Limite e Continuidade

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3. O LIMITE DE UMA FUNÇÃO
	O conceito de limite de uma função é básico para o estudo do cálculo. O conceito de limite de uma função é primeiramente motivado gradualmente, o que leva a discussão de como calcular o valor de uma função próxima a um número através de um tratamento intuitivo do processo de limite.
	Consideremos a função f definida pela equação
	f(x) = , f está definida para todos os valores de x exceto x = 1. Além disso, se x 1, o numerador e o denominador podem ser divididos por x – 1, resultando 
	f(x) = 2x + 3, x 1.
Investigaremos os valores da função, f(x), quando x está perto de 1, sendo diferente de 1, através das sucessões de pontos apresentadas nas tabelas:
Tabela 3.1 A variável x está se aproximando de x através de valores menores que 1.
	x
	0
	0,25
	0,5
	0,75
	0,9
	0,99
	0,999
	0,9999
	0,99999
	f(x) = 2x+3 (x1)
	3
	3,5
	4
	4,5
	4,8
	4,98
	4,998
	4,9998
	4,99998
A variável x está se aproximando de x através de valores maiores que 1
	x
	2
	1,75
	1,5
	1,25
	1,1
	1,01
	1,001
	1,0001
	1,00001
	f(x) = 2x+3 (x1)
	7
	6,5
	6
	5,5
	5,2
	5,02
	5,002
	5,0002
	5,00002
	Vemos de ambas as tabelas que enquanto x se aproxima cada vez mais de 1, f(x) está cada vez mais próximo de 5; e quanto mais próximo x está de 1 tanto mais próximo f(x) está de 5. Por exemplo, quando x = 0,9, f(x) = 4,8; isto é, quando x é 0,1 menor do que 1, f(x) é 0,2 menor do que 5. Quando x = 0,999, f(x) = 4,998; isto é quando x é 0,001 menor do que 1, f(x) é 0,002 menor do que 5. Da mesma forma, se observarmos pelo outro lado quando x = 1,1, f(x) 5,2, isto é, quando x é 0,1 maior do que 1, f(x) é 0,2 maior do que 5. Quando x = 1,001, f(x) = 5,002; isto é, quando x é 0,001 maior do que1, f(x) é 0,002 maior do que 5.
	Assim sendo, das duas tabelas, vemos que quando x difere de 1 por 0,001( isto é, x = 0,999 ou x = 1,001), f(x) difere de 5 por 0,002(isto é, f(x) = 4,998 ou f(x) = 5,002).
	Agora, vendo a situação sob outro ponto de vista, consideramos primeiro os valores de f(x). Vemos, das tabelas, que f(x) - 5 = 0,2 quando x - 1 = 0,1, e que 
	f(x) - 5 < 0,2 quando 0 < x - 1 < 0,1.
Note que impomos a condição 0 < x - 1 porque estamos interessados somente nos valores de f(x) para x próximo a 1, mas não para x = 1(aliás, esta função não está definida para x = 1).
	Ademais, f(x) - 5 = 0,002 quando x - 1 = 0,001, e f(x) - 5 < 0,002 sempre que x - 1 < 0,001 e analogamente, f(x) - 5 = 0,0002 quando x - 1 = 0,0001, e f(x) - 5 < 0,0002 sempre que x - 1 < 0,0001.
Poderíamos prosseguir e tornar o valor de f(x) o mais próximo de 5 possível, tomando x tão próximo de 1 quanto necessário, mas não igual a 1. Uma outra maneira de dizer isto é que podemos tornar o valor absoluto da diferença entre f(x) e 5 tão pequeno quanto desejarmos (digamos ), fazendo o valor absoluto da diferença entre x e 1 tão pequeno quanto necessário(digamos ), mas não zero. Isto é, f(x) - 5 pode se tornar tão pequeno quanto desejarmos tornando x - 1 tão pequeno quanto necessário, desde que x - 1 > 0. Estamos, agora, em condições de dar uma definição geral de limite de uma função.
Definição 3.1: Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos
	
se para todo > 0, existir um > 0, tal que f(x) - L < sempre que 0 < x - a < .
Exemplos 3.1: usando a definição 3.1 provar que:
i) 
	De acordo com a definição devemos mostrar que, para todo > 0, existe um > 0, tal que
	3x – 1 - 2 < sempre que 0 < x - 1 < .
