Modulo4b - Laplace e Circuitos

Prévia do material em texto

Transformada de Laplace
Aplicada aos Circuitos Elétricos
Prof. Cláudio A. Fleury
25 slides
Conteúdo
1.1. IntroduçãoIntrodução
2.2. Circuitos no Domínio Circuitos no Domínio de Laplace de Laplace 
(Domínio da Frequência Complexa)(Domínio da Frequência Complexa)
3.3. Análise de Circuitos no Análise de Circuitos no Domínio de Laplace Domínio de Laplace 
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 2
3.3. Análise de Circuitos no Análise de Circuitos no Domínio de Laplace Domínio de Laplace 
4.4. Resolução de Resolução de EDLCCsEDLCCs com TLcom TL
5.5. Função Função de Transferênciade Transferência
�� DefiniçãoDefinição
�� Expansão Expansão em Frações Parciaisem Frações Parciais
� Transformada de Laplace
� Ferramenta de análise de circuitos elétricos lineares
� Transformação de Equações Diferenciais Lineares de 
Coeficientes Constantes em sistemas de Equações Algébricas
� Consideração das condições iniciais de tensões e correntes dos 
1. Introdução
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 3
circuitos desde o início da análise
� Escrita de equações dos circuitos diretamente no 
domínio de Laplace (frequência complexa: variável s)
� Leis de Ohm e de Kirchhoff, métodos das tensões de 
malhas e correntes nodais também são válidas no 
domínio de Laplace
2. Circuitos no Domínio da Frequência Complexa
� Resistor
� Lei de Ohm
� Transf. de Laplace
Circuito
)(.)( tiRtv =
)(.)( sIRsV =
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 4
� Circuito
+
v (t)
−
R
a
b
i (t)
Domínio do Tempo
+
V(s)
−
R
a
b
I (s)
Domínio de Laplace
� Indutor (percorrido por uma corrente inicial, I0 Ampères)
� Tensão nos terminais
� Transf. de Laplace
Circuito
dt
tdiLtv )(.)( =
)]0()(..[)( −−= isIsLsV
2. Circuitos no Domínio da Frequência Complexa
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 5
� Circuito
Domínio do Tempo
+
v (t)
−
L
a
b
I0 i (t)
Domínio de Laplace
+
V(s)
−
s.L
a
b
I(s)
L.I0+
−
s.L
a
b
I(s)
I0 /s
+
V(s)
−
Fonte 
Independente 
de Corrente
Fonte 
Independente 
de Tensão
� Capacitor (carregado com uma tensão inicial, V0 Volts)
� Corrente no capacitor
� Transf. de Laplace
Circuito
dt
tdvCti )(.)( =
vsI
sV
vsVsCsI
)0()()(
ou )]0()(..[)(
−
−
+=
−=
2. Circuitos no Domínio da Frequência Complexa
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 6
� Circuito ssC
sV )( +=
Domínio do Tempo
+
v (t)
−
C
a
b
i(t)
+
V0
−
Domínio da Frequência Complexa
+
V(s)
−
1/(s.C)
a
b
I(s)
V0/s
+
−
Fonte 
Independente 
de Tensão
1/(s.C)
a
b
I(s)
C.V0
+
V(s)
−
Fonte 
Independente 
de Corrente
� Lei de Ohm
� Se não existe nenhuma energia armazenada 
em indutor(es) ou capacitor(es):
� Impedância e Admitância no domínio de Laplace
� Resistor: R (Ohms) 1/R (Siemens)
� Indutor: s.L (Ohms) 1/(s.L) (Siemens)
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
)().()( sIsZsV =
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 7
� Capacitor: 1/(s.C) (Ohms) s.C (Siemens)
� Associação de Impedâncias e Admitâncias
� As mesmas regras usadas no domínio do Tempo (série-paralelo, 
conversão ∆-Y,...) se repetem para o domínio de Laplace
� Métodos das tensões de malhas, correntes nodais, transformações 
