FT_rev1_2012-s1-parte_2

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Notas de F T – PARTE 2 
Prof. Milton Dall'Aglio Sobrinho 
Revisão 1 – 2012/1 
 
CAPÍTULO 1 VISCOSIDADE DOS FLUIDOS E REOLOGIA 
1.1. VELOCIDADE DE DEFORMAÇÃO ....................................................................................... 1 
1.2. EQUAÇÃO DE NEWTON DA VISCOSIDADE ..................................................................... 3 
1.3. MEDIÇÃO DA VISCOSIDADE .............................................................................................. 4 
1.4. REOLOGIA ........................................................................................................................... 6 
1.5. EXERCÍCIOS ........................................................................................................................ 7 
CAPÍTULO 2 EQUAÇÕES BÁSICAS DE TRANSPORTE ................................................................ 9 
 2.1. DIFUSÃO .............................................................................................................................. 9 
 Difusão de Calor ................................................................................................................... 9 
 Difusão de Massa ................................................................................................................. 10 
 Quantidade de Movimento ................................................................................................... 11 
 Resumindo ........................................................................................................................... 12 
 2.2. EXEMPLOS NUMÉRICOS ................................................................................................... 13 
 2.3. MECANISMO MOLECULAR DA DIFUSÃO ......................................................................... 15 
 2.4. FLUXO EM MEIOS POROSOS ............................................................................................ 18 
 2.5. ADVECÇÃO .......................................................................................................................... 19 
 2.5.1. Ocorrência da advecção ............................................................................................ 19 
 2.5.2. Equações básicas ...................................................................................................... 21 
 2.5.3. Mecanismo da Convecção – Camada Limite ............................................................. 25 
 2.5.4. Coeficientes Locais e Coeficiente Global de Transferência ....................................... 30 
 2.5.5. Transporte simultâneo de duas grandezas ................................................................. 31 
 2.6. RADIAÇÃO: UM TIPO ESPECIAL DE TRANSPORTE ........................................................ 33 
 2.7. CONSIDERAÇOES FINAIS .................................................................................................. 36 
 2.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 38 
CAPÍTULO 3 DIFUSÃO UNIDIMENSIONAL .................................................................................... 41 
 3.1. UMA EQUAÇÃO MAIS GERAL PARA A DIFUSÃO ............................................................. 41 
 3.2. BALANÇO DAS GRANDEZAS – Equações de conservação ........................................... 45 
 3.3. BALANÇO DE CADA GRANDEZA A PARTIR DO BALANÇO GERAL ................................ 50 
 3.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DO BALANÇO 1-D ............................................................. 51 
 3.5. ANÁLISE QUALITATIVA DO TRANSIENTE UNIDIMENSIONAL ........................................ 58 
 3.5.1 Transferência de calor ................................................................................................. 58 
 3.5.2 Transferência de massa .............................................................................................. 60 
 3.5.3 Transferência de quantidade de movimento .............................................................. 61 
 3.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 64 
CAPÍTULO 4 DIFUSÃO EM 2 E 3 DIMENSÕES ............................................................................... 71 
 4.1. FUNDAMENTOS DA DESCRIÇÃO 3-D ............................................................................... 71 
 4.2. EQUAÇÃO DOS PROCESSOS DIFUSIVOS EM 3 DIMENSÕES ........................................ 73 
 4.3. RELAÇÃO ENTRE FLUXO E DENSIDADE DE FLUXO ..................................................... 75 
 4.4. BALANÇO GERAL DAS GRANDEZAS TRANSPORTADAS ............................................... 81 
 4.4.1 Balanço de C A L O R ................................................................................................. 83 
 4.4.2 Balanço de M A S S A ................................................................................................. 84 
 4.4.3 Balanço de ÁGUA SUBTERRÂNEA .......................................................................... 84 
 4.5. BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ................................................................ 85 
 4.5.1 Equação diferencial da quantidade de movimento (Navier-Stokes) ........................... 87 
 4.5.2 Escoamento entre placas paralelas ............................................................................ 90 
 4.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................................ 93 
 
 
 
4.7 DIFUSÃO TRANSIENTE ...................................................................................................... 91 
 4.7.1 Transientes de sistemas concentrados ....................................................................... 97 
 4.7.2 Aeração de líquidos bem misturados .......................................................................... 99 
 4.7.3 Transientes de sistemas distribuídos ........................................................................ 101 
 4.7.4 Medição das propriedades térmicas com ensaios transientes ................................. 108 
 4.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................... 110 
CAPÍTULO 5 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA DIFUSÃO ..................................... 113 
 5.1. SOLUÇÃO NUMÉRICA – DIFERENÇAS FINITAS ............................................................ 113 
 5.2 REDES DE FLUXO ............................................................................................................. 122 
 5.3 MÉTODO DO BALANÇO DE ENERGIA ............................................................................ 127 
 5.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS .............................................................................................. 133 
CAPÍTULO 6 APLICAÇÃO - TRANSFERÊNCIA DE CALOR ..................................................... 135 
 6.1 MODOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ...................................................................... 135 
 6.2 EXEMPLOS UNIDIMENSIONAIS ....................................................................................... 135 
 6.3 TRANSFERÊNCIA de CALOR em EDIFICAÇÕES ............................................................ 139 
 6.4. EFEITO DA INÉRCIA TÉRMICA DAS COBERTURAS ...................................................... 149 
 6.4.1. Materiais Ativos no controle das temperaturas ........................................................ 152 
 6.5. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO .......................................................................................... 153 
 6.6. APLICAÇÃO – Aletas .......................................................................................................... 155 
CAPÍTULO 7 APLICAÇÃO – TRANSPORTEDE MASSA ............................................................ 157 
 7.1 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO .................................................................................................... 157 
 7.1.1 Equação de Fick da Difusão Molecular ..................................................................... 157 
 7.1.2 Solução Fundamental da Equação ........................................................................... 157 
 7.2 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA DIFUSÃO ....................................................................... 162 
 7.2.1 Lançamento de Massa Instantâneo na Origem ........................................................ 162 
 7.2.2 Lançamento Fora da Origem .................................................................................... 162 
 7.2.3 Distribuição Inicial de Massa ..................................................................................... 164 
 7.2.4 Função Degrau .......................................................................................................... 166 
 7.2.5 Concentração Fixa na Origem a Partir de t = 0 ........................................................ 167 
 7.2.6 Concentração Definida em Função do Tempo ......................................................... 169 
 7.2.7 Fluxo de Massa Definido em Função do Tempo ...................................................... 170 
 7.2.8 Fonte de Massa Distribuída m(x,t) ............................................................................ 171 
 7.2.9 Efeito dos Contornos ................................................................................................. 171 
 7.2.10 Soluções em 2 e 3 Dimensões ............................................................................... 175 
 7.3 DIFUSÃO COM ADVECÇÃO ............................................................................................. 176 
 7.3.1 Equações ................................................................................................................... 176 
 7.3.2 Solução para Difusão Longitudinal ........................................................................... 179 
 7.3.3 Solução para Difusão Transversal ............................................................................ 181 
 7.3.4 Solução para Concentração Constante na Origem .................................................. 182 
 7.3.5 Lançamento Constante na Origem em 3-D .............................................................. 182 
 7.4 DIFUSÃO TURBULENTA .................................................................................................. 184 
 7.4.1 Escoamentos Turbulentos ......................................................................................... 185 
 7.4.2 Escalas de Turbulência ............................................................................................. 186 
 7.4.3 Espalhamento de um Traçador em Escoamento Turbulento ................................... 187 
 7.4.4 Difusão em Escoamentos Turbulentos ..................................................................... 189 
 7.4.5 Valores empíricos da Difusividade Turbulenta .......................................................... 191 
 7.4.6 Lançamento de efluentes em rios ............................................................................. 193 
 7.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................. 195 
 
 
PARTE 2 – PROCESSOS DIFUSIVOS 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 VISCOSIDADE DOS FLUIDOS E REOLOGIA 
 
 
 Quando submetido a uma dada tensão de cisalhamento um fluido deforma-se 
porque as suas moléculas começam a deslizar umas em relação às outras com uma 
velocidade que é inversamente proporcional a uma constante chamada viscosidade 
dinâmica, .. É possível quantificar o deslizamento das camadas do fluido por meio do 
conceito da velocidade de deformação. 
 
1.1. VELOCIDADE DE DEFORMAÇÃO 
 
Inicialmente precisamos imaginar como podemos submeter uma camada de fluido 
a uma velocidade de deformação controlada. Isso pode ser feito por meio de duas placas 
planas paralelas, com fluido entre elas. Um exemplo prático dessa situação ocorre num 
mancal cilíndrico com uma pequena folga entre o eixo e o mancal preenchida com um 
fluido lubrificante, conforme a Figura 1.1-a. 
 
b) perfil de velocidades
mancal
eixoV
Rr  r
t 0 t1 t2 t3
c) deformação de uma) mancal com eixo 
elemento de fluido resultante 
Figura 1.1: Exemplo de situação com fluido submetido a deformação 
 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 2 
_____ Perfil de Velocidades 
 O fluido adere às superfícies sólidas, tanto a do mancal parado como a do eixo em 
rotação. No interior do fluido, desde que a folga entre o eixo e o mancal seja pequena, irá 
se desenvolver um perfil de velocidades linear, conforme mostrado em 1.1-b. 
 Se pudermos marcar no instante inicial t0 uma linha de tempo com traçador na 
forma de um pequeno elemento retangular no interior do fluido, veremos que com o 
passar do tempo ocorre uma mudança na sua forma. Esse comportamento pode ser visto 
na Figura 1.1-c, para os tempos t1, t2, e t3 , em que o elemento deforma-se 
progressivamente porque sua face superior avança com uma velocidade maior que a 
inferior. 
A Figura 1.2 permitirá definir o ângulo de deformação  e apresentar o conceito 
de velocidade de deformação. 
 