Desenvolvendo algebricamente a desigualdade envolvendo encontra-se a ligação com , assim:
3x – 1 - 2 < sempre que 0 < x - 1 < , ou
3x – 3 < sempre que 0 < x - 1 < , ou
3(x – 1) < sempre que 0 < x - 1 < , ou
3x - 1 < sempre que 0 < x - 1 < , ou
x - 1 < /3 sempre que 0 < x - 1 < .
A última desigualdade nos sugere a escolha de . Fazendo = /3, vem que
3x – 1 - 2 < sempre que 0 < x - 1 < .
Portanto, .
ii) 
Solução: Devemos mostrar que para qualquer > 0, existe um > 0, tal que
	x2 - 4 < sempre que 0 < x - 2 < .
Da desigualdade que envolve , fatorando, obtemos
	x2 - 4 = x - 2 x + 2.
Queremos demonstrar que x2 - 4 é pequeno quando x está próximo de 2. Para tanto, primeiro encontramos um limitante superior para o fator x + 2. Se x estiver próximo de 2 saberemos que o fator x - 2 é pequeno e que o fator x + 2 estará próximo de 4. Uma vez que estamos procurando valores de x próximos de 2, podemos nos restringir somente a valores de x para os quais x - 2 < 1; isto é, queremos que o que procuramos seja menor que 1. A desigualdade x - 2 < 1 é equivalente a
-1 < x – 2 < 1 que é equivalente a 1 < x < 3 ou 3 < x + 2 < 5.
Isto significa que se x - 2 < 1, então 3 < x + 2 < 5, (só vale se os dois extremos são positivos), portanto temos, x2 - 4 = x - 2 x + 2 < x - 25 sempre que x - 2 < 1.
Queremos que 
	x - 25 < ou seja, x - 2 < /5. Consequentemente, tomamos como o mínimo entre 1 e /5, o qual nos assegura que sempre que x - 2 < , então x - 2 < /5 e que x + 2 < 5(pois isto é verdadeiro quando x - 2 < 1) e assim x2 - 4 < (/5) 5. Portanto concluímos que
	x2 - 4 < sempre que 0 < x - 2 < se for mínimo entre os dois números 1 e /5, isto é 
	 = min(1; /5).
iii) Seja f a função definida pela equação f(x) = 4x – 1, dado que , encontre um para = 0,01 tal que f(x) - 11 < 0,01 sempre que 0 < x - 3 < .
Solução:
f(x) - 11 = 4x – 1 -11 = 4x - 12 = 4x - 3 < 0,01 ou x - 3 < 0,01/4 = 0,0025.
Então f(x) - 11 < 0,0025 sempre que x - 3 < .
Se tomarmos = 0,0025, teremos (4x – 1) - 11 < 0,01 sempre que x - 3 < 0,0025.
Prova: Seja xo = 3,001 x - 3 = 0,001 < 0,0025. Então, (4(3,001)-1) -11 = 0,004 < 0,01. c.q.d.
	A solução consiste em encontrar um para qualquer especificado, então teremos estabelecido que o valor do limite é 11.
Solução genérica: 
Devemos mostrar que p/ > 0, > 0 tal que (4x – 1) - 11 < sempre que 0 < x - 3 < . 
4x - 3 < 	s. q. 0 < x - 3 < 
x - 3 < /4 s. q. 0 < x - 3 < 
Tomando = /4, a definição está satisfeita e o limite é 11.
iv) Mostre que 
Condição I: 
 = 1
 Então, 
x - 2
 < 1, ou
 -1 < x - 2 < 1,
 
ou
-1+7 < x-2+7 < 1+7 ou
 6 < x + 5 < 8
 
ou 
6 < 
x + 5
 < 8Solução: 
Queremos mostrar que p/ qualquer > 0, existe um > 0, tal que
x2 + 3x - 10 < sempre que 0 < x - 2 < .
Então, x2 + 3x - 10 < sempre que 0 < x - 2 < ou
x - 2 x + 5 < sempre que 0 < x - 2 < .
x - 2 8 < . Condição II: = /8
Então, basta tomar = min(1, /8) que satisfaz a definição.
v) Determine um número para o =0,25, tal que, .
Solução:
Devemos mostrar que p/ > 0, > 0 tal que 
 < sempre que 0 < x - 5 < .
 < sempre que 0 < x - 5 < .
< sempre que 0 < x - 5 < .
< sempre que 0 < x - 5 < .
< sempre que 0 < x - 5 < .
Desejamos mostrar que é pequeno quando x estiver perto de 5. Para isto, devemos encontrar algum limitante superior para a função . Como x deve estar próximo de 5, estabelecemos como condição para o que ele seja menor ou igual a 1. Assim podemos dizer que sempre que x - 5 < então, certamente, x - 5 < 1.
