2. FORCAS HIDROSTATICA

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Universidade Estadual do Maranhão – UEMA
Centro de Ciências Tecnológicas – CCT
Departamento de Hidráulica e Saneamento
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Data: 13.09.2011
São Luís, 2011
Estática dos Fluidos
Determinação de Forças em 
Superfícies Submersas 
Profº Fernando Oliveira
fernandololiveira@cct.uema.br
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 Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: barragens.
 Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações.
 Ação do vento sobre construções civis.
 Estudos de lubrificação.
 Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica. Ex.: elevadores hidráulicos.
 Cálculo de instalações hidráulicas. Ex.: instalação de recalque.
 Cálculo de máquinas hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas.
 Instalações de vapor. Ex.: caldeiras.
 Ação de fluidos sobre veículos (Aerodinâmica).
Aplicações da Mecânica dos Fluidos
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Estática dos Fluidos
 É o estudo em que os fluidos estão na ausência de movimentos relativos, o que implica na ausência de tensões de cisalhamentos.
 Portanto, os fluidos tanto em movimento quanto em repouso são capazes de suportar apenas tensões normais.
 Aplicação da estática:
 Calcular forças sobre objetos submersos;
 Desenvolver instrumentos para medição de pressão;
 Deduzir propriedades da atmosfera e dos oceanos;
 Desenvolver as forças desenvolvidas pelos sistemas hidráulicos em aplicações como prensas industriais ou freios de automóveis.
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
Tipos de forças a serem consideradas:
 Forças de campo: gravidade dFB 
 Forças de superfícies: pressão - dFS
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Estática dos Fluidos
1. Pressão num Ponto Estático
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
Forças de campo: gravidade 
 Aplicando a 2ª Lei de Newton a um elemento fluido diferencial de massa 
de lados dxdydz.
 Onde é o vetor gravidade, s é a massa específica e dv é o volume do elemento. Em coordenadas cartesianas, de modo que:
Para um elemento diferencial, a força de campo é:
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
Força de superfície: Pressão 
 Seja a pressão p a pressão no ponto O, do elemento da Figura 1. Através da série de Taylor da pressão em torno do ponto 0, as pressões resultante serão:
 Num fluido estático, nenhuma tensão cisalhante pode estar presente.
 A força líquida de pressão num fluido estático faz-se somando as forças em todas as faces do elemento fluido.
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
As força resultante de pressão que atuam na superfície na face X do elemento diferencial, é dado:
Direção X: 
De modo análogo nas faces Y e Z:
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
Agrupando e simplificando os termos em um campo vetorial, temos que: 
Onde os termos entre parênteses é um operador gradiente, podendo ser representado da seguinte forma:
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Combinando as formulações desenvolvidas para as forças de campo e forças de superfícies obteremos a força total que atua num elemento fluido.
Podendo ser escrita:
Rearrumando:
Por unidade de volume:
Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
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Estática dos Fluidos
Para uma partícula fluida, a segunda lei de Newton fornece que: 
Para um fluido estático, 
Então:
Fazendo as devidas substituições, podemos finalmente obter:
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
A equação pode ser ainda ser escrita em função de seus componentes escalares, logo:
Esta equação significa que as forças resultantes por unidade de volume em um ponto + as forças de campo (gravidade)por unidade de volume em um ponto é igual a zero.
Direção x 
Direção y 
Direção y 
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
Para simplificar iremos escolher um sistema de coordenada em que o vetor gravidade esteja alinhado com um de seus eixos. Neste caso:
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Estática dos Fluidos
1. Equação Básica da Estática dos Fluidos
Com as simplificações a equação finalmente se reduz a:
Podendo ser escrita na seguinte forma:
Quando:
Fluidos estático;
A gravidade for a única força de campo;
O eixo z é vertical e para cima.
Esta é a equação que relaciona pressão e altura da estática dos fluidos.
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Estática dos Fluidos
1. Variação de Pressão com Fluido Incompressível
 A variação da massa específica normalmente pode ser desprezível, neste caso podemos integrar a equação da estática dos fluidos entre duas elevações diferentes. Logo, :
Podendo ser reescrita da forma:
ou
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Estática dos Fluidos
1. Variação de Pressão com Fluido Incompressível
De acordo com as equações acima temos que: P1 e P2 são as pressões nos planos com cota Z1 e Z2 de acordo com a figura abaixo.