 
Figura 1.2: Ângulo e velocidade de deformação num elemento de fluido 
 
 As faces superior e inferior do elemento de fluido da fig. 1.1 possuem velocidades 
diferentes. A face superior desloca-se mais rapidamente e, ao fim de um intervalo de 
tempo t ocorrerá uma deformação (fig. 1.1b), dada pelo ângulo de deformação . 
 h
x
tgarc 

 1.1 
 Supondo um tempo muito pequeno, o ângulo de deformação também será 
pequeno, de forma que vale: 
 h
xtg 

 1.2 
É fácil imaginar que o ângulo cresce com o tempo, sendo que a velocidade com 
que ele aumenta é a velocidade de deformação  do elemento. Portanto, a velocidade 
de deformação é, por definição, a taxa de variação no tempo do ângulo de deformação: 
 h
V
th
tV
th
x
t 




 1.3 

F
V




x
h

t t + t
ângulo de deformação = velocidade de deformação = /  t
 FT – 2012/1 - Revisão 1 3 
A unidade da velocidade de deformação é s-1. 
 
1.2. EQUAÇÃO DE NEWTON DA VISCOSIDADE 
 A relação entre a velocidade de deformação e a tensão de cisalhamento necessária 
para provocar a deformação foi investigada experimentalmente. Para um grande número 
de fluidos descobriu-se que a tensão era diretamente proporcional à velocidade de 
deformação. A constante de proporcionalidade foi chamada de viscosidade dinâmica do 
fluido, ou seja: 
 ߬ ൌ ߤߛ˙ ൌ ߤ ఋఊఋఊ → ߬ ൌ ߤ
ఋ௏
ఋ௛ 1.4 
no limite, quando a espessura do elemento tende a zero, podemos definir a tensão de 
cisalhamento num ponto por meio da derivada da velocidade em função de h: 
 limఋ௛→଴
ఋ௏
ఋ௛ ൌ
ௗ௏
ௗ௛ 
 ߬ ൌ ߤ ௗ௏ௗ௛ 1.5 
 
 Os fluidos que obedecem à relação linear entre tensão de cisalhamento e 
velocidade de deformação são chamados de Newtonianos. Os demais, por exclusão, são 
chamados de fluidos não newtonianos. 
 As dimensões da viscosidade dinâmica são obtidas a partir da equação de Newton. 
Isolando a viscosidade na equação 1.5 e substituindo as dimensões resulta: 
 ݑ ൌ ఛ೏ೇ
೏೓
 ��ሾߤሿ ൌ ி௅షమಽ೅షభ
ಽ
 → ሾߤሿ ൌ ܨܮିଶܶ ൌ ܯܮିଵܶିଵ 
 A unidade de viscosidade no SI é Pa.s (N.s/m2), ou kg/m.s, e não possui nome 
especial. Ainda se encontra quem use a viscosidade no sistema cgs, denominada 
poise (1 d.s/cm2 ou 1 g/cm.s). Um poise é dez vezes menor que um Pa.s. 
 
_____ Relação com o transporte de quantidade de movimento 
 Observe na Figura 1.1 que a força F é transformada em tensão de cisalhamento na 
interface entre a placa superior (eixo) e o fluido, e daí transmite-se para baixo até à placa 
inferior (mancal), ondea força reaparece como reação a F. Portanto, a grandeza 
transportada tem dimensão de quantidade de movimento por unidade de área por unidade 
de tempo. Esta conclusão é obtida da equação dimensional a seguir: 
 ሾ߬ሿ ൌ ቂி஺ቃ ൌ
ቂಾಽ೅మ ቃ
ሾ௅మሿ ൌ
ቂಾಽ/೅೅ ቃ
ሾ௅మሿ 
 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 4 
 Assim, podemos dizer que a tensão de cisalhamento é um fluxo de quantidade de 
movimento por unidade de área, ou uma densidade de fluxo de quantidade de movimento. 
 Portanto, concluímos da equação de Newton da viscosidade que ocorrerá um 
transporte de quantidade de movimento na direção perpendicular às velocidades, sempre 
que houver diferença de velocidades no interior de um fluido. Este é um dos fenômenos 
responsáveis pelas características adquiridas por um escoamento. Outro fator importante 
é a adesão do fluido às superfícies sólidas ou contornos em contato com o escoamento. 
Esta condição é verificada experimentalmente. 
 
_____ Mecanismo da Viscosidade 
 Sabe-se que a viscosidade dos gases aumenta com a temperatura e a dos líquidos 
diminui. Essa diferença de comportamento pode ser explicada examinando-se o 
mecanismo responsável pela viscosidade, composto de coesão e transferência de 
quantidade de movimento a nível molecular. 
Num líquido as forças de coesão são predominantes devido à menor distância 
entre as moléculas. Quando aumenta a temperatura, as distâncias intermoleculares 
aumentam, diminuindo a coesão e, portanto, a viscosidade. 
Nos gases o comportamento difere porque as forças de coesão são muito 
pequenas, devido à distância maior entre as moléculas. A resistência ao movimento 
relativo nos gases é oferecida principalmente pelo mecanismo de troca de quantidade de 
movimento molecular. 
 O intercâmbio de quantidade de movimento entre duas camadas com velocidades 
relativas diferentes de um fluido ocorre devido à agitação molecular. Qualquer fronteira 
entre duas camadas de fluido é continuamente atravessada por moléculas. Este 
movimento leva as moléculas mais lentas a se chocarem com as da camada mais rápida, 
e vice-versa, originando o aparecimento das forças entre as duas camadas. Como a 
agitação molecular cresce com a temperatura, também cresce o número de moléculas 
que cruzam a fronteira entre as camadas, causando aumento das forças. Este acréscimo 
reflete-se no aumento da viscosidade dinâmica dos gases com a temperatura. 
 
 
1.3. MEDIÇÃO DA VISCOSIDADE 
 
 O método básico para determinação da viscosidade utiliza diretamente a equação 
de Newton, aplicando-a a uma situação em que o gradiente de velocidade e a tensão de 
cisalhamento são conhecidas. O gradiente é aplicado por meio de cilindros coaxiais com 
uma pequena folga preenchida com o fluido. A tensão é determinada a partir da medição 
do momento necessário para girar um dos cilindros. O esquema da Figura 1.3 ilustra 
esquematicamente o dispositivo. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 5 
 
Figura 1.3: Viscosímetros rotatórios (esquemático). Fonte: Street, p.490. 
 
 No viscosímetro de cilindros concêntricos mede-se o torque necessário para 
provocar uma dada velocidade de rotação conhecida. Conhecendo-se a geometria dos 
cilindros, pode-se calcular a viscosidade dinâmica. Usando a notação da Figura 1.3 as 
equações ficam: 
 ܶ ൌ ܨܴ ൌ ߬	ሺ2ߨܴ݄ሻ 1.6 
sendo que a tensão de cisalhamento é dada pela equação 1.5. 
 ܶ ൌ ߤ ௗ௏ௗ௥ ൈ 2ߨܴ݄ 1.7 
 A velocidade de deformação w pode ser calculada facilmente quando a folga DR 
entre os cilindros, é pequena em relação ao raio R. Nesse caso, desenvolve-se um perfil 
linear de velocidades variando entre 0 no cilindro externo e a velocidade tangencial no 
cilindro interno. Assim o gradiente fica: 
 
ௗ௏
ௗ௥ ൌ
ఠோ
௱ோ 1.8 
 Substituindo 1.7 e 1.8 em 1.6 e resolvendo em função de m obtém-se: 
 ߤ ൌ ்ఠ	
௱ோ
ଶగோమ௛ 1.9 
 A equação 1.9 mostra que medindo o torque e a velocidade de rotação do cilindro 
interno, sendo conhecida a geometria do viscosímetro, pode-se determinar a viscosidade 
dinâmica do fluido. 
 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 6 
1.4. REOLOGIA 
 O estudo da deformação dos fluidos na presença de tensões de cisalhamento é 
chamado de Reologia. Fluidos que seguem a equação de Newton possuem uma relação 
linear entre a velocidade de deformação e a tensão de cisalhamento e são chamados de 
Fluidos Newtonianos. Por oposição, os fluidos que não se enquadram na relação linear 
são chamados de Fluidos Não Newtonianos. 
 Um fluido não newtoniano comum é o creme dental. Ele se comporta como fluido, 
escoando para fora do tubo, mas uma pequena porção de pasta pode ser mantida na 
ponta do tubo de forma que seria impossível para a água, por exemplo, ou mesmo para o 
mel, bastante viscoso. 
 Os fluidos não newtonianos podem ser divididos em Viscoelásticos, Dependentes 
do tempo e Independentes do tempo. 
 Os dependentes do tempo podem ser Reopéticos ou Tixotrópicos. Os tixotrópicos 
têm a viscosidade diminuída com o tempo de aplicação da tensão de cisalhamento. As 
tintas são um exemplo de fluido tixotrópico. Os reopéticos aumentam a viscosidade com o 
tempo de aplicação da tensão de cisalhamento. Um exemplo é a argila bentonita. 
 Os fluidos não newtonianos cuja viscosidade não depende do tempo de aplicação 
da tensão de cisalhamento podem apresentar ou não uma tensão inicial mínima para 
iniciar o movimento. O seu comportamento pode ser resumido no diagrama reológico da 
Figura 1.4. 
 
Figura 1.4: diagrama reológico de fluidos newtonianos e não newtonianos independentes do tempo. 
 
 Os fluidos viscoelásticos sofrem deformação quando submetidos à tensão 
(comportamento viscoso), mas quando a tensão é retirada ocorre uma recuperação 
parcial da deformação sofrida (comportamento elástico). Um exemplo é a massa de 
farinha de trigo. 
 
Newtoniano
Dilatante
Pseudoplástico
Plástico de Bingham
Velocidade de Deformação (1/s)
Te
ns
ão
 de
 Ci
sa
lh
am
en
to
  (P
a.
s)
 FT – 2012/1 - Revisão 1 7 
1.5. EXERCÍCIOS 
 
1.4.1 – Faça uma pesquisa na Internet para identificar fluidos não newtonianos de 
interesse para a engenharia civil e ambiental. 
 