de fontes, circuitos equivalentes de Thévenin e Norton, também são 
válidos no domínio de Laplace
� Quando existir energia armazenada inicialmente nos indutores e 
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 8
� Quando existir energia armazenada inicialmente nos indutores e 
capacitores, basta acrescentar fontes independentes em série (ou 
paralelo) com as impedâncias (admitâncias) dos elementos passivos
� Leis de Kirchhoff também se aplicam no domínio de Laplace, tal 
qual como no domínio do Tempo
� Exemplo com Condições Iniciais nulas: 
Circuito RLC em paralelo com R=500 Ω, L=16 mH, C=25 nF
� Cálculo da Admitância no domínio de Laplace
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
RsLRLCs
sCsY
sV
sI
sY
sY
sI
sIsZsV
11)(
)(
)()()(
)()().()(
2 ++
=++=
=⇒==
I(t) é a saída
V(t) é a entrada
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 9
� Polos e Zeros da Função de Transferência (Admitância)
s
ss
s
ss
sY
s
ss
sY
sLR
RsLRLCs
sL
sC
R
sY
)10.2580000(10.25
8
50010.1610.25.8)(
10.16.500
50010.1610.2510.16.500)(
11)(
82
9
329
3
3293
++
=
++
=
++
=
++
=++=
−
−−
−
−−−
00 :Polos
3000040000010.2580000 :Zeros
1
2,1
82
=⇒=
±−=⇒=++
ps
jzss
� Exercício com Condições Iniciais nulas : 
Idem ao exemplo, com resistor em série: R1 = 2 kΩ
� Calcule a Impedância no domínio de Laplace
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
82
829
10.2580000200002000200040000000)(
2000)10.2580000(10.25
11)(
1)(
+++
=+=
+
++
=+=
−
ssss
sZ
ss
sR
sY
sZ
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 10
� Calcule os Polos e os Zeros da Função de Transf. (Impedância)
82
82
8282
10.2580000
10.251000002000)(
10.2580000
10.25800002000020002000
10.2580000
40000000)(
++
++
=
++
+++
=+
++
=
ss
ss
sZ
ss
sss
ss
s
sZ
3000040000010.2580000 :Polos
50000010.25100000 :Zeros
2,1
82
21
82
jpss
zzss
m−=⇒=++
−==⇒=++
? é a saída
? é a entrada
� Exemplo: Cálculo da Resposta Natural, i(t), de um Circuito RC
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
C R
t=0
+
v(0-)
−
+
v(t)
−
1/(s.C)
a
I(s)
v(0-) /s +
−
R
+
V(s)
−
T.L.
Fonte 
Independente 
de Tensão
Resposta Natural
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 11
( )
( )
( ) )()0()(.)( :E
 )()0()}({)( :Assim
 )/(1)Re( : RDC,
1
)0(
1.
)0(.)(
)(.)(1)0(
:malhada longo ao tensõesas Somando
1
tuevtiRtv
tue
R
v
sILti
RCs
RCs
Rv
sRC
vC
sI
sIRsI
sCs
v
RCt
RCt
−−
−
−
−
−−
−
==
==
−>
+
=
+
=
+=
b
� Conversão com Condições Iniciais não nulas:
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
C v(0-)
+
vC(t)
−
1 / (s.C)
a
v(0-)/s +
−
+
V(s)
−
T.L.
descarregado
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 12
b −
Dom. Tempo Dom. Frequência Complexa
s
v
sI
sC
sV
vssVCsI
dt
dvCti
)0()(
.
1)(
)]0()([)(
)(
−
−
+=
−=
=
� Conversão com Condições Iniciais não nulas:
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
L
+
iL(0-)
−
s.L
a
L.i(0-) +−
+
V(s)
−
T.L.
descarregado
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 13
b −
Dom. Tempo Dom. Frequência Complexa
[ ]






−=
−=
=
−
−
s
i
sIsLsV
iLssILsV
dt
tdiLtv
)0()(.)(
)0(.)()(
)()(
� Exercício: Cálculo da Resposta Natural, v(t), de um Circuito RC
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
C R
t=0
+
V0
−
+
v(t)
−
T.L.
