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Análise de Fourier 34 slides Prof. Cláudio A. Fleury T0 = 0,01s f0 = 1/ T0 = 100 Hz tempo (s) x(t) Espectro de x(t) f (Hz) Conteúdo 1.1. IntroduçãoIntrodução 2.2. Série de FourierSérie de Fourier 3.3. Representação de Sinais PeriódicosRepresentação de Sinais Periódicos 4.4. Transformada de FourierTransformada de Fourier 2 5.5. Propriedades da Transformada de FourierPropriedades da Transformada de Fourier 6.6. Transformada de Fourier InversaTransformada de Fourier Inversa 7.7. Resposta em Frequência Resposta em Frequência de Sistemas LITCde Sistemas LITC SL Prof. Cláudio MAR/2014 História Série de Fourier é uma ferramenta matemática usada para se analisar funções periódicas arbitrárias pela decomposição da funçãodecomposição da função em uma soma de soma de funções componentes senoidaisfunções componentes senoidais mais simples, as quais diferem umas das outras apenas em amplitude, freqüência e fase. Esta análise aplica-se a vários propósitos, dentre eles, aquele de facilitar a manipulação da função original, analiticamente e graficamente. As áreas de aplicação desta teoria incluem a Engenharia Elétrica, a Acústica, a Óptica, o Processamento de Sinais e Imagens, e a Compressão de SL Prof. Cláudio MAR/2014 3 Acústica, a Óptica, o Processamento de Sinais e Imagens, e a Compressão de Dados. Usando as ferramentas e técnicas da espectroscopia, por exemplo, astrônomos deduzem a composição química de uma estrela pela análise das componentes frequenciais (espectro) a partir das luzes emitidas pela estrela; engenheiros otimizam o projeto de um sistema de telecomunicações usando informações sobre as componentes espectrais de um sinal de dados que um sistema transportará. As Séries de Fourier são assim chamadas em homenagem ao cientista e matemático francês JeanJean--BaptisteBaptiste--Joseph FourierJoseph Fourier (1768-1830), quem as primeiro usou em seu estudo sobre a Propagação do Calor em Corpos Sólidos (The Analytical Theory of Heat, anunciado em 1807, mas publicado em 1822) � Transformações para o Domínio da Domínio da FreqüênciaFreqüência (espectro) são representações alternativas para se conhecer outras características de sinais e SLITC's, além da causalidadecausalidade e estabilidadeestabilidade � Como a Transformada de Laplace, a de Fourier também 1. Introdução SL Prof. Cláudio MAR/2014 4 � Como a Transformada de Laplace, a de Fourier também é um operador linearoperador linear muito útil à análise de SLITC's � Análise de Fourier: abordagens quanto ao Tipo do Sinal �� PeriódicoPeriódico: Série de Fourier �� Não PeriódicoNão Periódico: Transformada de Fourier 2. Série de Fourier Sinal Periódico � Sinal Periódico x(t) de período T > 0: � Período fundamental T0 de x(t) � Menor valor de T para o qual a Equação (1) é satisfeita Frequência fundamental (1) ),()( tTtxtx ∀+= 5 � Frequência fundamental � Linear: f0 = 1/T0 � Angular: ω0 = 2pi f0 � Exemplos de sinais periódicos � Sinal senoidal real � Sinal