1.4.2 – Um cilindro de Raio R = 120 mm gira concentricamente dentro de um cilindro fixo 
de raio r = 126 mm. Ambos os cilindros têm 350 mm de comprimento. Pede-se calcular a 
viscosidade dinâmica () do líquido que preenche o espaço entre os cilindros, sabendo 
que um torque de 10 Nm é necessário para uma velocidade angular de 60 rpm. 
 
 
 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 8 
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CAPÍTULO 2 
 
EQUAÇÕES BÁSICAS DE TRANSPORTE 
 
2.1. DIFUSÃO 
 
A difusão ocorre devido a uma distribuição desigual da grandeza no meio e 
ocorrerá sempre no sentido de buscar a diminuição das diferenças. 
Observações experimentais conduzidas desde o século 19 revelaram que o fluxo 
difusivos é diretamente proporcional à variação unitária do potencial no espaço e à área 
da seção que conduz o fluxo. A forma mais simples da equação, válida apenas para 
regime permanente unidimensional em área constante, pode ser escrita como: 
 
L
PACteF 
 2.1 
em que “P” é o potencial do transporte e “P/L” sua variação por unidade de 
comprimento na direção do fluxo, ou variação unitária do potencial; “Cte” é a constante de 
proporcionalidade, também chamada de Coeficiente Fenomenológico, porque seu valor 
depende da grandeza considerada; “A” é a área através da qual passa o fluxo. 
As equações fenomenológicas, como seu nome indica, são equações empíricas, 
ou seja, obtidas a partir de observação experimental. Isto significa que essas equações 
apenas quantificam o transporte das grandezas, sem explicitar as suas causas, 
normalmente associadas a mecanismos moleculares no caso da difusão. 
 
Difusão de Calor 
A equação fenomenológica 1-D é conhecida como a equação de Fourier. Um 
experimento simples para sua demonstração aparece na figura 2.1. Dois corpos de prova 
iguais, de seção constante A e comprimento L são submetidos em suas extremidades a 
duas temperaturas diferentes e constantes no tempo. 
 
Banho 1
isolamento
Banho 2T1
amostra 1 amostra 2
F F
aquecedor
T1T2T2
 
Figura 2.1: Esquema experimental para estudo da condução de calor 
 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 10 
A temperatura T2 é atingida em função da dissipação de uma potência conhecida 
pelo aquecedor elétrico entre as amostras e a temperatura T1 é imposta pelos banhos 
termostáticos que atuam como sumidouros do calor transferido. Como as amostras são 
iguais cada uma transfere metade da potência dissipada pelo aquecedor elétrico. 
Variando-se a potência dissipada, a temperatura dos banhos termostáticos e os materiais 
dos corpos de prova pode-se obter facilmente uma grande quantidade de dados. Pode-se 
demonstrar que o fluxo de calor transferido é dado por: 
 
L
TAkFq 
 2.2 
Fq = fluxo de calor transferido por condução ( W ou J / s ) 
k = condutividade térmica ( W / m°C ou W / m K ) 
T = diferença de temperatura no corpo de prova ( °C ou K ) 
L = comprimento do corpo de prova ( m ) 
 
Comparando-se as equações 2.1 (geral) e a 2.2 (calor) percebe-se que na difusão 
de calor o potencial é a temperatura e a constante de proporcionalidade é a 
condutividade térmica do material. 
 
Difusão de Massa 
Um arranjo experimental relativamente simples para estudar a difusão de massa 
pode ser implementado com vapor de água no ar estagnado entre duas placas porosas, 
conforme esquema da figura 2.2. 
 
água
sílica gel
sC
oCar 
placas 
porosas 
F
bureta
L
área A

 
Figura 2.2: Esquema de um experimento para estudar a difusão de massa 
 
No recipiente superior existe pressão negativa, que succiona a água das 
mangueiras de alimentação, permitindo que o volume transferido seja determinado pela 
leitura do nível na bureta. O ar não penetra na câmara superior devido à tensão superficial 
nos poros da placa porosa. A variação da concentração ocorre na camada de ar de 
espessura L porque a sílica gel tem a capacidade de absorver toda a umidade que 
chega à placa inferior. O equipamento da figura 2.2 permite variar facilmente o 
comprimento L e a área exposta das placas porosas. O experimento deve ficar sob 
temperatura controlada e a concentração Cs pode ser mudada variando-se a temperatura 
do ar. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 11 
A equação que descreve os resultados experimentais na difusão de massa é a 
equação de Fick. Para o regime permanente no meio de seção constante da Figura 2.2 os 
resultados experimentais mostram que : 
 
L
CADF AB,AA 
 2.3 
FA = fluxo difusivo de massa da substância “A” ; ( kg / s ) 
CA = concentração do soluto (substância A) no meio (substância B) ; ( kg/m3 ) 
DA,B = difusividade de A em B ; ( m2/s ) 
L = comprimento do meio onde se difunde a substância A. 
 
Comparando-se as equações 2.1 (geral) e a 2.3 (massa) vemos que na difusão de 
massa o potencial é a concentração e a constante de proporcionalidade é a 
difusividade da substância A no meio B. Portanto a difusividade é uma propriedade da 
mistura e não da substância que se difunde. 
 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
Imaginemos duas placas paralelas, com fluido entre elas. Um exemplo prático 
desta situação é um mancal cilíndrico com uma pequena folga entre o eixo e o mancal 
preenchida com um fluido lubrificante, conforme a figura 2.3. 
 
Figura 2.3
F
R
V
mancal
a) mancal deslizante b) perfil de velocidades
mancal
eixoV
L
 
 
Com esse exemplo, ao verificarmos que aparece no mancal uma reação R igual à 
força F aplicada no eixo e de sentido contrário, podemos dizer que a força foi transferida 
pelo fluido entre o eixo e o mancal. 
Para ocorrer essa transferência foi necessário que a força F provocasse uma 
movimentação nas camadas de fluido e essa movimentação deu origem a uma tensão de 
cisalhamento  (N/m2 ) no interior do fluido, dada por: 
 A
F 2.4 
onde A é a área de contato entre o eixo e o mancal. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 12 
Percebemos então que os fluidos, por meio do movimento, são capazes de 
transferir uma tensão de cisalhamento entre dois pontos. Em nosso exemplo a tensão de 
cisalhamento se propagou para o mancal devido à viscosidade do fluido, fazendo surgir 
no mancal uma força de igual valor, obrigando-nos a exercer uma reação em sentido 
contrário para mantê-lo no lugar. 
Verificando as dimensões da grandeza transportada, vemos que: 
  
Área
Tempo
Movimento.Quant
]L[
T
TLM
]L[
TLM
A
F][ 





 22
2
 2.5 
A tensão de cisalhamento que se propaga representa um fluxo de quantidade de 
movimento por unidade de área, ou seja, uma densidade de fluxo. 
Comparando a transferência de quantidade de movimento com a difusão de massa 
e com a condução de calor parece existir uma grande diferença, visto que há velocidades 
de fluido envolvidas. Entretanto, a diferença é só aparente pois o fluido não se desloca 
na direção do transporte da quantidade de movimento e o mecanismo molecular 
envolvido é semelhante. As moléculas de fluido aderem ao eixo e ao mancal, fato que 
pode ser comprovado experimentalmente. Para compatibilizar estes deslocamentos, 
desenvolve-se no fluido uma distribuição de velocidades, partindo do zero, junto ao 
mancal, até V, junto ao eixo, conforme se vê na figura 2.3b. 
Para que o eixo se desloque é necessária uma força. Variando-se a força aplicada 
e medindo-se a velocidade resultante, pode-se demonstrar experimentalmente que a 
força F é dada pela equação de Newton: 
 
L
VAF 
 (válida apenas para perfil linear de velocidades) 2.6 
em que  = viscosidade dinâmica (kg /s m) ou (Pa s) 
 V = variação da velocidade no fluido (m/s) 
 L = espessura da camada de fluido (m) 
 A = área lateral do eixo (m2) 
 
A equação de Newton da viscosidade mostra que ocorrerá um transporte de 
quantidade de movimento na direção perpendicular às velocidades, sempre que houver 
diferença de velocidades no interior de um fluido. O potencial do transporte é a 
velocidade e a constante de proporcionalidade é a propriedade do fluido chamada 
viscosidade dinâmica .. 
 
RESUMINDO 
A difusão das grandezas (massa, calor ou quantidade de movimento) ocorre 
sempre que houver uma força motriz, causada pela distribuição desigual da grandeza no 
meio, chamada de “potencial”. A quantidade transportada é proporcional a uma 
propriedade característica do meio, e à intensidade da força motriz, dada pelo variação do 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 13 
potencial. A difusividade D, a condutividade térmica k e a viscosidade  são as 
constantes de proporcionalidade que relacionam o gradiente do potencial ao seu 
resultado, que é a transferência da grandeza por unidade de tempo, ou Fluxo. 
 
2.2. EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 
Exemplo 2.1: Um medidor de condutividade térmica utiliza um aquecedor elétrico entre 
duas amostras iguais, conforme a figura. As amostras possuem 50mm de diâmetro e 
90mm de comprimento. As chapas metálicas das extremidades são mantidas a 
temperatura uniforme Tf = 70°C por meio da circulação de um fluido refrigerante. Todas 
as superfícies de contato recebem uma camada de graxa condutora, de forma que podem 
ser desprezadas as diferenças de temperatura nas interfaces de contato. Nas amostras 
ficam embutidos termopares diferenciais espaçados de 15mm. As faces laterais das 
amostras são termicamente isoladas. Com duas amostras de aço o aparelho consome 
0,3A a 100V e os termopares diferenciais indicam T1 = T2 = 25°C. Qual é a 
condutividade térmica das amostras? 
T1 T2
amostra amostra
Chapa T constante
isolamento
Aquecedor 
Análise: As temperaturas das extremidades são mantidas constantes pelo banho 
refrigerador e as laterais da amostra são isoladas, de forma que a transferência de calor 
através das amostras pode ser considerada unidimensional (1-D) e em regime 
permanente. Além disso, as amostras são homogêneas (mesmo K) e de área constante. 
Portanto é aplicável a equação 2.2. 
L
TAkF 
 
Conhecidos: A = D2/4 =  0,0502/4 = 0,00196m2 
 T = 25°C (igual nas duas amostras; o problema é simétrico) 
 L = 0,015m ( distância entreos dois termopares em cada amostra) 
 F = ? pode ser determinado com os dados fornecidos 
 k = ? incógnita do problema 
A potência inserida pelo aquecedor divide-se igualmente entre as duas amostras, devido 
à simetria – amostras iguais e temperaturas iguais nos dois lados. Assim, pode-se 
calcular o Fluxo que atravessa cada amostra. 
Cálculos: 
 F = 0,5 R I2 = 0,5 V I = 0,5 100 0,3 = 15 W 
Substituindo-se os valores conhecidos na equação 2.2 e resolvendo em função de k 
obtém-se k = 4,6W/m°C. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 14 
Resposta: A condutividade térmica das amostras é k = 4,6 W/m°C. 
 