 A desigualdade x - 5 < 1 é equivalente a -1 < x - 5 < 1, que é equivalente a -1+3 < x - 5 +3 < 1 + 3, ou 2 < x - 2 < 4. Como os dois extremos da desigualdade são positivos, a expressão é equivalente a 
2 < x - 2 < 4. Segue que, sempre que x - 5 < 1, x - 2 > 2 (ou seja 2 é o limitante superior), então
 < < sempre que 0 < x - 5 < 1.
x - 5 < 6 sempre que 0 < x - 5 < 1.
Consequentemente, = mín(1, 6). Como foi fixado em 0,25, o valor de será o mínimo entre os dois valores que é o um.
Exercícios (Complementares) obrigatórios para os que optarem para peso 2 em atividades p.86-90, Cálculo A.
3.1 PROPRIEDADE DOS LIMITES
i. Se m e b são constantes quaisquer, 
Prova: Devemos mostrar que para qualquer >0, existe um > 0, tal que
	(mx + b) – (ma + b) < sempre que 0 < x - a < .
Da desigualdade que envolve , obtemos
	(mx + b) – (ma + b) < sempre que 0 < x - a < 
	mx – ma ) < sempre que 0 < x - a < 
	m x - a < sempre que 0 < x - a < 
	x - a < sempre que 0 < x - a < 
Portanto, basta escolhermos = , temos
(mx + b) – (ma + b) = m x - a < m sempre que 0 < x - a < ,
e portanto,
.
Exemplo 3.2 calcule = 32 + 5 = 11.
ii. 
iii Se e existem e c é um número real qualquer, então:
 para qualquer inteiro positivo n;
Exemplos 3.3
Calcule: 
Calcule: .
Calcule: , observe aqui que o . Neste caso, procede-se fatorando o numerador, obtendo-se assim,
 então, = no cálculo do limite estamos considerado valores próximos de 5, porém, diferentes de 5. Sendo assim é possível dividir o numerador e o denominador por x – 5 e temos
 = = .
4. Dada f(x) = calcule 
5. , neste caso usa-se o artifício da racionalização do numerador. Res. = 
6. neste caso pode-se fazer uma troca de variáveis para facilitar os cálculos(tirando o m.m.c. entre os índices). Seja x = t6, t 0, quando t6 1 t 1.
Portanto,
7. , desenvolve-se o numerador para simplificar. Res. 2x
8. , neste caso usa-se o artifício da racionalização do numerador, da seguinte forma:
, de tal forma que , ou, 
Y===. Assim.
=
Exercícios(Complementares) obrigatórios para os que optarem para peso 2 em atividades p.102-104, Cálculo A.
LIMITES LATERAIS
Exemplo 3.4: Seja f definida por 
Trace um esboço do gráfico de f(x); b) Determine o , se ele existir; c) Determine o , se ele existir.
Obs. Usamos o símbolo x 0- para indicar que os valores de x são sempre menores que 0, e usamos o símbolo x 0+ para indicar que os valores de x são sempre maiores que 0.
Solução:
Teorema 3.1: O se e somente se existirem e ambos forem iguais a L.
Exemplo 3.5. Seja g definida por g(x) = 
a)Trace um esboço do gráfico de g
Encontre 
Exemplo 3.5.1 seja h(x) = 
Exemplo 3.6: Seja f(x) definida por 
f(x) =
Calcule:
Exemplo 3.7
Dada a função f(x) = (1 + ) ,
Determinar, se possível, e 
Exercícios: Trace um esboço do gráfico e encontre o limite indicado.
, calcule: ; ; 
f(x) = , calcule: ; ; 
, calcule: ; ; 
f(x) = 3 + , calcule: ; ; 
Exercícios(Complementares) obrigatórios para os que optarem para peso 2 em atividades p.96-98, Cálculo A.
LIMITES NO INFINITO
Considere a função f definida pela equação f(x) = , faça uma tabela para valores de x e f(x) e represente graficamente 
	x
	0
	1
	2
	3
	5
	10
	100
	1000
	f(x)
	0
	1
	8/5
	18/10
	50/26
	200/101
	2000/1001
	2000000/1000001
Teorema 3.2. Se r é um inteiro positivo qualquer e C 
uma constante real maior que 1, então:
 ou de forma genérica,
 ou de forma genérica,
Exemplos 3.8
Aplicando Teor. 3.2 i.Encontre o 
 Dividindo numerador e denominador por x
Encontre o 
Encontre 
Encontre 
Justificativa: , então, = -x, pois x converge a menos infinito.
