3. CINEMATICA DOS FLUIDOS

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Universidade Estadual do Maranhão – UEMA
Centro de Ciências Tecnológicas – CCT
Departamento de Hidráulica e Saneamento
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Data: 15.09.2011
São Luís, 2011
Cinemática dos Fluidos
Profº Fernando Oliveira
fernandololiveira@cct.uema.br
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Figura 6. Fluido – Fase líquida
Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluidos
Figura 5. Classificação Geral dos Movimentos Fluidos
Conceitos Fundamentais
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Cinemática dos Fluidos
 
 Forças de Superfície. São as que atuam nas fronteiras de um meio via contato direto
 Forças de pressão (P);
 Forças da tensão de cisalhamento (τ) e as tensões normais (σ)
 
 Forças Atuantes sobre os fluidos
 Forças de Campo. São que ocorrem sem contato físico e distribuídos em todo volume.
 Ex: Força gravitacional
 As tensões são provocadas pelo atrito entre o fluido viscoso e as fronteiras do meio que o cerca. 
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Cinemática dos Fluidos
Tensão normal
Tensão cisalhante
As tensões estão associadas ao vetor dA que passa por P, com normal exterior no sentido n. 
 As tensões descrevem o modo pela qual as forças atuantes nas fronteiras do meio são transmitidas através dele. 
 Forças Atuantes sobre os fluidos
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 Determinação das Forças e viscosidade
Figura 18. Deformação de um elemento fluido
Conceitos Fundamentais
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Cinemática dos Fluidos
 Na cinemática dos será desconsiderado as forças necessárias para produzir o escoamento.
 Analisaremos aqui:
 Descrição e a visualização do movimento
A análise do campo velocidade
 Aceleração do fluido
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Cinemática dos Fluidos
 Na cinemática dos será desconsiderado as forças necessárias para produzir o escoamento.
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Cinemática dos Fluidos
 Um campo é uma região do espaço matemático onde já grandezas associadas a seus pontos
 Campos das propriedades
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Cinemática dos Fluidos
 Campo de Velocidade
A representação completa da velocidade (o campo de velocidade) é dada por:
Figura. Trajetória de uma Partícula
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 Campo de Velocidade
A representação completa da velocidade (o campo de velocidade) é dada por:
 O campo de velocidade pode ser escrito em função de seus componentes escalares
 Onde cada componente é função de x, y, z, t. Se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o tempo, o escoamento é denominado permanente, isto é:
Cinemática dos Fluidos
u = u (x,y,z,t) 
v = v (x,y,z,t)
w = w(x,y,z,t) 
componentes 
escalares de
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Trajetória - Percurso deixado por uma partícula fluida em movimento;
Linhas de tempo – Linhas formadas por várias partículas fluidas adjacentes marcadas em um dado “t”
t
t + δt
Linhas de tempo
X
Y
Z
 t1
t2
t3
t1 > t2 > t3
Cinemática dos Fluidos
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 Linhas de emissão – É a linha unindo partículas fluidas que passaram por um determinado ponto fixo no espaço;
Ponto de referência
Cinemática dos Fluidos
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 Linhas de Corrente – São linhas que, num dado “t”, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto “P” do escoamento. São tangentes ao vetor velocidade, em cada “P” do campo. 
Cinemática dos Fluidos
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Classificação Geométrico do Escoamento;
 Método de descrição
 Quanto a variação no tempo;
 Classificação quanto à variação da trajetória;
 Classificação quanto direção da trajetória;
 Classificação quanto ao movimento de rotação.
Classificação do Escoamento num campo de velocidade
Cinemática dos Fluidos
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 Direção dos Escoamentos
 Escoamento unidimensional
 Exemplo de escoamento unidimensional (Fox, 1998)
Cinemática dos Fluidos
r = 0 u = umáx 
r = ± R u = 0
(Condição de não-deslizamento)
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 Exemplo de escoamento bidimensional (Fox, 1998) 
Condição de não-escorregamento
 Direção dos Escoamentos
 Escoamento bidimensional
Cinemática dos Fluidos
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 Direção dos Escoamentos
 Escoamento tridimensional
 Um escoamento tridimensional depende das três coordenadas para identificar sua velocidade em um determinado ponto de um espaço onde o fluido escoa, ou seja:
 Em geral todos os escoamento turbulentos são considerados escoamentos tridimensional
Escoamento turbulento (Okiishi, 1998) 
Cinemática dos Fluidos
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 Permanente:
	As propriedades (V, T, ρ, etc.) médias estatísticas das partículas fluidas, contidas em um volume de controle permanecem constantes. 