Exemplo 2.2: Um eixo com 25mm de diâmetro desliza num mancal cilíndrico com 
velocidade 1,0m/s. O mancal tem uma folga radial de 0,1mm, lubrificada por um óleo com 
viscosidade 0,08 N.s/m2. Calcule a força exercida sobre o mancal. 
F
F = ?
V
mancal
Perfil de velocidades
 1,0 m/s
 0,1mm
50 mm
 25 mm
 
 
Análise: Considerando escoamento laminar do óleo entre o eixo e o mancal, pode-se 
adotar um perfil de velocidades linear, devido à pequena folga entre o eixo e o mancal. O 
problema tem uma simetria axial, com V = 1,0m/s junto ao eixo e nula junto ao mancal 
(adesão do fluido aos contornos sólidos). Sendo o regime permanente pode-se adotar a 
equação 2.6 para calcular o fluxo de quantidade de movimento transferido entre o eixo e o 
mancal. Rigorosamente falando, não seria possível aplicar a equação 2.6, porque a área 
não é constante, ou seja, a superfície do eixo em contato com o óleo é menor que a do 
mancal. Mas, como a folga radial (0,1mm) é muito pequena em relação ao raio (12,5mm), 
pode-se considerar válida a hipótese de área constante. 
Equação 2.6: 
L
VAF 
 
Conhecidos: A =  0,025 0,05 = 0,0039m2 (superfície do eixo em contato com o mancal) 
 V = 1,0m/s 
 L = 0,0001m (folga radial preenchida pelo fluido) 
  = 0,08 N.s/m2 (viscosidade do fluido) 
Cálculos: 
Substituindo os valores na equação 2.6 e resolvendo vem: 
F = 0,08 0,0039 (1,0/0,0001) = 3,12 N. 
Resposta: A força transmitida ao mancal pelo movimento do eixo é F = 3,12N. 
 
Exemplo 2.3: Um tubo de sílica fundida com 25mm de diâmetro, 2m de comprimento e 
parede com espessura 2mm, contém gás hélio a 20°C e pressão absoluta de 4 
atmosferas. Sabendo que a difusividade do hélio na sílica é 0,4x10-13 m2/s, calcule o fluxo 
de hélio através da parede do tubo. A solubilidade do hélio na sílica fundida é 0,00045 
kmol/m3.bar e a massa molecular do gás hélio é MA = 4kg/kmol. 
 
Análise: trata-se de difusão de um gás através de um sólido entre a face interior e exterior 
do tubo; como no exemplo anterior a área não é constante, mas pode ser aproximada 
pela área interna. Com essas considerações, o problema torna-se unidimensional na 
direção radial, podendo ser usada a equação 2.3. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 15 
 
L
CADF AAB 
 
Conhecidos: A =  0,025 2 = 0,157m2 (área lateral interna do tubo) 
 DAB = 0,4x10-13 m2/s (difusividade do He na sílica) 
 L = 0,0025m (espessura da parede do tubo) 
 CA = ? (variação da concentração em kg/m3) 
As concentrações na parede do tubo não foram dadas, mas podem ser calculadas 
a partir da solubilidade do gás no sólido SAB = 0,00045 kmol/m3.bar. As pressões interna e 
externa são, respectivamente 4 bar e 1 bar (absolutas). 
Sabe-se que a concentração é dada por: 
CAB (kg/m3) = MA SAB PA, Equação (a) 
sendo MA a massa molecular (kg/kmol), SAB a solubilidade do elemento A (gás) no 
elemento B (sílica fundida) e PA a pressão do gás (elemento A); 
Cálculos: 
Com os dados fornecidos pode-se calcular as concentrações do hélio no interior da 
parede do tubo com a equação (a). 
Tem-se : superfície interna do tubo Ci = 4 x 0,00045 x 4 = 0,0072kg/m3 
superfície externa do tubo CE = 4 x 0,00045 x 1 = 0,0018kg/m3 
 variação da concentração C = 0,0054kg/m3 . 
Substituindo-se os valores conhecidos na equação 2.3 tem-se o fluxo de hélio em kg/s: 
F = 0,4x10-13 (m2/s) x 0,157 (m2) x 0,0054/0,0025 (kg/m3.m) = 1,36x10-14 kg/s 
A perda é praticamente desprezível, devido à baixíssima difusividade do gás hélio na 
sílica fundida. 
 
2.3. MECANISMO MOLECULAR DA DIFUSÃO 
Calor: 
Na difusão de calor ocorre o transporte difusivo de energia de uma região para 
outra, como resultado da existência de uma diferença de temperatura entre elas. A 
transferência de energia por difusão é conhecida também como transmissão de calor por 
condução. A condução do calor tende a igualar a temperatura de um meio, seja ele sólido, 
líquido ou gasoso, ocorrendo no sentido das maiores temperaturas para as menores. 
Para entender como o calor flui desta maneira podemos recorrer à teoria cinética. A 
temperatura de um elemento depende da energia cinética média de suas moléculas, um 
dos componentes da energia interna. Quando as moléculas de uma região adquirem uma 
energia cinética média maior, isto é percebido macroscopicamente por um aumento de 
temperatura. Moléculas de maior energia cinética transferem sua energia para as mais 
lentas através de impactos elásticos no caso dos fluidos. No caso dos sólidos a vibração 
das moléculas é transmitida às adjacentes por meio de forças intermoleculares de 
atração e repulsão. Sempre que houver diferenças de energia cinética entre moléculas de 
regiões adjacentes haverá a transmissão desta energia entre as moléculas. O efeito 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 16 
macroscópico observável é uma equalização da temperatura. Além deste mecanismo, 
existe também transferência de energia através da difusão de elétrons nos materiais 
condutores de eletricidade. 
Podemos pensar também num modelo analógico para os sólidos, constituído por 
massas unidas por molas, que representam a intensidade das forças intermoleculares. Se 
as molas forem mais fortes a vibração será propagada mais rapidamente. 
Esta habilidade de transmitir a energia em nível molecular resulta na propriedade 
observável macroscópica chamada Condutividade Térmica. 
A transferência por difusão é o único mecanismo em que o calor é transmitido em 
sólidos opacos. Ela também é importante nos fluidos, embora não aconteça de forma 
isolada, mas em conjunto com a advecção. Isto porque em fluidos um aumento de 
temperatura causa mudanças na massa específica. 
 
Massa: 
A difusão de uma determinada substância, sólida líquida ou gasosa, ocorre no 
interior de um meio (também sólido, líquido ou gasoso), sempre que ela não se encontrar 
uniformemente distribuída, dando origem a gradientes de concentração. Ressalte-se que 
no caso de difusão de sólidos em sólidos, além do gradiente é necessário que a 
temperatura seja suficientemente elevada. 
Para entender como a simples existência de uma diferença de concentração age 
como força motora de um transporte de massa, devemos lembrar que as moléculas de 
um fluido estão em permanente movimentação aleatória (movimento Browniano), 
colidindo umas com as outras, e com qualquer pequena partícula em suspensão no fluido, 
descrevendo trajetórias completamente aleatórias. Imagine um meio com variação na 
concentração de uma substância em apenas uma direção. Isto pode ser visualizado na 
figura 2.4, em que a substância dissolvida é representada pelos pontos, cujo número é 
proporcional à concentração. 
 
Figura 2.4: i - 1 i i + 1 
 
Supondo duas fatias adjacentes quaisquer i e i+1, vemos que, devido ao 
movimento aleatório, a probabilidade de que qualquer partícula cruze a fronteira indo da 
fatia esquerda para a direita é igual à de que uma partícula da direita venha para a 
esquerda. 
Imagine para maior clareza que existam 20 moléculas à esquerda e 40 à direita da 
fronteira conforme a figura 2.5 e que a probabilidade de que qualquer partícula, 
considerada individualmente, ultrapasse a fronteira num intervalo t seja de 20%. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 17 
Após t espera-se que em média 4 (20 x 0.2) moléculas tenham se deslocado para 
a direita, e no mesmo tempo, 8 (40 x 0.2) tenham saído da fatia direita para a esquerda.Ao fim do período t, a diferença de concentração entre as fatias diminuiu, tornando claro 
o aspecto fundamental da difusão, que é a transferência de massa no sentido de diminuir 
as diferenças de concentração. 
 