I(s)
R
+
V(s)
−
1/(s.C)
a
C.V0
+
V(s)
−
Fonte 
Independente 
de Corrente
Resposta Natural
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 14
( )
( ) )()( :Assim
1Re , 
1
)(
.)(..)(
:'' nó no correntes as Somando
0
0
0
tueVtv
/(RC) -(s) 
RCs
V
sV
VCsVCs
R
sV
a
RCt−
=
>
+
=
=+
b
� Exercício: Calcule iL(t) em umCircuito RLC paralelo, com energia 
inicial armazenada no circuito sendo nula
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
T.L.
Resposta ao Degrau
t=0
RIDC u(t) C iL (t)L
t=0
RIDC /s 1/sC
IL (s)s.L
IDC = 24 mA, R = 625 Ω,
L = 25 mH, C = 25 nF
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 15
( ) ( )[ ])/(1
)/()()( 
/11
/)()(
)(
.
)()()(..
.
)()( :usamos depois e ,)( primeiro Calculamos
22 LCRCsss
LCsI
sI
LCsRCs
CsI
sV
s
sI
Ls
sV
R
sV
sVCs
Ls
sV
sIsV
DC
L
DC
DC
L
++
=⇒
++
=
=++
=
L = 25 mH, C = 25 nF
)2400032000)(2400032000(
10384)( : valoresos doSubstituin
5
jsjsssI L ++−+
×
=
� Exercício: continuação...
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
Resposta ao Degrau
102410384
24000320002400032000
)(
 :parciais frações em expansãoa 
 usamos (t)obter e )( teinversamenformar Para trans
3
5
1
*
221
c
js
c
js
c
s
c
sI
isI
L
LL
×=
×
×
=
++
+
−+
+=
−
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 16
)( )()]87,12624000cos(4024[)(
: Laplacedeinversa mada a transfor Usando
87,1261024
48000)2400032000(
10384
1024
1016
32000
3
5
2
81
mAtuteti
jjc
c
t
L °++=⇒
°∠×=
+−
×
=
×=
×
=
−
−
� Exercício: iL(t) em um Circuito RLC paralelo, com 
energia inicial armazenada no circuito sendo nula.
ig(t) = Imcos(ω.t) (A), Im= 24mA e ω = 40000 rad/s
3. Análise de Circuitos no Domínio de Laplace
Resposta Transitória
22)( :é )( de Laplacedeada transformA ω+= s
sIsIti mgg
t=0
Rig C v (t)L
R=625Ω, L=25mH, C=25nF
)/1()/1(
)/()( :é )( de Laplacedeada transformA 2 LCsRCs
CIs
sVtv g
++
=
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 17
(mA) )()]24000(..25)40000(.15[)(
: Laplacedeinversa mada a transfor Calculando
)101664000)(1016(
10384)( :nteNumericame
)/1()/1()[(
)/()()( :Logo
)/1()/1()[(
)/()(
)/1()/1(
32000
8282
5
222
222
2
2
tutsenetsenti
sss
s
sI
LCsRCss
LCIs
sL
sV
sI
LCsRCss
CIs
sV
LCsRCs
t
L
L
m
L
m
−
−=
×++×+
×
=
+++
==
+++
=
++
ω
ω
4. Resolução de EDLCC com TL
1)]0()([)(1)(
: Laplacede domínio no circuito do Equação
)()()(1)(
: tempodo domínio no circuito do Equação
0
s
IvssVC
s
sV
LR
sV
tuI
dt
tdvCdv
LR
tv
DC
L
DC
t
=−++
→=++ ∫ ττ
t=0
RIDC C v (t)L
4,8Ω4Ht=0
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 18
 LaplacedeInversa Transf.a secalcula
 tempo,do domínio noresposta a obter sePara 
)/(1)/()(
111)(
:nulas iniciais condições doConsideran
2
-
LCRCss
CI
sV
s
IsC
sLR
sV
ssLR
DC
DC
++
=
=





++
vs(t)
0,25F
i(t)
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
�� DefiniçãoDefinição
�� Razão entre a Razão entre a transformada de transformada de Laplace da Laplace da saída saída 
(resposta do circuito), (resposta do circuito), Y(Y(ss), e ), e a a transformada transformada de de 
Laplace da entrada Laplace da entrada (fonte), X((fonte), X(ss), e admitindo que ), e admitindo que 
a energia acumulada no circuito a energia acumulada no circuito no no instante instante inicial inicial 
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 19
a energia acumulada no circuito a energia acumulada no circuito no no instante instante inicial inicial 