exponencial complexo )sen()cos()( )cos()( 002 01 0 tjtetx ttx tj ωω φω ω −== += − SL Prof. Cláudio MAR/2014 2. Série de Fourier Definição Trigonométrica � Representação de um Sinal Periódico x(t) com período fundamental T0 em Série de Fourier Trigonométrica ∫ ∑ ∞ = = =++= )cos()(2 :onde 2 ),sencos( 2 )( 0 0 0 1 00 0 k k kk dttktx T a T tkbtkaatx ω pi ωωωCoeficientes Trigonométricos da Série de Fourier Eq. de Eq. de SínteseSíntese Eq.s Eq.s de de SL Prof. Cláudio MAR/2014 6 � Efeito da simetria temporal ∫ ∫ >< >< = = 0 0 )sen()(2 )cos()( :onde 0 0 0 0 T k T k dttktx T b dttktx T a ω ω Se x(t) par � bk = 0 Se x(t) ímpar � ak = 0 Eq.s Eq.s de de AnáliseAnálise Exemplo 1 Como x(t) é um sinal ímpar, então: [ ] [ ]−++−= +−= −= == ∫ ∫ )cos()2cos()0.cos()cos(1 )cos()cos(1 )(sen)(sen1 ,3,2,1 ,0 2 0 0 2 kkkk ktkt k dtktdtktb ka k k pipipi pi pi pi pi pi pi pi pi K <≤− <≤ = pipi pi 21 01)( t t tx 2pipi -1 1 x(t) t0 ( ) ( )∑ ∞ ++= 00 0 sencos)( kk tkbtka a tx ωω Eq. de Síntese Sinal periódico com T0 = 2pi s, ω0 = 2pi/T0 = 1 rad/s -2pi −pi SL Prof. Cláudio MAR/2014 7 [ ] [ ] =−−= −++−= par ,0 ímpar ,4)1(12 )cos()2cos()0.cos()cos(1 k k k k kkkk k k pi pi pipipi pi +++= L 5 )5sen( 3 )3sen( 1 )sen(4)( ttttx pi Como o sinal f(t) tem média nula, então: Logo: 00 =a ( ) ( )∑ = ++= 1 00 sencos2 )( k kk tkbtkatx ωω � Sinal Dente de Serra: x(t) = t, [-pi,pi] ( ) ( ) ( )dtkttdtkttb dtktta k k 0 sen 2 sen 2 2 0cos 2 2 − − == == ∫∫ ∫ pipi pi pi pi pipi pi ( ) ( )∑ ∞ = ++= 1 00 0 sencos 2 )( k kk tkbtka a tx ωω Exemplo 2 Sinal periódico com T0 = 2pi s, ω0 = 2pi/T0 = 1 rad/s SL Prof. Cláudio MAR/2014 8 ( ) k k kk k ktt k kt k 1 0 0 2 )1(20)cos(.002 )cos(.)sen(2 2 + − = −− − = −= pi pi pipi pi pi pipi Simetria ímpar −+−+−= L 5 )5sen( 4 )4sen( 3 )3sen( 2 )2sen()sen(2)( ttttttx 2. Série de Fourier Definição Trigonométrica Compacta � Representação em Série de Fourier Trigonométrica Compacta de um Sinal Periódico x(t) com período fundamental T0 = 2pi /ω0 � C0 é a componente de Corrente Contínua (DC) do sinal x(t)1 � Ck cos(kω0t–θk) é a harmônica de ordem k do sinal x(t) 0 0 1 00 2 ),cos()( T tkCCtx k kk pi ωθω =−+= ∑ ∞ = SL Prof. Cláudio MAR/2014 9 � Ck cos(kω0t–θk) é a harmônica de ordem k do sinal x(t) � A primeira componente harmônica, C1 cos(ωωωω0t–θθθθ1), é a componente fundamental, pois ela tem o mesmo período do sinal x(t) � Relação entre Coeficientes Trigon.s e Coeficientes Trigon. Compactos ( )kkk kkk abarctg baCaC = +== θ ;; 2 220 0 1 valor médio )( 2 1);( 2 1 )(;;2 00 kkkkkk kkkkkk jbaCjbaC CCjbCCaCa +=−= −=+== − −− 2. Série de Fourier Definição Exponencial Complexa � Representaçãoem Série de Fourier Exponencial Complexa de um Sinal Periódico x(t) com período fundamental T0= 2pi /ω0 = = ∫ ∑ − ∞ −∞= dtetxD eDtx tjk k k tjk k )(1 :onde )( 0 0 ω ω Coeficientes Complexos da Série de Fourier Eq. de SínteseEq. de Síntese Eq. de AnáliseEq. de Análise SL Prof. Cláudio MAR/2014 10 � Valor médio de x(t) em um período: � Para x(t) real: D -k = Dk* ∞<<∞− = ∫ >< k dtetx T D T k :para )( :onde 00 ∫ >< == 0 )(1 :0 fazendo 0 0 T dttx T Dk conjugado complexo Eq. de AnáliseEq. de Análise Valor MédioValor Médio Coeficientes da Série de Fourier Exponencial do sinal x(t) = cos(ω0t) Exemplo 3 da escoeficientos que vemosinspeçãopor Assim, 2 1 2 1 2 )cos( :definiçãoda invés ao Euler,dea Fórmula usar Vamos )cos()( 0 0 000 00 =+= + = = ∞ −∞= − − ∑ eDee ee t ttx k tjk k tjtj tjtj ωωω ωω ω ω SL Prof. Cláudio MAR/2014 11 1 ,0 2 1 2 1 :sãoComplexa xponencial Fourier Ede Série da escoeficient os que vemosinspeçãopor Assim, 11 ≠=== − kDDD k ωω0−ω0 ∠DkFase ωω0−ω0 1/2 |Dk|Módulo Exemplo 4 :são Complexa lExponenciaFourier de Série da escoeficient os Assim, 2 1 2 1 2 )sen( :Euler de Fórmula ausar vamosdefinição, a usarmos de invés Ao )sen()( 0 0 000 00 =−= − = = ∞ −∞= − − ∑ eDejejj ee t ttx k tjk k tjtj tjtj ωωω ωω ω ω Coeficientes da Série de Fourier Exponencial do sinal x(t) = sen(ω0 t) SL Prof. Cláudio MAR/2014 12 1 ,0 2 1 2 1 :são Complexa lExponenciaFourier de Série da escoeficient os Assim, 11 ≠=−== − kDjDjD k ωω0−ω0 1/2 |Dk|Módulo ωω0−ω0 ∠DkFase pi/2 −pi/2 Exemplo 5 )6sen()4cos()( rad/s 2/2 :assim e :/3 e /2 :eles entre comum) múltiplo (mínimo m.m.c. pelo dadoserá período o e racional, número umpor expressa ser puder scomponente suas de períodos dos razãoa se somente periódico é )6sen()4cos()( sinal O 2 00021 0 ==+= ===== += ∞∞ ∑∑ tkjktjkk eDeDtttx TTTT tttx ω piωpipipi SL Prof. Cláudio MAR/2014 13 contrário caso ,0 2 1 2 1 2 1 2 1 :são Fourier de complexos escoeficient os Assim, )( 2 1)( 2 1)6sen()4cos()( : Eulerde fórmulas as usando Novamente )6sen()4cos()( 3223 6644 =−==== −++=+= ==+= −− −− −∞=−∞= ∑∑ k tjtjtjtj k k k k DjDDDjD eejeetttx eDeDtttx Exemplo 6 == ==== − − − ∞ ∞= ∫∫ ∑ .12 2 1)(1 rad/s 1 2 22 ,)( 0 2 2 0 0 0 -k 0 0 0 0 dtedtetf T D T eDtf tjkT T tjk k tjk k pi pi pipi ω piω ω 2pipi -1 1 f(t) t0 <≤− <≤ = pipi pi 21 01)( t t tf Sinal periódico com T0=2pi SL Prof. Cláudio MAR/2014 14 ímpar para ,2)( kejktf tjk k ∑ ∞ −∞= = pi ( )[ ] ( ) = −−=− − = − contrário caso ,0 ímpar para ,2 )1(111 2 2 20 kjkD jkejkD T k kjk k pi pipi pi pi Sinal sinc(x) � Função Amostragem ou Seno Amortecido � Etimologia: sine cardinal (seno principal) � Normalização: � Propriedades = = contrário caso)( 01 )(csin x xsen x x pi=∫ +∞ ∞− dxx)sinc( � Propriedades � Um conjunto de máximos absolutos locais correspondem às interseções com a função coseno � Derivada: 15 2 )sen()cos()sinc( x x x x x dx d −= SL Prof. Cláudio MAR/2014 Exemplo 7 Τ0 /4 A x(t) t0 −Τ0 Τ0 1)(1 2 ,)( 4 4 0 2 2 0 0 0 -k 0 0 0 0 0 0 0 == == − − − − ∞ ∞= ∫∫ ∑ dtAe T dtetx T D T eDtx T T tjkT T tjk k tjk k pi ω ωω ω SL Prof. Cláudio MAR/2014 16 ( ) ( ) 0para 2 12para )1( 02para 0 2 csin 22 sen 2 2244 00 00 0000 = +=− ≠= = = = − − =− − = −− kA mk k A mk D kAk k AD eejk A ee Tjk AD TT m k k jkjkTjkTjk k pi pipi pi piω pipiωω A função sinc(x) = sen(x)/x é chamada de seno amortecido (do latim: sinus cardinalis) e é conhecida também por função Interpolação ou função Filtragem % Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A � Sinal Trem de Pulsos ( ) ( )2/sinc 2/ 2/sen 1 0 00 0 0 2 200 2 2 0 0 0 τω τ τω τωτ ω τ τ ω τ τ ω k T A k k T AD jk e T AdtAe T D k tjk tjk k = = − == − − − − ∫ -T0 -τ/2 0 τ/2 T0 2T0 t x(t) A Exemplo 8 SL Prof. Cláudio MAR/2014 17 % Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A % Por ser um sinal de simetria par, os coeficientes de Fourier são reais A = 1; % amplitude dos pulsos T0 = 0.25 % período do sinal taus = [5 10 20].* (T0/100) % duty cicle k = -20:20; % harmonicos considerados w0=2*pi/T0; % freq. angular for i=1:3 c = sinc(k*(w0*taus(i)/2)).*(taus(i)/T0); % coefic.s da Série de Fourier subplot(1,3,i), stem(k,c) xlabel(sprintf('taus = %3.1f ms',taus(i)*1000)); end set(gcf, 'Name', 'Espectro de Frequencia do sinal TREM DE PULSOS',... 'NumberTitle','off','MenuBar','none'); -20 -10 0 10 20 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 -20 -10 0 10 20 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 -20 -10 0 10 20 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Coeficientes Dk para: A=1, T0=0.25s, ω0=8pi e: t1=5%T0, t2=10%T0, t3=20%T0 % Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A � Sinal Trem de Pulsos -T0 -τ/2 0 τ/2 T0 2T0 t x(t) A -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 T0 = 250.0 ms 0.15 O espaçamento entre as Exemplo 8 SL Prof. Cláudio MAR/2014 18 % Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A % Por ser um sinal de simetria par, os coeficientes de Fourier são reais A = 1; % amplitude dos pulsos taus = 50e-3; % duty cicle T0 = [5 10 20]*taus; % período do sinal k = -20:20; % harmonicos considerados w0=2*pi./T0; % freq. angular for i=1:3 c = sinc(k*(w0(i)*taus/2)).*(taus/T0(i)); % coefic.s da Série de Fourier subplot(3,1,i), stem(k,c) xlabel(sprintf('T0 = %3.1f ms',T0(i)*1000)); end set(gcf, 'Name', 'Espectro de Frequencia do sinal TREM DE PULSOS',... 'NumberTitle','off','MenuBar','none'); -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 T0 = 500.0 ms -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 T0 = 1000.0 ms O espaçamento entre as linhas espectrais decresce quando T0 aumenta, mantendo fixo τ � Condições de Dirichlet A série de Fourier existirá se: � x(t) for integrável em módulo no intervalo de um período � x(t) tiver um número finito de máximos e mínimos dentro de um intervalo de tempo 3. Convergência da Série de Fourier SL Prof. Cláudio MAR/2014 19 um intervalo de tempo � x(t) tem um número finito de descontinuidades (finitas) dentro de qualquer intervalo de tempo � Essas condições são suficientes para a convergência da série de Fourier, mas não são necessárias!!! Espectro de Frequência de Sinal Periódico � Coeficientes da Série de Fourier Exponencial Complexa: � Magnitude do Espectro do sinal periódico x(t): ω × |Dk|� Fase do Espectro do sinal periódico x(t): ω × Φk � k ∈ I , logo a Magnitude e a Fase do Espectro serão curvas discretas, ocorrendo somente nas frequências discretas kω kj kk eDD φ = SL Prof. Cláudio MAR/2014 20 discretas, ocorrendo somente nas frequências discretas kω0 (múltiplas inteiras da frequência fundamental) � Se o sinal x(t) for periódico e real então os coeficientes: D -k = Dk* ou seja, |D-k| = |Dk| e Φ-k = -Φk � A Magnitude do Espectro será uma função par de ω � A Fase do Espectro será uma função ímpar de ω Teorema de Parseval � Potência média de um sinal periódico x(t) em um período qualquer Teorema de Parseval ∫= 0 2 0 )(1P T dttx T SL Prof. Cláudio MAR/2014 21 � Teorema de Parseval ∑∫ ∞ −∞= == k k T Ddttx T 22 0 0 )(1P Domínio do Tempo Domínio da Freqüência 4. Transformada de Fourier de Tempo Contínuo �� Série de FourierSérie de Fourier � Transformada de FourierTransformada de Fourier � representa um sinal periódico como uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas � sinais periódicos possuem espectro de linhaespectro de linha equidistantes. O espaçamento entre linhas é a frequência fundamental, que determina a quantidade de linhas do espectro por unidade de frequência Para sinais x(t) não periódicos e de duração finita SL Prof. Cláudio MAR/2014 22 linhas do espectro por unidade de frequência � se o período cresce de modo ilimitado, o espaçamento entre as linhas tende a zero � no limite, para período infinito, o sinal torna-se não periódico e seu espectro espectro tornatorna--se contínuose contínuo (torna-se o envelope do espectro de linha do sinal periódico correspondente) -T0 0 T0 2T0 t xp(t) 0 0 2 )( 0 T ectx k tjk kp pi ωω == ∑ ∞ −∞= ∫∫∫ +∞ − + − + − === dtetxdtetxdtetxc tjk T tjk T tjk pk 0 0 0 0 0 ).(1).(1).(1 22 ωωω Transformada de Fourier de Tempo Contínuo SL Prof. Cláudio MAR/2014 23 ∫∫∫ ∞−−− === dtetx T dtetx T dtetx T c TT pk 0 0 0 0 0 ).().().( 02020 ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= = == k tjk p k tjk p ekXtx TekX T tx 00 0 00 0 0 0 )( 2 1)( 2 :como e )(1)( :Logo ωω pi ω pi ω ω ω )(1 :emos ter).()( :Definindo 0 0 ωω ω kX T cdtetxX ktj == ∫ +∞ ∞− − -T1 0 T1 t x(t) -T0 0 T0 2T0 t xp(t) )()(lim 0)( 0 1 txtxTttx pT =>= ∞→ ∞1 Transformada de Fourier de Tempo Contínuo SL Prof. Cláudio MAR/2014 24 ∫ ∑ ∑ ∞ ∞− ∞ −∞= →∆∞→ ∞ −∞= = ∆∆== = ωω pi ωω pi ωω pi ω ω ω ω deXtx ekXtxtx ekXtx tj k tjk pT k tjk p )( 2 1)( :Logo )( 2 1lim)(lim)( )( 2 1)( :Como 0 00 0 0 � Par de Transformadas de Fourier ( ){ } ( ){ } ).( 2 1)( ).()( 1 ωω pi ω ω ω ω deXXtx dtetxtxX tj- tj =ℑ= =ℑ= ∫ ∫ ∞+ +∞ ∞− − Transformada de Fourier de Tempo Contínuo SL Prof. Cláudio MAR/2014 25 � Tal como nas Séries, também nas Transformadas de Fourier, se o sinal satisfaz às condições de Dirichlet então a integral converge (existe a transformada) ( ){ } )()( :adas transformdePar ).( 2 )( ω ωω pi ω Xtx deXXtx ↔ =ℑ= ∫ ∞− 2)( ).()( 000 0 0 eeAeAX dtAedtetxX TjTjTtj T T tjtj ω ω ωωω ωω −− = = === −− − − ∞ ∞− − ∫∫ � Sinal Janela Retangular -T0 0 T0 t x(t) A Exemplo 9 � Espectro de Frequências ( ) ( )00 0 0 0 sinc.2. . sen2.)