4. Sistema e Volume de Controle

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Prof. Fernando Oliveira – Uema 2011
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Prof. Fernando Oliveira- Uema 2011 
Universidade Estadual do Maranhão – UEMA
Centro de Ciências Tecnológicas – CCT
Departamento de Hidráulica e Saneamento
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Data: 20.09.2011
São Luís, 2011
Sistemas e Volumes de Controle
Profº Fernando Oliveira
fernandololiveira@cct.uema.br
Prof. Fernando Oliveira- Uema 2011 
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C O N T E Ú D O P R O G R A M Á T I C O 
Mecânica dos Fluidos Equação da Continuidade
 Conceitos fundamentais da Mecânica dos Fluidos;
 Principais leis básicas de um sistema; 
 Teorema do Transporte de Reynolds (TTT);
 Conservação da massa (Equação da continuidade)
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 Sistema
 
Um sistema é constituído por uma porção de matéria (fluido) isolada do exterior e fechada por um contorno imaginário ou real.
 
Figura 1. Caracterização de um sistema (Van Wylen, 2009)
Sistema e Volume de controle
 A massa do sistema é fixa (se conserva). Suas fronteiras (separação com a vizinhança (exterior)) podem ser fixas ou móveis.
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 Na mecânica dos fluidos estamos interessado com escoamentos de fluidos através de dispositivos como compressores, turbinas, tubulações, bocais, etc,
 Neste caso é difícil focalizar a atenção numa quantidade de massa fixa identificável,
 Assim, é conveniente fazê-lo num volume do espaço do qual o fluido escoa – método do volume de controle.
Figura 2 . Sistema e Volume de controle 
Sistema e Volume de controle
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Figura3 . Sistema e Volume de controle 
 Volume de controle
 Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que permite a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle), da massa, da quantidade de movimento, da energia e demais quantidades associadas ao escoamento. 
Sistema e Volume de controle
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 Volume de controle
 Trata-se de um volume arbitrário, fixo no espaço, de paredes imaginárias, que permite a passagem, através de sua superfície externa (superfície de controle), da massa, da quantidade de movimento, da energia e demais quantidades associadas ao escoamento. 
Figura 4. volume de controle (Van Wylen, 2009)
Sistema e Volume de controle
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 Métodos clássicos de Análise:
a) Método de Euler
 
 Considera-se um ponto fixo no espaço e se exprimem, a cada instante, as grandezas características da partícula que passa por esse ponto. Corresponde a considerar as linhas de corrente num dado instante.
b) Método de Lagrange
 Acompanha-se a partícula ao longo de sua trajetória e representam-se, por equações, a velocidade e demais características da partícula, no instante considerado sobre sua trajetória, referidas a uma origem escolhida arbitrariamente.
Sistema e Volume de controle
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 As principais Leis Básicas são:
1. Conservação da Massa (Equação da continuidade) 
2. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento) 
3. Segunda Lei de Newton (Equação da Quantidade de Movimento Angular) 
4. Primeira Lei da Termodinâmica
5. Segunda Lei da Termodinâmica
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE
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 Formulação Diferencial x Integral
Figura 5. Métodos Diferencial x Integral
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS A VOLUME DE CONTROLE
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 Equações na forma integral para um volume de controle
 Encontrar uma relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle. 
 Aplicar a referida relação para cada uma das leis básicas.
Observações:
APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Para encontrar esta formulação considere o símbolo N para designar qualquer propriedade extensiva do sistema. Onde:
Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle. 
 A equação acima é a relação fundamental entre a taxa de variação de uma propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema, e as variações dessa propriedade associadas com um volume de controle. 
 É conhecida como o Teorema de Transporte de Reynolds.
 Aplicando e desenvolvendo as leis que modelam os movimentos dos fluidos considerando um dos sistemas e VC, chega-se à seguinte expressão geral:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Interpretação da formulação do 
Teorema de Transporte de Reynolds
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Campo de Velocidade
 