Onde h é igual a dista Z2 – Z1 (profundidade medida a partir de P2
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Estática dos Fluidos
1. Variação de Pressão com Fluido Incompressível
Onde h é igual a dista Z2 – Z1 (profundidade medida a partir de P2
Se considerarmos a pressão de superfície livre como a pressão de referência P0 (esta pressão usualmente é a pressão atmosférica). Se considerarmos P2 = P0 a equação anterior ficará.
Onde a pressão em qualquer profundidade h abaixo da superfície livre pode ser escrita como:
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1. Variação de Pressão com Fluido Incompressível
Estática dos Fluidos
 A equação informa que a distribuição de pressão num fluido homogêneo, incompressível e em repouso é função apenas da profundidade do fluido (em relação a um plano de referência) e é independente da forma do recipiente.
Figura 3 Equilíbrio de um fluido em recipiente arbitrário
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2. Determinação de Forças em Superfícies 
Submersas Planas
	É possível detectar a presença de forças na superfícies dos corpos que estão submersos nos fluidos.. A determinação destas forças são importantes no projeto de tanques de armazenamento de fluidos, navios, barragens e outras estruturas hidráulicas.
	Sabe-se que a força com que os fluidos atua nas superfícies precisa ser perpendicular a ela quando o fluido está em repouso( pois t são nulas).
	A força de pressão que atua sobre um elemento dA de uma superfície plana é dada por:
	Onde p é a pressão na superfície inferior e A é a área desta superfície. 
	Para uma superfície plana não inclinada a pressão relativa que atua na superfície será:
*
 	Para uma superfície inclinada, precisaremos somar as forças diferenciais que atuam sobre a superfície qualquer de área dA.
2.1 Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
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Somando todas as forças que agem sobre a área e considerando que 
 	As forças diferenciais que atuam sobre a superfície qualquer de área dA podem ser representadas por:
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
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Somando todas as forças que agem sobre a área e considerando que 
 A integral da equação anterior é o momento de primeira ordem em relação a x. Deste modo podemos escrever:
Onde yc é a coordenada do centróide medido a partir do eixo x que passa através de 
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
*
Logo a determinação da força resultante pode ser escrita:
Considerando a altura h como teremos que: 
Esta equação indica que o módulo da força resultante é igual a pressão no centróide multiplicada pela área total da superfície submersa.
Neste caso a força somente do peso específico, da área total e da profundidade do centróide da área da superfície.
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
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2.1.1 Determinação da Localização da Força Resultante FR
 Para localizar esta força F, procedemos como na mecânica estática considerando os momentos.
Determinação
de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
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 Para superfícies planas a partir da equação Fr = pA pode-se deduzir que Fr atravessa o centróide. 
 No entanto, no caso mais geral, para superfícies inclinadas, a superfície submersa forma um ângulo Θ com a superfície do fluido, onde a pressão é linearmente variável, e a resultante dessa pressão passa obrigatoriedade, pelo seu centro de gravidade e é perpendicular à superfície submersa, uma vez que não há nenhuma força de cisalhamento presente.
 Na figura, o centróide de plano inclinado está deslocado da posição do centróide (CG) do plano horizontal devido a variação da pressão com a profundidade. Assim, o ponto de aplicação da força resultante será o seu centro de pressão (CP).
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
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 Momento da força resultante em relação a um eixo = Momento das forças distribuídas em relação a um mesmo eixo.
 A força resultante F não atua no centróide, mas abaixo dele, na parte de maiores pressões.
 Sua linha de ação passa através do centro de pressão CP da placa.
 Determinação do centro de pressão (linha de ação), Xcp e Ycp.