Não Permanente (Transiente/transitório)
Quando as propriedades do fluido mudam no decorrer do escoamento, ou seja variam no tempo;
Cinemática dos Fluidos
 Quanto à variação no tempo
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Não Permanente (Transiente/transitório)
Quando as propriedades do fluido mudam no decorrer do escoamento, ou seja, variam no tempo;
Cinemática dos Fluidos
 Quanto à variação no tempo
 Os efeitos transitório podem ser: 
 Não Periódicos – ocorre instantaneamente de uma única vez. 
 Ex: Fechamento de uma torneira;
 Periódicos – Ocorrem de tempos em tempos (regulares e repetitivos). 
 Ex: Ação de aceleramento num automóvel;
 Aleatórios – Não existem uma sequência regular da transitoriedade. 
 Ex: Rajadas de vento sobre um edifício. 
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Cinemática dos Fluidos
 Na descrição da velocidade de um fluido pode-se pensar em uma pequena massa de fluido que ocupa um pequeno volume V que se move com o escoamento.
Assim é possível descrever o movimento das partículas focalizado o movimento das partículas individuais e estudar como a sua posição varia com o tempo.
 Método de descrição: Euleriano e Lagrangeana
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Cinemática dos Fluidos
 Método de descrição: Euleriano (Leonhard Euler 1707 –1783)
 A partícula fluida é analisada em função da sua posição específica do espaço num determinado momento (mais apropriada para a análise de fluidos). 
 As informações do escoamento de uma propriedade qualquer é obtida em função do que acontece pontos fixos do espaço enquanto o fluido escoa por estes pontos.
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Cinemática dos Fluidos
 Método de descrição: Lagrangeana (Joseph L. langrange – 1736 -1813): 
 A partícula fluida é analisada em função do tempo de escoamento, ou seja, as partículas são “rotuladas” (identificadas) e suas propriedades são determinadas durante o movimento.
 O observador segue a partícula 
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Cinemática dos Fluidos
 Método de descrição: Lagrangeana x Euleriano
Exemplo: 
Euleriano: Num ponto fixo, determinemos o valor T 
Lagrangeano: Em pontos diversos durante o movimento da partícula 	 determinemos o valor T 
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 Quanto a Variação da Trajetória
 Escoamento uniforme: situação em que numa dada seção reta a velocidade é constante através de qualquer seção normal ao escoamento.
Escoamento Uniforme (Fox, 1998)
Cinemática dos Fluidos
 Escoamento variado: neste a condição de não deslizamento a velocidade ao longo da seção transversal varia ao longo do raio do tubo.
Escoamento variado (Fox, 1998)
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Escoamento Laminar:
 	 As partículas descrevem trajetórias paralelas.
Escoamento turbulento:
 Escoamento totalmente perturbado e em todas as direções
De Transição:
		 Passagem do escoamento laminar para o turbulento ou vice-versa. 
 Quanto à Direção da trajetória:
Figura Variação Temporal dos Regimes de Escoamentos
Cinemática dos Fluidos
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 Rotacional 
 A maioria das partículas desloca-se animada de velocidade angular em torno
de seu centro de massa;
 Irrotacional
 As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação (na maioria das aplicações em engenharia despreza-se a característica rotacional dos escoamentos).
 Quanto ao movimento de rotação:
Cinemática dos Fluidos
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 Escoamento Irrotacional
 Um escoamento irrotacional é a condição no qual os elementos fluidos movendo-se num campo de escoamento não estão sujeitos a qualquer tipo de rotação. 