Exercícios: Encontre os limites indicados
1. 		2. 		3. 
4. 	5. 
LIMITES INFINITOS
Seja f a função definida por f(x) = , analise o comportamento de f(x) através de uma tabela e gráfico quando x está próximo de 2.
	x
	3
	5/2
	9/4
	21/10
	201/100
	f(x)
	3
	12
	48
	300
	30000
Então,
Logo, 
Teorema 3.3 Se a é um número real qualquer, e se e , onde c é uma constante diferente de zero (0), então:
Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores positivos de f(x), então: 
Se c > 0 e se f(x) 0, através de valores negativos de f(x), então: 
Se c < 0 e se f(x) 0, através de valores positivos de f(x), então: 
Se c < 0 e se f(x) 0, através de valores negativos de f(x), então: 
Exemplos 3.9. 
Solução: Seja g(x) = x2 + x + 2 
f(x) = x2 – 2x –3 (através de valores negativos de f(x)).
então, pelo Teor. 3.3 ii
 = -
Seja, agora, f(x) = x2 – 2x –3 (através de valores positivos de f(x)).
então, pelo Teor. 3.3.i.
Logo, pelo Teor. 3.1, não existe 
 = 
, indeterminação. Usando o artifício de colocar x5 em evidência, temos:
4. Determinar, 
Solução: P/ x > 0, temos = x. Assim
P/x < 0, temos que = -x. Assim
. Logo, = +
Determinar .
Solução: qdo Assim, 
(indeterminado, portanto, por x2, temos 
(indeterminado), por x3, = - 
(indeterminado), por x4, = - 2
(indeterminado), por x3, = 0
Exercícios(Complementares) obrigatórios para os que optarem para peso 2 em atividades p.119-121, Cálculo A.
LIMITES FUNDAMENTAIS
 
Tratam de casos particulares de indeterminação do tipo 0/0, 1 e 0
Proposição 1. 
Prova.(será mais facilmente demonstrado usando a regra de L’Hospital o que será visto posteriormente)
Exemplos 3.10, Calcular os seguintes limites:
Podemos calcular limites do tipo , onde, u é uma função de x.
No ex. u = 2x e u 0 quando x 0. 
Portanto, 
, use a fórmula: sen2A= 1/2 – (1/2)cos(2A) ou cos(2A) = 1 – 2sen2(A).
Portanto, fazendo x = 2u, ou u = x/2, qdo x 0, u 0, então, podemos escrever,
Proposição 2. , onde, e é o número irracional neperiano 2,718281... . A prova envolve noções de série e será aqui omitida.
Exemplos 3.11
Prove que = e
Solução:
i) = Fazendo, x = 1/t t + quando x 0+. Logo,
ii) = Fazendo, x = 1/t t - quando x 0-. Logo,
Logo =e.
Determinar 
Proposição 3. 
Prova: Fazendo t = ax – 1, temos ax = t + 1. Aplicando ln em ambos os lados ln(ax) = ln(t+1) ou 
xln(a) = ln(t+1) ou x = . Quando x 0 e x 0, temos que t 0, t 0, então pode-se escrever:
=
Exerc. 
2
 acima.
Exemplo 3.12
Calcule 
Exercícios(Complementares) obrigatórios para os que optarem para peso 2 em atividades p.128-129, Cálculo A.
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
Definição 3.2: Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
 
a
Definição 3.3 Diz-se que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira:
Exemplo 3.13
Encontre as assíntotas horizontais e verticais 
do gráfico da equação xy2 – 2y2-4x = 0 e
trace um esboço do gráfico.
Exercícios: Repita os exemplos para as seguintes funções:
1. f(x) = 		2. g(x) = 	3. h(x) = 
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM NÚMERO
Definição 3. 4: Diz-se que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
Existe f(a)
Existe 
 = f(a).
Se uma ou mais destas três condições não for verificada em a, dizemos que a função f é descontínua em a.
Exemplos 3.14: Sejam as funções definidas por:
f(x) = verifique se a função é contínua no ponto x =1
g(x) = 		verifique se a função é contínua no ponto x = 2
h(x) = 		verifique se h é contínua no ponto x = 1
		verifique se f é contínua no ponto x = 3.
Exercícios(Complementares) obrigatórios para os que optarem para peso 2 em atividades p.139-141, Cálculo A.