Listas de exercícios

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IFCE-Quixada´
Curso: Engenharia Ambiental
Disciplina: Ca´lculo I
Prof.: Carla Oliveira
Lista de Exerc´ıcio
1. Determinar todos os intervalos de nu´meros que satisfac¸am as desigualdades abaixo. Fazer
a representac¸a˜o gra´fica.
(a) 3− x < 5 + 3x (b) 2x− 5 < 13 + 3x4 + 1−x3
(c) 2 > −3− 3x ≥ −7 (d) 5x < 34
(e) x2 ≥ 2 (f) x2 − 3x + 2 > 0
(g) x+12−x <
x
3+x (h) x
3 + 1 > x2 + x
(i) (x2 − 1)(x + 4) ≤ 0 (j) 2x−2 ≤ x+2x−2 ≤ 1
(k)
1
2x−3
4+x > 1 (l)
3
x−5 ≤ 2
(m) 1x+1 ≥ 3x+2
2. Resolva as equac¸o˜es em R.
(a) | −4 + 12x |= 7 (b) | x+2x−2 |= 5
(c) | 3x + 2 |= 5− x (d) | 3x+82x−3 |= 4
(e) | 9x |= x (f) 2x− 7 =| x | +1
3. Resolva as inequac¸o˜es em R.
(a) | x + 12 |< 7 (b) | 3x− 4 |≤ 2
(c) | 5− 6x |≥ 9 (d) | x + 4 |≤| 2x− 6 |
(e) | 3−2x1+x |≤ 4 (f) 1|x+1||x−3| ≥ 15
(g) | x | +1 < x (h) 1 <| x + 2 |< 4
4. Se f(x) = x
2−4
x−1 , achar:
(a) f(0) (b) f( 1t )
(c) f( 12 ) (d) f(−2)
(e) f(x− 2) (f) f(t2)
5. Se f(x) = 3x−1x−7 , determine:
(a) 5f(−1)−2f(0)+3f(5)7 (b) [f(
−1
2 )]
2
(c) f(f(5)) (d) f(t) + f( 4t )
6. Se f(x) = ax+bcx+d e d = −a, mostre que f(f(x)) = x.
7. Se f(x) = x2 + 2x, achar f(a+h)−f(a)h , h 6= 0 e interpretar o resultado geometricamente.
8. Exprimir como func¸a˜o de x:
(a) A a´rea de uma esfera de raio x.
(b) A a´rea de uma cubo de aresta x.
9. Seja f(x) = (x− 2)(8− x) para 2 ≤ x ≤ 8.
(a) Determine f(5), f(−12 e f(
1
2 ).
(b) Qual o domı´nio da func¸a˜o?
(c) Determine f(1− 2t) e indique o domı´nio.
(d) Determine f(f(3)) e f(f(5)).
(e) Trace o gra´fico de f(x).
10. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) y = x2 (b) y = 1x−4
(c) y =
√
x2 − 4x + 3 (d) y = 3√x + 7− 5√x + 8
(e) y =| x + 2 | +4,−5 ≤ x ≤ −2 (f) y = x− 1x
(g) y =
√
4− x2 (h) y = √x− 2
(i) y =
√
3 + x + 4
√
7− x (j) y = x+ax−a
(k) y =
√
x
x+1 (l) y =
1
1+
√
x
11. Construir o gra´fico, determinar o domı´nio e o conjunto imagem das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
{ −x, se −2 ≤ x ≤ 0
x, se 0 < x < 2
(b) f(x) =
 0, se x < 012 , se x = 0
1, se x > 0
(c) f(x) =
 x
3, se x ≤ 0
1, se 0 < x < 2
x2, se x ≥ 2
12. Identificar as propriedades e caracter´ısticas das seguintes func¸o˜es a partir das suas repre-
sentac¸o˜es gra´ficas (domı´nio, conjunto imagem, ra´ızes, ma´ximos e mı´nimos, crescimento e decresci-
mento).