 Determinação da Localização da Força Resultante FR
Considerações:
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
Agora precisa-se determinar a Força em relação aos dois eixos, ou seja, XR e YR
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onde
A equação ficará:
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
 Determinação da Localização da Força Resultante FR em relação a Y
Logo:
*
A equação ficará:
 é o segundo momento ou momento de inércia da área em relação ao eixo x. Logo, pode-se escrever a relação:
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
 Determinação da Localização da Força Resultante FR em relação a Y
 A determinação do valor de Ix pode ser determinado através dos Eixos Paralelos. Para isso, façamos uma translação em torno do eixo x de modo que ele passe pelo centróide da superfície submersa. 
 Neste caso o valor do momento de inércia será:
*
Então podemos expressar que:
 OBS.:Esta equação mostra que Fr não passa pelo centróide, mas sempre atua abaixo dele (Ixc / ycA > 0). Ou ainda: YR – YC > 0, pois yc é sempre positivo.
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
 Determinação da Localização da Força Resultante FR em relação a Y
 O valor de Ixc é o momento de segunda ordem em relação ao eixo que passa no centróide e é paralelo ao eixo x.
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Para determinar a coordenada Xc o procedimento é análogo, de modo que:
onde
Utilizando o Teorema do Eixos Paralelos:
Prosseguindo:
Então podemos escrever da seguinte forma:
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
 Determinação da Localização da Força Resultante FR em relação a X
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OBS. De acordo com estas equações um aumento de yc provoca uma aproximação do centro de pressão para o centróide da área. Também temos que yc = hc/sen0 aumentará, ou se para uma dada profundidade, a área for rotacionada de modo que o ângulo θ diminua.
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
 Determinação da Localização da Força Resultante FR em relação a X
 O valor de Ixy é o produto de inércia em relação ao sistema de coordenadas ortogonal que passa no centróide e é paralelo ao eixo x.
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 Área e Momento de Inércia de Figuras Diversas
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
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 Área e Momento de Inércia de Figuras Diversas
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
 Planas Inclinadas
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 A força hidrostática e o centro de pressões sobre uma superfície curva é expressado do seguinte modo:
Determinação de Forças em Superfícies Submersas
Curvas
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Determinação de Forças em Superfícies Submersas
Curvas
Força horizontal
Força vertical
Então a força resultante será:
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 Nesta seção será desenvolvida a força que os fluidos exercem sobre corpos (podem ser de dimensões e formas variados)
 Conceitos e determinação de forças de empuxo;
 Conceitos e considerações sobre flutuação;
 Estabilidade de corpo submersos ou parcialmente submerso.
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 Determinação das Forças de Empuxo
 A força vertical sobre um corpo, devida à pressão hidrostática, pode ser encontrada mais facilmente considerando elemento de volume cilíndricos similares, mostrado na figura abaixo.
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 A variação da massa específica normalmente pode ser desprezível, neste caso podemos integrar a equação da estática dos fluidos entre duas elevações diferentes.
 Logo, integrando a equação anterior, ficará:
 Se considerarmos a pressão de superfície livre como a pressão de referência P0 (esta pressão usualmente é a pressão atmosférica). Se considerarmos P2 = P0 e Z2 – Z1= h, a equação anterior ficará.
 Onde a pressão relativa em qualquer profundidade h abaixo da superfície livre pode ser escrita como:
 Determinação das Forças de Empuxo
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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O empuxo vertical sobre o elemento será:
 Determinação das Forças de Empuxo
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 Determinação das Forças de Empuxo
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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Definição da Equação:
A equação define que a força líquida vertical devida à pressão, ou empuxo, sobre o objeto, igual a força da gravidade atuante sobre o líquido deslocado pelo objeto.
 Determinação das Forças de Empuxo
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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Princípio de Arquimedes:
Se um corpo estiver flutuando ou estiver total ou parcialmente imerso num fluido, sobre este age uma força vertical de baixo para cima, cuja intensidade é igual ao peso do volume de fluido deslocado.
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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Princípio de Arquimedes:
Se um corpo estiver flutuando ou estiver total ou parcialmente imerso num fluido, sobre este age uma força vertical de baixo para cima, cuja intensidade é igual ao peso do volume de fluido deslocado.
 A força resultante gerada pelo fluido e que atua nos corpos é denominada força de flutuação ou empuxo.
 Esta força liquida vertical, com sentido para cima, é o resultado do gradiente de pressão (a pressão aumenta com a profundidade) e esta força é determinada de modo similar às equações da estática dos fluidos.
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 O empuxo, para cima, é exercida pelo fluído e deve-se ao fato das
pressão nas regiões inferiores do corpo (Finf) ser superior à pressão nas
regiões superiores (Fsup);
 O empuxo não tem componente horizontal porque as forças exercidas
pelo fluído em cada lado do corpo são iguais (equilibram-se);
 Considerações de empuxo sobre corpos imersos
 num fluído em repouso
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.1Flutuação de corpos submersos
 Analisaremos aqui o comportamento de um corpo associado a sua estabilidade quando está submerso e parcialmente submerso (flutuando).
 Normalmente quando um corpo é abandonado em um meio líquido, ocorre três diferentes situações de comportamento do corpo. 
Se o peso do corpo é maior que o empuxo; 
Se o peso e o empuxo são iguais;
 Se o peso do corpo for menor que o empuxo.
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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Se o empuxo (FB) for menor que o peso do corpo (W).
 O corpo afunda até encontrar um obstáculo.
3.1Flutuação de corpos submersos
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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2. Se o peso e o empuxo são iguais, o corpo fica em equilíbrio qualquer que seja a profundidade em que se encontra.
3.1Flutuação de corpos submersos
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3. Se o peso do corpo for menor que o empuxo, 
 o corpo é impelido até a superfície, da qual emerge, ficando mergulhada numa porção V do seu volume deslocado (volume de carena), tal que multiplicado
pelo peso especifico do liquido é igual ao peso do corpo.
3.1Flutuação de corpos submersos
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 Força resultante, Fr de corpos submersos
 A força resultante é igual ao peso do corpo menos o peso do líquido deslocado (empuxo).
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 Exemplo: 
		Um corpo com volume de 40L é imerso num tanque de água. Determine o peso do líquido deslocado. Se o corpo possui um peso de 50kgf, qual a força resultante.
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.2 Estabilidade de corpos submersos
 As considerações sobre o equilíbrio são importantes na análise dos submersos e flutuantes porque os centro de empuxo e de gravidade necessariamente não são coincidentes. Assim uma pequena rotação pode resultar num momento de restituição ou de emborcamento.
Existem três possíveis estados de equilíbrio:
Equilíbrio Estável
 equilíbrio Instável 
 Equilíbrio Neutro ou Indiferente
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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Um corpo está numa posição de equilíbrio estável se, quando perturbado, retorna a posição de equilíbrio original. 
Equilíbrio Estável
3.2 Estabilidade de corpos submersos
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 De modo inverso, o corpo está numa posição de equilíbrio instável se ele se move para uma nova posição de equilíbrio após ser perturbado (mesmo que a perturbação seja bastante pequena). 
Equilíbrio Instável
3.2 Estabilidade de corpos submersos
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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Equilíbrio Neutro
 Equilíbrio neutro ou indiferente – quando sujeito a um deslocamento e depois abandonado, permanece na nova posição (não regressa à posição original e nem se afasta).
3.2 Estabilidade de corpos submersos
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.3 Estabilidade de corpos Flutuantes
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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 Para corpos flutuantes se torna sensível, pois, a localização do centro de empuxo (que coincide com o centróide do volume de carena) pode mudar quando o corpo rotaciona.
3.3 Estabilidade de corpos Flutuantes
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.3 Estabilidade de corpos Flutuantes
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.3 Estabilidade de corpos Flutuantes
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.3 Estabilidade de corpos Flutuantes
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.3 Estabilidade de corpos Flutuantes
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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3.3 Estabilidade de corpos Flutuantes
3. Forças de Flutuação (Empuxo)
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Forças de Flutuação (Empuxo)
Cálculo da Altura Metacêntrica: MG
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 Conclusões
 O estudo sobre as forças de flutuação e estados de equilíbrio são importantes em várias áreas da engenharia. Em especial na Engenharia Naval.
Esse estudo pode ser aplicados para projetos de: 
 Navios,
 embarcações, 
 submarinos, etc.
Forças de Flutuação (Empuxo)