( 2 2)( 0 TTA T TTAX j eeA j eAX T ω ω ω ω ωω ω == −− = − = − 26 � Espectro de Frequências http://www.thefouriertransform.com/pairs/box.php A = ½ e T0 = 1 A = 1/pi e T0 = pi SL Prof. Cláudio MAR/2014 � Sinal Janela Retangular -T0 0 T0 t x(t) A Exemplo 9 � Espectro de Frequências A = ½ e T0 = 1 A = 1/pi e T = pi 27 A = 1/pi e T0 = pi SL Prof. Cláudio MAR/2014 Sinal Triangular -T0 0 T0 t x(t) A Exemplo 10 0 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )1()1()(:Assim )1(. e :Integrais deTabela Da )( )()().()( 00 00 00 0 0 eTtjeeTtjeAX ax a edxex a edxe dteTdttedteTdtte T AX dteTt T AdteTt T AdtetxX TtjTtjtjtj ax ax ax ax T tjT tj T tj T tj T tj T tjtj ωωω ω ω ωωωω ωωωω ωωω +−−−+−−= −== +−+= +−++== −−−− −− − − − − − − − ∞ ∞− − ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫ 28 [ ] ( ) ( ) ( )020 2 0 0 02 0 2 0 2 0 000 0 2 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 202 0 sinc.2. . sen2. . sen2.)( )(3)cos(12)( )(2)(2)( )11(1)1()1(1)( )1()()1()()(:Assim 0000 00 00 00 TTA T TTA T TTAX TsenTT T AX TsenTeeeeTj T AX eej TTjeTje T AX jTtjjjTtjjTX TjTjTjTj TjTj TjTj TT ω ω ω ω ω ω ωωω ω ω ω ω ω ω ω ωω ωω ω ω ω ωω ω ω ω ωωωω ωω ωω = == ++−= + ++−+− = −+−− −++−−− = − +−− − − − +−− − = −− − − −− SL Prof. Cláudio MAR/2014 � Sinal Triangular -T0 0 T0 t x(t) A Exemplo 10 E s p e c t r o d e F r e q u ê n c i a s 29 � E s p e c t r o d e F r e q u ê n c i a s http://www.thefouriertransform.com/pairs/triangle.phpSL Prof. Cláudio MAR/2014 � Linearidade � Inversão no Tempo e na Freqüência � Diferenciação no Tempo � Diferenciação na Freqüência � Deslocamento no Tempo Transformada de Fourier de Tempo Contínuo )()( ω−⇔− Xtx ω ω d dX txjt )()(. ⇔− )()( 00 ωωXettx jt−⇔− )()()()( ωω bYaXtbytax +↔+ Propriedades )(.)( ωω Xj dt tdx ⇔ SL Prof. Cláudio MAR/2014 30 � Mudança de escala no Tempo � Deslocamento na freqüência � Convolução � Teorema de Parseval )()( 0 ωXettx ⇔− )()( 00 ωωω −⇔ Xtxe jt ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− == ωω pi dXdttxE 22 )( 2 1)( )().( 2 1)()( )()()().( 2121 2121 ωω pi ωω XXtxtx XXtxtx ⇔∗ ∗⇔ aaXatx /)/()( ω⇔ � Tabela 1 Transformada de Fourier de Tempo Contínuo SL Prof. Cláudio MAR/2014 31 � Tabela 2 Transformada de Fourier de Tempo Contínuo SL Prof. Cláudio MAR/2014 32 Resposta em Frequência de um SLITC � Para SLITCs, no tempo: y(t) = x(t) ∗ h(t) � Na frequência, usando a propr. da convolução: Y(ω) = X(ω) . H(ω) ou: H(ω) = Y(ω) / X(ω) � H(ω) é a Resposta em FrequênciaResposta em Frequência do SLITC SLProf. Cláudio MAR/2014 33 H(ω) é a Resposta em FrequênciaResposta em Frequência do SLITC � H(ω) = |H(ω)| e jθ (ω) � Se X(ω) = |X(ω)| e jα(ω) então Y(ω) = |Y(ω)| e jφ(ω) e |Y(ω)| = |X(ω)|. |H(ω)| e φ (ω) = α (ω) + θ (ω) Magnitude da resposta em frequência Fase da resposta em frequência Exercícios � Livro-texto � Cap. 6 � Exercícios � E6.1 (p.542) � a) ∑ ∞ = − += 1 22 cos )1(4 3 1)( n n tn n tx pi pi SL Prof. Cláudio MAR/2014 34 � b) � E6.2 (p.543) � Problemas � 6.1-1, 6.1-2, 6.1-3, 6.3-1, 6.3-2, 6.3-8 ∑ =13 n npi +++−+++−= Koooo )904cos( 4 1)903cos( 3 1)902cos( 2 1)90cos(2)( ttttAtx pipipipi pi
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