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* Universidade Estadual do Maranhão – UEMA Centro de Ciências Tecnológicas – CCT Departamento de Hidráulica e Saneamento Disciplina: Mecânica dos Fluidos Data: 15.09.2011 São Luís, 2011 Cinemática dos Fluidos Profº Fernando Oliveira fernandololiveira@cct.uema.br * Figura 6. Fluido – Fase líquida Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluidos Figura 5. Classificação Geral dos Movimentos Fluidos Conceitos Fundamentais * Cinemática dos Fluidos Forças de Superfície. São as que atuam nas fronteiras de um meio via contato direto Forças de pressão (P); Forças da tensão de cisalhamento (τ) e as tensões normais (σ) Forças Atuantes sobre os fluidos Forças de Campo. São que ocorrem sem contato físico e distribuídos em todo volume. Ex: Força gravitacional As tensões são provocadas pelo atrito entre o fluido viscoso e as fronteiras do meio que o cerca. * Cinemática dos Fluidos Tensão normal Tensão cisalhante As tensões estão associadas ao vetor dA que passa por P, com normal exterior no sentido n. As tensões descrevem o modo pela qual as forças atuantes nas fronteiras do meio são transmitidas através dele. Forças Atuantes sobre os fluidos * Determinação das Forças e viscosidade Figura 18. Deformação de um elemento fluido Conceitos Fundamentais * Cinemática dos Fluidos Na cinemática dos será desconsiderado as forças necessárias para produzir o escoamento. Analisaremos aqui: Descrição e a visualização do movimento A análise do campo velocidade Aceleração do fluido * Cinemática dos Fluidos Na cinemática dos será desconsiderado as forças necessárias para produzir o escoamento. * Cinemática dos Fluidos Um campo é uma região do espaço matemático onde já grandezas associadas a seus pontos Campos das propriedades * Cinemática dos Fluidos Campo de Velocidade A representação completa da velocidade (o campo de velocidade) é dada por: Figura. Trajetória de uma Partícula * Campo de Velocidade A representação completa da velocidade (o campo de velocidade) é dada por: O campo de velocidade pode ser escrito em função de seus componentes escalares Onde cada componente é função de x, y, z, t. Se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com o tempo, o escoamento é denominado permanente, isto é: Cinemática dos Fluidos u = u (x,y,z,t) v = v (x,y,z,t) w = w(x,y,z,t) componentes escalares de * Trajetória - Percurso deixado por uma partícula fluida em movimento; Linhas de tempo – Linhas formadas por várias partículas fluidas adjacentes marcadas em um dado “t” t t + δt Linhas de tempo X Y Z t1 t2 t3 t1 > t2 > t3 Cinemática dos Fluidos * Linhas de emissão – É a linha unindo partículas fluidas que passaram por um determinado ponto fixo no espaço; Ponto de referência Cinemática dos Fluidos * Linhas de Corrente – São linhas que, num dado “t”, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto “P” do escoamento. São tangentes ao vetor velocidade, em cada “P” do campo. Cinemática dos Fluidos * Classificação Geométrico do Escoamento; Método de descrição Quanto a variação no tempo; Classificação quanto à variação da trajetória; Classificação quanto direção da trajetória; Classificação quanto ao movimento de rotação. Classificação do Escoamento num campo de velocidade Cinemática dos Fluidos * Direção dos Escoamentos Escoamento unidimensional Exemplo de escoamento unidimensional (Fox, 1998) Cinemática dos Fluidos r = 0 u = umáx r = ± R u = 0 (Condição de não-deslizamento) * Exemplo de escoamento bidimensional (Fox, 1998) Condição de não-escorregamento Direção dos Escoamentos Escoamento bidimensional Cinemática dos Fluidos * Direção dos Escoamentos Escoamento tridimensional Um escoamento tridimensional depende das três coordenadas para identificar sua velocidade em um determinado ponto de um espaço onde o fluido escoa, ou seja: Em geral todos os escoamento turbulentos são considerados escoamentos tridimensional Escoamento turbulento (Okiishi, 1998) Cinemática dos Fluidos * Permanente: As propriedades (V, T, ρ, etc.) médias estatísticas das partículas fluidas, contidas em um volume de controle permanecem constantes. Não Permanente (Transiente/transitório) Quando as propriedades do fluido mudam no decorrer do escoamento, ou seja variam no tempo; Cinemática dos Fluidos Quanto à variação no tempo * Não Permanente (Transiente/transitório) Quando as propriedades do fluido mudam no decorrer do escoamento, ou seja, variam no tempo; Cinemática dos Fluidos Quanto à variação no tempo Os efeitos transitório podem ser: Não Periódicos – ocorre instantaneamente de uma única vez. Ex: Fechamento de uma torneira; Periódicos – Ocorrem de tempos em tempos (regulares e repetitivos). Ex: Ação de aceleramento num automóvel; Aleatórios – Não existem uma sequência regular da transitoriedade. Ex: Rajadas de vento sobre um edifício. * Cinemática dos Fluidos Na descrição da velocidade de um fluido pode-se pensar em uma pequena massa de fluido que ocupa um pequeno volume V que se move com o escoamento. Assim é possível descrever o movimento das partículas focalizado o movimento das partículas individuais e estudar como a sua posição varia com o tempo. Método de descrição: Euleriano e Lagrangeana * Cinemática dos Fluidos Método de descrição: Euleriano (Leonhard Euler 1707 –1783) A partícula fluida é analisada em função da sua posição específica do espaço num determinado momento (mais apropriada para a análise de fluidos). As informações do escoamento de uma propriedade qualquer é obtida em função do que acontece pontos fixos do espaço enquanto o fluido escoa por estes pontos. * Cinemática dos Fluidos Método de descrição: Lagrangeana (Joseph L. langrange – 1736 -1813): A partícula fluida é analisada em função do tempo de escoamento, ou seja, as partículas são “rotuladas” (identificadas) e suas propriedades são determinadas durante o movimento. O observador segue a partícula * Cinemática dos Fluidos Método de descrição: Lagrangeana x Euleriano Exemplo: Euleriano: Num ponto fixo, determinemos o valor T Lagrangeano: Em pontos diversos durante o movimento da partícula determinemos o valor T * Quanto a Variação da Trajetória Escoamento uniforme: situação em que numa dada seção reta a velocidade é constante através de qualquer seção normal ao escoamento. Escoamento Uniforme (Fox, 1998) Cinemática dos Fluidos Escoamento variado: neste a condição de não deslizamento a velocidade ao longo da seção transversal varia ao longo do raio do tubo. Escoamento variado (Fox, 1998) * Escoamento Laminar: As partículas descrevem trajetórias paralelas. Escoamento turbulento: Escoamento totalmente perturbado e em todas as direções De Transição: Passagem do escoamento laminar para o turbulento ou vice-versa. Quanto à Direção da trajetória: Figura Variação Temporal dos Regimes de Escoamentos Cinemática dos Fluidos * Rotacional A maioria das partículas desloca-se animada de velocidade angular em torno de seu centro de massa; Irrotacional As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação (na maioria das aplicações em engenharia despreza-se a característica rotacional dos escoamentos). Quanto ao movimento de rotação: Cinemática dos Fluidos * Escoamento Irrotacional Um escoamento irrotacional é a condição no qual os elementos fluidos movendo-se num campo de escoamento não estão sujeitos a qualquer tipo de rotação. Figura 28 Trajetória de uma Partícula irrotacional Cinemática dos Fluidos * De modo semelhante pode-se afirmar que: 1. Condições para ocorrer um escoamento irrotacional Rotação nula Escoamento Irrotacional Cinemática dos Fluidos * Forças viscosas desprezíveis. A condição de irrotacionalidade pode ser uma hipótese válida para aquelas regiões de um escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis, ou seja: Logo, as tensões de cisalhamentos serão nulas: Escoamento Irrotacional Cinemática dos Fluidos * Escoamentos uniforme Num escoamento uniforme identifica-se a condição de irrotacionalidade. Como U = constante, v = 0 e w = 0 as equações anteriores se satisfazem. Num escoamento uniforme não existem gradientes de velocidade Figura 25 Escoamento uniforme na direção x Escoamento Irrotacional Cinemática dos Fluidos * Irrotacionalidade fora da camada limite A figura mostra um corpo sólido colocado num escoamento que inicialmente era uniforme: a montante o escoamento é uniforme, portanto IRROTACIOANAL naquela região; O escoamento deixa de ser irrotacional na região adjacente ao corpo; Fora da camada limite o escoamento é invíscido, logo é irrotacional. Figura Região de escoamento em torno de corpos Escoamento Irrotacional * Irrotacionalidade fora da camada limite A figura mostra o escoamento numa região de entrada de um tubo. FiguraRegião de escoamento em canais Escoamento uniforme na proximidade de entrada, portanto, escoamento irrotacional nesta região; Na região central o escoamento é invíscido e irrotacional, até o preenchimento completo do tubo; Escoamento Irrotacional * Escoamento rotacional e irrotacional Escoamento Irrotacional * Uma partícula fluida durante seu percurso pode variar seu movimento e seu formato num campo de escoamento. Figura. Elemento infinitesimal de fluido Considere uma partícula fluida de massa dm, que move-se no campo de escoamento: Movimentos e deformação de um elemento fluido * Os fenômenos que ocorrem durante seu movimento são complexo, podendo ser resumidos no seguinte. Movimento de Translação, ou seja o elemento se desloca linearmente de um ponto x, y, z para outro ponto: x1, y1, z1; Movimento de Rotação, elemento fluido gira em torno de seus eixos; Deformação Angular, envolve uma distorção do elemento na qual os planos que eram originalmente perpendiculares não mais permanecem perpendiculares; Deformação linear, envolve uma mudança na forma do elemento sem mudança na orientação. O elemento sofre uma ligeira alteração no seu volume. Cinemática dos Fluidos * Figura Representação gráfica dos componentes do movimento de fluido A figura a seguir representa os componentes do movimento do fluido Cinemática dos Fluidos * Considere a partícula que se move (translação) ao longo da trajetória mostrada na figura. . Movimento de uma partícula fluida num campo de escoamento Campo de aceleração das partículas fluidas Cinemática dos Fluidos * Movimento de uma partícula Fluida num Campo de Aceleração A aceleração de uma partícula é a taxa de variação de sua velocidade. Uma descrição geral da aceleração pode ser obtida considerando-se uma partícula em movimento num campo de velocidade. O campo de aceleração é uma função do espaço e do tempo, ou seja: Então, dado o campo de velocidade, determine a aceleração de uma partícula fluida, Campo de aceleração das partículas fluidas Cinemática dos Fluidos * Lembrando que: Logo, podemos escrever: Através da descrição do campo, obteremos uma expressão para a aceleração de uma partícula à medida que ela se move num campo de escoamento. Por definição, a aceleração da partícula é igual a taxa de variação de sua velocidade. Pela regra da cadeia da diferenciação a aceleração da partícula será: Cinemática dos Fluidos * Os componentes escalares desta equação vetorial são: Onde ay, ax, az são os componentes do vetor aceleração nas direções x, y e z. A equação anterior muitas vezes é escrita como: Podendo ainda ser escrita: Cinemática dos Fluidos * Por exemplo, para a temperatura T, similarmente pode ainda ser escrita: Cinemática dos Fluidos A equação anterior pode ser utilizadas para várias propriedades do campo de escoamento: Portanto a equação pode ser escrita: * O significado físico dos termos da equação anterior é: Movimentos e deformação de um elemento fluido * A aceleração convectiva pode ser escrita utilizando o vetor vetorial gradiente: Vetor gradiente Portanto a equação pode ser escrita: Onde o operador nabla é definido como: Movimentos e deformação de um elemento fluido * Para escoamento permanente, a equação ficará: Simplificação da derivada substantiva