(a) f(x) = x2 + 8x + 14 (b) f(x) = (x− 2)2
(c) f(x) = x3 (d) y =| x |,−3 ≤ x ≤ 3
(e) y = −2x+3 (f) y = −x2 + 4x− 1
(g) y = −(x + 2)2 (h) y = 4− x3
(i) y = 1x−2 (j) y =
√
2x
13. Calcule para cada item f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g.
(a) f(x) = 2x, g(x) = x2 + 1
(b) f(x) = 3x− 2, g(x) =| x |
(c) f(x) = x1+x2 , g(x) =
1
x
(d) f(x) = a + bx, g(x) = x + a
14. Sendo f(x) = ax + b, para quais valores de a e b tem-se (f ◦ f)(x) = 4x− 9?
15. Sejam f(x) =
√
x− 4 e g(x) = 12x + 1, x ≥ 3. Calcular f ◦ g. Deˆ o domı´nio e o con-
junto imagem de f(x), g(x) e (f ◦ g).
16. Determine algebricamente o domı´nio das func¸o˜es f(x) =
√
x− 2, g(x) = √x + 2 e (f ◦ g)(x).
Fac¸a o gra´fico e compare os resultados.
17. A func¸a˜o g e´ definida por g(x) = x2. Defina uma func¸a˜o f tal que f(g(x)) = x, para
x ≥ 0 e uma func¸a˜o h tal que (h ◦ g)(x) = x, para x ≤ 0.
18. Se f(x) = x2, encontre duas func¸o˜es g para as quais (f ◦ g)(x) = 4x2 − 12x + 9.
19. Se f(x) = x2 − 2x + 1, encontre uma func¸a˜o g(x) tal que (f/g)(x) = x− 1.
20. Dadas as func¸o˜es f(x) = x2 − 1 e g(x) = 2x− 1:
(a) Determine o domı´nio e o conjunto imagem de f(x) e g(x).
(b) Construa os gra´ficos de f(x) e g(x).
21. Determine algebricamente os valores de x, tais que f(x) < g(x), sendo f(x) = 2x + 1 e
g(x) = 4− x.
22. Determine algebricamente os valores de x tais que o gra´fico de f(x) esteja abaixo do gra´fico
de g(x), sendo f(x) = x2 − 1 e g(x) = 1− x2. Trace o gra´fico da func¸a˜o e compare os resultados.
23. Um fabricante produz pec¸as para computadores pelo prec¸o de R$2,00. Calcula-se que, se
cada pec¸a for vendida por x reais, os consumidores comprara˜o, por meˆs, (600− x) unidades. Ex-
pressar o lucro mensal do fabricante como func¸a˜o do prec¸o. Construir um gra´fico para estimar o
prec¸o o´timo da venda.
24. Um grupo de amigos trabalham no per´ıodo de fe´rias vendendo salgadinhos nas praias. O
aluguel do trailler e todos os equipamentos necessa´rios para a produc¸ao˜ sa˜o alugados pelo valor de
R$2.000,00 por meˆs. O custo do material de salgadinho e´ de R$0,10. Expressar o custo total como
uma func¸a˜o de nu´mero de salgadinhos elaborados.
25. Em um laborato´rio, um determinado ser vivo apresenta um ciclo produtivo de uma hora
e a cada hora um par pronto para reproduc¸a˜o gera outro par reprodutor. Como expressa a ex-
perieˆncia populacional em func¸a˜o do nu´mero de horas, supondo que a populac¸a˜o inicial e´ de 5 pares?
26. Um grupo de abelhas, cujo nu´mero era igual a raiz quadrada da metade de todo enxame,
pousou sobre uma rosa, tendo deixado para tra´s 89 do enxame. Apenas uma abelha voava ao
redor de um jasmim, atra´ıda pelo zumbido de uma de suas amigas que ca´ıra imprudentemente na
armadilha da florzinha de doce fragaˆncia. Quantas abelhas formavam o enxame? (Adaptac¸a˜o de
um problema histo´rico, originalmente escrito em versos).