Figura 2.5
n = 20 n = 40
tempo t
tempo t + t
 n = 20
 n = 12
n = 24 n = 36
4
8
 
 
Prolongando-se este raciocínio por mais alguns intervalos de tempo, chega-se 
facilmente à conclusão de que quanto maior a diferença de concentração entre duas 
regiões adjacentes, maior será a transferência de massa. Para uma dada mistura, então, 
a transferência de massa por difusão é proporcional à variação da concentração. 
Outro ponto interessante do nosso modelo ilustrativo é o valor da probabilidade 
usada, que foi arbitrariamente definido. Qualquer mudança no seu valor altera também 
em igual proporção a velocidade de transferência. Esta probabilidade simula a 
propriedade das misturas chamada Difusividade do elemento A em B, DAB . No exemplo, 
a substância dissolvida A é representada pelos pontos, e B (meio) é representado pelas 
fatias. A difusividade nos revela com que facilidade uma substância se difunde no meio 
 
Quantidade de movimento: 
A tensão de cisalhamento se propagou para o mancal devido à viscosidade do 
fluido, fazendo surgir no mancal uma força de igual valor, obrigando-nos a exercer uma 
reação em sentido contrário para mantê-lo no lugar. 
A viscosidade é uma propriedade observável macroscopicamente que surge como 
resultado de dois tipos de interação entre as moléculas: as forças de adesão e o 
intercâmbio de quantidade de movimento por meio de colisões. 
Nos líquidos predominam as forças de adesão e nos gases, com moléculas mais 
distantes, predominam as trocas resultantes de colisões. Isto explica porque os líquidos 
tem sua viscosidade diminuída com o aumento da temperatura, pois com a dilatação as 
moléculas se afastam, diminuindo a força de atração entre as moléculas. Nos gases essa 
adesão também diminui, mas como os choques transmitem a maior parte do fluxo, o 
aumento da agitação molecular compensa a diminuição da adesão e a viscosidade 
aumenta com a temperatura. 
 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 18 
 
2.4. FLUXO EM MEIOS POROSOS 
 Embora seja um transporte advectivo, o escoamento de água em meios porosos 
possui uma equação fenomenológica formalmente idêntica à equação dos processos 
difusivos. Isto acontece porque o escoamento normalmente é laminar no interior dos 
solos, levando a uma relação linear entre velocidade e diferença de carga. Em 
escoamentos turbulentos vistos normalmente em FT1 isto não ocorre. 
A investigação experimental deste fenômeno utiliza amostras de material poroso 
compactados em cilindros chamados permeâmetros. As amostras são submetidas a 
diferentes cargas hidráulicas, medidas por piezômetros, conforme esquema da figura 2.6. 
O volume de água que atravessa o corpo de prova em um determinado tempo é medido, 
determinando-se a vazão. 
 
solo
área A
Q
L
 hpiezômetros
 
Figura 2.6: Esquema experimental básico para o Fluxo em meios porosos 
 
A equação básica que descreve os resultados experimentais para este caso é 
conhecida como equação de Darcy. 
 
L
hAKAVQ 
 2.7 
Q = Fluxo de Volume, ou Vazão (m3/s) 
V = Velocidade de Darcy ( ou velocidade fictícia ou aparente ) (m/s) 
h = variação do potencial total ( ou carga hidráulica ) (m) 
A = área total da seção transversal do solo (m2) 
K = condutividade hidráulica saturada ou permeabilidade (m/s) 
 
 A carga hidráulica total é o potencial do movimento e é definida por: 
 
g
VPzh
2
2
  2.8 
 A velocidade da fórmula é chamada de velocidade fictícia, ou velocidade de Darcy 
porque é diferente da velocidade real da água no meio poroso. Isto porque a água se 
move no interior dos poros do solo, numa área muito menor que a área total da seção. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 19 
A condutividade hidráulica saturada, ou permeabilidade, depende do tipo de fluido ( 
no caso, água), da estrutura e grau de compactação do solo (que afeta o tamanho e 
quantidade de poros) e da temperatura ( que atua na viscosidade do fluido). Valores de K 
variam 12 ordens de grandeza nos solos, rochas e materiais granulares naturais: 
Cascalho : 10 -3 a 10 5 m/s 
Areia: 10 -6 a 0,01 m/s 
Silte: 10 -9 a 10 -5 m/s 
Arenito 10 -10 a 10 -6 m/s. 
 
Exemplo 2.4: Uma trincheira de 300m de comprimento deve ser escavada paralelamente 
e a 240 m de um rio, conforme a figura. No local existe uma camada de solo permeável 
com uma espessura de 4,5m. A condutividade hidráulica do solo é de 4,5m por dia. Se o 
nível da água na trincheira deve ser mantido 3m abaixo do nível da água no rio, mas 
ainda acima do topo do aqüífero, determine a vazão a ser bombeada para fora da 
trincheira. 
 
3m
Rio
Trincheira
Aqüífero - solo permeável
Solo não permeável
 
Análise: 
Pode-se considerar escoamento 1-D com área constante, sendo válida a equação 2.7. A 
variação da carga total é a diferença de nível da água entre o rio e a trincheira. 
São conhecidos: h = 3,0m 
 L = 240m 
 A = 4,5 x 300 = 1350 m2 (área transversal ao fluxo) 
 K = 4,5 (m/dia) x 1/(3600 x 24 ) (dia/s) = 5.21x10-5 m/s 
Cálculos: Substituindo os valores: Q = 5,21x10-5 x 1350 x 3,9/240 = 0,0014 m3/s 
Resposta: 
A vazão que deve ser retirada da trincheira para manter o nível é 1,4 litros por segundo. 
 
2.5. ADVECÇÃO 
 
 2.5.1. Ocorrência da advecção 
Os processos advectivos são aqueles em que as quantidades das grandezas são 
transportadas mecanicamente no interior de fluidos em movimento. 
Os efeitos da advecção de quantidade de movimento são as forças e distribuições 
de pressão que ocorrem no interior dos escoamentos e nas fronteiras sólidas de objetos 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 20 
em contato com o fluido em escoamento. São estudados pela hidrodinâmica e não 
possuem nome especial. 
 Mesmo no estudo da difusão no interior de corpos sólidos a advecção pode ser 
necessária para equacionar uma condição de contorno advectiva, nas faces em que o 
sólido está exposto ao fluido. Sempre que existir uma superfície de interface entre um 
sólido e um fluido haverá uma condição de contorno advectiva nessa superfície. 
Como exemplo pense numa parede plana com difusão 1-D de calor em seu interior. 
O calor que vem do interior da parede chega à superfície e é transferido na interface 
sólido-fluido, conforme o esquema da figura 2.7. Neste caso, como o movimento do fluido 
é provocado pela transferência da grandeza que está sendo transportada temos a 
advecção natural. 
q
k
Difusão
T s
T ar
Ar aquecido sobe 
advecção
Ar frioSuperfície
quente
calor 
aquece o ar
F 
 
Figura 2.7: Transferência advectiva de calor numa interface sólido – fluido. 
Exemplo de advecção natural 
 
 A transferência de calor por advecção é chamada também de convecção de calor. 
No exemplo da figura 2.7 o ar se aquece em contato com a parede quente, fica menos 
denso e sobe. O movimento do fluido depende da existência do fluxo de calor e é 
provocado por ele. Por isso o fenômeno que ocorre é chamado de advecção natural, ou, 
também, convecção natural de calor. 
Um exemplo de advecção na transferência de massa ocorre em um solo úmido 
transferindo umidade (vapor de água ) para o ar seco, conforme ilustrado pela figura 2.8. 
 
C s
Difusão de massa
ar seco 
C o ar úmido 
Solo úmido
 
Figura 2.8: Transferência advectiva de calor e massa numa interface sólido – fluido. 
Exemplo de advecção forçada pelo vento 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 21 
 
No exemplo da figura 2.8 já ocorria o escoamento do fluido, independente da 
transferência de massa. O fluxo não foi provocado pela transferência de massa. Por isso, 
nesse caso, o fenômeno da transferência de massa é uma advecção forçada, ou ainda, 
convecção forçada. 
A transferência por convecção entre uma superfície e o fluido circundante ocorre 
em várias etapas. Em primeiro lugar há uma transferência por difusão da superfície para 
as partículas adjacentesdo fluido. Essa difusão aumenta a quantidade da grandeza nas 
partículas fluidas, que se movem então para outra região, levando consigo quantidades 
da grandeza transportada. 
No caso do calor, a energia é transmitida por condução para o fluido, que a 
armazena através de um aumento de temperatura. Ao se movimentarem, estas partículas 
levam o calor para outras regiões, sendo substituídas por outras porções de fluido mais 
frias. 
A convecção de massa ocorre em micro escala da mesma forma que a convecção 
de calor. O transporte inicia-se com difusão molecular de massa para as partículas de 
fluido adjacentes, que acumulam esta massa através do aumento de concentração. 
Depois, com o movimento, estas porções de fluido são carregadas para longe, sendo 
substituídas por outras porções de fluido com menor concentração da substância 
advectada. 
 
 2.5.2. Equações básicas 
A equação fenomenológica utilizada para quantificar a advecção ou convecção é 
bastante simples, baseada em ensaios do tipo esquematizado na figura 2.9. 
 
Fluido
Velocidade = V
Potencial = P
Superfície
Potencial = Ps
Área = A s
 
Figura 2.9: Esquema do ensaio para definir Fluxo Advectivo de uma superfície 
 
Considere uma superfície de área AS com uma diferença de potencial em relação 
ao fluido circundante. O sólido é alimentado com um fluxo constante que sai por 
convecção para o fluido. Em regime permanente, o fluxo inserido no corpo de prova é 
igual ao transferido para o fluido, e pode-se medir o potencial na superfície do corpo de 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 22 
prova. Pode-se demonstrar que os dados experimentais ajustam-se a uma equação do 
tipo: 
 )(  PPAhF sSconvecção 2.9 
em que: h = coeficiente médio de transferência por convecção 
 As = área total da superfície (m2) 
 Ps = potencial da superfície 
 P = potencial do fluido. 
 
 Por convenção, quando a transferência se dá do sólido para o fluido, (Ps > P ) o 
fluxo é considerado positivo. 
 Na equação 2.9 o termo h representa uma propriedade conjunta da superfície, do 
fluido e da velocidade do escoamento, chamada também de coeficiente global, de 
transferência por convecção ou ainda coeficiente de película. 
 
CALOR 
Para fluxo de calor o potencial é a temperatura, e o fluxo de calor dissipado pode 
ser gerado facilmente com uma resistência elétrica no interior da amostra. A equação 2.9 
fica: 
 )(  TTAhF sSc 2.10 
com h = coeficiente de película (W/m2°C) ou (W/m2K); 
 Ts = temperatura da superfície (°C) ou (K); 
 T = temperatura do fluido (°C) ou (K). 
 
MASSA 
Para a transferência de massa o potencial normalmente utilizado é a concentração 
volumétrica da substância e a equação básica 2.9 fica: 
 )(  CCAhF sSc 2.11 
com h = coeficiente de película ( m/s ) ; 
 Cs = concentração da substância no fluido junto à superfície (Kg/m3 ); 
 C = concentração da substância no fluido, longe da superfície (Kg/m3 ). 
 