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Para cada lei básica considere o símbolo N para designar qualquer propriedade extensiva do sistema. Onde:
Comparando com as equações das leis básicas, constatamos que: 
Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle. 
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Logo:
 Positivo: quando o fluxo é para fora do SC;
Negativo: quando o fluxo é para dentro do SC, e
Nulo: quando tangente ao SC.
Figura 6. Vazão em massa num VC finito
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada. 
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
 Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e identificável de material. Assim o principio da conservação da massa que :
Figura 7. volume de controle (Van Wylen, 2009)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
A massa (M) de um sistema permanece sempre fixa e inalterada. 
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
 Sabe-se que sistema é definido como uma quantidade de fixa e identificável de material. Assim o princípio da conservação da massa que :
Onde a massa do sistema, M, é dada por:
Matematicamente pode ser representada da seguinte forma:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 AS formulações de sistema e de volume de controle são relacionadas pelo Teorema de Transporte de Reynolds, ou seja:
Logo, substituindo a massa na equação no TTR obtemos que:
Substituindo:
Logo, a formulação de volume de controle da conservação da massa é:
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
1. Conservação da Massa – Equação da Continuidade
Logo:
 Positivo: quando o fluxo é para fora do SC;
Negativo: quando o fluxo é para dentro do SC, e
Nulo: quando tangente ao SC.
Figura 8. Vazão em massa num VC finito
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Interpretação da relação da Equação da Conservação da massa com o TTR.
Taxa de variação temporal da massa contida no VC.
Taxa de fluxo de massa através da superfície de controle.
Os termos tem a seguinte representação:
 Ou seja, a conservação da massa exige que a soma da taxa de variação temporal da massa contida no VC com Taxa de fluxo de massa através da superfície de controle seja nula.
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Casos especiais da Equação da Conservação da Massa
 Escoamento incompressível
Para a ρ = constante a equação da conservação da massa fica:
se
A integral dV em todo o volume de controle é simplesmente o volume do VC. 
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Escoamento incompressível
 Para um volume de controle não deformável, isto é, um volume de controle de forma e tamanho fixos,
= constante. 
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Casos especiais da Equação da Conservação da Massa
b) Escoamento permanente
 Nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo no escoamento permanente. Isto significa que:
A equação da conservação da massa, pode resumidamente ser escrita na forma:
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
c) Equação da Continuidade
Pode ser escrita na forma:
ρ = Δm/V onde: Δm=ρ.V e V=A.Δl
Fluxo de massa (m)= Δm/Δt = ρ.V/ Δt = ρ. A.Δl /Δt = ρ.A.v
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
c) Equação da Continuidade
Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:
Pode ser escrita na forma:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
c) Equação da Continuidade
Pode ser escrita na forma:
Dadas duas seções do escoamento:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
c) Equação da Continuidade
Pode ser escrita na forma:
Dadas duas seções do escoamento:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
c) Equação da Continuidade
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante 
A equação da continuidade estabelece que:
 o volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém constante a massa específica apesar das variações na pressão e na temperatura) que entra em um tubo será igual aquele que está saindo do tubo;
 a vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 A vazão líquida de massa para dentro de um volume de controle deve ser igual à vazão para fora do volume de controle. Matematicamente pode ser escrita assim:
 A expressão geral para a conservação da massa num volume de controle é também conhecida como a 
Equação da Continuidade. 
c) Equação da Continuidade
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
Figura 9. Dispositivo com Múltipas Aberturas
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Em regime permanente, podemos expressar que:
Quando há somente um fluido entrando e saindo do VC:
c) Equação da Continuidade
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Numa seção da superfície de controle que apresenta a área A temos:
Onde, a vazão em volume para escoamento permanente é dado por: 
Figura 10. Vazão em massa num VC finito
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
d)Vazão em volume (Q)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
d)Vazão em volume (Q)
Temos também que:
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
d)Vazão em volume (Q)
Temos também que:
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UEMA/CCT/DHSSELETIVO 2010
 Aplicação Prática
da Equação da Conservação da Massa (Equação da continuidade)
Conservação da Massa – Equação da Continuidade
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 A utilização e as aplicações da conservação da massa são inúmeras. Pode ser aplicada para solução de problemas e realização de projetos de vários equipamentos na engenharia. Podemos citar alguns exemplos na engenharia:
1. Dispositivos passivos, como: tubos, bocais, difusores, válvulas, etc. 
Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa (Equação da Energia)
 A maioria dos dispositivos e aplicações envolve o escoamento de substâncias:
Figura 11. Dispositivos passivos. 
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
2. Dispositivos ativos que envolvem trabalho, tais como: turbinas e bombas,
b) Motor a Jato
a) Turbinas hidráulica
Figura 12. Dispositivos que envolvem trabalho. 
Aplicação Práticas da Equação da Conservação da Massa (Equação da Energia)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Considere a situação em que água escoa em regime permanente num bocal cônico que é alimentado pelo escoamento proveniente de uma mangueira. Na seção de saída a velocidade é 20m/s e diâmetro de 40mm. Qual deve ser a vazão em volume da bomba para que a velocidade da seção de descarga seja igual a 20m/s? 
1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico
Figura 13. Dispositivos passivos - bocal
Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
Aplicando a Equação da Continuidade num VC, temos
Como o regime é permanente, a equação acima ficará:
De modo que:
 Como a vazão em massa é igual ao produto da massa específica do fluido pela vazão em volume, temos que:
1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico
Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade)
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APLICAÇÃO DAS LEIS BÁSICAS
 Vamos admitir que o escoamento é incompressível (escoamento de baixa velocidade). Assim:
Logo: 
 Assim, a vazão em volume da bomba (também conhecida como capacidade da bomba) é igual a vazão em volume na seção de descarga do bocal. Se, por simplicidade, admitirmos que o escoamento é unidimensional na seção de descarga do bocal, podemos chegar à seguinte combinação:
Logo, o vazão em volume no bocal de entrada será:
1. Exemplos Práticos da Equação em um bocal cônico
Aplicação da Conservação da Massa (Equação da Continuidade)
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Conservação da Massa – Equação da Continuidade
CONCLUSÃO:
 A equação da continuidade é uma poderosa ferramenta para resolução de problemas na engenharia relacionado especialmente àqueles em que há fluxo de massa em sistemas que envolvem volume de controle;
 Os problemas práticos que envolvem o uso da equação da continuidade podem ser melhor entendidos adotando hipóteses simplificadoras durante a solução.
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FOX; MCDONALD, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos. LTC Editora, 5ª Edição.
SONTAG, R; VAN WYLEN. Fundamentos da Termodinâmica, Edgard Bluxher, 2009;
White, F.M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill;
Cengel, Y.A., & Cimbala, J.M., Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações, McGraw-Hill;
Munson, B., Young, D. & Okiishi, T., Fundamentals of Fluid Mechanics, Wiley. 
STREETER, Vitor L. , Wylie, E. Benjamin  – Mecânica dos Fluidos. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1982. 7edição.
Ranald. V. Giles, Jack B Evett, Cheng Liu. Mecânica de Fluidos e Hidráulica. 2ªEdição. Editora ABDR, 1996. 
 Outros
Bibliografia consultada
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