Para escoamento permanente, a equação ficará: Para escoamento bidi e unidimensional, a equação ficará: Movimentos e deformação de um elemento fluido * Consideraremos aqui os conceitos e os fundamentos da rotação de um elemento fluido. É a situação em que uma partícula fluida de um elemento infinitesimal gira em torno de seus três eixos de coordenadas: x, y e z. Conceito de rotação de fluido Partícula girando em torno de z. Figura 23. Representação gráfica da rotação 2. Movimento de Rotação de Fluidos Movimentos e deformação de um elemento fluido * 2. Movimento de Rotação de Fluidos A partícula pode girar em torno de seus três eixos, logo podemos expressar que: Em geral todo escoamento é rotacional. E, os movimentos fluidos (rotação, translação e deformação) ocorrem simultaneamente durante o escoamento. Onde, rotação em torno de x; rotação em torno de y; rotação em torno de z; Movimentos e deformação de um elemento fluido * Avaliar os componente do vetor velocidade para rotação em torno dos eixos x, y e z. Expressão para rotação em torno do eixo Z Promove uma velocidade angular de um elemento fluido no plano x e y. As componentes da velocidade em cada ponto no campo de escoamento são dadas por : 2. Movimento de Rotação de Fluidos Movimentos e deformação de um elemento fluido * Expressão para rotação em torno do eixo Z Figura 24 Representação gráfica da rotação 2. Movimento de Rotação de Fluidos Movimentos e deformação de um elemento fluido * A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angular média de quaisquer duas linhas perpendiculares entre si, oa e ob, no plano xy. Pode ser representada da seguinte forma: 2. Movimento de Rotação de Fluidos Expressão para rotação em torno do eixo Z Movimentos e deformação de um elemento fluido * As rotações da partícula fluida em torno dos outros planos yz e xz do sistema de coordenadas podem ser analisadas utilizando o mesmo procedimento, logo: A velocidade do elemento em torno do eixo X é expresso: A velocidade do elemento em torno do eixo y é expresso: 2. Movimento de Rotação de Fluidos Movimentos e deformação de um elemento fluido * Nós podemos agrupar este três componentes no vetor velocidade angular, na forma vetorial, ou seja: Podendo ainda ser escrita: O termo entre colchete pode ser reconhecido como: Logo, em notação vetorial, podemos escrever: 2. Movimento de Rotação de Fluidos Movimentos e deformação de um elemento fluido * 2. Movimento de Rotação de Fluidos Movimentos e deformação de um elemento fluido * Considerações de Rotacionalidade 1. De acordo com a equação de rotação em torno do eixo z, temos que, se : 1) 2) 3) A rotação (e a vorticidade) é nula quando: 4) Se OB gira com velocidade angular diferente de OA – Deformação angular A expressão de deformação angular é: Movimentos e deformação de um elemento fluido 2. Movimento de Rotação de Fluidos * Deformação Angular OBS: A tensão de cisalhamento é proporciona à deformação angular. Movimentos e deformação de um elemento fluido * Deformação Linear Movimentos e deformação de um elemento fluido * Conclusões: De maneira geral, a cinemática busca entender o comportamento das partículas fluidas em movimento dentro de um determinado escoamento. Foi analisado as propriedades de um escoamento, que variando numa região do espaço através do campo de velocidades e do campo de aceleração. * Consulta Bibliográficas FOX; MCDONALD, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC Editora, 5ª Edição. SONTAG, R; VAN WYLEN. Fundamentos da Termodinâmica, Edgard Bluxher, 2009; White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill; Cengel, Y.A., & Cimbala, J.M., Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações, McGraw-Hill; Munson, B., Young, D. & Okiishi, T., Fundamentals of Fluid Mechanics, Wiley. STREETER, Vitor L. , Wylie, E. Benjamin – Mecânica dos Fluidos. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1982. 7edição. 7. Outros
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