Exemplo 2.5 (calor): O chip microprocessador de um computador pessoal dissipa 20W 
de potência e possui uma superfície de contato com o ar de 3,0 x 3,0 cm, resfriada por 
convecção forçada por meio de um ventilador auxiliar. Sabendo que o chip não pode 
ultrapassar a temperatura de 120°C e que o coeficiente de transferência por convecção é 
de 35W/m2.K, verifique se a superfície de contato é suficiente para garantir a segurança 
do componente. 
Análise: 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 23 
Tem-se transferência de calor por convecção de uma superfície com temperatura 
uniforme para o ar, podendo ser aplicada a equação 2.11. A resposta depende da 
temperatura do ar no interior do gabinete do computador, que não foi fornecida. Será 
adotada uma temperatura média de 35°C para o ar. 
São conhecidos: TS,máx = 120°C (máxima admitida) 
 T = 35°C 
 Tmáx = (120 + 273) – (35 + 273) = 85 K = 85°C 
 Dimensões do chip (0,03m x 0,03m) 
 h = 35 W/m2.K 
Cálculos: 
Superfície em contato com o ar: A = 0,03  0,03 = 0,0009 m2 
Substituindo os valores na equação 2.11: FC, máx = 35  0,0009  85 = 2,70 W < 20W. 
Resposta: O fluxo transferido com o máximo aquecimento permitido é menor que o fluxo 
gerado pelo componente, de forma que seu funcionamento nessas condições é inviável. 
Considerações adicionais: 
A temperatura necessária para dissipar a potência gerada é dada por: 
Fc = 20 = 35  0,0009  T  T = 635 K  T = 635 + 35 = 670°C. 
A temperatura é muito alta e provocará a queima do componente. 
A área mínima que seria necessária para a superfície em contato com o ar não 
ultrapassar 120°C é dada por: 
Fc = 20 = hc  Amín  Tmáx 
Amín = 20 / (35  85) = 0,0067m2 (7,5 vezes maior que a área disponível) 
Recomendação prática: A queima do componente será evitada aumentando-se a área de 
contato com o ar, com a utilização de aletas. 
As aletas são as extensões da superfície de contato com o ar que podem ser 
observadas nos dissipadores de calor empregados nos microcomputadores. A área 
necessária de aletas no dissipador é maior que a área mínima calculada acima porque a 
superfície da aleta nunca fica a uma temperatura uniforme, é mais fria à medida que se 
afasta do bloco em contato com o componente. O cálculo do calor dissipado por uma 
aleta será visto mais adiante. 
Comentários adicionais: Na utilização do equipamento deve-se considerar ainda que o 
coeficiente de película pode diminuir (por exemplo, pelo desgaste dos mancais do 
ventilador) e que a temperatura interna do gabinete pode aumentar (por exemplo, pela 
obstrução das entradas de ar pelo pó acumulado). Por isso, na prática, é adotada uma 
área maior, por segurança. 
 
Exemplo 2.6 (massa): O nível de água num tanque evaporimétrico diminuiu 15mm ao 
longo de 10 horas de observação, num dia ventoso em que a temperatura média do ar foi 
de 25°C e a umidade relativa foi UR = 20%. Durante a medição a temperatura média da 
água no tanque foi de 22°C. Estime o coeficiente médio de transferência de vapor de 
água para a atmosfera, em m/s, para as condições do experimento. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 24 
Análise: 
Trata-se de um problema de convecção forçada de vapor de água a partir da superfície do 
tanque de medição de evaporação. O potencial é a concentração de vapor de água no ar. 
A diferença de potencial existe porque junto à superfície o ar encontra-se na umidade de 
saturação (UR = 100%) a 22°C e no ar é dada pela umidade relativa. Entretanto, 
precisamos inicialmente transformar os dados de umidade relativa em concentração de 
vapor de água em kg/m3 para uso na equação 2.11. 
Cálculo das concentrações de vapor: 
A pressão de saturação esat em mmHg é encontrada na literatura, em função da 
temperatura. Consultando a Tabela 5.1, pg 87 do livro “Hidrologia Aplicada”, de Villela e 
Mattos (1975), obtém-se: 
- esat (22°C) = 19,83 mm de Hg 
- esat (25°C) = 23,76 mm de Hg 
Com esses dados pode-se calcular as pressões parciais do vapor d’água: 
es = UR esat = 19,83 mm de Hg (saturado na superfície da água, UR = 1) 
e = 0,2 esat = 4,752 mm de Hg (no ar, umidade relativa 20%  UR = 0,2) 
A transformação das pressões parciais em concentrações é feita pela equação dos 
gases perfeitos: 
e Vol = n R T  e Vol = (mV/Mv) R T 
sendo R a constante universal dos gases (R = 8,314 J/K mol) e “n” o número de moles do 
gás, n = (mv/Mv) em que mv é a massa de vapor contida no volume e Mv é a massa 
molecular da água (Mv = 18,016 10-3 kg/mol). Assim, pode-se escrever: 
v = mv/Vol = e / (Rv T) 
em que Rv é a constante particular do gás (vapor de água), Rv = R/Mv . 
Para utilizar as pressões parciais na equação da massa específica é necessário 
converter os valores para Pascais (1 Pa = 1N/m2), multiplicando os valores pelo peso 
específico do mercúrio (Hg = 133280N/m3). 
288,133)()(001,0)()( 32  HgHg mmpm
N
mm
mmmp
m
Ne  
Substituindo-se todos os dados na equação da massa específica, acima, vem: 
 Superfície: Cs = v,s = 19,83  133,280 /[ (8,314/18,016 10-3) (22+273)] 
 Cs = 19,41 10-3 kg/m3. 
 Ar : C = v,= 4,752 x133,280 /[ (8,314/18,016x10-3) (25+273)] 
 C = 4,6 10-3 kg/m3. 
Cálculo do coeficiente de película: 
 Antes, calculamos o fluxo de vapor evaporado em kg/s. Como não foi fornecida a 
área da superfície, calculamos para área unitária. 
 Fv = (massa evap/tempo) = água (Vol. evap/tempo) = 1000 x 0,015 x 1/(10 x 3600) 
 Fv = 4,17 x 10-4 kg/s 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 25 
Finalmente , podemos substituir os valores na equação da advecção. 
 Fv = h As (Cs - C)  4,17 x 10-4 = h x 1 (19,41 – 4,6) x 10-3  h = 0,028m/s. 
Resposta: o coeficiente de transferência de massa por advecção no processo de 
evaporação nas condições dadas foi 0,028 m/s. 
Comentários adicionais: O coeficiente depende das condições reinantes no dia, podendo 
variar com a temperatura e umidade do ar e com a temperatura da água na superfície, 
conforme visto nas fórmulas usadas para calcular as concentrações de vapor de água no 
ar. O coeficiente pode variar também com a velocidade média do vento, que diminui a 
camada limite, conforme será visto no próximo item. 
 
 2.5.3. Mecanismo da Convecção – Camada Limite 
 A convecção é um modo de transferência de calor composto por dois mecanismos. 
Além da transferência de energia devido ao movimento aleatório das moléculas (difusão) 
existe energia sendo carreada pelo movimento macroscópico do fluido (advecção). 
Assim, dando início ao processo advectivo sempre há uma difusão, o que explica 
porque a velocidade do fluido aumenta o coeficiente de película (h). Quanto maior a 
velocidade, menor o tempo de contato para que a difusão aumente o potencial das 
partículas de fluido, antes que sejam levadas. Resulta então um gradiente maior, visto 
que a porção de fluido é substituída por outra de menor potencial, antes que tenha tempo 
de elevar o valor do potencial. Assim, maiores velocidades de fluido implicam em maior 
fluxo por advecção. Essa relação entre velocidade e coeficiente de película é melhor 
compreendida ao levarmos em conta o conceito de camada limite. 
 
_____conceito de camada limite 
Quando um fluido escoa sobre uma superfície sólida surge uma região com baixas 
velocidades junto à superfície, chamada de camada limite. Devido à adesão das 
moléculas de fluido ao sólido, na superfície a velocidade do fluido é nula. A viscosidade 
faz com que a velocidade aumente rapidamente à medida que nos afastamos da 
superfície. Essa região de variação rápida da velocidade define a camada limite. Devido 
às baixas velocidades e à presença próxima do contorno sólido, as perturbações do 
movimento são amortecidas e o escoamento na camada limite torna-se laminar. Fora da 
camada limite temos o chamado núcleo não perturbado do escoamento. Nesta região o 
perfil de velocidades é uniforme, e a presença do contorno sólido não causa efeitos no 
escoamento. 
 Na figura 2.10 vemos o crescimento da camada limite de velocidades a partir da 
borda de ataque de uma placa plana. 
Quando o escoamento não perturbado for turbulento, o crescimento progressivo da 
camada limite pode levar a uma espessura crítica em que não é mais possível manter o 
escoamento laminar e forma-se uma camada limite turbulenta. Os vórtices do 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 26 
escoamento turbulento penetram então na camada limite que começa a crescer mais 
rapidamente com as trocas macroscópicas de quantidade de movimento nos turbilhões. O 
escoamento laminar persiste numa pequena região próxima ao contorno, formando a 
subcamada laminar, onde predomina a condução (difusão molecular). Entre a 
subcamada laminar e a camada limite turbulenta aparece uma região de transição, a 
camada amortecedora. 
 
TurbulentaTransiçãoLaminar
Sub camada Laminar
Camada Amortecedora
Camada Turbulenta
x
 
Figura 2.10: desenvolvimento da camada limite sobre uma placa plana 
 
Existem outras definições, mas a espessura da camada limite, , pode ser 
definida de forma prática como a distância a partir do contorno onde V = 0,99V, sendo V 
a velocidade na região fora da camada limite. 
O número de Reynolds local é usado para determinar quando a camada limite se 
torna turbulenta. É definido como: 
 
 xVRex , 2.12 
sendo x a distância a partir da borda inicial do contorno e  = / é a viscosidade 
cinemática do fluido. 
O Rex que ocorre na transição entre a camada limite laminar e a turbulenta 
depende muito da intensidade da turbulência do escoamento, mas em condições usuais 
na engenharia, pode-se adotar o valor de 3,2  105 como o limite para iniciar-se a 
transição para a camada limite turbulenta. 
O conceito da camada limite de velocidades explica porque a contribuição do 
processo difusivo domina nas camadas mais próximas à superfície, onde as velocidades 
são mais baixas. Na interface sólido – fluido (z = 0) temos velocidade nula, devido à 
aderência das partículas fluidas. Assim, apenas a difusão molecular pode ocorrer na 
interface entre o sólido e o fluido. 
Portanto, a advecção inicia-se sempre com a difusão entre o sólido e a 
primeira camada de fluido. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 27 
A figura 2.11 ilustra o conceito para o caso de uma parede vertical. Na região 
imediatamente em contato com o fluido a velocidade é praticamente nula, e todo o 
transporte ocorre por difusão entre as camadas de fluido. À medida que nos afastamos da 
parede, dentro da camada amortecedora, a parcela carregada por advecção cresce em 
importância relativa, até que prevalece apenas a advecção. 
 
Figura 2.11: desenvolvimento da camada limite sobre uma placa vertical, ilustrando o progressivo 
aumento do fluxo transportado por convecção. 
 
Essa natureza dupla do mecanismo da advecção permite relacionar a densidade 
de fluxo à espessura da camada limite laminar. Em locais em que a camada limite é 
pequena, ocorre uma grande variação do potencial em um comprimento pequeno, ou seja 
P/L é muito grande. Em locais onde a espessura da camada limite é grande ocorre o 
inverso, pois a mesma diferença de potencial ocorre numa distância grande (P/L é 
pequeno), e a densidade de fluxo diminui. 
 
_____camada limite térmica 
Ao considerar o escoamento de um fluido sobre a superfície aquecida de um 
sólido, conforme a figura 2.12, surge o conceito de camada limite térmica, formada pela 
região onde a diferença de temperaturas é inferior a 99% da diferença total entre a 
temperatura do fluido no núcleo não perturbado e a temperatura da superfície. 
 
Sub camada Laminar
FK
FC
FC
FC
FK
FK
Camada Amortecedora
Camada Limite Turbulenta
Sólido
Perfil de Velocidade
 FT – 2012/1 - Revisão 1 28 
Escoamento
q c
Ts
Too
T ( z )u ( z )
uoo
zz
distribuição
de temperaturadistribuiçãode velocidade
superfície quente
Camada limite
térmica

 t
 
Figura 2.12: camadas limite térmica e de velocidades na convecção 
 
A contribuição do movimento do fluido surge devido ao crescimento da camada 
limite à medida que o escoamento avança para jusante. Assim, o calor que é conduzido 
para a camada limite é levado para jusante e para longe da superfície quente, podendo 
sair da camada limite de velocidades e ser transferido para o fluido no escoamento não 
perturbado. 
 
_____camada limite de concentração 
No caso da transferência de massa por advecção a partir da superfície, forma-se 
uma camada limite de concentração, em tudo semelhante à camada limite térmica. 
Uma situação importante ocorre ao considerarmos o ar seco passando sobre um 
lago ou uma área de solo úmido, provocando o fluxo advectivo chamado de evaporação. 
O esquema da figura 2.13 mostra o crescimento gradual da camada limite à medida que o 
ar seco percorre a superfície úmida. Observe que existe uma região com densidade de 
fluxo maior, próximo às áreas de montante, devido à menor espessura da camada limite 
nessa região. Esse fenômeno é o chamado “efeito de borda”, ou de fronteira. Com o 
aumento da camada limite em direção a jusante, a densidade de fluxo vai diminuindo 
gradualmente de maneira assintótica. 
 
z
ar seco
superfície
secaCoo
z
Camada limite
de vapor d'água
Coo
superfície
saturada
Fc Fc
 
Figura 2.13: Evaporação de água num lago pelo ar seco. O aumento da camada limite de 
concentração diminui o fluxo de massa Fc da evaporação. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 29 
 
O efeito de borda da camada limite de concentração explica porque pequenas 
superfícies, como um tanque evaporimétrico ou uma piscina, possuem evaporação maior 
que a observada num lago de grandes dimensões, com água na mesma temperatura. 
 
_____Papel da velocidade do escoamento na advecção 
 Vimos como a existência da camada limite transforma a convecção num modo de 
transferência composto por dois mecanismos. Além da transferência devido ao 
movimento aleatório das moléculas (difusão), existe o transporte pelo movimento 
macroscópico do fluido (advecção). 
 Com o conceito da camada limite é possível mostrar também como o aumento da 
velocidade do escoamento afeta o coeficiente de transferência por convecção. Na 
interface entre o fluido e o sólido todo o calor é transferido por condução no fluido. 
 
0
 

z
fksc z
Tk'q)TT(h'q 2.13 
 A equação 2.13 mostra que a densidade de fluxo por advecção q’c (primeiro 
membro) é igual à densidade de fluxo por difusão q’k na superfície (último membro). 
Assim, quanto menor for a camada limite térmica, maior será o gradiente de temperatura 
na superfície e, portanto, maior o coeficiente de transferência por convecção h. Este 
mesmo fenômeno ocorre na advecção de massa. 
Por outro lado, a camada limite térmica, assim como a de concentração, depende 
fortemente do perfil de velocidades. Quanto maior a velocidade menor será a espessura 
das camadas limite, tanto a de velocidades quanto a de temperatura ou a de 
concentração. Este fato é ilustrado pela figura 2.14. 
 
Ts
Too
uooz
Laminar
Ts
Too
uooz
0

zz
u  t
 t
Turbulento


0

zz
u
 
Figura 2.14: diminuição da camada limite com o aumento da velocidade 
 
 Das inclinações dos perfis mostrados na figura 2.14 podemos escrever as relações: 
 
turbzlamz z
u
z
u
,0,0  

  laminar > turbulento 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 30 
 t
s TT
z
T



0  turbzlamz z
T
z
T
,0,0  


 2.14 
 
 O efeito de diminuição da camada limite ocorre não só na mudança de regime 
laminar para turbulento. Mesmo sem mudança do regime, quando aumenta a velocidade, 
diminui a espessura das camadas limite térmica e de velocidades. 
 
Exemplo 2.7: Ar a 20°C escoa a pressão atmosférica sobre uma superfície plana a 
100°C, em regime permanente. A espessura da camada limite térmica em um 
determinado ponto é de 1,5mm. Sabendo que a condutividade térmica do ar é 
k = 0,0338 W/m.K, calcule o coeficiente de película para a transferência convectiva de 
calor. 
Solução: 
No ponto considerado o fluxo de calor que deixa a superfície transfere-se por condução 
na subcamada limite laminar. Sendo o regime permanente, o fluxo por condução é igual 
ao fluxo por convecção entre a superfície e o ar, conforme a equação 2.13 e a 
aproximação para a derivada dada na equação 2.14: 
 q'k = F/A = k T/t = q’c = hc T  hc = K/t = 0,0338/0,0015 = 22,5 W/m2°C. 
 
 2.5.4. Coeficientes Locais e Coeficiente Global de Transferência 
 A influência da camada limite e da velocidade local sobre a advecção permitem 
imaginar que o fenômeno irá ocorrer com diferentes taxas ao longo da superfície de um 
sólido exposto ao fluido. Com isso podemos definir um coeficiente local de transferência 
por convecção, que afetará a densidade de fluxo por convecção q’c numa área dAs , 
conforme a equação: 
 )TT(h'q sc  2.15-a 
em que h é o coeficiente local de transferência por convecção, com unidades (W/m2°C). O 
coeficiente h varia conforme a localização da área ao longo do corpo sólido e também 
com as características do escoamento do fluido. 
 No caso da advecção de massa a equação é similar: 
 )(  CChJ sC 2.15-b 
em que h é o coeficiente local de transferência de massa por advecção, com unidades 
(m/s). O coeficiente h, assim como no caso do calor, varia conforme a localização da área 
no sólido e com as propriedades do escoamento do fluido. 
 Usando o conceito de coeficiente local o fluxo total transferido a partir do corpo é 
dado por uma integração que permite definir o coeficiente global, ou coeficiente médio: 
 )()(    TTAhFdAhTTF sscAs ssc 2.16 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 31 
em que h = coeficiente médio de transferência por convecção. 
  As s
s
dAh
A
h 1 2.17 
 2.5.5. Transporte simultâneo de duas grandezas 
 É comum a ocorrência de trocas de 2 ou mais quantidades. Por exemplo, quando o 
ar frio escoa sobre uma placa quente (a superfície do solo, por exemplo), ocorre a troca 
simultânea de calor e quantidade de movimento. Se, além disso, o ar estiver seco e a 
placa úmida (solo saturado, por exemplo), ocorrerá a troca simultânea de calor, massa e 
quantidade de movimento. 
 Vimos que as espessuras das camadas limite são muito importantes na 
quantificação das transferências convectivas. 
 A camada limite de velocidades depende tanto da viscosidade do fluido  quanto 
da massa específica  do fluido em escoamento. Observe que um fluido pouco viscoso 
mas muito leve pode ter uma camada limite maior que um muito viscoso mas bem mais 
pesado, nas mesmas condições. A importância dessas duas propriedades pode ser 
combinada num único parâmetro que é a viscosidade cinemática  = /. 
_____definição: Viscosidade Cinemática  = / 
A viscosidade cinemática tem dimensão [L2/ T] 
 Da mesma forma, a camada limite térmica dependerá da condutividade térmica k e 
da capacidade térmica do fluido. A capacidade de absorver calor por unidade de volume e 
por variação unitária de temperatura é mc/Vol = c. 
Um fluido com uma dada condutividade k, mas com alta capacidade térmica, não 
irá se aquecer tanto e a camada limite térmica ficará pequena. Por outro lado se sua 
capacidade de absorver calor for pequena ele irá aquecer-se rapidamente e a camada 
limite será grande. A combinação dessas duas variáveis é dada pela difusividade 
térmica,  = k / c. A difusividade térmica tem dimensão de [L2/ T]. 
A espessura da camada limite de concentração depende da difusividade, DAB, da 
substância A dissolvida na substância B. Se a difusividade é alta, a espessura da camada 
limite cresce rapidamente e vice versa. A difusividade tem dimensões [L2/ T]. 
Como todas as variáveis influentes possuem as mesmas dimensões, é claro que a 
combinação delas fornecerá adimensionais que indicam a importância relativa da 
transferência de cada uma das grandezas. 
_____ Número de Prandtl (quant. mov. e calor) 
 
