TransfFourier de sgn(t)

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A função sinal, representada por�signum(x), signal(x) ou sgn(x), é uma função real com simetria 
ímpar, e, portanto, com transformada de Fourier complexa imaginária e também com simetria 
ímpar. Se tentarmos calcular a transformada de Fourier diretamente pela definição (integração) 
teremos: 
{ }
[ ] [ ] ( ) ( )[ ]
[ ]
( ) ( )[ ])sen()cos(lim)sen()cos(lim21
elimelim21
1elimelim11e1e1
e.1e).1(e).sgn()sgn(
0
0
0
0
tjttjtj
j
jjj
dtdtdttt
tt
tj
t
tj
t
tj
t
tj
t
tjtj
tjtjtj
ωωωω
ω
ω
ωωω
ωω
ωωωω
ωωω
−−−−=
−−=
−−−=
−
+
−
−
=
+−==ℑ
∞→−∞→
−
∞→
−
−∞→
−
∞→
−
−∞→
∞
−
∞−
−
∞
−
∞−
−
∞
∞−
−
∫∫∫
 
Os limites na última expressão não existem, porque as funções seno e cosseno não possuem 
valor definido (baixo, zero, ou qualquer outro valor definido) quando seu argumento tende ao 
infinito. Assim, em sentido estrito da transformada de Fourier, { })sgn(tℑ não existe. 
Este problema surge porque a função sgn(t) não é absolutamente integrável, ou seja, ela viola a 
condição que diz que a função f(t) deve ser absolutamente integrável para garantir a existência 
da transformada de Fourier: ∞<∫
∞
∞−
dttf )( (uma das condições de Dirichlet). No entanto, é 
possível avaliar a transformação de Fourier da função sinal, sgn(t), usando o seguinte método 
estendido de transformada de Fourier no limite: 
 
 
 
 
 
Passo 1: Existem muitas possibilidades na definição de fN(t). Para a função sinal, sgn(t), uma 
possibilidade é definir: 



<−
≥
=
−
0 ,e
0 ,e)(
t
t
tf Nt
Nt
N 
Podemos verificar que quando N � �, fN(t) � sgn(t). Portanto, usando o método acima, vamos 
calcular a transformada de Fourier de fN(t): 
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��	�������
��
�� Defina uma sequência de funções fN(t) tal que� )()(lim tftfNN =∞→ �
�� Calcule a transformada de Fourier de fN(t): { })()( tfF NN ℑ=ω �
�� Defina F(�) tal que )(lim)( ωω NN FF ∞→≡ �
Passo 2: Cálculo da transformada de Fourier de fN(t):
{ }
[ ] [ ]
( ) ( )
ωω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
ωωωω
jNjN
jNjN
jNjN
dtdtdtdtFtf
tjN
t
tjN
t
tjNtjN
tjNtjNtjNttjNt
NN
−
−
+
=
−
−
+−
+
=
−
−
+
−
=
−=+−==ℑ
−
−∞→
+−
∞→
∞−
−
∞+−
∞−
−
∞ +−∞ −−
∞−
−
∫∫∫∫
1
1
1
1
1elim)1(
1
elim1)1(
1
e)1(
1
e)1(
1
eee.ee.e)()(
)1()1(
0)1(
0
)1(
0 )1(
0
)1(
0
0
 
Passo 3: Defina F(�) tal que )(lim)( ωω NN FF ∞→≡ 
{ }
ωωωωω
ωω jjjjNjNFtF NNN
211
1
1
1
1lim)(lim)sgn()( =
−
−=





−
−
+
=≡ℑ=
∞→∞→
�
Fonte: www.eee.hku.hk/~work8501/WWW2008/ 
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Usando uma relação algébrica, podemos expressar a função sinal em função do degrau unitário: 
1)(2)sgn(ou )(21)sgn( −==+ tuttut . 
Logo: 
{ } { } { } { } { } { }
ω
ωpiδ
ω
ωpiδ jjtututut
2)(21)(21)(.21)(21)(2)sgn( =−





+=ℑ−ℑ=ℑ−ℑ=−ℑ=ℑ