27. Construir o gra´fico das func¸o˜es:
(a) y = kx, se k = 0, 1, 2, 1/2,−1,−2
(b) y = x + b, se b = 0, 1,−1
(c) y = 1, 5x + 2
(d) y = ax2, se a = 1, 1/2,−2
(e) y = 1 + (x− 1)2
(f) y = x2 − 3
(g) y = x2 − 2x + 5
28. Construa os gra´ficos das func¸o˜es polinomiais e racionais, determinando, ainda,o domı´nio e
o conjunto imagem.
(a) y = 2 + (x− 1)3 (b) y = x4
(c) y = 2x2 − 4 (d) y = − 2(x−1)2
(e) y = 1x (f) y =
x−1
x+4
29. Determine quais das seguintes func¸o˜es sa˜o pares ou ı´mpares:
(a) f(x) = 3x4 − 2x2 + 1 (b) f(x) = 5x3 − 2x
(c) f(x) =| x | (d) f(x) = x3−xx2+1
(e) f(t) = 1t (a
t + a−t) (f) f(x) = ln 1+x1−x
30. Mostre que a func¸a˜o 12 [f(x) + f(−x)] e´ par se que a func¸a˜o 12 [f(x)− f(−x)] e´ ı´mpar.
31. Em cada um dos exerc´ıcios determine a fo´rmula da func¸a˜o inversa. Fazer os gra´ficos da
func¸a˜o dada e de sua inversa.
(a) y = 3x + 4 (b) y = 1x−a
(c) y = x+ax−a (d) y =
1
x , x > 0
(e) y =
√
x− 1, x ≥ 1 (f) y = −√a− x, x ≤ a
(g) y = x
2
x2+1 (h) y = x
2 − 4, x ≥ 0
32. Construir o gra´fico da func¸a˜o das seguintes func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas:
(a) y = ax, se a = 2, 1/2, e(e = 2, 718...) (b) y = 10
1
x
(c) y = e−x
2
(d) y = −2x
(e) y = ln(−x) (f) y = ln(x + 1)
(g) y = x lnx (h) y = ln | x |
33. Sejam f(x) = log10 x e g(x) = x
3, forme as expresso˜es:
(a) f(g(2))
(b) f(g(a)), a > 0
(c) g(f(a)), a > 0
34.Seja f(x) = arccos(log10x). Calcular:
(a) f( 110 )
(b) f(1)
(c) f(10)
35. Determinar o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a)y = arccos( 2x1+x )
(b) y =
√
sen 2x
36. Construir o gra´fico das seguintes func¸o˜es trigonome´tricas. Determinar se sa˜o perio´dicas e
em caso afirmativo determinar o per´ıodo.
(a) y = cos(x + pi2 )
(b) y = 1 + sen x
(c) y = tan 12x
(d) y = 1+ | sin 2x |
(e) y = sen (x− pi2 )
37. Tracar o gra´fico das func¸o˜es trigonome´tricas, identificar o domı´nio, conjunto imagem, ma´ximos
e mı´nimos, crescimento e decrescimento, e comparar as transformac¸o˜es ocorridas em cada conjunto.
(a) f(x) = senx, g(x) = 2senx, h(x) = frac12senx
(b) f(x) = senx, g(x) = sen2x, h(x) = sen 12x
(c) f(x) = cosx, g(x) = cosx + 3, h(x) = cosx− 3
(d) f(x) = cosx, g(x) = cosx + 2, h(x) = cosx− 2
38. Numa dada cidade o desperd´ıcio atual de lixo que pode ser reciclado e´ de 380.000 toneladas.
Se esse desperd´ıcio apresenta uma taxa de crescimento atual de 1, 5%, estime o tempo necessa´rio
para que esse desperd´ıcio se duplique. Use um modelo de crescimento exponencial.
39. Uma certa substaˆncia radioativa decai exponencialmente sendo que, apo´s 100 anos,ainda
restam 60% da quantidade inicial.
(a) Obter o modelo de decaimento exponencial para esta substaˆncia.
(b) Determinar a sua meia-vida.
(c) Determinar o tempo necessa´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial.