Lista_de_Exercicios_Materiais_Dielétricos

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Quarta Lista de Eletromagnetismo
Materiais Dielétricos
Maio de 2015
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1. Determine a intensidade (módulo) dos vetores
~D e ~P e da permissividade relativa εr, para um mate-
rial dielétrico submetido a um campo elétrico dado por E = 0, 15MV/m e susceptibilidade elétrica
dada por χe = 4, 25.
Respostas: P = 5, 64× 10−6C/m2; D = 6, 97× 10−6C/m2 e εr = 5, 3.
2. Um material dielétrico possui uma permissividade relativa dada por εr = 3, 6. Sabendo que D =
285×10−9 C/m2, determine os módulos dos vetores ~E e ~P e a susceptibilidade elétrica χe do material.
Respostas: E = 8945 V/m; P = 2, 06× 10−7C/m2 e χe = 2, 6.
3. Uma esfera de raio R está polarizada com uma polarização dada por:
~P = k r rˆ
sendo k uma constante. Determine as densidades ρP e σP .
Respostas: σP = kR e ρP = −3k.
4. Um longo fio reto com densidade uniforme de carga λ está cercado por um isolamento de borracha
até um raio a. Determine o vetor deslocamento no interior da borracha.
Resposta:
~D = λ
2pir
rˆ.
5. O espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas é preenchido com duas chapas de
material dielétrico linear. Cada chapa tem espessura a, de forma que a distância total entre as
placas é 2a. A chapa (1) tem uma constante dielétrica εr1 = 2, 0 e a chapa (2) tem constante
dielétrica εr2 = 1, 5. A densidade de carga livre na placa condutora superior é σ.
Determine os módulos dos vetores
~D, ~E e ~P em cada dielétrico.
Respostas: Para o dielétrico (1): D1 = σ; E1 =
σ
2ε0
e P1 =
σ
2
. Para o dielétrico (2): D2 =
σ; E2 =
2σ
3ε0
e P2 =
σ
3
.
1
6. Dois condutores cilíndricos muito longos estão separados por dois dielétricos de permissividades ε1
e ε2 como apresentado na figura abaixo. Um fio muito longo com densidade linear de carga λ está
colocado no centro do condutor interno. Determine o vetor de polarização em cada dielétrico.
Respostas:
~P1 =
λ
2pir
(
1− ε0
ε1
)
rˆ e ~P2 =
λ
2pir
(
1− ε0
ε2
)
rˆ
7. Um capacitor com placas planas e paralelas possui o espaço entre as placas preenchido com duas
camadas de dielétricos, com constantes dielétricas �r1 e �r2 . Cada camada possui uma espessura d/2,
em que d é a distância entre as placas. Mostre que a capacitância é dada por:
C =
2�0A
d
(
�r1�r2
�r1 + �r2
)
8. Um capacitor com placas planas e paralelas possui o espaço entre as placas preenchido com duas
camadas de dielétricos, com constantes dielétricas �r1 e �r2 . Cada camada possui uma espessura igual
a distância entre as placas. Mostre que a capacitância é dada por:
C =
�0A
2d
(�r1 + �r2)
9. Um capacitor esférico possui uma carga +Q sobre o condutor interno (raio ra) e carga −Q sobre o
condutor externo (raio rb). A seguir, metade do volume entre os dois condutores é preenchido por
um dielétrico liquido com constante dielétrica �r. Qual a capacitância desse capacitor?
2
Respostas: C = 2pi�0 (1 + �r)
(
rarb
ra+rb
)
10. Um capacitor de placas planas e paralelas, com placas de área A estão separadas por uma pequena
distância d. A placa superior possui uma carga positiva (+Q) e a placa inferior uma carga negativa
(−Q). O espaço entre as placas é totalmente preenchido por um dielétrico, cuja constante dielétrica
é �r. Determine:
(a) o vetor campo elétrico no interior do dielétrico.
(b) As densidades superficiais de carga polarizada no dielétrico.
Respostas:(a)
~E = − Q
A�r�0
jˆ; (b) σPsuperior =
�r−1
�r
Q
A
e σPinferior = − �r−1�r
Q
A
11. Uma esfera dielétrica, com raio R e constante dielétrica �r, tem uma carga livre +Q no seu centro.
Determine:
(a) o vetor campo elétrico para r < R e r > R.
(b) o vetor de polarização para r < R e r > R.
(c) a carga de polarização na superfície da esfera.
Respostas: (a)
~E = Q
4pi�0�rr2
rˆ (para r < R) e ~E = Q
4pi�0r2
rˆ (para r > R); (b) ~P = �r−1
�r
Q
4pir2
rˆ (para
r < R) e ~P = 0 (para r > R); (c) QP =
�r−1
�r
Q
12. No espaço compreendido entre duas superfícies metálicas esféricas concêntricas encontra-se um die-
létrico com constante dielétrica relativa εr =
r
a
. As superfícies interior e exterior do dielétrico têm
raios a e b. Existe uma carga livre Q na superfície metálica interior. Determine:
(a) o vetor deslocamento elétrico no dielétrico.
(b) a densidade volumétrica de carga polarizada.
(c) as densidades superficiais de carga polarizada.
Respostas: (a)
~D = Q
4pir2
rˆ; (b) ρP = − Qa4pir4 ; (c) σP (r=a) = 0 e σP (r=b) = Q(b−a)4pib3
13. O espaço entre as placas de um capacitor plano é preenchido com um material dielétrico, cuja
permissividade varia linearmente desde �1 numa placa até �2 na outra(�2 < �1). As placas possuem
área A, estão carregadas com as cargas +Q e −Q e encontram-se a uma pequena distância d uma
da outra. Considere que a placa com carga positiva está em x = 0 e a outra em x = d. Determine:
(a) a permissividade em função de x.
(b) o vetor de
~P .
3
(c) as densidades superficiais de carga polarizada.
(d) a densidade volumétrica de carga polarizada.
(e) a capacitância do capacitor.
Respostas: (a) � (x) = �1 +
�2−�1
d
x; (b)~P = Q
A
[
1− d�0
�1d+(�2−�1)x
]
iˆ; (c)
σp (x = 0) = −QA �1−�0�1
σp (x = d) =
Q
A
�2−�0
�2
; (d)
ρP = − Qd�0(�2−�1)A[�1d+(�2−�1)x]2 e (d) C =
A
d
(ε2 − ε1)
[
ln
(
ε2
ε1
)]−1
14. Um capacitor plano com placas condutoras em x = 0 e x = d está preenchido com um material
dielétrico cuja permissividade relativa varia de acordo com a expressão �r =
2d
(x+d)
. Aplica-se um
tensão V0 entre as suas placas. Considere que a placa em x = 0 esteja no potencial V0. Determine:
(a) os vetores
~E, ~D e ~P .
(b) as densidades superficiais de carga polarizada.
(c) a densidade volumétrica de carga polarizada.
(d) a capacitância do capacitor.
Respostas: (a)
~D = 4V0�0
3d
iˆ
~E = 2V0(x+d)
3d2
iˆ
~P = 2V0�0(d−x)
3d2
iˆ
, (b)
σp (x = 0) = −2�0V03d
σp (x = d) = 0
, (c) ρ = 2�0V0
3d2
e (d) C = �0
4A
3d
4