades 
� Um conjunto de máximos absolutos locais correspondem às interseções com a função coseno
� Derivada:
15
2
)sen()cos()sinc(
x
x
x
x
x
dx
d
−=
SL Prof. Cláudio MAR/2014
Exemplo 7
Τ0 /4
A
x(t)
t0
−Τ0 Τ0
1)(1
2
 ,)(
4
4
0
2
2
0
0
0
-k
0
0
0
0
0
0
0
==
==
−
−
−
−
∞
∞=
∫∫
∑
dtAe
T
dtetx
T
D
T
eDtx
T
T
tjkT
T
tjk
k
tjk
k
pi
ω
ωω
ω
SL Prof. Cláudio MAR/2014 16
( ) ( )
 
0para 
2
12para )1(
02para 0 
2
csin
22
sen
2
2244
00
00
0000








=
+=−
≠=
=






=





=
−
−
=−
−
=
−−
kA
mk
k
A
mk
D
kAk
k
AD
eejk
A
ee
Tjk
AD
TT
m
k
k
jkjkTjkTjk
k
pi
pipi
pi
piω
pipiωω
A função sinc(x) = sen(x)/x é 
chamada de seno amortecido
(do latim: sinus cardinalis) e é 
conhecida também por função
Interpolação ou função Filtragem
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
� Sinal Trem de Pulsos
( ) ( )2/sinc
2/
2/sen
1
0
00
0
0
2
200
2
2
0
0
0
τω
τ
τω
τωτ
ω
τ
τ
ω
τ
τ
ω
k
T
A
k
k
T
AD
jk
e
T
AdtAe
T
D
k
tjk
tjk
k
=