é nulaé nula
)(
)()(
sX
sY
sH =
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
�� Localização de Zeros e Localização de Zeros e Polos Polos de de HH((ss))
�� Para circuitos lineares de parâmetros concentrados, Para circuitos lineares de parâmetros concentrados, 
HH((ss)) sempre será uma sempre será uma função racionalfunção racional em em ss
�� Polos Polos e Zeros complexos aparecem e Zeros complexos aparecem sempre em sempre em pares pares complexoscomplexos
conjugados para conjugados para SLITCsSLITCs com EDLCC de coeficientes reaiscom EDLCC de coeficientes reais
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 20
�� Se todos os Se todos os polos polos de de HH((ss)) estiverem no estiverem no semiplano semiplano esquerdo do esquerdo do plano plano ss, , 
ou seja, Re(ou seja, Re(ss)<0 )<0 , , então o sistema será então o sistema será estávelestável
�� Influência dos Influência dos Polos Polos de de HH((ss)) e e de de XX((ss)) em em YY((ss))
�� Os termos gerados pelos Os termos gerados pelos polos polos dede HH((ss))
estão associados à respostaestão associados à resposta transitóriatransitória do circuitodo circuito
�� Os termos gerados pelos Os termos gerados pelos polos polos dede XX((ss))
estão associados à respostaestão associados à resposta estacionáriaestacionária do circuitodo circuito
)()()( sXsHsY =
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
�� Seja um circuito RLC série:Seja um circuito RLC série:
�� Se Se no circuito mostrado a no circuito mostrado a entradaentrada é a é a 
tensão tensão da fonte da fonte vvgg((tt)) e a e a saídasaída é a corrente da malha única é a corrente da malha única ii((tt))::
R
vg(t) Ci(t)
L
)(1)(.)(.)(
)(1)()(.)( :LKT
0
sIsIsLsIRsV
di
Cdt
tdiLtiRtv
t
g
++=
++= ∫ ττ
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 21
�� Para Para o mesmo circuito se a o mesmo circuito se a saídasaída for a tensão nos terminais do for a tensão nos terminais do 
capacitor capacitor vvcc((tt)), , e a e a entradaentrada for a tensão da fonte for a tensão da fonte vvgg((tt))::
)/(1/.
/
1/1
1
)(
)()(
)(1)(.)(.)(
22 LCLRss
Ls
RCsLCs
sC
sCsLRsV
sI
sH
sI
sC
sIsLsIRsV
g
g
++
=
++
=
++
==
++=
)/(1/
)/(1
1
1
/1
/1
)(
)()( 22 LCLsRs
LC
RCsLCssCsLR
sC
sV
sV
sH
g
C
++
=
++
=
++
==
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
�� ExemploExemplo
�� SaídaSaída: : tensão tensão nos terminais do capacitor nos terminais do capacitor vvcc((tt))
EntradaEntrada: : tensão da fonte tensão da fonte vvgg((tt))
)()()()(
:superior nó no correntes as Somando
sVsVsVsV −
1kΩ
vg(t) 1µF
50mH
250Ω
Domínio do Tempo
1000
vg(t) 106/s
0,05s
250
Dom. da Freq. Complexa
≡
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 22
)40003000)(40003000(
)5000(
.1000)(
10256000
)5000(1000
)(
)()(
1000
)(
1005,0250
1
1000
1)(
0
/10
)(
05,0250
)(
1000
)()(
62
6
6
jsjs
s
sH
ss
s
sV
sV
sH
sVs
s
sV
s
sV
s
sVsVsV
g
C
g
C
CCgC
++−+
+
=
×++
+
==
=





+
+
+
=+
+
+
−
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
�� Exercício: Exercício: Idem ao Idem ao exemplo anterior, exemplo anterior, mas usandomas usando::
�� EntradaEntrada: : tensão da fonte tensão da fonte vvgg((tt)) = = 50.t.u50.t.u((tt)) (V)(V)
�� Faça um gráfico de Faça um gráfico de vvcc((tt)) em função de em função de tt, para 0 , para 0 ≤ ≤ t t ≤ ≤ 1,51,5msms
50
.