k
cPr 
 2.18 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 32 
Adimensional importante quando ocorre transferência simultânea de calor e 
quantidade de movimento. Fisicamente expressa a velocidade relativa da propagação da 
quantidade de movimento e da energia. Portanto é importante para determinar a relação 
entre as espessuras das camadas limites de velocidade e térmica. Para muitos casos Pr é 
da ordem de 1, mas pode variar bastante. Metais líquidos, por exemplo, possuem Pr 
muito pequenos, enquanto que fluidos viscosos, como óleos, podem ter Pr da ordem de 
100. 
_____ Número de Lewis (calor e massa) 
 Dc
k
D
Le 
 2.19 
 Adimensional importante quando ocorre transferência simultânea de calor e massa. 
Por exemplo, no processo de evaporação em um termômetro de bulbo úmido, utilizado 
para determinar a umidade relativa do ar. 
_____ Número de Schmidt (quant. mov. e massa) 
 DD
Sc 
 2.20 
 Importante em sistemas isotérmicos com transferência simultânea de massa e 
quantidade de movimento. Sc é aproximadamente unitário para gases, mas é grande para 
líquidos. 
 
_____relembrando 
Existe o processo de convecção natural e forçada, classificados segundo a causa 
do movimento do fluido, mas a equação básica 2.9 vale para os dois tipos. 
CONVECÇAO NATURAL - o que causa o fluxo de fluido que efetua o transporte são asdiferenças de densidade causadas pela própria difusão da grandeza no fluido. Assim, 
por exemplo, o ar que entra em contato com uma parede aquecida, fica menos denso e 
sobe, dando início ao processo. 
CONVECÇAO FORÇADA - o movimento de transporte é provocado por uma fonte 
externa, como um ventilador ou o vento. Essas velocidades são normalmente muito 
maiores que as da convecção natural, tornando a convecção forçada mais eficiente. 
Esta é a razão pela qual equipamentos que dissipam pouco calor são normalmente 
esfriados por convecção natural, enquanto que os de maior potência e tamanho 
reduzido em relação ao calor dissipado são refrigerados por convecção forçada. 
Por convenção, quando o potencial do corpo sólido é maior que o do fluido o fluxo 
advectivo é considerado positivo. 
 
 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 33 
2.6. RADIAÇÃO: UM TIPO ESPECIAL DE TRANSPORTE 
 
 A radiação térmica é a energia emitida por qualquer matéria que estiver a uma 
temperatura finita T. A radiação é a única forma de transporte de energia que ocorre 
através do vácuo, sem necessitar de um meio físico para ocorrer. 
Toda a energia que a Terra recebe do Sol chega por radiação. Essa energia é 
responsável por manter o movimento de circulação da atmosfera e o ciclo hidrológico, 
transferindo em escala planetária enormes quantidades de massas de ar, de calor e de 
umidade. Daí sua importância no estudo da Hidrologia, em que está na base de vários 
métodos para determinar a evaporação. 
A radiação solar também é uma importante parcela a considerar na análise térmica 
de edificações, e sua utilização em sistemas de aquecimento tende a crescer cada vez 
mais. Em paredes externas de edificações ocorre simultaneamente a troca de calor por 
convecção e absorção da radiação solar, num mecanismo em paralelo. 
 Em processos de engenharia que envolvem altas temperaturas a radiação pode ser 
um mecanismo de troca de energia tão importante quanto a convecção, ou mesmo o mais 
importante. Isso ocorre porque a emissão de energia térmica é proporcional à temperatura 
absoluta elevada à quarta potência. 
 Percebe-se então que em vários problemas de interesse para o engenheiro a 
radiação térmica estará presente junto com os mecanismos de difusão e advecção. Por 
isso, embora não seja um fenômeno de transporte que envolva meios físicos como a 
difusão e a advecção, a radiação será abordada em vários tópicos ao longo do curso. 
A radiação ocorre como um fenômeno volumétrico nos gases e nos sólidos 
semitransparentes, como o vidro. Aparece também como fenômeno de superfície na 
maioria dos sólidos e líquidos. Isto porque a radiação emitida internamente é absorvida 
pelas moléculas adjacentes, de forma que só a radiação emitida pelas moléculas 
próximas à superfície atinge o exterior. 
 A radiação é caracterizada por seu comprimento de onda (), dado normalmente 
em micrômetros (1 m = 10-6m) ou sua freqüência ( f ). Lembrar que c = f, sendo c a 
velocidade da luz no meio considerado. Os textos de referência trazem o espectro da 
radiação eletromagnética. A parte intermediária do espectro, entre 0,1 e 100m, é a 
radiação térmica, de interesse na transferência de calor. 
A emissão máxima de radiação térmica a uma temperatura T ocorre de um corpo 
negro, ou irradiador perfeito e é dada pela lei de Stefan-Boltzmann 
 4T
A
F'q rr  2.21 
em que Fr é o fluxo de calor emitido por radiação (W), q’r = densidade de fluxo por 
radiação (W/m2), T = temperatura absoluta (K) e  = 5,67x10-8 W/m2K4 é a constante de 
Stefan-Boltzmann. 
 O corpo negro absorve toda a radiação incidente, independentemente do 
comprimento de onda e direção. A radiação emitida por um corpo negro é independente 
da direção, ou seja, o corpo negro é um emissor difuso. 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 34 
 O fluxo emitido por um corpo real é menor que o de um irradiador perfeito e 
depende da emissividade (  ) da superfície: 
 4' Tq r  2.22 
 A radiação emitida por um corpo depende do comprimento de onda considerado, 
constituindo uma distribuição espectral, que varia com o tipo da superfície emissora e 
sua temperatura. 
 Além da distribuição espectral, outra propriedade da radiação emitida diz respeito à 
sua direção, visto que uma superfície pode emitir mais numa determinada direção do que 
em outras, dando origem a uma distribuição direcional da radiação emitida. Uma 
superfície que emite igualmente em todas as direções é chamada de difusa. 
 Neste texto, a menos que explicitamente registrado, os valores de emissividade 
considerados serão a média sobre todo o espectro e todas as direções. 
 Quando a radiação é recebida pela superfície entra em ação a propriedade 
chamada coeficiente de absorção, ou absortividade ( , que relaciona o calor radiante 
incidente (qinc) ao absorvido (qabs): 
 incabs qq  2.23 
 O valor da absortividade depende da distribuição espectral da radiação incidente, 
de forma que um corpo pode ter uma absortividade para a radiação solar e outra diferente 
para a radiação emitida por corpos a temperaturas menores. A radiação solar possui um 
espectro semelhante ao de um corpo negro a temperatura de 5.800K. 
 Quando a emissividade e a absortividade são iguais, temos um corpo com 
superfície cinzenta. 
 Quando a radiação incide sobre uma superfície opaca, parte é absorvida e parte é 
refletida. A característica que define a quantidade refletida é a refletividade ( ). A 
absorção e a reflexão são responsáveis pela percepção da cor das superfícies a baixas 
temperaturas. A cor se deve à absorção e a reflexão seletiva de parcelas do espectro da 
radiação visível que a tinge a superfície. Uma folha é verde porque a clorofila das células 
absorve fortemente os comprimentos de ondas das cores azul e vermelha, refletindo a 
verde. Uma superfície parece negra porque absorve todas as componentes visíveis da 
radiação. 
Entretanto a cor refere-se apenas à reflexão dos comprimentos de onda visíveis e a 
refletividade de um corpo pode ser bastante diferente para outros comprimentos de 
ondas. Este é o caso da neve sob a radiação solar. A neve é intensamente refletora na 
faixa visível, e portanto totalmente branca, mas absorve fortemente a parcela de ondas 
longas, aproximando-se de um corpo negro para o Infra Vermelho. 
Quando a superfície é de material transparente existe ainda uma parcela que é 
transmitida através do corpo, dada pela transmissividade (  ) do material. Como as 
outras propriedades, a transmissividade depende do comprimento de onda considerado. 
O vidro é um exemplo de material bem transparente para a radiação solar incidente de 
ondas curtas (Ultra Violeta e Visível), sendo opaco aos comprimentos de ondas longas 
(Infra-Vermelho) emitidos por superfícies a baixas temperaturas. 
 O fluxo líquido de calor trocado entre um corpo com superfície a temperatura T1 e 
 =  (superfície cinzenta) e outro à temperatura T2 que o envolve totalmente é dado por: 
 FT – 2012/1 - Revisão 1 35 
 )(' 42
4
1
, TT
A
F
q líquidorr   2.24 
 Numa situação qualquer dois corpos trocam radiação entre si numa taxa que 
depende das áreas e da orientação relativa entre elas, dada por um fator de forma F1-2: 
 )( 42
4
1, TTAF líqr   21F 2.25 
 Em muitas situações é desejável escrever a troca por radiação com uma equação 
semelhante à da convecção: 
 )('  TTAhAqF srrr 2.26 
em que hr é o coeficiente de transferência de calor por radiação térmica, ou coeficiente de 
película para radiação. 
 Igualando as equações 2.25 e 2.26 vemos que o coeficiente global de transferência 
de calor por radiação é dado por: 
 ))(()(
)( 2
2
2
121
21
4
2
4
1 TTTT
TT
TThr 
   2121 FF 2.27 
 É importante perceber que com a equação 2.26 nós linearizamos a equação da 
transferência por radiação, mas, como resultado dessa simplificação, a equação 2.27 
mostra que o coeficiente hr vai depender fortemente da temperatura. 
 
Exemplo 2.8: Um forno para assar pizzas está numa sala a 25°C. O coeficiente de 
transferência por