=






−
==
−
−
−
−
∫
-T0 -τ/2 0 τ/2 T0 2T0 t
x(t)
A
Exemplo 8
SL Prof. Cláudio MAR/2014 17
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
% Por ser um sinal de simetria par, os coeficientes de Fourier são reais
A = 1; % amplitude dos pulsos
T0 = 0.25 % período do sinal
taus = [5 10 20].* (T0/100) % duty cicle
k = -20:20; % harmonicos considerados
w0=2*pi/T0; % freq. angular
for i=1:3
c = sinc(k*(w0*taus(i)/2)).*(taus(i)/T0); % coefic.s da Série de Fourier
subplot(1,3,i), stem(k,c)
xlabel(sprintf('taus = %3.1f ms',taus(i)*1000));
end
set(gcf, 'Name', 'Espectro de Frequencia do sinal TREM DE PULSOS',...
'NumberTitle','off','MenuBar','none');
-20 -10 0 10 20
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-20 -10 0 10 20
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
-20 -10 0 10 20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Coeficientes Dk para: A=1, T0=0.25s, ω0=8pi e: t1=5%T0, t2=10%T0, t3=20%T0
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
� Sinal Trem de Pulsos
-T0 -τ/2 0 τ/2 T0 2T0 t
x(t)
A
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
T0 = 250.0 ms
0.15 O espaçamento entre as 
Exemplo 8
SL Prof. Cláudio MAR/2014 18
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
% Por ser um sinal de simetria par, os coeficientes de Fourier são reais
A = 1; % amplitude dos pulsos
taus = 50e-3; % duty cicle
T0 = [5 10 20]*taus; % período do sinal
k = -20:20; % harmonicos considerados
w0=2*pi./T0; % freq. angular
for i=1:3
c = sinc(k*(w0(i)*taus/2)).*(taus/T0(i)); % coefic.s da Série de Fourier
subplot(3,1,i), stem(k,c)
xlabel(sprintf('T0 = %3.1f ms',T0(i)*1000));
end
set(gcf, 'Name', 'Espectro de Frequencia do sinal TREM DE PULSOS',...
'NumberTitle','off','MenuBar','none');
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
T0 = 500.0 ms
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
T0 = 1000.0 ms
O espaçamento entre as 
linhas espectrais decresce 
quando T0 aumenta, 
mantendo fixo τ
� Condições de Dirichlet
A série de Fourier existirá se:
� x(t) for integrável em módulo no intervalo de um período
� x(t) tiver um número finito de máximos e mínimos dentro de 
um intervalo de tempo
3. Convergência da Série de Fourier
SL Prof. Cláudio MAR/2014 19
um intervalo de tempo
� x(t) tem um número finito de descontinuidades (finitas) 
dentro de qualquer intervalo de tempo
� Essas condições são suficientes para a convergência 
da série de Fourier, mas não são necessárias!!!
Espectro de Frequência de Sinal Periódico
� Coeficientes da Série de Fourier Exponencial Complexa:
� Magnitude do Espectro do sinal periódico x(t): ω × |Dk|� Fase do Espectro do sinal periódico x(t): ω × Φk
� k ∈ I , logo a Magnitude e a Fase do Espectro serão curvas 
discretas, ocorrendo somente nas frequências discretas kω
kj
kk eDD
φ
=
SL Prof. Cláudio MAR/2014 20
discretas, ocorrendo somente nas frequências discretas kω0
(múltiplas inteiras da frequência fundamental)
� Se o sinal x(t) for periódico e real então os coeficientes:
D
-k = Dk* ou seja, |D-k| = |Dk| e Φ-k = -Φk
� A Magnitude do Espectro será uma função par de ω
� A Fase do Espectro será uma função ímpar de ω
Teorema de Parseval
� Potência média de um sinal periódico x(t) em um 
período qualquer
Teorema de Parseval
∫=
0
2
0
)(1P
T
dttx
T
SL Prof. Cláudio MAR/2014 21
� Teorema de Parseval
∑∫
∞
−∞=
==
k
k
T
Ddttx
T
22
0 0
)(1P
Domínio do Tempo Domínio da Freqüência
4. Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
�� Série de FourierSérie de Fourier � Transformada de FourierTransformada de Fourier
� representa um sinal periódico como uma combinação linear de exponenciais 
complexas harmonicamente relacionadas
� sinais periódicos possuem espectro de linhaespectro de linha equidistantes. O espaçamento 
entre linhas é a frequência fundamental, que determina a quantidade de 
linhas do espectro por unidade de frequência
Para sinais x(t) não periódicos e de duração finita
SL Prof. Cláudio MAR/2014 22
linhas do espectro por unidade de frequência
� se o período cresce de modo ilimitado, o espaçamento entre as linhas tende 
a zero
� no limite, para período infinito, o sinal torna-se não periódico e seu espectro espectro 
tornatorna--se contínuose contínuo (torna-se o envelope do espectro de linha do sinal 
periódico correspondente)
-T0 0 T0 2T0 t
xp(t)
0
0
2
 )( 0
T
ectx
k
tjk
kp
pi
ωω == ∑
∞
−∞=
∫∫∫
+∞
−
+
−
+
−
=== dtetxdtetxdtetxc tjk
T
tjk
T
tjk
pk
0
0
0
0
0 ).(1).(1).(1
22
ωωω
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
SL Prof. Cláudio MAR/2014 23
∫∫∫
∞−−−
=== dtetx
T
dtetx
T
dtetx
T
c
TT
pk
0
0
0
0
0 ).().().(
02020
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=
==
k
tjk
p
k
tjk
p
ekXtx
TekX
T
tx
00
0
00
0
0
0
)(
2
1)(
2
 :como e )(1)( :Logo
ωω
pi
ω
pi
ω
ω
ω
)(1 :emos ter).()( :Definindo 0
0
ωω ω kX
T
cdtetxX ktj == ∫
+∞
∞−
−
-T1 0 T1 t
x(t)
-T0 0 T0 2T0 t
xp(t)
)()(lim 0)(
0
1 txtxTttx pT =>= ∞→
∞1
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
SL Prof. Cláudio MAR/2014 24
∫
∑
∑
∞
∞−
∞
−∞=
→∆∞→
∞
−∞=
=
∆∆==
=
ωω
pi
ωω
pi
ωω
pi
ω
ω
ω
ω
deXtx
ekXtxtx
ekXtx
tj
k
tjk
pT
k
tjk
p
)(
2
1)( :Logo
)(
2
1lim)(lim)( 
)(
2
1)( :Como
0
00
0
0
� Par de Transformadas de Fourier
( ){ }
( ){ } ).(
2
1)(
).()(
1 ωω
pi
ω
ω
ω
ω
deXXtx
dtetxtxX
tj-
tj
=ℑ=
=ℑ=
∫
∫
∞+
+∞
∞−
−
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
SL Prof. Cláudio MAR/2014 25
� Tal como nas Séries, também nas Transformadas de 
Fourier, se o sinal satisfaz às condições de Dirichlet
então a integral converge (existe a transformada)
( ){ }
)()( :adas transformdePar 
).(
2
)(
ω
ωω
pi
ω
Xtx
deXXtx
↔
=ℑ= ∫
∞−
2)(
).()(
000
0
0
eeAeAX
dtAedtetxX
TjTjTtj
T
T
tjtj
ω
ω
ωωω
ωω



 −−
=



=
===
−−
−
−
∞
∞−
−
∫∫
� Sinal Janela Retangular
-T0 0 T0 t
x(t)
A
Exemplo 9
� Espectro de Frequências
( ) ( )00
0
0
0 sinc.2.
.
sen2.)(
2
2)(
0
TTA
T
TTAX
j
eeA
j
eAX
T
ω
ω
ω
ω
ωω
ω
==