)5000(1000)()5000(1000)(
/50)( :pordada é )(..50)( de Laplacede transf.A 2
s
sVssV
ssVtuttv gg
+
=
+
=
==
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 23
(V) )(]10410)7,794000cos(10510[)(
: )()}({ calculando Assim,
104 ;10 ;7,791055
4000300040003000
)(
50
.)10256000(
)5000(1000)(
10256000
)5000(1000)(
430004
1
4
32
4
1
3
2
2
*
11
26262
tuttetv
tvsVL
ccc
s
c
s
c
js
c
js
c
sV
sss
s
sVss
s
sV
t
C
CC
C
gC
−−−
−
−−
×−+°+×=
=
×−==°∠×=
++
++
+
−+
=
×++
+
=
×++
+
=
Resposta Transiente (pólos de H(s)) Resposta Estacionária (pólos de X(s))
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
Script Matlab:
%-- 04/11/07 -- Sistemas Lineares -- Prof. Cláudio A. Fleury --%
%-- Resposta Total de um circuito RLC (p.433, Nilsson) --%
t = 0:0.001:1.5; % tempo em ms
t = t/1000; 
vi = 50*t; % tensão de entrada em mV
k = (10e-4)*sqrt(5); % componente DC em mV
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 24
k = (10e-4)*sqrt(5); % componente DC em mV
vot = k*(exp(-3000*t).*cos(4000*t+79.7*pi/180)); % transiente em mV
voe = 10*t - 4e-4; % estacionaria em mV
vo = vot + voe; % saída total em mV
plot(t,voe,'r.'); text(0.2e-3,4.5e-3,'Estacionária'), grid, hold on
plot(t,vot,'k.'); text(0.6e-3,0.5e-3,'Transiente')
plot(t,vo,'b.'); text(0.4e-3,2.5e-3,'Saída Total')
xlabel('Tempo (seg)')
ylabel('Tensão (Volts)')
title('Tensão de Saída (terminais do capacitor)')
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
8
10
12
14
16
x 10-3
T
e
n
s
ã
o
 
(
V
o
l
t
s
)
Tensão de Saída (terminais do capacitor)
Matlab
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 25
0 0.5 1 1.5
x 10-3
-2
0
2
4
6
8
Estacionária
Transiente
Saída Total
Tempo (seg)
T
e
n
s
ã
o
 
(
V
o
l
t
s
)
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
Script Python:
# -*- coding: utf-8 -*-
# -- 01/04/14 -- Sistemas Lineares -- Prof. Cláudio A. Fleury --
# -- Resposta Total de um circuito RLC (p.433, Nilsson) –-
from numpy import arange, cos, exp, sqrt, pi
from matplotlib.pylab import plot, xlabel, ylabel, text, title, grid
t = arange(0,1.5,0.001) # tempo (s)
t = t/1000 # tempo (ms)
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 26
t = t/1000 # tempo (ms)
vi = 50*t # tensão de entrada (mV)
k = (10e-4)*sqrt(5) # componente DC (mV)
vot = k*exp(-3000*t)*cos(4000*t+79.7*pi/180) # t.saída transit. (mV)
voe = 10*t - 4e-4 # tensão de saída estacionária (mV)
vo = vot + voe # tensão de saída total (mV)
plot(t,voe,'r.'); text(0.2e-3,4.5e-3,u'Estacionária'); grid('on')
plot(t,vot,'k.'); text(0.6e-3,0.5e-3,u'Transitória')
plot(t,vo,'b.'); text(0.4e-3,2.5e-3,u'Saída Total')
xlabel('Tempo (s)'); ylabel(u'Tensão (V)')
title(u'Tensão de Saída (terminais do capacitor)')
55. . Função de Transferência de um CircuitoFunção de Transferência de um Circuito
Python
Prof. Cláudio A. Fleury Set/2013 27