Figura 28 Trajetória de uma Partícula irrotacional
Cinemática dos Fluidos
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De modo semelhante pode-se afirmar que:
1. Condições para ocorrer um escoamento irrotacional
 Rotação nula
 Escoamento Irrotacional
Cinemática dos Fluidos
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 Forças viscosas desprezíveis. 
 A condição de irrotacionalidade pode ser uma hipótese válida para aquelas regiões de um escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis, ou seja: 
Logo, as tensões de cisalhamentos serão nulas: 
 Escoamento Irrotacional
Cinemática dos Fluidos
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 Escoamentos uniforme
 Num escoamento uniforme identifica-se a condição de irrotacionalidade. Como U = constante, v = 0 e w = 0 as equações anteriores se satisfazem.
Num escoamento uniforme não existem gradientes de velocidade
Figura 25 Escoamento uniforme na direção x
 Escoamento Irrotacional
Cinemática dos Fluidos
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 Irrotacionalidade fora da camada limite
 A figura mostra um corpo sólido colocado num escoamento que inicialmente era uniforme:
 a montante o escoamento é uniforme, portanto IRROTACIOANAL naquela região;
 O escoamento deixa de ser irrotacional na região adjacente ao corpo;
 Fora da camada limite o escoamento é invíscido, logo é irrotacional.
Figura Região de escoamento em torno de corpos
Escoamento Irrotacional
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 Irrotacionalidade fora da camada limite
 A figura mostra o escoamento numa região de entrada de um tubo.
FiguraRegião de escoamento em canais
 Escoamento uniforme na proximidade de entrada, portanto, escoamento irrotacional nesta região;
 Na região central o escoamento é invíscido e irrotacional, até o preenchimento completo do tubo;
Escoamento Irrotacional
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 Escoamento rotacional e irrotacional
Escoamento Irrotacional
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 Uma partícula fluida durante seu percurso pode variar seu movimento e seu formato num campo de escoamento.
Figura. Elemento infinitesimal de fluido
 Considere uma partícula fluida de massa dm, que move-se no campo de escoamento:
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 Os fenômenos que ocorrem durante seu movimento são complexo, podendo ser resumidos no seguinte.
 Movimento de Translação, ou seja o elemento se desloca linearmente de um ponto x, y, z para outro ponto: x1, y1, z1;
 Movimento de Rotação, elemento fluido gira em torno de seus eixos;
 Deformação Angular, envolve uma distorção do elemento na qual os planos que eram originalmente perpendiculares não mais permanecem perpendiculares;
 Deformação linear, envolve uma mudança na forma do elemento sem mudança na orientação. O elemento sofre uma ligeira alteração no seu volume.
Cinemática dos Fluidos
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Figura Representação gráfica dos componentes do movimento de fluido
A figura a seguir representa os componentes do movimento do fluido
Cinemática dos Fluidos
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 Considere a partícula que se move (translação) ao longo da trajetória 
 mostrada na figura.
. Movimento de uma partícula fluida num campo de escoamento
 Campo de aceleração das partículas fluidas
Cinemática dos Fluidos
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 Movimento de uma partícula Fluida num Campo de Aceleração
 A aceleração de uma partícula é a taxa de variação de sua velocidade. 
 Uma descrição geral da aceleração pode ser obtida considerando-se uma partícula em movimento num campo de velocidade. O campo de aceleração é uma função do espaço e do tempo, ou seja:
 Então, dado o campo de velocidade, determine a aceleração de uma partícula fluida,
 Campo de aceleração das partículas fluidas
Cinemática dos Fluidos
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Lembrando que: 
Logo, podemos escrever:
 Através da descrição do campo, obteremos uma expressão para a aceleração de uma partícula à medida que ela se move num campo de escoamento.
 Por definição, a aceleração da partícula é igual a taxa de variação de sua velocidade. Pela regra da cadeia da diferenciação a aceleração da partícula será:
Cinemática dos Fluidos
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Os componentes escalares desta equação vetorial são:
Onde ay, ax, az são os componentes do vetor aceleração nas direções x, y e z.
A equação anterior muitas vezes é escrita como:
Podendo ainda ser escrita:
Cinemática dos Fluidos
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 Por exemplo, para a temperatura T, similarmente pode
 ainda ser escrita:
Cinemática dos Fluidos
 A equação anterior pode ser utilizadas para várias propriedades do campo de escoamento:
Portanto a equação pode ser escrita:
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O significado físico dos termos da equação anterior é:
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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A aceleração convectiva pode ser escrita utilizando o vetor vetorial gradiente:
 Vetor gradiente
Portanto a equação pode ser escrita:
Onde o operador nabla é definido como:
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 Para escoamento permanente, a equação ficará:
 Simplificação da derivada substantiva
 Para escoamento permanente, a equação ficará:
 Para escoamento bidi e unidimensional, a equação ficará:
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 Consideraremos aqui os conceitos e os fundamentos da rotação de um elemento fluido.
 É a situação em que uma partícula fluida de um elemento infinitesimal gira em torno de seus três eixos de coordenadas: x, y e z.
 Conceito de rotação de fluido
Partícula girando em torno de z.
Figura 23. Representação gráfica da rotação
2. Movimento de Rotação de Fluidos
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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2. Movimento de Rotação de Fluidos
A partícula pode girar em torno de seus três eixos, logo podemos expressar que:
 Em geral todo escoamento é rotacional. E, os movimentos fluidos (rotação, translação e deformação) ocorrem simultaneamente durante o escoamento.
Onde,
rotação em torno de x;
rotação em torno de y;
rotação em torno de z;
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 Avaliar os componente do vetor velocidade para rotação em torno dos eixos x, y e z.
 Expressão para rotação em torno do eixo Z
Promove uma velocidade angular de um elemento fluido no plano x e y.
 As componentes da velocidade em cada ponto no campo de escoamento são dadas por :
2. Movimento de Rotação de Fluidos
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 Expressão para rotação em torno do eixo Z
Figura 24 Representação gráfica da rotação
2. Movimento de Rotação de Fluidos
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angular média de quaisquer duas linhas perpendiculares entre si, oa e ob, no plano xy. 
Pode ser representada da seguinte forma:
2. Movimento de Rotação de Fluidos
 Expressão para rotação em torno do eixo Z
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 As rotações da partícula fluida em torno dos outros planos yz e xz do sistema de coordenadas podem ser analisadas utilizando o mesmo procedimento, logo:
 A velocidade do elemento em torno do eixo X é expresso:
 A velocidade do elemento em torno do eixo y é expresso:
2. Movimento de Rotação de Fluidos
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 Nós podemos agrupar este três componentes no vetor velocidade angular, na forma vetorial, ou seja:
Podendo ainda ser escrita:
O termo entre colchete pode ser reconhecido como:
Logo, em notação vetorial, podemos escrever:
2. Movimento de Rotação de Fluidos
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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2. Movimento de Rotação
de Fluidos
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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 Considerações de Rotacionalidade
1. De acordo com a equação de rotação em torno do eixo z, temos que, se :
1)
2)
3) A rotação (e a vorticidade) é nula quando:
4) Se OB gira com velocidade angular diferente de OA – Deformação angular
A expressão de deformação angular é: 
Movimentos e deformação de um elemento fluido
2. Movimento de Rotação de Fluidos
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Deformação Angular
OBS: A tensão de cisalhamento é proporciona à deformação angular.
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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Deformação Linear
Movimentos e deformação de um elemento fluido
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Conclusões: 
	De maneira geral, a cinemática busca entender o comportamento das partículas fluidas em movimento dentro de um determinado escoamento.
	Foi analisado as propriedades de um escoamento, que variando numa região do espaço através do campo de velocidades e do campo de aceleração. 
	
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Consulta Bibliográficas 
FOX; MCDONALD, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC Editora, 5ª Edição.
SONTAG, R; VAN WYLEN. Fundamentos da Termodinâmica, Edgard Bluxher, 2009;
White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill;
Cengel, Y.A., & Cimbala, J.M., Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações, McGraw-Hill;
Munson, B., Young, D. & Okiishi, T., Fundamentals of Fluid Mechanics, Wiley. 
STREETER, Vitor L. , Wylie, E. Benjamin  – Mecânica dos Fluidos. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1982. 7edição.
7. Outros