 −−
=





−
=
−
26
� Espectro de Frequências
http://www.thefouriertransform.com/pairs/box.php
A = ½ e T0 = 1
A = 1/pi e T0 = pi
SL Prof. Cláudio MAR/2014
� Sinal Janela Retangular
-T0 0 T0 t
x(t)
A
Exemplo 9
� Espectro de Frequências
A = ½ e T0 = 1
A = 1/pi e T = pi
27
A = 1/pi e T0 = pi
SL Prof. Cláudio MAR/2014
Sinal Triangular
-T0 0 T0 t
x(t)
A Exemplo 10
0
0
0
0
2
0 00
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
)1()1()(:Assim
)1(. e :Integrais deTabela Da 
)(
)()().()(
00
00
00
0
0
eTtjeeTtjeAX
ax
a
edxex
a
edxe
dteTdttedteTdtte
T
AX
dteTt
T
AdteTt
T
AdtetxX
TtjTtjtjtj
ax
ax
ax
ax
T tjT tj
T
tj
T
tj
T tj
T
tjtj
ωωω
ω
ω
ωωωω
ωωωω
ωωω




+−−−+−−=
−==



 +−+=
+−++==
−−−−
−−
−
−
−
−
−
−
−
∞
∞−
−
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫
28
[ ]
( ) ( ) ( )020
2
0
0
02
0
2
0
2
0
000
0
2
00
0
0
0
2
00
0
0
0
0
202
0
sinc.2.
.
sen2.
.
sen2.)(
)(3)cos(12)(
)(2)(2)(
)11(1)1()1(1)(
)1()()1()()(:Assim
0000
00
00
00
TTA
T
TTA
T
TTAX
TsenTT
T
AX
TsenTeeeeTj
T
AX
eej
TTjeTje
T
AX
jTtjjjTtjjTX
TjTjTjTj
TjTj
TjTj
TT
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωωω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ωωωω
ωω
ωω
=





==
++−=






+
++−+−
=






−+−−
−++−−−
=





−
+−−
−
−
−
+−−
−
=
−−
−
−
−−
SL Prof. Cláudio MAR/2014
� Sinal Triangular
-T0 0 T0 t
x(t)
A
Exemplo 10
E
s
p
e
c
t
r
o
 
d
e
 
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
s
29
�
E
s
p
e
c
t
r
o
 
d
e
 
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
s
http://www.thefouriertransform.com/pairs/triangle.phpSL Prof. Cláudio MAR/2014
� Linearidade 
� Inversão no Tempo e na Freqüência
� Diferenciação no Tempo
� Diferenciação na Freqüência
� Deslocamento no Tempo
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
)()( ω−⇔− Xtx
ω
ω
d
dX
txjt )()(. ⇔−
)()( 00 ωωXettx jt−⇔−
)()()()( ωω bYaXtbytax +↔+
Propriedades
)(.)( ωω Xj
dt
tdx
⇔
SL Prof. Cláudio MAR/2014 30
� Mudança de escala no Tempo
� Deslocamento na freqüência 
� Convolução
� Teorema de Parseval
)()( 0 ωXettx ⇔−
)()( 00 ωωω −⇔ Xtxe jt
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== ωω
pi
dXdttxE 22 )(
2
1)(
)().(
2
1)()(
)()()().(
2121
2121
ωω
pi
ωω
XXtxtx
XXtxtx
⇔∗
∗⇔
aaXatx /)/()( ω⇔
� Tabela 1
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
SL Prof. Cláudio MAR/2014 31
� Tabela 2
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
SL Prof. Cláudio MAR/2014 32
Resposta em Frequência de um SLITC
� Para SLITCs, no tempo: y(t) = x(t) ∗ h(t)
� Na frequência, usando a propr. da convolução:
Y(ω) = X(ω) . H(ω)
ou: H(ω) = Y(ω) / X(ω)
� H(ω) é a Resposta em FrequênciaResposta em Frequência do SLITC
SLProf. Cláudio MAR/2014 33
H(ω) é a Resposta em FrequênciaResposta em Frequência do SLITC
� H(ω) = |H(ω)| e jθ (ω)
� Se X(ω) = |X(ω)| e jα(ω) então Y(ω) = |Y(ω)| e jφ(ω)
e |Y(ω)| = |X(ω)|. |H(ω)| e φ (ω) = α (ω) + θ (ω)
Magnitude da resposta em frequência 
Fase da resposta em frequência 
Exercícios
� Livro-texto
� Cap. 6
� Exercícios
� E6.1 (p.542)
� a) ∑
∞
=
−
+=
1
22 cos
)1(4
3
1)(
n
n
tn
n
tx pi
pi
SL Prof. Cláudio MAR/2014 34
� b)
� E6.2 (p.543)
� Problemas
� 6.1-1, 6.1-2, 6.1-3, 6.3-1, 6.3-2, 6.3-8
∑
=13 n npi




+++−+++−= Koooo )904cos(
4
1)903cos(
3
1)902cos(
2
1)90cos(2)( ttttAtx pipipipi
pi

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